4. Correspondencia Matemática

Hola amigos, hoy hoy nos toca desarrollar el concepto de correspondencia matemática entre dos conjuntos, se puede decir que es una generalización de la teoría de las relaciones binarias desarrollado en la sección anterior, ya que si bien, el concepto teórico de relación lo desarrollamos con dos conjuntos distintos, pero no sus propiedades y clasificación estudiados únicamente para un solo conjunto. En esta oportunidad, desarrollaremos tanto sus propiedades como su clasificación para dos conjuntos distintos y esto le corresponde al concepto de correspondencia.

Hay que entender que no existe ninguna diferencia de lo que se entiende entre relación y correspondencia, estas connotaciones sirven para clasificar el vinculo entre dos conjuntos, la primera se desarrolla para un único conjunto y la segunda para dos conjuntos, sin embargo, el concepto de correspondencia va mas allá, ya que viene acompañado con los conceptos de punto de origen y punto de llegada.

Pasemos con algunos ejemplos antes de comenzar con las definiciones. Sean los siguientes conjuntos M={2,3,4,5}N={a,b,c,d} donde M es el conjunto de origen y N el conjunto de llegada, de aquí, podemos corresponder algunos elementos de M con N según otro conjunto llamado F que los relacione. Esto se puede visualizar mucho mejor con el siguiente diagrama sagital:1

diagrama sagital de la correspondencia entre dos conjuntos

Para indicar que el conjunto F representa una correspondencia o vinculo entre algunos elementos del conjunto M con los elementos del conjunto N indicados por las flechas del diagrama, lo expresaremos como un conjunto de pares ordenados anteriormente estudiados en secciones anteriores. Según el diagrama, tenemos:

  • 2 está relacionado con c, lo escribimos (2,c).
  • 3 está relacionado con a, lo escribimos (3,a).
  • 4 está relacionado con d, lo escribimos (4,d).

A esta colección de pares ordenados estará representado por F, en este caso, simplemente lo escribimos así:

F={(2,c),(3,a),(4,d)}

Al conjunto F se le llama correspondencia definido sobre los conjuntos M y N. Veamos el producto cartesiano de estos conjuntos junto representado por M×N con su diagrama rectangular:

diagrama de la correspondencia de dos conjuntos

De la correspondencia F={(2,c),(3,a),(4,d)}, los elementos número 2 color verde, 3 y 4 se le llama dominio u origen y los elementos a , c y d se les llama rango o imagen de la correspondencia .

Del diagrama rectangular notamos que algunos elementos de M×N son los elementos de , lo que significa que F⊆M×N y si consideramos intuitivamente que el conjunto  es el conjunto inicial y el conjunto N es el conjunto final como lo indica las flechas del diagrama, entonces por el axioma de comprensión debe existir alguna funcion proposicional (enunciado abierto) p(x,y) para los cuales definiremos una correspondencia p:M→N del pares del conjuntos  tal que:

F={(x,y)∈M×N|p(x,y)}

Aquí p define todos los pares ordenados de , en estos casos, para el concepto de correspondencia, en lugar de escribir F⊆M×N ahora escribiremos p:M→N. Para el caso anterior, la función proposicional podría definirse particularmente así p(x,y):y=f(x), entonces:

├ ■(c=f(2)@a=f(3)@d=f(4) )}p(x,y):y=f(x)

Con esta introducción definamos el concepto de correspondencia adecuadamente.

definición correspondencia

Sean dos conjuntos A y B, se llama correspondencia  p:A→B, donde  A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada que define una relación  F⊆A×B bajo una función proposicional p(x,y) tal que:

F={(x,y)∈A×B|p(x,y)}

Nota: la relación F⊆A×B y la correspondencia p:A→B significa lo mismo tal que:

F⊆A×B⇔p:A→B

A partir de ahora usaremos la notación p:A→B en lugar de F⊆A×B, se sobreentiende que si existe una correspondencia p:A→B, entonces implica la existencia del conjunto de pares ordenados  que relaciona a los conjuntos A y B. Desde ahora llamaremos correspondencia a p en lugar de p:A→B a menos que se indique lo contrario (como las definiciones).

Ejemplo de una correspondencia

Sean los conjuntos A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} y B={3,4,5,6,7,8,9}, definimos una correspondencia p tal que p(x,y):y=x^2, entonces existe un conjunto relación que cumpla tal condición:

F={(x,y)∈A×B|p(x,y)}

F={(x,y)∈A×B|y=x^2 }

Por extensión:

F={(-3,9),(-2,4),(2,4),(3,9)}

Donde los elementos de la primera componente de F son -3,-2,2,3 y los elementos de la segunda componente de F son 4,9 cada uno de estos elementos le pertenecen a los conjuntos A y B respectivamente. En la sección anterior vimos que estos grupos de elementos están definidos como el dominio y rango del conjunto de inicial (en este caso A) y conjunto final (en este caso B). Definiremos de nuevo estos conceptos para una correspondencia dada definidos sobre dos conjuntos distintos pero con otros nombres, veamos:

Definición de origen e imagen de una correspondencia

Sea la correspondencia p:A→B, llamaremos origen de p al conjunto de todas las primeras componentes de la relación F simbolizado por Orig(p) tal que:

Orig(p)={x∈A|∃y∈B∧(x,y)∈F}

Y llamaremos imagen de p al conjunto de todas las segundas componentes de la relación F simbolizado por Imag(p) tal que:

Imag(p)={y∈B|∃x∈B∧(x,y)∈F}

No quiero que te pierdas en esta definición y céntrate en la explicación que veremos en este momento. Del ejemplo anterior habíamos indicado que los conjuntos A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} y B={3,4,5,6,7,8,9} son el conjunto de partida y conjunto de llegada respectivamente según la función proposicional p(x,y):y=x^2 que la define, en base a esto, se define la relación:

F={(-3,9),(-2,4),(2,4),(3,9)}

Las primeras componentes de F extraídas del conjunto A representan el origen de la correspondencia p, esto es:

Orig(p)={-3,-2,2,3}

Y la segundas componentes de F extraídas del conjunto B representan la imagen de la correspondencia p, esto es:

Imag(p)={4,9}

Veamos la correspondencia entre el origen y la imagen de p en el siguiente diagrama sagital:

correspondencia entre dos conjuntos A y B

Observe que Orig(p) es un subconjunto de A, y Imag(p) es subconjunto de B, es decir:

  • Orig(p)⊆A
  • Imag(p)⊆B

Los conceptos de origen e imagen es lo mismo que dominio y rango tal como definimos en la sección anterior de relaciones binarias. Los pares ordenados son útiles para indicar una ubicación sobre un plano con referencias definidas como también el comportamiento de alguna correspondencia definida sobre el conjunto de los números reales de variable real. Veamos una representación gráfica del plano cartesiano del ejemplo anterior de los conjuntos A y B en el siguiente diagrama rectangular:

diagrama de la correspondencia p de dos conjuntos A y B

Estos puntos indican la relación F definidas por la correspondencia p indicada en el conjunto del ejemplo anterior:

Nota: Para finalizar este apartado, de la definición de origen e imagen indicados aquí:

El cuantificador de existencia ∃ nos dice lo siguiente: para que exista un conjunto origen Orig(p), debe existir por lo menos alguna imagen ∃y∈B, porque si no existe ninguna imagen, no se podría definir un conjunto origen, dicho de otra manera, no existe una relación que no tenga imagen (o rango, como quieras llamarlo) y ademas, si se quitase la proposición ∃y∈B, para Orig(p) la definición quedaría así:

Orig(p)={x∈A|(x,y)∈F}

Este conjunto está mal formulado porque no sabemos quien es y ni sabemos en que conjunto esta definido y también no sabríamos ni si quiera si F en el producto A×B ya que y podría estar contenido en cualquier otro conjunto que no sea B, la misma analogía sucede con el conjunto imagen Imag(p).

Inversa de una correspondencia

Tomemos los conjuntos del ejemplo anterior A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} y B={3,4,5,6,7,8,9} y la relación F={(x,y)∈A×B|y=x^2 }, para que una correspondencia sea inversa respecto a la relación F , basta con intercambiar el orden del producto cartesiano de A×B lo cual resulta el producto B×A y y=x^2 por x=y^2, quedando así una nueva relación:

F^*={(y,x)∈B×A|x=y^2 }

Por extensión, tenemos:

F^*={(9,-3),(4,-2),(4,2),(9,3)}

Comparando con la relación F por extensión:

Notamos que los pares ordenados cambian también de posición, Para una correspondencia p con relación F diseñamos una correspondencia p^* con relación F^*, esto es lo que se llama inversa de una correspondencia. En base a esto, realizamos la siguiente definición:

Definición de la inversa de una correspondencia

Sean la correspondencia p:A→B que define una relación F se llama correspondencia inversa a p^*:B→A que define una relación inversa F^* tal que:
F^*={(y,x)∈B×A|(x,y)∈F}

Este punto se puede explicar mejor si invertimos las flechas del diagrama sagital para los conjuntos del ejemplo anterior  A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} y B={3,4,5,6,7,8,9}, veamos los gráficos:

correspondencia entre dos conjuntos A y B

Correspondencia p:A→B:

Orig(p)={-3,-2,2,3}

Imag(p)={4,9}

diagrama sagital de una correspondencia inversa

Correspondencia inversa p^*:B→A:

Orig(p^* )={4,9}

Imag(p^* )={-3,-2,2,3}

Observe que Orig(p)=Imag(p^*) y Imag(p)=Orig(p^*), es decir, que el origen e imagen de una correspondencia dada es igual a la imagen y origen de la inversa de dicha correspondencia. Ya habíamos visto en un plano cartesiano de la correspondencia p donde la relación binaria definida fue:

Pero no de su inversa p^* donde su relación binaria es:

El plano cartesiano de F^* debería ser:

diagrama de una correspondencia inversa

Gráficamente lo único que hemos hecho es rotar 90° en sentido horario y trasladar desde el eje Y al eje X del plano cartesiano anterior de la correspondencia definida originalmente por p(x,y):y=x^2. Juntemos los diagramas de la correspondencia p y su inversa p^*, observe que lo único que hemos hecho es girar el plano cartesiano en 90° en sentido horario.

gráfico de producto cartesiano de la correspondencia y su inversa de dos conjuntos dados

Lo único que cambia son el orden de los pares ordenados del plano cartesiano. Espero que con esta explicación sea suficiente para entender el concepto de la inversa de una correspondencia.

Elementos homólogos

Se ha definido el concepto de correspondencia entre dos conjuntos, hemos dicho que cuando existe una correspondencia entre estas dos, implica la existencia de una relación binaría entre los conjuntos, sin embargo, no hemos entablado una definición para indicar la existencia de una relación entre los elementos de dos conjuntos cuando indicamos que dos conjuntos tiene una correspondencia definida, por ejemplo, no es correcto la frase ” el elemento a le corresponde a un elemento de b“, ya que no se ha definido el significado de “le corresponde a“, es por ello que realizaremos una definición apropiada entre la relación que existe entre los elementos a dos conjuntos distintos.

Definición de Elementos homólogos

Sean una correspondencia p:A→B que define una relación F, se dice que dos elementos x∈A y y∈B son homólogos si el par (x,y) pertenece a F.

Este concepto será necesario cuando indiquemos una relación entre los elementos en lugar de indicar la relación entre los conjuntos. Pero será mas importante indicar las diferentes maneras que pueden relacionarse los elementos de una correspondencia dada, es decir, se pueden definir diferentes tipos de correspondencia según las maneras como se relacione los elementos entre los conjuntos dados y eso es lo que estudiaremos en el siguiente apartado.

Tipos de correspondencia

Los tipos de correspondencias se pueden clasificar en unívoca, biunívoca y multívoca. Veamos cada una de ellas.

Definición de correspondencia univoca

Una correspondencia p que define una relación F, se dice que es univoca si y solo si cada elemento del conjunto origen es homólogo a un único elemento del conjunto imagen. Simbólicamente lo expresamos así:

∀x∈Orig(p):[(x,y_1 )∧(x,y_2 )∈F]→y_1=y_2

También se dice que existe una correspondencia uno a uno, también aplica para las funciones que veremos en breve bajo el titulo AplicacionesAquí empieza lo serio.

  • Explicación para gente normal: ten en cuenta que cualquier elemento del conjunto origen (o dominio) solo puede tener un elemento del conjunto imagen (rango), es decir, un elemento del conjunto origen no puede tener dos o mas elementos del conjunto imagen, no se le esta permitido. ¿Pero que pasa si dos o mas elementos diferentes del conjunto origen tiene un mismo elemento del conjunto imagen?, no pasa nada, solo basta que estén relacionados con un único elemento del conjunto imagen, no importa si son los mismos o diferentes elementos del conjunto imagen, o dicho de otra manera, no importa si se comparten con un elemento del conjunto imagen, sigue siendo una correspondencia unívoca.
  • Explicación para gente de bajo CI: si no lograste captar la idea, te lo explico con flechas: Solo puede salir una única flecha de cualquier elemento del conjunto origen a cualquier elemento del conjunto imagen, no importa si dos o mas flechas diferentes comparten un mismo elemento del conjunto imagen.
  • Explicación para gente de bajo CI crónico: usaremos el poder de los dibujos, digo, de los diagramas sagitales. Sean los conjuntos A={a,b,c,d,e,f} y el conjunto B={1,2,3,4,5}, veamos:
correspondencia unívoca

Observe que algunos elementos del conjunto inicial, es decir, el conjunto origen comparte con un único elemento del conjunto final. Es cierto que el elemento c y e comparten con un único elemento 3, pero sale una única flecha de c y e como también las únicas flechas que salen de a y b con sus respectivos elementos homólogos del conjunto final. Por tanto, la correspondencia es unívoca.

Eso significa que si existe una correspondencia unívoca y a su vez un elemento del origen le corresponde dos elementos de la imagen, significa que esos dos elementos de la imagen son iguales, es decir, no pueden partir dos flechas de un solo elemento del conjunto origen para dos elementos diferentes del conjunto imagen.

En otras palabras, en una correspondencia univoca, si tenemos dos pares ordenados (x,y_1) y (x,y_2) pertenecientes a una relación F definida por una correspondencia p, entonces y_1=y_2 para todo los elementos del conjunto origen. Si lograste entender este punto junto con los diagramas, entonces la definición esta bien
explicado.

Definición de correspondencia biunívoca

Una correspondencia p que define una relación F es biunívoca si y solo si cada elemento del conjunto origen es homologo a un único elemento del conjunto imagen (esto es unívoca) y cada elemento del conjunto imagen es homólogo por un único elemento del conjunto origen (es como una univoca pero de la imagen al origen). Simbólicamente se expresa así:

 y∀y∈Imag(p):[(x_1,y)∧(x_2,y)∈F]→x_1=x_2

En otras palabras, para que una correspondencia p sea biunívoca, tanto la p como su inversa p^* deben ser univocas. Veamos esto con un diagrama sagital:

diagrama sagital de una correspondencia biunívoca

Observe que existe una flecha para un único origen y una única imagen, es decir, no pueden tener dos o mas flechas que salgan de un elemento del conjunto origen para dos elementos distintos del conjunto imagen ni tampoco un elemento del conjunto imagen puede ser compartido por dos o mas elementos del conjunto origen.

En otras palabras puramente informales, se puede decir que cada par ordenado tienen componentes celosas, es decir, no existen relaciones libres ni amigos con derechos.

Definición de correspondencia multívoca

Es la negación de la correspondencia unívoca. Para una correspondencia p que define una relación F es multívoca si y solo si existe al menos un elemento del conjunto origen que es homólogo a dos o mas elementos del conjunto imagen. Simbólicamente:

∃x∈Orig(p):(x,y_1 )∈F∧(x,y_2 )∈F∧y_1≠y_2

En esa ultima definición es posible por lo menos la existencia de un elemento del conjunto origen que pueda compartir dos elementos del conjunto imagen o mas. En cuanto a su terminología, tal vez multívoca signifique que pueda tomar mas de dos sentidos o dos flechas desde un único elemento de partida, en contraste con la correspondencia unívoca que solo puede tomar un solo sentido o una flecha. Veamos el siguiente diagrama sagital:

Diagrama de correspondencia multívoca

Observe que un elemento del conjunto origen e es homologo a dos elementos 3 y 4 del conjunto imagen. Esto no esta permitido para una correspondencia unívoca, es decir, no puede salir mas de dos flechas de un mismo elemento del conjunto origen, pero una correspondencia multívoca puede salir dos o mas flechas de al menos de un elemento del conjunto origen al cualquier elemento del conjunto imagen diferentes.

Nota: Una correspondencia no biunívoca es cuando una correspondencia o su inversa es multívoca.

Aplicaciones matemáticas

El estudio de las aplicaciones matemáticas es el estudio de las funciones, en un curso de matemática discreta generalmente se estudia las relaciones binarias de una función, en un curso de precalculo y calculo se estudia la función proposicional como propiedad que define a una relación binaria como un conjunto de pares ordenados, por ejemplo, sea la correspondencia p:R→R que define la siguiente relación:

F={(x,y)∈R×R|p(x,y):y=x^2 }

Observen que esta relación binaria define una aplicación o función, de aquí, en matemática discreta se estudia las relaciones binarias de una función, es decir, se estudia las propiedades de F, pero en cursos como geometría analítica o precalculo y calculo se estudia la función proposicional p(x,y):y=x^2, es decir, la función numérica.

Pero como estamos tratando con relaciones binarias entre conjuntos, esta sección estudiara el aspecto binario de una función. si bien es cierto que tanto función como aplicación son exactamente el mismo concepto, usaremos la palabra aplicación para estudiar su aspecto binario y función para estudiar el aspecto numérico.

No confundir una función proposicional con función propiamente dicha, la primera solo hace referencia a un enunciado abierto que estudiamos brevemente en una sección de proposiciones del capitulo de lógica proposicional. Dicho esto, comencemos con la siguiente definición.

Definición de aplicación

Sea una correspondencia f:A→B se dice que es una aplicación si es unívocaOrig(p)=A.

Definición alternativa 1: En otras palabras, una correspondencia f:A→B es una aplicación si para todo elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B.

Este es el mismo concepto de una correspondencia univoca, solo que en este caso el conjunto origen o dominio es ahora todo el conjunto de partida A y no un subconjunto de A como es de costumbre.

Definición alternativa 2: También se dice que una correspondencia f:A→B que define una relación F es una aplicación si cumple la condiciones de existencia y unicidad y son:

  • ∀a∈A,∃b∈B|(a,b)∈F
  • [(a,b)∈F∧(a,c)∈F]→b=c

Veamos los siguientes diagramas comparativos para dos conjuntos A y B

diagrama de una correspondencia unívoca
diagrama de una aplicación matemática

Tenga en cuenta que en cualquiera de estos dos casos el conjunto imagen sigue siendo un subconjunto del conjunto final Imag(f)⊆B.

Los conceptos de composición de aplicaciones se desarrollará en otra sección junto con otras teorías en un curso de completo de funciones pero definido desde un angulo numérico y no binario como lo estamos haciendo en esta misma sección.

Si gusta, puede visitar la sección anterior de relaciones binarias donde desarrollamos el concepto de composición entre dos relaciones diferentes, de esta manera tendrá una idea a que se refiere el concepto de composición entre dos relaciones.

Tipos de aplicaciones

Los tipos de aplicaciones mas sonados en estos títulos son la inyectiva, subreyectiva y la biyectiva. Veamos la primera de ellas.

Aplicación inyectiva

Una aplicación es inyectiva si y solo si cada elemento del conjunto imagen es homologo con un único elemento del conjunto origen. Simbólicamente para un conjunto inicial Atenemos:

∀x_1,x_2∈A|f(x_1 )=f(x_2 )→x_1=x_2

o

∀x_1,x_2∈A|x_1≠x_2→f(x_1 )≠f(x_2)

Veamos los siguientes diagramas sagitales:

aplicación inyectiva

Observe que cada elemento del conjunto imagen es homologo (le corresponde) con cada elemento del conjunto inicial u origen (Orig(p)=A), tenga en cuenta que si no hemos dicho nada del conjunto imagen en la definición de aplicación, significa que puede ser un subconjunto o igual al conjunto final, es decir Imag(f)⊆B.

Observe que una aplicación inyectiva es una correspondencia biunívoca.

Aplicación sobreyectiva

Una aplicación es subreyectiva si y solo si cada elemento del conjunto final le corresponde al menos un elemento del conjunto origen, o su equivalente, una aplicación es subreyectiva si el conjunto imagen es igual al conjunto final. Simbólicamente para una aplicación f:A→B es cumple:

Su equivalente también puede escribirse así: Una aplicación f:A→B es su sobreyectiva si:

Imag(f)=B

Con una representación gráfica es mas fácil de entender este concepto:

diagrama de aplicación sobreyectiva

En esta ilustración vemos que el conjunto inicial y final son el origen e imagen de la aplicación f, también podemos ver que cualquier elemento del conjunto imagen puede tomar 1 o mas elementos del conjunto origen.

Aplicación biyectiva

Una aplicación es biyectiva si es una correspondencia biunívoca y ademas el conjunto origen e imagen son el conjunto inicial y final respectivamente. En otras palabras, una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Es el tipo de aplicación es mas estricta de las dos anteriores pero la mas sencilla de entender por su sencillez y simplificación, también porque es una aplicación que va directamente al grano. Veamos el siguiente diagrama y juzguen por ustedes mismos:

diagrama sagital de una aplicación biyectiva

Observe que un único elemento de cada uno del conjunto inicial le corresponde un único elemento del conjunto final. Los elementos abc son homólogos solamente con 123 respectivamente. Y debe ser aplicado a todos los elementos del conjunto inicial y final, es decir, debe cumplir que A=Orig(f) y B=Imag(f). Para este caso, se dice que existe una regla de correspondencia.

Como funciones y aplicaciones son exactamente lo mismo, quiero terminar con una sección aclaratoria cuando se trabajan con el concepto de correspondencia cuando existe varias conjuntos como conjunto producto inicial sobre otro grupo de conjuntos como producto final. De esta manera estaría finalizando la sección actual.

Funciones de varias variables (introducción)

Las relaciones binarias y correspondencia entre dos conjuntos siempre se trabajan, valga la redundancia, entre dos conjuntos. No existe, si se me permite a expresión, relaciones ternarias o cuaternarias, pero entonces, ¿como podemos desarrollar funciones o aplicaciones de mas de una variable?.

Fácilmente podemos describir una función numérica de 3 variables independientes como por ejemplo w=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, pero ¿como podemos representarlo con los conceptos de correspondencia?. Simple, Tenga en cuenta que las variables xy y z por ser independientes, significa que pertenecen al conjunto origen, pero para lo que corresponde a este apartado, supondremos que estas 3 variables viene de 3 conjuntos diferentes, es decir, x∈Xy∈Y y z∈Z, lo cual podemos definir un producto cartesiano de 3 conjuntos X×Y×Z tal que:

(x,y,z)∈X×Y×Z

Pero como la triada (x,y,z) representa a las variables independientes del conjunto origen y como f es una aplicación, significa que Orig(f)=X×Y×Z, donde w=f(x,y,z). Como w es una variable dependiente de las 3 primeras, entonces debe ser un elemento de algún conjunto de llegada, por ejemplo w∈W, esto significa que el conjunto imagen debe estar contenida en w, es decir, Imag(f)⊆W. Con un gráfico se entenderá mejor:

función de varias variables

Entonces existe una regla de correspondencia f que define una función de 3 variables dependientes expresado simbólicamente así:

f:X×Y×Z→W

Esto implica la existencia de una relación F tal que:

F={((x,y,z),w)∈(X×Y×Z)×W|w=f(x,y,z)}

Un pequeño inconveniente

En la practica, no suele usarse un expresiones como ((x,y,z),w), ya que desde el punto de vista geométrico no existe un par ordenado que tenga una primera componente otro par ordenado. Por ejemplo, si tenemos el par ordenado (a,b)∈A×B, y queremos trabajar en desde un tercer eje, es decir, en 3 dimensiones, debemos multiplicar al producto A×B al conjunto C donde c∈C, para definir una ubicación en espacio con la terna  y no con ((a,b),c) y poder indicar que (a,b,c)∈A×B×C.

Sin embargo, el producto A×B×C no da detalles de quien es el conjunto inicial ni el conjunto final como si lo da un el producto A×B. Porque el conjunto inicial bien podría ser A o A×B sobre el conjunto B×C o C como conjunto final respectivamente.

Una solución simple es la siguiente: tener en cuenta los paréntesis del producto entre A×B y C, es decir, el significado de (a,b,c)∈(A×B)×C implica que A×B es el conjunto inicial  y C el conjunto final, de esta manera podemos definir una función f:A×B→C, de manera análoga, el producto de A y B×C, tal que (a,b,c)∈A×(B×C) donde A es el conjunto inicial y B×C el conjunto final y definir la función f:A→B×C.

Ejemplo

Si los conjuntos fueran el campo de números reales para , es decir, W=X=Y=Z=R, la correspondencia se escribiría así:

f:R×R×R→R

O su forma abreviada:

f:R^3→R

Esta representación binaria para una función de varias variables indica que existe una función numérica que depende de 3 variables independientes, en este caso, para los números reales. Para una función de n  variables se puede escribir así:

f:A^n→A

Donde A puede representar  a los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, complejos, hipercomplejos o cualquier conjunto arbitrario dado. Por ultimo, tenga en cuenta que escribir esto f:A^n→A es lo mismo que escribir esto F⊆A^n×A, de aquí, tenga en cuenta que F es el conjunto de las n+1 tuplas, es decir:

(a_1,a_2,a_3,…,a_n,a_(n+1) )∈F⊆A^n×A

Esto nos indica que si bien f se encuentran en la dimension n+1, sabemos A^n es el conjunto inicial y A el conjunto final.

Campo escalar y vectorial de una función

Cuando trabajamos con funciones del tipo , significa que es una función de campo escalar, pero si trabajamos con funciones del tipo f:A^n→A^m donde m≥2, significa que es una función del campo vectorial.

Si  fuera el campo de los reales y definimos nuestro universo en las 3 dimensiones habituales, habría 2 posibles combinaciones para para las funciones en el campo escalar y vectorial representados por f:R^2→R y f:R→R^2 respectivamente. Veamos un ejemplo de estos dos tipos:

Ejemplo de una función escalar y vectorial

Funciones escalares del tipo f:R^2→R:

  • f(x,y)=x^2+y^2
  • f(x,y)=xy
  • f(x,y)=(x+y)/(x^2+y^2 )

Funciones vectorial del tipo f:R→R^2, generalmente tienen la forma f(x)=(f_1 (x),f_2 (x)), donde y=f_1 (x) y z=f_2 (x), veamos:

  • f(x)=(t/(x^2+1),-t/(x^2+1))
  • f(y)=(2y^2,3y^3)
  • f(z)=(z^(-3),2z^(-5))

Observe que estamos distinguiendo f en negrita para los funciones vectoriales del f sin negrita para las funciones escalares.

Fin de la sección 4

Ha sido una sección muy interesante, tal vez mejor que la sección anterior, pensaba terminar este curso con esta sección y pensaba irme directo con el curso de los números reales, pues, la próxima sección desarrollaremos un nuevo tipo de relación binaria llamada relación de equivalencia.

Eso es todo amigos, no olviden que esta pagina será actualizada por una serie de teoremas y ejercicios que no se expuso en esta sección, nos vemos en el próximo capitulo del curso de matemática básica, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Correspondencia Matemática
Clasificación
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2018-08-06T02:30:23+00:00
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