5. Relación De Equivalencia

Hola amigos, hoy les traigo un tema que será auxiliarmente necesario en temas posteriores como la ley de composición interna, definición de los números racionales y reales, por mencionar algunos cuantos.

En esta oportunidad desarrollaremos las relaciones de equivalencia, un tipo de relación binaria que solo hicimos mencion en la sección de relaciones binarias y tiene la propiedad de clasificar los elementos de un conjunto dado junto con algunas propiedades que necesitaremos mas adelante.

♠ Acordeón

Los conceptos que verás en este acordeón ya han sido estudiados en la sección de relaciones binarias excepto lo de partición de un conjunto. Si conoces muy bien estos conceptos, puedes pasar este apartado con toda la confianza del mundo, pero si no estas informado de ellos y te da pereza buscar estos conceptos, aquí te pongo únicamente sus definiciones por si gustas revisarlo ya que haremos uso de ellos.

Definición: Una relación binaria R⊆A^2 es reflexiva si incluye a todos los pares ordenados del tipo (x,x) tal que x∈A.


EjemploTenemos el siguiente conjunto A={1,2,3,4}, la siguiente relación es reflexiva:

R={(1,1),(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)}

Ya que contiene a todos los pares ordenados (1,1)(2,2)(3,3) y (4,4) donde sus primeras o segundas componentes pertenecen al conjunto A. Pero la relación:

R={(3,4),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(1,2)}

No es reflexiva porque falta por lo menos un par ordenado (1,1) tal que 1∈A.

Definición: Una relación definida sobre un conjunto es simétrica si un par ordenado (x,y) que pertenece a una relación, el par ordenado (y,x) también pertenece a dicha relación.


Ejemplo

Sea el conjunto B={1,2,3,4,5,6}, las siguientes relaciones son simétricas:

  • R_1={(1,2),(1,1),(2,1),(4,1),(1,4)}
  • R_3={(5,5)}

Todas estas relaciones son simétricas porque cada una de ellas cumple la condición (x,y)∈R→(y,x)∈R, por ejemplo, para R_1, si existe en su colección el par (1,2), entonces debe incluirse de la misma manera el par (2,1), si se incluye el par (4,1), también debe incluirse (1,4) y el par (1,1) es un elemento simétrico consigo mismo, por tanto, R_1 es una relación simétrica, igualmente para R_2 y R_3 que cumplen la simetría

Definición: Se dice que una relación R definida sobre un conjunto es transitiva si y solo si los pares ordenados  y (y,z) que pertenecen a R, implica que el par ordenado (x,z) pertenezca a R.


Ejemplo: Tomando el mismo conjunto B={1,2,3,4,5,6}la siguiente relación es transitiva:

  • R_1={(3,4),(1,5),(4,5),(2,3),(3,5),(2,5),(2,4)}

La relación R_1 es transitiva porque si los pares (3,4) y (4,5) pertenecen R_1, también el par (3,5) debe pertenecer a R_1, la definición también cumple con el resto de los pares ordenados de B, el par que no se contabiliza es (1,5) ya que no existe un par del tipo (5,n) para que (1,n) pertenezca a R_1, por tanto, esta relación es transitiva.

Ejemplo explicativo:

Sea el conjunto A={a,b,c,d,e,f}, notamos que algunas letras tiene un color especifico, podemos clasificarlo en los conjunto A_1={a,b}A_2={c,d} y A_3={e,f}. Notamos también que ningún de estos conjuntos tienen términos en común, en otras palabras, la intersección entre ellas de par en par es el conjunto vació, simbólicamente:

  • A_1∩A_2=ϕ
  • A_2∩A_3=ϕ
  • A_3∩A_1=ϕ

También llamados conjuntos disjuntos, y la unión de estos tres conjuntos es el conjunto total, esto es:

A=A_1∪A_2∪A_3

Obviamente se cumple que A_1⊆AA_2⊆A y A_3⊆A, llamemos P a la colección de estos conjuntos disjuntos, entonces:

P={A_1,A_2,A_3 }

Esta colección de subconjuntos disjuntos que forman al conjunto total A se le llama partición de un conjunto. Los conjuntos de subíndices de cada subconjunto representado por 12 y 3 se llama indice del conjunto A y se representa con la letra I tal que:

I={1,2,3}

De aquí, en lugar de A=A_1∪A_2∪A_3 escribiremos:

A=⋃_(i∈I)▒A_i

Si los conjuntos que forman al conjunto A son disjuntos, usaremos la notación suma “+” en lugar del símbolo de “∪“, esto es:

A=A_1+A_2+A_3

Como en el caso anterior, también escribiremos:

A=∑_(i∈I)▒A_i

En base a eso, te presento la siguiente definición de partición de un conjunto.


Definición: Para todo conjunto A, se llama partición a toda toda familia de subconjuntos no vacíos de A, disjuntos en pares, tal que la unión de ellas es A. En otras palabras, se llama partición a la familia de subconjuntos P={A_i |i∈I} y cumple las siguientes propiedades:

  1. A_i≠ϕ,∀i∈I (ningún subconjunto es vació)
  2. ⋃_(i∈I)▒A_i =A (la unión de todos los conjuntos es el conjunto total)
  3. ∀i,j∈I|A_i∩A_j=ϕ∧i≠j (dos conjuntos diferentes son disjuntos)

Si la familia P={A_i |i∈I} cumple las 2 primeras condiciones (i, ii), entonces se dice que es un recubrimiento de A, esto implica que toda partición es recubrimiento, pero no todo recubrimiento es una partición.
Finalmente, para un conjunto A y una partición P={A_i |i∈I}, donde implica que:
∀i≠ϕ|A=∑_(i∈I)▒A_i
Ahora comencemos con el tema principal que nos corresponde.

Una relación binaria es una relación de equivalencia si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

En otras palabras, si R es una relación de equivalencia, debe cumplir las siguientes propiedades:

  • Es reflexiva: ∀x∈A(x,x)∈R.
  • Es simétrica: (x,y)∈R→(y,x)∈R
  • Es transitiva: [(x,y)∈R∧(y,z)∈R]→(x,z)∈R.

Observe que las dos primeras no tiene el cuantificador “para todo” simbolizado por ∀, no es una obligación que deba cumplirse para todo los elementos de A, excepto la primera, la relación reflexiva.

Por su reflexividad, implica que el dominio de R es el mismo conjunto A lo que implica que la relación de equivalencia tenga como dominio al conjunto A. Veamos unos ejemplos:

Ejemplos de relación de equivalencia

Ejemplo 1: Sea el conjunto A y sea la siguiente relación:

R={(a,b)∈A×A|a es hermano de b}

¿Es una relación de equivalencia?, Vamos a averiguarlo:

  • a es hermano consigo mismo, es reflexiva(a,a)∈R.
  • Si a es hermano con b, entonces b es hermano con a, es simétrico(a,b)∈R, entonces (b,a)∈R.
  • Si a es hermano con b y b es hermano con c, entonces a es hermano con c, esto es transitivo(a,b) y (b,c) pertenecen a R, implica que (a,c) pertenece a R.
Gráficamente lo podemos representar de la siguiente manera:
Gráfica de la relación de equivalencia

Las flechas de color verde indica que la relación es reflexivo, es decir, se relaciona con su reflejo, consigo mismo.

La flecha de color rosa indican que la relación es simétrico. Como esta imagen: figura simétrica (icono cortesía de flaticon), que tiene una geometría simétrica.

Y las flechas de color celeste indican que la relación es transitiva. Que le transfiere las propiedades de una cosa a la otra.

Ejemplo 2: Sea el conjunto A={1,2,3,4} y una relación dada:

R={(1,1),(1,4),(4,1),(4,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}

Observe que este es una relación de equivalencia, en efecto:

  • Cumple la propiedad reflexiva:
    Los pares (1,1)(2,2)(3,3) y (4,4) pertenecen a R para todos los elementos de A.
  • Cumple la propiedad simétrica:
    Los pares (1,4), (4,1) pertenecen a R, estos otros (2,3), (3,2) pertenecen a R y el resto de los pares son simétricas consigo mismos.
  • Cumple la propiedad transitiva:
    Si (1,4) y (4,4) pertenecen a R, entonces (1,4) pertenece a R. El resto de los pares de la relación cumplen esta propiedad.
Si tomamos todas las primeras componentes de R lo cual resulta el origen de o dominio simbolizado por D(R), resulta:
D(R)={1,2,3,4}
Resulta ser igual al conjunto A como habíamos indicado anteriormente.

¿Que se entiende por equivalencia?

La relación de equivalencia sirve para indicar que los elementos de un conjunto compartan las mismas características o propiedades con otros elementos del mismo conjunto. Esto ayuda a clasificar los elementos de una relación que esta sujeto a ciertas propiedades especificas.

El ejemplo de las paralelas

Por ejemplo, el concepto de paralela || es una propiedad de las rectas o segmentos y es una relación de equivalencia. Si décimo que la recta l_1 es paralela con la recta l_1, esta afirmación cumple la propiedad reflexiva ya que una recta es paralela consigo misma, si decimos que l_1 es paralela con L_3, entonces L_3 es paralela con l_1, esta afirmación es simétrica, por ultimo, si decimos que l_1 es paralela con L_3 y L_3 es paralela con L_3, entonces l_1 es paralela con L_3, esto es transitivo.

Entonces la relación de equivalencia clasifica y selecciona aquellas elementos que tengan una misma propiedad o propiedad en común.

Notación simbólica

Generalmente se usa la notación ~ para indicar que dos elementos de un conjunto son equivalentes, sin embargo, hemos usado esta notación para indicar la negación de una proposición en nuestro curso de lógica proposicional, por esta razón y no quiero confundirte a ti y en cambio usaremos la notación ≈ que intuitivamente se ajusta mas lo que se entiende por equivalencia.

Si por ejemplo, tenemos dos elementos a,b∈A y si define una relación de equivalencia que compromete a estos elementos, diremos que a es equivalente a b y se simboliza por a≈b. Una definición mas formal de este punto es:

Definición: Si R∈A×A es una relación de equivalencia, entonces decimos que el par (a,b)∈R tiene componentes equivalentes y se simboliza por a≈b, decimos entonces que a es equivalenteb.

Ejemplo 3: Del ejemplo 2, donde definimos el conjunto A={1,2,3,4} y su relación dada: 

R={(1,1),(1,4),(4,1),(4,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}

Donde probamos que es una relación equivalente, lo que implica que sus elementos son equivalentes, simbólicamente escribimos para cada par así:

1≈11≈44≈14≈4
2≈22≈33≈23≈3

Clase de equivalencia y conjunto cociente

Antes de definir este concepto, fíjense en la relación del ejemplo 3, elegiremos al azar cualquier elemento de la segunda componente de los pares de R, tomemos por ejemplo el numero 4 del par (1,4), y formulemos la siguiente pregunta: ¿cuantos pares ordenados se pueden formar con esta segunda componente dentro de R, es decir, con el 4?, en este caso, en R encontramos lo siguientes pares:

  • (1,4) ó 1≈4
  • (4,4) ó 4≈4
Entonces el conjunto de las primeras componentes que podemos formar con el numero 4 es A_4={1,4}, hemos puesto subindice 4 por estar relacionado con la segunda componente 4Ahora seleccionemos otra segunda componente de R, digamos 1, los pares formados con la primera componente en R son:
  • (1,1) ó 1≈1
  • (4,1) ó 4≈1
El conjunto de las primeras componentes de estos dos pares formados con la segunda componente 1 es A_1={1,4}Observe que el conjunto formado las primeras componentes con las segundas 1 y 4 son los mismos, es decir A_1=A_4, ¿sera coincidencia?, lo vamos a averiguar:
Elijamos al numero 3 como segunda componente de la relación R, veamos cuantos pares ordenados se pueden formar con ellos y son:
  • (2,3) ó 2≈3
  • (3,3) ó 3≈3

El conjunto de las primeras componentes de estos pares son A_3={2,3}, elijamos el numero 2 como segunda componente y busquemos los pares ordenados que se forman en R, son:

  • (2,2) ó 2≈2
  • (3,2) ó 3≈2

El conjunto de las primeras componentes de estos pares son A_2={2,3} y notamos por segunda vez que A_2=A_3, ¿será de nuevo una coincidencia?. Pues no, pero esto lo veremos después, pondremos nuestra atención en los conjuntos que acabamos de encontrar A_2=A_3={2,3} y A_1=A_4={1,4}, son a su vez, disjuntos {2,3}∩{1,4}=ϕ y es obvio que:

  • A_1⊆A
  • A_2⊆A
  • A_3⊆A
  • A_4⊆A
Estos subconjuntos que a su vez son disjuntos, tiene un nombre especial, se llaman clase de equivalencia. Al subconjunto A_1 que tiene como elementos a las primeras componentes relacionados con 1, en su lugar la escribiremos así [1]_R=A_1, el subíndice R indica que el elemento 1 tiene relación de equivalencia con los elementos de A_1, en este caso con 1≈1 y4≈1.
Si realizamos todo este proceso tomando como referencia a la primera componente en lugar de la segunda como hicimos hace momentos, encontraremos los mismos resultados, bajo este punto, definiremos este concepto en este momento.

Definición de clase de equivalencia

Sea R⊆A×A una relación de equivalencia y un elemento a∈A, llamaremos clase de equivalencia al subconjunto de elementos que son equivalentes (o relacionados) a los elementos de A con a, es decir:

[a]_R={x∈A|a≈x}

Ejemplo

Sea el conjunto formada por algunas letras del alfabeto B={a,b,c,d,e,f,g} y la relación:

R={■((c,c)&(a,b)&(b,b)&(e,f)@(g,g)&(b,a)&(f,f)& (f,e)@(a,a)&(e,e)&(d,d)&)}

Buscaremos todos los elementos que estén relacionado con la letra a según R, es decir, la clase de equivalencia de a, veamos:

  • [a]_R={a,b}
Ahora busquemos todas las clases de equivalencia en la relación R con el resto de las letras de B, tenemos:
  • [b]_R={a,b}
  • [c]_R={c}
  • [d]_R={d}
  • [e]_R={e,f}
  • [f]_R={e,f}
  • [g]_R={g}

Todos estos conjuntos son la clase de equivalencia de R, notamos también que [a]_R={a,b} y [e]_R=[f]_R, sin tomar en cuenta las clases repetidas, vemos que son disjuntos entre ellas. Ahora veremos como estas clases esta repartidas en un diagrama de Venn.

diagrama de Venn de la clase de equivalencia

Bajo estas peculiaridades, presentamos el siguiente teorema:

Teorema 1: Sea R⊆A×A una relación de equivalencia para dos conjuntos a,b∈A, se cumple solo una de estas dos posibles situaciones:

  1. Si a≈b, entonces [a]_R=[b]_R.
  2. Si a≉b, entonces [a]_R∩[b]_R=ϕ.

Demostración:

  1. sea x∈[a]_R, entonces x≈a, del dato a≈b, por la propiedad transitiva x≈b, entonces x∈[b]_R, es decir, si sabemos que x pertenece a [a]_R pero descubrimos que también pertenece a [b]_R lo que implica que [a]_R 〖∈[b]〗_R. De la misma manera se puede demostrar que  si partimos de b≈a que es la simetría de a≈b. De [a]_R 〖∈[b]〗_R y  implica que [a]_R=[b]_R.
  2. Supongamos x∈[a]_R∩[b]_R, entonces x∈[a]_R∧x∈[b]_R, significa que x≈a y , por simetría a≈x y por la propiedad transitiva con  resulta a≈b, esto contradice con lo que se postulo en el teorema que a≉b, por tanto [a]_R∩[b]_R=ϕ.

Teorema 2: Dos clases de equivalencias no disjuntos son una misma clase.

Demostraremos este teorema en una próxima actualización. Veamos otro nuevo concepto, hemos visto que una relación de equivalencia puede formar unos subconjuntos especiales llamada clase de equivalencias, tomemos las clases del ejemplo anterior son [a]_R={a,b}[e]_R=[f]_R[c]_R[d]_R y [g]_R.

Estas clases la reuniremos en un único conjunto, obviamente como hay clases iguales, la teoría de conjuntas las toma como una sola, tenemos:

Conjunto de clases={[a]_R,[e]_R,[c]_R,[d]_R,[g]_R }

Observe que este conjunto de clases esta formado por el conjunto de letras I={a,c,d,e,g}, si lo comparamos con el conjunto donde esta definida la relación R siendo B={a,b,c,d,e,f,g}, resulta que I⊆B.

De aquí, los conjuntos tiene nombres apropiados y son:

  • I={a,c,d,e,g} lo que implica que I⊆B, este conjunto se llama indice.
  • CC={[a]_R,[e]_R,[c]_R,[d]_R,[g]_R } se llama conjunto cociente.
De estos dos conjuntos podemos escribir a CC por comprensión así:
CC={[i]_R |∀i∈I}
Esta será la nueva forma del conjunto cociente definida de la siguiente manera:

Definición del conjunto cociente

Sea R⊆A×A una relación de equivalencia y un indice I⊆A, se llama conjunto cociente simbolizado por A/≈ al conjunto formado por todas las clases de equivalencia [i]_R tal que i∈I, es decir:

A/≈={[i]_R |∀i∈I}

Para entenderlo mejor, te sugiero que vuelvas a estudiar el ejemplo anterior comparando con esta definición mas de una vez. Ahora te presento un teorema interesante, pero antes te sugiero que veas el acordeón donde indico el concepto de partición de un conjunto como apartado opcional al inicio de esta sección.

Pero para que no pierdas tiempo, te lo explico con un ejemplo super simple. Sea A=A_1∪A_2∪A_3, si los conjuntos A_1A_2 y A_3 no tiene ningún elemento en común de dos en dos, es decir, A_1∩A_2=ϕA_2∩A_3=ϕ y A_3∩A_1=ϕ, entonces el conjunto {A_1,A_2,A_3 } se llama partición del conjunto A, la definición formal lo puedes encontrar en el acordeón como ya te lo mencione hace momentos. Ahora el teorema.

Teorema 3: El conjunto cociente de una relación equivalente es una partición y viceversa.

La demostración la realizaremos en una próxima actualización.

Fin de la sección 5

Pensaba no publicar esta sección pero algunos cursos posteriores lo requería, de hecho, la sección siguiente llamada relaciones de orden también lo requieren y será nuestra próxima publicación y ultima de este curso de relaciones matemáticas.

Ha sido una tema interesante y pienso actualizarlo próximamente para agregar ejercicios resueltos y demostrar los teoremas que aun me faltan, nos vemos en la ultima sección de este curso, que tengas un buen día, bye.

Referencias

  • Relación de equivalencia – Didáctica de las matemáticas | Eugenio Roanes Macías
  • Relaciones de equivalencia – Algebra – | Roger Godement
  • Relaciones de equivalencia – Relaciones- Algebra I | Armando O. Rojo
2018-08-10T03:18:04+00:00