5. Condicional Lógica

Hola a todos, esta es la continuación de la sección anterior de la disyunción lógica, en esta oportunidad discutiremos un nuevo conectivo lógico, me refiero a la condicional material o condicional lógica.

Hay que recordar que una proposición condicional puede estar formada incluso de enunciados abiertos y no necesariamente de proposiciones, esto lo discutí en la primera sección del capítulo llamado también proposiciones .

La condicional obliga no extrictamente hablando que una proposición A dependa de otra proposición B formando la proposición condicional, que no es nada más que otra proposición compuesta.

Y digo, no estrictamente porque este tipo de condicionales tiene una dependencia muy débil, su antecedente no siempre le da la razón a su consecuente.

En vista de la debilidad de este tipo de condicional existe otro condicional más firme o extricto y es la implicación lógica, y todo ello lo veremos en breve.

La condicional lógica es una conectiva lógica que une dos proposiciones, donde una es el antecedente y la otra el consecuente, en este caso la condicional es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en caso contrario, la condicional es verdadera.

Sin embargo, el significado de la condicional es mas complejo de lo que se cree desde el momento que se compara con la implicación lógica, pero esto lo veremos en apartados mas abajo, lo importante es la relación que tiene la condicional con el significado de la lógica propiamente dicha.

En el apartado de lógica proposicional discutimos justamente este punto, hemos dicho que el fin de la lógica es llegar a una conclusión final, pero esta conclusión no existiría sino fuera por sus premisas causantes o antecedentes, una característica que ajusta muy bien a la condicional lógica.

Definicion formal de la condicional lógica

La condicional material o lógica con símbolo → es un conectivo lógico que une dos proposiciones p llamado antecedente y q llamado consecuente formando una nueva proposición p → q tal que su valor de verdad es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, para otras combinaciones de los valores de verdad de p y q, la condicional es verdadera.

El símbolo de la condicional lógica no es más que una flecha flecha que apunta a la derecha que apunta a la derecha con el significado que le proporcionamos en la definición de condicional lógica. Una proposición que tenga como conectivo lógico dominante a la condicional lógica, lo llamaremos proposición condicional.

Existe un debate con respecto a la condicional, han existido muchos problemas para definirlo e incluso sacar una nueva condicional para abarcar con este tipo de problemas.

La condicional que hemos tratado anteriormente se le llama condicional material y tiene puntos flacos ya que solo toma como referencia los valores de verdad de las proposiciones pero no la estructura de sus argumentos, cosa contraria a la implicación lógica que muchas veces se confunde con la condicional material. Estos puntos lo veremos al final de la sección actual.

Ejemplos de la condicional lógica

La proposición:

  • Si ella se porta bien, entonces la llevaré de paseo.

Lo podemos desglosar de la siguiente manera:

  • Ella se porta bien
  • La llevaré de paseo

Por si solos, resulta ser enunciados abiertos, también podemos ver que la oración lleva dos palabras principales, esto es “Si…., entonces….”, donde:

  • Si “ella se porta bien”, indica una afirmación de un precedente, en este caso, no importa quien puede ser ella.
  • Entonces “la llevaré de paseo”, indica un consecuencia, un suceso de una causa, aquí no importa quien puede ser ella para llevarle de paseo.

Podemos decir que:

  • “Ella se porta bien”, es la causa
  • “La llevaré de paseo” es la consecuencia o la conclusión.

En base a esto, podemos encontrar 4 posibles combinaciones de verdad.

  • ⏞("Si " ⏟("ella se porta bien" )┬V ",entonces " ⏟("la llevaré de paseo" )┬V )┴V
  • ⏞("Si " ⏟("ella se porta bien" )┬F ",entonces " ⏟("la llevaré de paseo" )┬V )┴V
  • ⏞("Si " ⏟("ella se porta bien" )┬F ",entonces " ⏟("la llevaré de paseo" )┬F )┴V
  • ⏞("Si " ⏟("ella se porta bien" )┬V ",entonces " ⏟("la llevaré de paseo" )┬F )┴F

Las 3 primeras proposiciones son verdaderas (el segundo caso lo explicaremos en apartados anteriores) y la última falsa.

En este ejemplo llamamos antecedente (antes) al enunciado “ella se porta bien” y consecuente al enunciado “la llevaré de paseo”. Pero si el antecedente esta formado por dos enunciados como por ejemplo:

  • Los humanos tiene dos piernas.
  • Sergio es humano.
  • Por tanto, Sergio tiene dos piernas.

Aquí, el antecedente son “Los humanos tiene dos piernas y Sergio es humano” y el consecuente es “Por tanto, Sergio tiene dos piernas“.

Para tomar los valores de verdad del enunciado anterior, primero debemos tomar los valores de verdad formada por el antecedente donde la conjunción lógica es la que prima, luego con la condicional lógica junto con su consecuente, esto lo veremos en la sección de signos de agrupación en lógica.

Y si se han preguntado cual es el significado de una premisa, es cada uno de los enunciados “Los humanos tiene dos piernas” y “Sergio es humano“, nuestro argumento tiene dos premisas y en su conjunto refiere a un solo antecedente de una proposición condicional. Una premisa son los enunciados que anteceden a la conclusión.

¿Que problema hay con la condicional material?

La condicional material tiene una propiedad débil, ya que si bien el antecedente no se cumple (Del ejemplo: Si ella no se porta bien), es posible que el consecuente se cumpla (entonces, de todas maneras la llevaré de paseo). Decimos entonces que la proposición compuesta es verdadera porque a pesar de no cumplir con lo indicado, la promesa se cumplió.

Si el antecedente, es decir, la premisa causante resulta ser falsa, y el consecuente es verdadera, entonces ¿deberíamos de concluir que la proposición compuesta matriz debe ser verdadera porque no se cumplió con el antecedente?, ¿por ello debería ser verdadera? Pongamos un ejemplo mucho mejor que la anterior, veamos:

Un ejemplo particular de la condicional material

Sea ∅ el conjunto vacío, A cualquier conjunto del Universo U y x cualquier elemento de U. Probar que:

  • x ∈ ∅ → x ∈ A

Como ∅ es el conjunto vacío, significa que no tiene elemento alguno y como x es un elemento, entonces ∅ ∈ ∅ es falso, pero para x ∈ A puede ser falso como también verdadera, es decir, pueda que x pertenezca o no al conjunto A. Sea cual fuese el caso, la condición de x ∈ ∅ → x ∈ A siempre será verdadera. Resumiendo:

  • La proposición es verdadera porque el antecedente es falso y el consecuente falso
  • La proposición  es verdadera porque el antecedente es falso y el consecuente verdadero.

Por tanto antecedente no es prueba legitima para el consecuente, en base este problema, podemos decir que ¿la condicional material tal como la estamos tratando merece ser aplicada para fundamentar argumentos sólidos?,  no del todo. Antes de ver este pequeño inconveniente, no hay que olvidar la tabla de verdad de la condicional lógica o material.

Tabla de verdad de la condicional

En base a la definición y el primer ejemplo de la condicional lógica, la siguiente tabla de verdad es:

pqp → q
VerdaderoVerdaderoVerdadero
VerdaderoFalsoFalso
FalsoVerdaderoVerdadero
FalsoFalsoVerdadero

En esta tabla la unica combinacion posible falsa es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, pero la controversia mas grande es cuando resulta ser verdadera cuando a pesar de que el antecedente no se cumplió, el consecuente resulta ser cumplida. Hablemos de este pequeño inconveniente.

La controversia con la condicional material

El conectivo lógico más controversial y más dificil de comprender, la condicional lógica tal como se la conoce, tiene puntos flacos para el estudio de las ciencias, se podría pensar que no importa que tan fundamentada podrá construirse una teoría, según este tipo de condicional, las conclusiones de muchos documentos académicos de todas las bibliotecas del mundo pueden ser correctas y su desarrollo teórico incorrecto o falso.

O dicho de otra manera, no importa que tan explicada este bien una teoría, incluso no ser verdaderas, lo que importa es la veracidad de sus conclusiones reales.

Según Friedman, dice que: “Para ser importante, por lo tanto, una hipótesis deberá ser descriptivamente falsa en sus supuestos; no tomar en cuenta ninguna de las numerosas circunstancias contingentes porque su éxito mismo revela que carecen de pertinencia para los fenómenos que trata de explicar”

A estas alturas, tratar con la condicional material es un tema de debate y lo fue por un tiempo regular y también un tema de muchos confusión y contradicción ya que para solucionar este punto, se ha definido una condicional mas fuerte, pero que se suele confundir con la condicional material, nos referimos a la implicación.

Pero antes de describir la implicación, la condicional material tal como lo planteamos, significa que también las siguientes proposiciones son válidas.

ejemplos ilógicos que la condicional material que toma como verdaderas

  • Si me como una manzana, entonces hoy hará calor
  • Me convertiré en una rana siempre y cuando comience la tercera guerra mundial.
  • Si los elefantes vuelan, entonces yo soy gorila.
  • Si 1+1=2, entonces 3+5=8.

La proposición “1+1=2, entonces 3+5=8” es verdadera, pero no porque consecuente “3+5=8″ y el antecedente “1+1=2” sean verdaderas, sino que no tiene relación alguna a nivel semántico, es decir, que el consecuente no se pueda deducir del antecedente sino porque el valor de verdad del consecuente (pero no su argumento) se deduce del valor de verdad del antecedente (aquí tampoco se considera el argumento), en otras palabras, la condicional tan solo es una función de verdad binaria. solo juega con los valores de verdad del antecedente y el consecuente.

Esto solo aplica a la lógica proposicional ya que una proposición condicional se simboliza a secas así \( p \rightarrow q\), donde no se toman en cuenta el significado de los argumentos, sino sus valores de verdad y nada mas.

En vista de este pequeño detalle, se diferenció dos tipos condicionales, una de ellas ya la estudiamos y la llamamos condicional material, la otra, la que vamos a  referirnos a continuación es la implicación.

Por tanto, la condicional material concluye sus valores de verdad de las proposiciones y no desde su argumento. Tengan en cuenta que la la lógica proposicional solo se centra en los valores de verdad de las proposiciones únicamente, unica limitacion de la lógica proposicional.

Tipos de proposiciones condicionales.

Las proposiciones condicionales que presentaremos ahora son derivadas de la proposición del tipo p → q, estas se clasifican en recíproca, inversa y contrarrecíproca. Comencemos con la primera.

PROPOSICIÓN recíproca

Literalmente hablando, la proposición recíproca es cuando se intercambian las posiciones mutuamente el antecedente y el consecuente en una proposición condicional. Simbólicamente podemos definirlo de la siguiente manera.

DEFINICIÓN de PROPOSICIÓN RECÍPROCA

Sea la proposición condicional p → q se le llama proposición recíproca a la proposición q → p.

Ejemplo de proposición recíproca

Caso 1: Sea la siguiente proposición condicional:

  • p = Si sale el sol, entonces saldré de casa.

La palabra “Sale el sol” por si solo es una afirmación, pero no demostrable, no puedes hacer que salga el sol porque simplemente se diga “Sale el sol“, no tienes voluntad sobre las estaciones climatológicas.

Pero la expresión “Si sale el sol” es un pronóstico, donde se puede decir que es verdadero o falso según la circunstancias. Simbolizando “r = sale el sol“, este sería el antecedente de la proposición p.

La expresión “Saldré de casa”  es tan solo una orden, una acción, pero la expresión “entonces, saldré de casa” es una consecuencia, una conclusión de una causa. Simbolizando “s = saldré de casa“, este sería el consecuente de la proposición p. Nuestra proposición condicional quedaría así:

  • p = r → s

Y su proposición recíproca esta representada así:

  • p´ = s → r

Nuestra nueva proposición recíproca sería:

  • Si salgo de casa, entonces saldrá el sol.

Como vemos, esta es una proposición condicional absurda, no necesitamos analizar tanto para saber que nuestro sentido común indica lo ilógico que es esta proposición. Por tanto, la proposición condicional p que definimos no tiene una proposición recíproca.

Caso 2: Sea la proposición condicional

  • Si x es un número par, entonces es divisible por 2.

Su proposición recíproca sería:

  • si x es divisible por 2, entonces es un numero par.

Lo cual tiene sentido, esto es, tanto r → s como s → r son verdaderos, donde “r = x es un numero real” y “s = x es divisible por 2″.

Por tanto, no todas las proposiciones condicionales puede tener una proposición recíproca, del ejemplo anterior del caso 1, observe también que r y s no son proposiciones, son enunciados abiertos. Las proposiciones condicionales también tiene antecedentes y consecuentes como enunciados abiertos, esta peculiaridad solo pasa con los condicionales y bicondicionales.

Desde el punto de la inferencia lógica, la reciproca de una proposición es condición necesaria pero no suficiente para que sean equivalentes, es decir p → q ≠ q → p.

Proposición inversa

Una proposición inversa es la negación del antecedente y del consecuente de una proposición condicional. Como en el caso anterior, tampoco resulta ser una equivalente, pero antes de explicar este punto con un ejemplo, veamos su definición formal.

Definición de proposición inversa

Sea la proposición condicional p → q llamamos proposición recíproca a la proposición ~ p → ~ q.

Ejemplo de proposición inversa

Dada la proposición del tipo p → q:

  • Si camino, entonces avanzó.

Su proposición inversa ~ p → ~ q, sería:

  • Si no camino, entonces no avanzo.

Como vemos, tanto la proposición p → q y ~ p → ~ q son verdaderas.

No todas proposiciones condicionales tiene su proposición inversa. Téngase en cuenta que la proposición recíproca como la proposición inversa son proposiciones condicionales.

De la misma manera como la proposición recíproca, la inversa de una proposición desde el punto de vista de la inferencia lógica, indica que es condición necesaria pero no suficiente, por tanto, una no implica a la otra.

Proposición contrarrecíproca

Una proposición contrarrecíproca de una proposición condicional es como una proposición recíproca pero con el antecedente y el consecuente negado, veamos su definición formal.

Definicion de proposición contrarrecíproca

Sea la proposición condicional p → q se le llama proposición contrarrecíproca a la proposición ~ q → ~ p.

Ejemplo de proposición contrarrecíproca

Veamos la siguiente proposición del tipo p → q y son:

  • Si las cifras de x suman números múltiplos de 3, entonces x es múltiplo de 3.

Su proposición contrarrecíproca ~ q → ~ p, sería:

  • Si x no es múltiplo de 3, entonces las cifras de x no suman números múltiplos de 3.

Tanto la proposición condicional original del tipo p → q y su contrarrecíproca ~ q → ~ p son verdaderas y no contradictorias.

Las dos primeras proposiciones condicionales como la recíproca, la inversa no siempre existen y no pueden derivarse de la condicional material cosa que ya explicamos en ejemplos anteriores.

Si embargo, la proposición contrarrecíproca es la única que pasa la prueba de condición suficiente y necesaria, si realizamos una tabla de verdad de la bicondicional entre la tabla de verdad de la proposición condicional y de su contrarrecíproco, resulta ser una tautología y por tanto una equivalencia lógica, por su equivalencia, se escribe así:

p → q ≡ ~ q → ~ p

Se le conoce como ley de transposición y por lo general es usado como demostración indirecta. Existen diferentes tipos de demostraciones matemáticas pero solo trataremos la que hemos planteado para una próxima entrada. Ahora vamos a ver unas diferencias entre la implicación y la condicional material para el siguiente apartado.

Diferencias entre IMPLICACIÓN y condicional material

Claro que existe una diferencia entre la condicional material y la implicación lógica a pesar de su sutileza; para comenzar, hay que entender que la implicación es una afirmación contundente no probabilística, la condicional es lo contrario, habla de lo que podría ocurrir o suceder, más no afirmar si ocurrirá algo con total seguridad, es por ello que se le asignan diferentes valores de verdad.

También existe otro punto a considerar, la condicional material se expresa a nivel sintáctico con respecto a los argumentos (solo en lógica proposicional) y sus únicos valores semánticos serían el de ser verdadero o falso.

En cambio, la implicación se centra más en el aspecto semántico (tiene en cuenta literalmente los argumentos, esto se estudia como mayor amplitud en lógica de predicados), esto es, tanto la premisas o antecedentes y la conclusión o consecuentes tiene muy en cuenta su significado y de lo que se esta hablando por lo que “Si me como una manzana, entonces hoy hará calor“, sería un sin sentido para la implicación.

Por último, para la implicación, debe existir una causa para un efecto, cosa contraria que no pasa con la condicional material, si bien la causa puede ser falsa, el efecto puede ser verdadero, significa que la conclusión no ocurrió según las premisas, entonces, ¿que lo generó?, esto significa que debe existir alguna premisa causante para que la conclusión se de, lo que significa que faltan datos.

En base al párrafo anterior decimos entonces que la condicional material es incompleta, por lo visto, este tipo de conectivos lógicos le faltan datos para afirmar la razón de ser de la conclusión tal cual es. Veamos de estas diferencias.

Ejemplo de la diferencia entre la condicional material y la implicacion

Sean las siguientes proposiciones:

  1. Si mañana es año nuevo, entonces me iré de paseo.
  2. Mañana es año nuevo, por tanto me iré de paseo.

La primera proposición pronostica un suceso, un evento, la segunda confirma algo, nos dice que es obvio, que la conclusión ocurre por culpa de la premisa. por causa de la premisa.

Escribamos la proposición 1 de la siguiente manera:

  • ⏞(

Para la implicación, siempre resulta ser verdadera por que afirma o niega sin rodeos una proposición de la siguiente manera:

  • "Mañana es año nuevo,por tanto,me iré de paseo"

La implicación simplemente afirma, no se le puede dar valores de verdad a ciegas de verdadero o falso como en la condicional material, simplemente si digo que “sale el sol”, por tanto y obviamente “será de día” es un suceso inevitable.

Falacia de la condicional material: negación del consecuente

En el ejemplo anterior, la conclusión depende únicamente de la premisa, porque si negamos la premisa, también negamos la conclusión y por tanto, la proposición siempre será verdadera, pero no se puede hacer lo mismo con la condicional material, se cae en una falacia bien grande.

Esta falacia se llama negación del consecuente y resulta que la conclusión pueden darse incluso cuando el antecedente es falso, pero solo es posible si tratamos a la condicional material desde la perspectiva semántica de sus argumentos y no solamente desde sus valores de verdad (pero eso es otro tema a tratar).

Por lo que la conclusión siempre dependerá de la premisas causantes y eso es lo que pretende la implicación lógica.

También se dice que en una implicación, el antecedente lleva la verdad del consecuente por lo que siempre sera una verdad definitiva sin contradicciones.

Por ello, la implicación es la base de los teoremas matemáticas, porque siempre hay una hipótesis y una tesis, donde hipótesis lleva la verdad de la tesis. 

Cosa contraria que podría ocurrir con la condicional material, ya que cualquier prueba falsa o verdadera de un antecedente puede dar como resultado una conclusión siempre verdadera, por tanto, elegimos la implicación como base principal para cualquier demostración matemática.

En la sección donde trato la inferencia lógica describo con mayor detalles estas diferencias, con ello, terminaría la confusión que existen entre estas dos.

Pero hay que tener cuidado cuando usamos la condicional material coloquialmente (donde siempre es inevitable la semántica de los argumentos), ya lo explique en el ejemplo de la diferencia entre la condicional y la implicación donde mencionó que este tipo de argumentos pueden ser una falacia que muchas veces se puede pasar desapercibido.

representación simbólica de la implicación

Para dos proposiciones p y q, la representación simbólica de la implicación es \( p \Rightarrow q \) unicamente verdadera. por tanto, su tabla de verdad sería únicamente la siguiente:

pqp ⇒ q
VerdaderoVerdaderoVerdadero
FalsoFalsoVerdadero

 

Como se ha dicho que la verdad del antecedente lo transfiere al consecuente, en caso contrario no es una implicación y decimos que p no implica q y se puede simbolizar con la siguiente tabla de verdad.

pqp ⇏ q
VerdaderoFalsoFalso
FalsoVerdaderoVerdadero

Si encontramos dos proposiciones moleculares con una condicional material dominante donde vemos que todos los valores de verdad son verdaderas, decimos que es una tautología, entonces la condicional material cumple los valores de verdad de la implicación lógica.

Aunque considerarlo como tautología también puede presentar un problema ya que tendríamos que aceptar la combinación “Falso ⇒ Verdadero = Verdadero“.

Esta relación tampoco dice nada si el significado de los argumentos están considerados o no. Por cuestiones practicas, la implicación lógica se transformaría en la condicional material solo por cuestione operacionales pero manteniendo la semántica de los argumentos de la proposición original.

Consultaré otras referencias para subsanar este problema de la condicional y la relación con la implicación lógica, por lo pronto, quedará como punto pendiente para próximas actualizaciones de mi contenido.

Propiedades de la condicional material

Estas propiedades se encuentran relacionadas con la implicación lógica de manera simbólica para que puedan diferenciarse como la lógica de la condicional actúa sobre si misma. Sean las proposiciones Proposición pProposición q y proposición r, tenemos:

  • Ley distributiva: p → ( Proposición q → r ) \Rightarrow ( p → Proposición q ) → ( p → r )
  • Transitividad: ( p → Proposición q ) → ( Proposición q → r) = ( p → r )
  • Conmutatividad del antecedente: p → ( Proposición q → r) = Proposición q → ( p → r)
  • Ley de identidad: p → p
  • p → Proposición q = ~ p ∨ Proposición q, podriamos decir que la condicional lógica es un tipo de disyuncion.
  • ~ (p → Proposición q ) = p ∧ ~ Proposición q, la negación de la condicional es un tipo de conjunción.

similitudes y diferencias de la condicional con la GRAMÁTICA y las matemáticas

Existen algunas similitudes con la condicional en gramática con la condicional matemática en lógica, para la gramática, los argumentos condicionales dependen del tiempo, indica lo que sucederá para después (si es que sucede), es por ello que habíamos dicho que la condicional es probabilística de lo que podría ocurrir y es la razón de porque tomas diferentes combinaciones de valores de verdad de sus variables proposicionales que las contiene.

Veamos estas similitudes como un nuevo y auxilar apartado para esta sección.

Modo condicional

En gramática, modo se refiere a la modalidad y este indica la comparación del enunciado proposicional con su sentido común o lógica de la realidad y ser consciente de que el argumento es el correcto y distinguir lo real (el contenido de la realidad con lo no real) por parte del hablante, en concreto, es la actitud del hablante del argumento con respecto al contenido concordante con la realidad.

La condicional en lingüística es un tiempo verbal, porque habla siempre en pasado, presente y futuro y siempre se refiere para sucesos hipotéticos y de posibilidad, por ello también se le llama modo potencial, porque es potencialmente posible. Por ejemplo:

  • Si ella se viste con el vestido que le compré, entonces iremos con mis amigas.   … (Argumento 1)

Esta esta es una típica proposicional condicional y habla del futuro, sin embargo, en lingüística, existen condicionales que indica un pasado probable. Por ejemplo:

  • Si ella se hubiese puesto el vestido que le compré, entonces ya habríamos salido con mis amigas.  … (Argumento 2)

Este es una condicional del pasado, pero no sabemos si realmente sucedería si se cumpliese la premisa de “ponerse el vestido que le compraron”. Por lo general, en lógica proposicional, usualmente hacemos uso de aquellas proposiciones condicionales que hace referencia al futuro.

En lingüística, existen otros condicionales que no son proposiciones, aquí unos ejemplos:

  • Necesito que hagas algo por mi
  • Necesitamos que hagas por mi

Estos enunciados no son proposiciones y no son aceptados como tal en lógica, si bien, indica algo del futuro, no se puede decir que son verdaderos o falsos, para este caso, la palabra “hagas” es un verbo condicional pero no es una proposición condicional.

Existen otros tipos de condicionales en lingüística (aunque realmente solo son conjugaciones), pero como estamos en un curso de matemática, finalizamos este punto hasta aquí, tan solo menciono este punto como apartado auxiliar, y aquí termina esta sección.

Fin de la entrada número 5

Y con esto finalizamos con el controvertido conectivo lógico de la condicional, hemos visto sus debilidades y lo poco estricto para poder fundamentar argumentos.

Para este tipo de inconvenientes, nace la implicación que es una condicional más estricta y que conecta semánticamente tanto el antecedente como el consecuente. Lo que intenta la implicación es que la conclusión depende únicamente de lo que diga el antecedente.

Y eso es todo amigos, de esta manera, finalizo esta entrada, el siguiente comenzaremos a discutir la bicondicional que en resumidas cuentas, es más fácil de entender que la condicional material, nos vemos en la próxima entrada y gracias por todo, bye.

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Condicional Material
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2018-08-10T00:52:44+00:00