1. Axioma De Los números Reales

Tal vez uno de los mayores problemas que travesaron los matemáticos desde antes de 1900 es la correcta definición de los números reales ya que los números irracionales como √2 eran tan inimaginables como intentar definir lo que se entendía por el concepto de punto o peor aún, intentar definir el color azul para un niño de 5 años.

La teoría axiomática fue unos de los intentos (mas no el primero) en lograr definir los números reales pero resulta ser una teoría incompleta, por poner un ejemplo, para demostrar los teoremas de la teoría exponentes para una exponente real no suficientes con los axiomas de campo y de orden, pero sirve de base para definir otras teorías que desarrollaremos en secciones posteriores y junto con todas ellas serán condiciones necesarias para definir correctamente el concepto de número real (sobre todo los irracionales) y demostrar propiedades que si bien son insuficientes únicamente con la teoría axiomática pero suficientes con el axioma del supremo.

Dicho esto, comencemos con la teoría axiomática que fue desarrollado por el físico y matemático David Hilbert.

♠ Acordeón

Los conceptos que verán a continuación son puramente opcionales, algunas terminologías que usaremos no muy a menudo en el tema central de la sección son explicadas con detalle en este acordeón, pero puedes pasar de largo y seguir con el tema central sin perjudicar la lógica del desarrollo de la teoría.

Ya habíamos estudiado en un capítulo de relaciones matemáticas la sección de relaciones binarias. Si tenemos un conjunto A y queremos relacionarlo con algunos elementos del mismo conjunto, no necesariamente iguales, como pueden ser los elementos x e y tal que pertenezcan al conjunto A, entonces escribimos la relación entre estos elementos con el par ordenado (x,y) respetando el orden tal que (x,y)≠(y,x).

El producto cartesiano A×A  representa todas las combinaciones posibles entre sus elementos representado por los pares ordenados donde (x,y)∈A×A, pero si queremos relacionar algunos pares ordenados y no necesariamente con todo el conjunto del producto cartesiano, entonces existe otro conjunto que toma algunos elementos de A×A , lo representamos por la letra R (no tiene nada ver con los reales) tal que R⊆A×A.

Dijimos que (x,y) estaban relacionados, esta relación esta determinado por R tal que (x,y)∈R⊆A×A, , ¿Pero como están relacionados?, sabemos que todo conjunto cumple una propiedad p, entonces la relación R que representan aquellos pares ordenados que relaciona algunos elementos de A cumple alguna propiedad p(x,y) y se escribe:

R={(x,y)∈A×A|p(x,y)}

De aquí, en lugar de usar el concepto de relación binaria, podemos definir su equivalente, se estudió en la sección de correspondencia, en este caso, la propiedad (x,y) es la correspondencia simbolizado de la siguiente manera:

p:A→A

Las expresiones p:A→A y R⊆A×A significa exactamente lo mismo, solo que la primera está definida desde la propiedad p(x,y) y la segunda desde el conjunto relación R. Si por ejemplo definimos una propiedad arbitraria p(x,y):y=x^2, podemos escribir la relación de la siguiente manera:

R={(x,y)∈A×A|y=x^2 }

Usando el concepto de correspondencia donde p(x,x^2), escribimos:

p(x,x^2 ):A→A

Significa que tanto x como x^2 pertenecen a A, como vemos, el operador potencia cuadrada ha operado sobre un elemento para votar otro valor distinto. ¿Pero que pasaría si queremos operar para dos valores distintos y nos vote un tercer valor?, en este caso deberíamos definir 3 elementos de A. Veamos el siguiente apartado opcional.

Cuando comparamos dos conjuntos tal que cumple una propiedad p(x,y) como por ejemplo x≤y, y=x^2 o y=3x, donde (x,y)∈R y ∀x,y∈A, tal que:

R={(x,y)∈A×A|x≤y}

ó

R={(x,y)∈A×A|y=x^2 }

ó

R={(x,y)∈A×A|y=3x}

Generalmente lo hacemos con un máximo sobre dos elementos que pertenecen a A y estas condiciones siempre está determinada por la relación R según una propiedad definida. Sin embargo, sumar y multiplicar dos elementos no relacionada nada, de hecho, genera otro nuevo valor donde no sabemos si pertenece al conjunto A. Si tales nuevos valores no existen en A, significa que no existe la suma ni la multiplicación en A.

En otras palabras, si los elementos no componen un nuevo valor dentro (interna) de A, entonces no se puede establecer ninguna ley de suma y multiplicación en A. Nuestro propósito es que tales operaciones estén definidas en A, a esto se le llama ley de composición interna y es lo que trataremos brevemente a continuación:

Definimos la propiedad p(x,y,z):x+y=z  tal que x,y,z∈A, la relación definida sería:

R={(x,y)∈A×A|x+y=z∧z∈A}

Esta relación significa que la suma también pertenece al conjunto A, pero una manera correcta de escribirlo es de la siguiente manera: vemos que existe una relación entre el par (x,y)∈A×A  y x∈A  por medio de la operación suma (+), significa que dicha relación, lo llamaremos , pertenece al producto cartesiano (A×A)×A  donde (x,y,z)∈(A×A)×A, y lo expresamos así:

P={(x,y,z)∈(A×A)\×A|p(x,y,z):x+y=z}

Tenga en cuenta que (A×A)×A  es lo mismo que escribir A×A×A, la razón de los paréntesis es para indicar solamente que A×A es el conjunto de partida y A es el conjunto de llegada. Como las relaciones binarias generalmente son una parte del producto cartesiano, lo escribimos en la forma inclusiva:

P⊆(A×A)×A

Si existe una propiedad p, entonces desde la definición de correspondencia, escribimos su sinónimo de esta relación y es:

p:A×A

Como la propiedad p es la que define la suma (+), escribimos:

+:A×A

Esta correspondencia es la ley de composición interna para la suma y para la multiplicación es análoga:

⋅:A×A

De manera general, si existe una operación arbitraria * que define una relación que contiene al par (a,b)∈A×A  tal que a*b=c  donde a su vez c∈A, entonces estamos definiendo una ley de composición interna. El operador * puede representar cualquier criterio que permita realizar operaciones para obtener un nuevo elemento que pertenezca a un conjunto dado donde admita dicha operación.

Esta correspondencia es una aplicación o función ya que una operación entre dos elementos únicos de un conjunto no puede determinar dos valores distintos, por ejemplo, multiplicar dos números enteros le corresponde solo un único entero y no otro. De esta manera, definimos la ley de composición interna de la siguiente manera:


Definición de la ley de composición interna.

Se llama ley de composición interna u operación interna sobre un conjunto  a toda aplicación de la forma.


Es decir, si a∈A  y b∈A  entonces a*b∈A. Los ejemplos que puede cumplir esta definición son la suma y la multiplicación para los naturales N, enteros Z, racionales Q, reales R y los complejos C. Pero en esta sección estudiaremos la teoría axiomática de los números reales que nos corresponde.

Definición Axiomática de los números reales

Llamamos sistema de números reales al conjunto denotado por el símbolo R y cumple con dos operaciones internas llamadas adición y multiplicación, junto con el axioma de distribución de la multiplicación respecto a la suma, axiomas de igualdad, axioma de orden y el axioma del supremo.

Si quitásemos el axioma del supremo, podríamos definir el mismo concepto para los naturales N, enteros Z y racionales Q, sí, además quitamos el concepto de división a los racionales, la operación interna de la multiplicación no tendría un inverso multiplicativo y se reduciría únicamente a los enteros Z, si quitásemos el concepto de diferencia o resta en los reales, no existiría un inverso aditivo y los reales se reduciría únicamente a los naturales N.

Ahora veamos cada una de estas condiciones que definen axiomáticamente a los números reales.

Índice De La Entrada

Construcción de los números reales

La teoría axiomática de los números reales como los axiomas de la suma y multiplicación, mas conocidos como los axiomas de campo y los axiomas de orden representan posiblemente una manera de explicar los números racionales, sin embargo, no indica ninguna diferencia con los números irracionales ni explica su existencia, es por ellos que hace falta un ultimo axioma, se le conoce como el axioma del supremo o de completitud que explicaremos brevemente mas adelante.

Este axioma es capaz de darle sentido en toda su extensión a los números reales tal que los racionales e irracionales descansan sin ningún problema lógico en un único conjunto.

Bajo esta consideración, si representamos el conjunto de los números reales, racionales e irracionales por los símbolos R, I y Q, significa que R=I∪Q, otro punto a considerar aquí es que los números racionales e irracionales son dos conjuntos totalmente diferentes y no tienen elementos en común, esto implica simbólicamente que I∩Q=ϕ, en otras palabras, I y Q son conjuntos disjuntos. También se pueden clasificar alternativamente los números reales como trascendentes y algebraicos desde otro contexto, pero esto lo desarrollaremos en secciones posteriores.

Los números reales comprende otras clasificaciones que lo veremos en breve y cumple los axiomas que que mencionaremos mas adelante.

Clasificación de los números.

Números Naturales

Nace por la necesidad de contar, siguen un orden creciente desde la unidad y tiene un precedente muy bien definido, pero esto requiere una definición simbólicamente más adecuada que no haremos aquí en este momento. Se representa informalmente por N={0,1,2,3,4,…} y satisface el principio de inducción.

Números enteros

Era necesario añadir los números negativos y nace por la necesidad de hacer mediciones como por ejemplo la temperatura por debajo de los 0 grados Celsius. Su representaron informal está determinado por el conjunto Z={…-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5…}..

Números racionales

Era el más explotado por los pitagóricos entre otras escuelas del saber de aquellas épocas. Se creía que los números racionales representaba a todos los números conocidos y sin conocer, nace por la necesidad de indicar porciones de una cantidad definida, como repartir una misma manzana en diferentes partes o dividir un segmento por otro segmento como el conocidísimo teorema de Thales donde implicaba proporcionalidad entre segmentos no paralelos dividido entre 3 segmentos paralelos impartidos en los cursos de geometría elemental. Los pitagóricos consideraban los números y las razones como la esencia de la realidad.

Números reales

Estos números nacieron no solo por necesidad, también vino con mucho dolor, porque si bien era fácil comprender el significado de un número racional, los pitagóricos no sabían cómo catalogar los números irracionales como por ejemplo 1^2+1^2=x^2  donde x=√2  pensaron que era otro número racional, pero no lo pudieron demostrar y se catalogaron en conmensurables e inconmensurables. Desde entonces se intentó de buscar maneras de definir correctamente un número real y lo lograron, pero esto se ve en secciones posteriores.

Axiomas de campo

Un campo, cuerpo o anillo (en caso que no tenga inversos) es un término apropiado muy usados en estructuras algebraicas cuando la operación interna * representa a las operaciones habituales adición y multiplicación. Para todo par de números x, y y z, se cumplen los siguientes axiomas de adición y multiplicación:

I. Axiomas de la adición

Sea un operador llamada suma simbolizado por “+” y definido sobre los números reales R, entonces decimos que la suma es una ley de composición interna u operación interna +:R×R→R  tal que las componentes de la terna (x,y,z)∈(R×R)×R cumple los siguientes axiomas de la adición:

 I0. Cerradura de la adición.

Para todo par de números x y que pertenecen a R, existe un único elemento llamado suma y denotado por x+y pertenecer a R.
∀x,y∈R|x+y∈REsta ley se le conoce como la propiedad de cerradura de la adición, sin embargo, este axioma queda implícito en +:R×R→R, ya que resulta ser una aplicación (o función) y obliga que x+y sea único, para que me entiendas mejor, mira el titulo Ley de composición interna y el concepto de aplicación en el acordeón.

I1. Ley conmutativa de la adición.

Para todo par de números reales x e y, se cumple x+y=y+x, es decir:
∀x,y∈R|x+y=y+xEsta ley se llama propiedad conmutativa de la adición.

I2. Ley asociativa de la adición.

Para cualquier terna de números reales xy z, se cumple (x+y)+z=x+(y+z), esto es:
∀x,y,z∈R|(x+y)+z=x+(y+z)Esta ley la llamaremos propiedad asociativa.

I3. Ley del elemento neutro de la adición.

Para todo número x∈R, existe un numero llamado cero y denotado por 0 tal que +0=x, esto es:

∀x∈R ∃!0∈R|x+0=xEsta ley la llamaremos propiedad del elemento neutro aditivo.

I4Ley del elemento opuesto de la adición.

Para todo número x∈R, existe un único opuesto denotado por -x  tal que x+(-x)=0, es decir:

∀x∈R ∃(-x)∈R|x+(-x)=0Esta ley la llamaremos propiedad del elemento opuesto o inverso aditivo.

II. Axiomas de la multiplicación

Sea un operador llamada multiplicación simbolizado por “⋅” (si, un punto) y definido sobre los números reales R, entonces decimos que la multiplicación es una ley de composición interna u operación interna  tal que las componentes de la terna (x,y,z)∈(R×R)×R cumple los siguientes axiomas de multiplicación:

II0. Cerradura para la multiplicación.

Para todo par de números x e y que pertenecen a R, existe un único elemento llamado producto y denotado por x⋅y pertenecientes a R. A partir de ahora, el producto x⋅y la escribiremos así xy.

∀x,y∈R|xy∈R

Esta ley la llamaremos propiedad de la cerradura para la multiplicación. De la misma manera como la operación interna de la adición, la propiedad de la cerradura está incluida en la propiedad interna .

II1. Ley conmutativa de la multiplicación.

Para todo par de números x e y, se cumple xy=yx, es decir:

∀x,y∈R|xy=yx

Esta ley la llamaremos la propiedad conmutativa de la multiplicación.

II2. Ley asociativa para la multiplicación.

Para cualquier terna de números x, y y z se cumple (xy)z=x(yz), en otras palabras:

∀x,y,z∈R|(xy)z=x(yz)

II3. Ley del elemento neutro para la multiplicación.

Para todo número x∈R, existe un número llamado unidad denotado por 1 tal que 1≠0  donde x⋅1=x, simbólicamente:

∀x∈R ∃!1∈R|x⋅1=x

Esta ley se llama existencia del elemento neutro multiplicativo.

II4. Ley del opuesto o inverso multiplicativo.

Para todo número x≠0, existe un opuesto denotado por 1/x  tal que x(1/x)=1, es decir:

∀x∈R ∃(1/x)∈R|x(1/x)=1

Llamaremos a esta ley existencia del elemento opuesto o inverso multiplicativo.

III. Axiomas de la distribución respecto a la suma

Este axioma es muy usado para demostrar las propiedades de productos notables del curso de álgebra elemental que ya hemos publicado en una sección exclusiva de la enseñanza media. La propiedad dice:

Para cualquier terna de números reales x, y y z se cumple que (x+y)z=xz+yz


Esta ley se llama propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

IV. Axiomas de igualdad

Estos axiomas son, en otro ámbito, definiciones en la sección de relaciones binarias, pero cuando digo “definiciones “, significa que las relaciones binarias no siempre cumplen estas propiedades, pero para el caso de los números reales, estas propiedades son inevitables e indemostrablemente ciertas, veamos:

IV0. Propiedad exclusiva de la igualdad.

 Para todo x, y y z, o x=y o x≠y.

∀x,y∈R|x=y△x≠y

El símbolo en forma de triángulo △ se usa para representan a la disyunción exclusiva.

IV1. Propiedad reflexiva de la igualdad.

Para todo número real x, cumple que x=x.

∀x∈R|x=x

Esta ley se llama propiedad reflexiva de los números reales.

IV2. Propiedad simétrica de la igualdad.

Para todo par de números reales x e y, cumple que si x=y, entonces y=x.

∀x,y∈R|x=y⇔y=x

Esta propiedad sirve para elegir con que valor trabajar, llamamos a esta ley propiedad simétrica.

IV3. Propiedad transitiva de la igualdad.

Para cualquier terna de números reales x, y y z cumple que sí x=y y y=z, entonces x=z.

∀x,y,z∈R|x=y∧y=z⇔x=z

Muy útil para realizar sustituciones, esta ley se llama propiedad transitiva.

La relación de igualdad simbolizado por “=“ definida sobre los números reales R para las 3 ultimas propiedades IV1, IV2 y IV3 mencionadas anteriormente cumple lo que llamamos relación de equivalencia.

IV4. Ley de unicidad de la adición.

Para cualquier terna de números reales x, y y z, si x=y, entonces x+z=y+z.

∀x,y,z∈R|x=y⇔x+z=y+z

Algunos autores (peruanos) intentan demostrar este axioma, sin embargo, el procedimiento no resulta tan riguroso como se espera por lo que opté cogerlo como axioma. Esta ley la podemos llamar unicidad de la adición.

IV5. Ley de unicidad de la multiplicación.

Para cualquier número real x, y y z, si x=y, entonces xz=yz.

∀x,y,z∈R|x=y⇔xz=yz

Como en el caso anterior, esta ley la podemos llamar unicidad de la multiplicación. La razón de llamarlo unicidad es porque cualquier valor real que sumemos a los dos miembros, no resulta ser “no iguales “, es decir, son lo mismo y únicos.

V. Axiomas de orden

Vamos a definir unos subconjuntos de los números reales y que a su vez son disjuntos, comencemos por los reales positivos R^+.

Definición de los números reales positivos

Llamaremos números reales positivos denotado por R^+ y además R^+⊊R  tal que cumple los siguientes axiomas:

  • V0: ∀x,y∈R^+⇒x+y∈R^+∧xy∈R^+, tenga en cuenta que lo opuesto no se cumple.
  • V1:∀x≠0|x∈R^+△-x∈R^+, el triángulo △ refiere a la disyunción exclusiva.
  • V2:0∉R^+.

Y para los negativos, lo definiremos así.

Definición de los números reales negativos

Llamaremos números reales negativos denotado por R^- tal que:

R^-=R-R^+-{0}

De R^-=R-R^+-{0}  implica que R^+=R-R^--{0} que representan a los reales positivos, de aquí se deduce que R=R^+∪R^-∪{0}, , como los reales positivos, negativos y el conjunto  no tiene elementos en común, suele escribirse para los números reales así R=R^++R^-+{0}. . Ahora podemos definir los símbolos referentes a las desigualdades de la siguiente manera:

Definición de las desigualdades

Llamaremos menor que al símbolo “<” y mayor que al símbolo “>”, menor o igual que “≤” y mayor o igual que “≥” tal que cumple las siguientes condiciones:

  • x<y⇔y-x∈R^+.
  • ∀x,y∈R|y>x⇔x<y
  • ∀x,y∈R|x≤y⇔x<y△x=y
  • ∀x,y∈R|x≥y⇔y≤x

Los axiomas de orden son suficientes para demostrar incluso la ley de tricotomia que generalmente se cataloga como axiomas entre otros axiomas que lo presentaremos como teoremas, veamos las mas principales:

Teorema 1:  0<y si y solo si y∈R^+.

Demostración: la demostración es inmediata, tomando la condición 1 de la de la definición de desigualdad y haciendo x=0 queda demostrado el teorema. Cuando y∈R^+ decimos que  es positivo.

Teorema 2: Si x<0, entonces x∈R^-.

Demostración: de la primera condición de la definición de la desigualdad , haciendo , tenemos:

x<0↔0-x∈R^+⇔x<0↔x∈R^+

Centrémonos en -x∈R^+, por la condición 2 de la definición de los reales positivos donde solo es posible que o x∈R^+ o -x∈R^+, pero como -x∈R^+ es verdadera, entonces x∈R^+ es falsa o su equivalente  x∉R^+, aquí jugaremos con los conceptos de los conjuntos. De la definición de los reales negativos R^-=R-R^+-{0}, despejando R^+ implica R^+=R-R^- {0}, remplazando en x∉R^+, tenemos:

x∉R-R^--{0}

Su equivalente sería:

∼(x∈R-R^--{0})

∼(x∈R∧∉R^-+{0})

x∉R∨x∈R^-+{0}

x∉R∨x∈R^-∨x∈{0}

Desde el inicio de la demostración usamos la condición ∀x,y∈R|x<y⇔y-x∈R^+, , donde dice que x∈R  por lo que su opuesto x∉R  queda descartado de la proposición anterior quedando.

x∈R^-∨x∈{0}

Para lograr que x∉0, recuerden la elección original -x∈R^+, , hay un teorema que demostraremos luego y está implícito en los axiomas de campo ya expuestas y dice que -0=0, si elegimos x=0 para la elección, queda:

-0∈R^+⇔0∈R^+

Por lo que resulta ser una contradicción ya que la definición de los reales positivos de la condición 3 que dice 0∉R^+ lo cual queda descartado, entonces la proposición x∈R^-∨x∈{0} se reduce a x∈R^- ya que x∈{0} implica que x=0.

Por tanto, queda demostrado que si x<0  implica que x∈R^-. Decimos entonces que x es negativo.


Nota: esta demostración no lo vas a ver (tal vez) en ningún libro ya que solo es posible desde la definición de los reales positivos, definición que extraje del libro de Apostol, Calculus I.

Teorema 3: ∀x∈R^+⇔-x∈R^-, es decir ∀x∈R^+ es equivalente a  -x∈R^-.

Demostración: partiendo de x∈R^+ y de la condición 2 de la definición de los reales positivos x∈R^+△-x∈R^+, , por las propiedades de lógica, implica lo siguiente:

(x∈R^+ )∧(x∈R^+△-x∈R^+)

Trabajando con  ∼(-x∈R^+) cómo R^+=R-R^--{0}, remplazando, tenemos:

∼(-x∈R-R^--{0})

Descomponiendo, resulta:

∼(-x∈R∧-x∉R^-+{0})

o su equivalente:

-x∉R∧-x∈R^-+{0}

Comencemos a simplificar, de la proposición -x∉R es falsa ya que desde un inicio habíamos establecido que x∈R^+  ya que R^+⊊R, quedando:

-x∈R^-+{0} ó -x∈R^-

Como hemos partiendo de x∈R^+ y de la definición de números reales positivos, la condición 3, nos dice que x≠0, nuestra proposición queda reducida a:

-x∈R^-

Finalmente queda demostrado que  x∈R^+↔x∈R^-. De la misma manera se demuestra que también x∈R^-⇔-x∈R^+, esta propiedad nos ayudará a demostrar el siguiente teorema:

Teorema 4: Para todo x≠0, se cumple que:

x∈R^+△x∈R^-

Demostración: de la condición 2 de la definición de los números reales positivos:

∀x≠0|x∈R^+△-x∈R^+

Como x∈R^-⇔-x∈R^+ o lo que es lo mismo x∈R^-≡-x∈R^+, remplazando en la proposición anterior demostramos finalmente que:

∀x≠0|x∈R^+△x∈R^-

Teorema 5: Si x∈R^-, entonces  x≠0.

Demostración: La demostración es inmediata, partiendo de la definición de los reales negativos:

R^-=R-R^+-{0}

Aquí nos dice evidentemente que 0∉R^-, por tanto x≠0. Una manera mas formal sería:

x∈R^-

Entonces:

x∈R-R^+-{0}

x∈R∧x∉R^+∧x∉{0}

De aquí x∉{0} implica que  x≠0 quedando demostrado el teorema. Tenga en cuenta que si R^-=R-R^+-{0}, entonces 0∉R^-..

Ley de tricotomía de números reales (teorema 6)

Es verdadera una y solo una de las siguientes relaciones:

  • x=0, x∈R^+, , x∈R^-

Demostración: Del teorema 4 se ha demostrado que si x≠0  entonces:

x∈R^+△x∈R^-

Es decir, si x≠0, solo una de las dos proposiciones es verdadera:

x∈R^+,x∈R^-

En caso contrario, si los dos enunciados x∈R^+, x∈R^- resulta ser falsa, debemos demostrar que x=0, en efecto, partiendo de:

x∈R⇔x∈R^++R^-+{0}

x∈R^+∨x∈R^-∨x∈{0}

Pero como indicamos que x∈R^+, x∈R^- deben ser falsas, el enunciado anterior queda reducido en:

x∈{0}

Esto prueba que x=0 y de esta manera queda probado la primera ley de la tricotomía.

Ley transitiva para la relación de orden (teorema 7)

Propiedad transitiva. Para todo número real x, y y z se cumple que x<y y y<z, entonces x<z.

Teorema 8: Si x<y, para todo z∈R  se cumple que x+z<y+z.

Teorema 9: Si x<y, para todo z∈R^+  se cumple que xz<yz.

Teorema 10: Si x<y, para todo z∈R^- se cumple que xz>yz.

Axiomas del supremo y otras construcciones de los reales (introducción)

Este axioma dice que:

Todo subconjunto de S≠ϕ, de números reales acotado superiormente tiene un supremo.

También llamado axioma del extremo superior o axioma de completitud. No indicaremos que significa “acotado superiormente” y “supremo”, esto lo aremos en la próxima sección. Pero expliquemos de que trata este axioma.

Los pitagóricos creían que los racionales era la esencia de la realidad, pero en un triángulo rectángulo encontraron que 1^2+1^2=x^2 donde x^2=2  no era racional, era fácil demostrar su falta de racionalidad de este resultado suponiendo que x=a/b  donde a y b son enteros positivos sin ningún factor en común, o como comúnmente se dice, primos entre sí.

Al realizar el remplazo en x^2=2 siempre existía un factor en común entre a y b donde hace suponer que a es un número par a=2k  donde k es otro entero, esto hacía que a su vez el número b sea también par, esto implicaba que los enteros a y b no son primos entre sí.

Esto demostraba que x no era un número real. En el álgebra elemental podríamos encontrar otras situaciones como por ejemplo x^3=5 o x^2=2/5 donde era fácil demostrar como en el caso anterior que x no era racional.

Mucho menos si queremos intentar encontrar solución de la ecuación 〖10〗^x=7, si hacemos x=a/b para a y b, resultando 〖10〗^a=7^b, lo cual resulta absurdo, pues, solo es posible la igualdad de ecuaciones exponenciales de exponente entero con bases iguales, entre otros ejemplos similares. Tenga en cuenta que muchos números irracionales no se puede demostrar con tan solo igualar a la hipótesis de una fracción irracional irreductible, muchos de ellos resulta ser muy complejos, pero eso es un tema aparte que veremos en otra oportunidad.

El problema de x^2=2  fue tan impactante para los griegos que resolver el valor de x paso en un primer plano, incluso llegaron sacar una tabla de valores lograr una aproximación de √2, como sigue:

xy
111

Este inconveniente suscito una construcción urgente de los números reales donde los irracionales tengan un significado apropiado. Si le hachemos una mirada histórica, los irracionales fueron conocido antiguamente como números inconmensurables, llamado así porque mientras se intentaba realizar una aproximación con números racionales, desde el ángulo decimal, estos números eran cada vez más grandes y aperiódicos como acabamos de ver hace un momento.

Para garantizar la existencia de los números reales, sobre todo de los números irracionales, se han usado múltiples métodos que expondremos en próximas secciones.

Una de ellas es el axioma del supremo, este axioma sirve para darle existencia a los irracionales en los reales, sin embargo, el axioma de supremo resulta (en una entrevista de algunos matemáticos de áreas de matemática abstractas mencionado en el documento “los números reales“ por los autores Karen García Mesa, Yanelys Zaldívar, Celia Gálvez, Dr. Rita Roldán (U. De La Habana)) ser el menos preferido ya uno de los más preferidos para definir y construir los números reales es por el principio de los intervalos encajados que veremos en próximas secciones.

Aparte del axioma del supremo y el principio de los intervalos encajados, también existe otra construcción llamado, a partir de sucesiones de Cauchy según Georg Cantor y la cortadura de Dedekind. Se puede demostrar que cualquiera de estas propuestas es equivalente para la construcción de los números reales, esto lo veremos en secciones posteriores.

Por último, existe una construcción moderna por parte de Thomas Blyth (2005, tomada de la autora VIVIANA ANDREA PATIÑO MUÑOZ (ver referencia), aunque no es su trabajo original, la autora indica la referencia original de esta construcción moderna) usando teorías topológicas y que también veremos en secciones posteriores (muy posteriores luego de desarrollar el curso de topología). Ahora finalicemos en esta sección los teoremas de la teoría axiomática de los numeros reales.

teoremas de los números reales

Ahora presentamos los teoremas que se desprenden de la teoría axiomática y algunos teoremas principales ya expuesta anteriormente.

I. Teoremas de la adición

Teorema I0: El elemento neutro aditivo es único.

Teorema I1: El elemento inverso aditivo es único.

Teorema I2ley de la simplificación para la suma. Para 3 números reales a, b y c, se cumple: a+c=b+c, entonces .

Teorema I4: Para todo a∈R, se cumple -(-a).

  • Es importante resaltar una pequeña definición para la diferencia entre dos números reales.

Definición de sustracción de números reales: Para todo a,b∈R, la suma entre a y su inverso aditivo de b se denota por a-b, es decir:

∀a,b∈R|a+(-b)=a-b

Teorema I5: Dados a,b∈R, existe uno y solo un x∈R tal que a+x=b, además x=b-a.

Teorema I6: Para todo número a,b∈R, se cumple -(a+b)=-a-b.

Teorema I7: -0=0.

Teorema I8: 1≠0.

II. Teoremas de la multiplicación

Teorema II1: El elemento neutro multiplicativo es único.

Teorema II2: El elemento inverso multiplicativo es único.

Teorema II3: Ley de simplificación para la multiplicación. Para todo a,b,c∈R y a≠0, si ab=ac, entonces b=c .

  • Indicamos la definición del cociente de dos números:

Definición del cociente de dos números: Para todo a,b∈R  y a≠0 definimos el cociente b/a así:

a^(-1) b=b/a

Teorema II4: Para todo a∈R-{0} y b∈R, si ab=1, entonces b=a^(-1)..

Teorema II5: Para todo número real a≠0 se cumple que (a^(-1) )^(-1)=a.

Teorema II6: Para todo , se cumple (ab)^(-1)=a^(-1) b^(-1).

Teorema II7Para todo a∈R-{0}, se cumple a⋅a^(-1)=1.

Teorema II8: Para todo número real a,b∈R  se cumple ab=0⇒a=0∨b=0.

Teorema II9: Para todo a,b,c∈R, se cumple a(b-c)=ab-ac.

Teorema II10: Si ab=ac y a≠0, entonces b=c.

Teorema II11Para todo a,b∈R , entonces (-a)b=-ab.

Teorema II12Para todo a,b∈R , entonces (-a)(-b)=ab.

Teorema II13: Para todo a,b∈R , entonces .

Teorema II14: si b≠0, entonces (a/b)b=a.

Teorema II15: si b≠0  y d≠0, entonces .

Teorema II16: si b≠0  y d≠0, entonces .

Teorema II17: Si:  y ademas  b≠0  y d≠0, entonces ad=cb .

Teorema II18: Se cumple  si b≠0 , c≠0  y d≠0.

Todo este álgebra e teoremas son las típicas formulaciones algebraicas elementales de las cuatro operaciones aritméticas, si quiere tener una idea elemental de desarrollo del álgebra de las cuatro operaciones, le invito que visite la sección de operaciones algebraicas.

III. Teoremas de las relaciones de orden

Teorema: Si a≠0, entonces a^2>0 (definición a⋅a=a^2). Este teorema puede servir para definir los números complejos tal que no existe un cuadrado que sea negativo, es decir, ∄a∈R|a^2<0 y si existiese, debería existir un a que no sea real, en este caso, debe definirse otro campo C denominado el campo de los números complejos.

Teorema III1: 1>0.

Teorema III2: a<b, si y solo si -a>-b, particularmente a<0⇔-a>0.

Teorema III3: Si ab>0, entonces a y b son o ambos positivos o ambos negativos.

Teorema III4: Si ab<0, entonces a y b tienen signos opuestos.

Teorema III5: Si a<c  y b<d, entonces a+c<b+d.

Teorema III6: Si a>0, entonces 1/a>0  y si a<0, entonces 1/a<0.

Teorema III7: Si 1/a>0, entonces a>0 y si 1/a<0, entonces a<0.

Teorema III8: Si a,b∈R^+ y a<b, entonces b^(-1)<a^(-1).

Teorema III9: Si a,b,c,d∈R^+  y a<b∧c<d, entonces  ac<bd.

Teorema III10a/b>0 y b≠0  si y solo si (a>0∧b>0)∨(a<0∧b<0).

Teorema III11: a/b<0  y b≠0  si y solo si (a>0∧b<0)∨(a<0∨b>0).

El resto de las propiedades referentes a las desigualdades con respecto a los radicales se realizará en una sección posterior del mismo nombre, es decir, de desigualdades. Fin de la sección.

Referencias

  • Diferentes construcciones del número real — Nestor Octavio Calderon Ramos (U. Nacional De Colombia)
  • Álgebra – Leyes de composición interna | Carlos Ivorra
  • Álgebra I – Leyes de composición | Armando de Rojo
  • Matemática Básica – Sistemas de números reales | Eduardo Espinoza Rojas
  • Matemática Básica – Números reales | Moisés Lazaro
  • Matemática Básica – Números reales | Ricardo Figueroa Garcia
  • Análisis Matemático – Números reales: conjuntos numéricos | Kudriavtsev
  • Axioma de los números reales | Wikipedia
  • Los números reales – Los números reales y el infinito | Carlos Uzcátegui Aylwin
  • Calculus I – Un conjunto axiomático para los conjuntos de números reales | Tom M. Apostol
  • Los números reales | Karen García Mesa, Yanelys Zaldívar, Celia Gálvez, Dr. Rita Roldán (U. De La Habana)
  • Sobre la completez de Hilbert – Construcción de los números reales: completación de la estructura topológica | VIVIANA ANDREA PATIÑO MUÑOZ

Esto solo es el inicio de la teoría de los números reales, faltan otras teorías alternativas que definen a los números reales, la próxima sección desarrollaremos el axioma del supremo, un axioma que incorpora a los números irracionales y le da un sentido mas amplio y llena el hueco que el resto de los axiomas no puede, es decir, el axioma de supremo hace que los números reales sean completos y sin huecos, en otras palabras, llena toda la recta numérica.

Eso ha sido por hoy, nos vemos en la próxima sección, gracias.

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Axioma De Los números Reales
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2018-09-18T22:56:10+00:00