Si no fuera por nuestra capacidad de sacar conclusiones de nuestra vida diaria, no podríamos remplazar un valor por otro. El valor numérico es eso, remplazar un valor desconocido por otro conocido y eso es lo que vamos a tratar en esta sección del curso de operaciones matemáticas.

Generalmente el valor numérico es un calculo de lo general a lo particular, esto incluye también para el caso de cambio de variable ya que podemos sustituir una variable por otras mas complejas o mas sencillas si la variable original es mas compleja.

En esta ocasión solo trataremos con ejemplos y ejercicios sencillos e indicar de que trata esta sección para aquellos que aun tiene problemas al remplazar o hacer cambio de variable de otra variable.

Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresión algebraica por sus valores asignados con el fin de realizar las operaciones indicadas. No estamos diciendo que una expresión algebraica tenga un solo valor numérico, o dicho de otra forma, que una variable solo tenga un valor, pues, puede tener cualquier valor numérico asignado.

Como siempre y como cualquier curso de álgebra elemental, comenzaremos con ejemplos sencillos para este propósito.

1. Remplazo directo

Es un método muy sencillo, tan solo remplazamos los valores asignados ya conocidas de las variables directamente.

Si quieres hallar el valor numérico de:

donde  y , simplemente remplazamos sus valores así:

K=3(2)^2 (1)^3 (3)^2

Como vez, tan solo hemos remplazado el valor de la variable, con esto en mente mira el resto de los ejemplos  de este y resto de los acordeones.

Sea el polinomio  P(x)=x^2-2x+4, hallar el valor de P(x) cuando .

Solución:

Tan solo vamos a intercambiar o remplazar el valor de x por 3:
P(x)=x^2-2x+4 donde x=3
P(3)=〖(3)〗^2-2(3)+4
P(3)=9-6+4
P(3)=7 … respuesta.

Sea el polinomio P(x)=2x^2+1, resolver .

Solución:

Tenga en cuenta que la variable x es 5, remplazando en P(x), tenemos:
P(x)=2x^2+1 cuando x=5


P(5)=51 .. respuesta.

Si P(x)=x+4, hallar P(P(x)).

Solución:
Generalmente este tipo de ejercicios se resuelven de adentro para afuera como lo vez en estas indicaciones:

■(⏞(P(⏟(P(2) ) ) )┴(Hacia Fuera)@( ↓)┬( Desde Dentro) )

Primero resolvemos  donde x=2, entonces:
P(x)=x+4
P(2)=2+4
P(2)=6
De aquí P(P(2))=P(6), calculando P(6), tenemos:
P(x)=x+4
P(6)=6+4=10 .. respuesta.

Si , calcular el valor de P(2,3).

Solución:

Tenga en cuenta que P(2,3) significa que x=2 e y=3, tenemos:
(P(x,y))┬( ■(■(↓@2)&■(↓@3) ))=(x^2+xy+y^2)┬(■(↓@2) ■(↓@2) ■(↓@3) ■(↓@3) )

P(2,3)=19 .. respuesta.

Si P(x,y,z)=xyz, calcular P(2,1,3).

Solución:

Como en el ejemplo anterior, P(2,1,3) significa que x=2y=1 y z=3, entonces:
P(2,1,3)=(2)(1)(3)
P(2,1,3)=6 .. resuelto.

2. resolución de variable

En este caso tenemos que averiguar el valor de la variable antes de realizar el remplazo respectivo. Veamos algunos ejemplos:

Sea P(x-4)=x^2+1, resolver el valor de P(x).

Solución:

Primero debemos resolver el valor x comparando  con P(2), lo que significa que:
x-4=2
x=6
Ahora calcularemos el valor de P(2) de la siguiente manera:
(P(x-4)=x^2+1)┬( ■( ■(↓@6) & ■(↓@6) ))
P(6-4)=(6)^2+1
 .. resuelto.

Si P(x-1)=x^3+x^2+x+1, hallar P(1).

Solución:

Se resuelve de la misma manera como en el ejemplo anterior, a comparar P(x-1) y P(1), se deduce que:

x=2
Ahora si podemos calcular P(1):


P(1)=15 .. respuesta.

Sea P(x)=a^x+b^x, si P(1)=1, resolver:

M=(1-P(2))/(P(2)-P(3))

Solución:

Calculando P(2) y P(3), tenemos:

  • P(3)=a^3+b^3

Remplazando en M, resulta:

M=(1-a^2-b^2)/(a^2+b^2-a^3-b^3 )

M=(1-〖(a〗^2+b^2))/(a^2-a^3+b^2-b^3 )

M=(1-〖(a〗^2+b^2))/(a^2 (1-a)+b^2 (1-b) )

Del dato P(1)=1, entonces:

P(1)=a^1+b^1=1a+b=1

De aquí deducimos lo siguiente:

  • a=1-b .. (I)
  • b=1-a .. (II)
  • (a+b)^2=1^2
    a^2+b^2+2ab=1
     .. (III)

Remplazando (I), (II) y (III) en M, resulta:

M=2ab/(a^2 b+ab^2 )M=2ab/(ab(a+b))M=2/((a+b))

Como a+b=1, entonces:

M=2/1=2

Resuelto.

3. Cambio de variable

Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se consiga un polinomio en función de la nueva variable. Veamos algunos ejemplos:

Sea P(x)=3x+1, resolver .

Solución:

Este ejemplo sencillo, tan solo debemos cambiar x por  en  de la siguiente manera:

P(x+5)=3(x+5)+1
P(x+5)=3x+15+1
P(x+5)=3x+16 .. respuesta.

Si P(x-1)=x^3+x^2+x+1, hallar P(1).

Solución:

Se resuelve de la misma manera como en el ejemplo anterior, a comparar P(x-1) y P(1), se deduce que:

x=2
Ahora si podemos calcular P(1):


P(1)=15 .. respuesta.

Si P(x+1)=4x+3, resolver .

Solución:

    • Método 1:
      Tenemos que transformar P(x+1) en , en otras palabras, debemos eliminar el numero 1, para ello basta cambiar el valor de x por x-1 en P(x+1), veamos:

      P(x-1+1)=4(x-1)+3
      P(x)=4x-4+3
      P(x)=4x-1 .. respuesta.
    • Método 2:
      Partiremos de P(x+1)=4x+3, realizaremos el siguiente cambio de variable:
       donde u=x-1, remplazando en P(x+1), resulta:P ⏟((x+1) )┬■(↓@u)=4 ⏟x┬■(↓@u-1)+3

      P(u)=4u-4+3
      P(u)=4u-1, de aquí solo intercambiamos u por x, resultando:
      P(x)=4x-1 .. resuelto.

Si P(x-5)=3x+1, hallar .

Solución:

Aplicaremos el método 1 del ejercicio 3.3, es decir, intercambiaremos la variable x por x+5 en , resulta:

P(x+5-5)=3(x+5)+1
P(x)=3x+15+1
P(x)=3x+16 .. respuesta.

Ejercicios resueltos

A continuación te dejamos 12 ejercicios resueltos de valor numérico:

Si P(x)=2x+1, calcular .

Solución:

Remplazamos x=5 en , tenemos:


 .. resuelto.

Si P(x)=4x+1, resolver P(x+5).

Solución:

Este ejercicio es sencillo, solo debemos remplazar x por x+5 en , resultando:


P(x+5)=4x+20+1
P(x+5)=4x+21 .. resuelto.

Si , resolver P(2)+P(1)

Solución:

Resolviendo para a=2 y a=1 en P(a), tenemos:

P ⏟((a) )┬2=5⏟a┬2^2+1P(2)=5(2)^2+1P(2)=21P ⏟((a) )┬1=5⏟a┬1^2+1P(1)=5(1)^2+1P(2)=6

Luego:

P(2)+P(1)=21+6=27 .. respuesta.

Si se cumple que P(x)-P(x-1)=x, resolver P(4)-P(0).

Solución:

Remplazaremos los valores de 123 y 4 en el dato del ejercicio y lo ordenaremos de la siguiente manera:

  • Para x=1P(1)-P(0)=1
  • Para x=2P(2)-P(1)=2
  • Para P(3)-P(2)=3
  • Para x=4P(4)-P(3)=4

    Sumando      P(4)-P(0)=1+2+3+4
    Resultando   P(4)-P(0)=10 .. Respuesta.

Si P(x-3)=5x+8, hallar P(2).

Solución:

De P(x-3) y P(2), resulta:
x-3=2
x=5 remplazando este valor  en P(x-3), resulta:
P(5-3)=5(5)+8
P(2)=25+8
P(2)=33 .. respuesta.

Si , resolver:
M=(P(1)+P(2))/P(0)

Solución:

Calculando P(0)P(1) y P(2), tenemos:

Para x=0:
P(0)=2(0)+3P(0)=3
Para x=1:
P(1)=2(1)+3P(0)=5
Para x=2:
P(2)=2(2)+3P(0)=7

Remplazando estos valores en M, resulta:
M=(5+7)/3
P(0)=7 .. respuesta.

Sea P(x)=2x+8, resolver .

Solución:

Sabemos que si x=a, resulta que P(a)=2a+8, para x=a-1, tenemos:
P(a-1)=2(a-1)+8
P(a-1)=2a-2+8
P(a-1)=2a+6

Remplazando P(a) y P(a-1) en E, resulta:
E=2a+8+2a+6
E=4a+14 .. respuesta.

Si P(x)=2x+7 y Q(x)=x+1, calcular el valor de P(Q(x)).

Solución:

Remplazaremos x por Q(x) en , tenemos:

P(Q(x))=2(Q(x))+7

Por dato Q(x)=x+1, resulta:

P(Q(x))=2(x+1)+7
P(Q(x))=2x+2+7
P(Q(x))=2x+9 .. respuesta.

Si  y ademas P[F(x)]=15x+8, resolver F(6).

Solución:

Necesitamos  en lugar de P(x+3), en este ultimo remplazaremos x por x-3, tenemos:


P(x)=3x-9-4

Ahora cambiaremos x por F(x) en :

Pero por dato P[F(x)]=15x+8, igualando estos resultados, obtenemos:



Nos piden F(6), por lo que finalmente obtenemos:

 .. respuesta.

Sea f una propiedad que verifica las siguientes condiciones:

Resolver .

Solución:

Debemos buscar que propiedad en términos de x se encuentra definida f, para ello, comenzaremos a jugar con las condiciones, veamos:




De aquí concluimos que:

f(n)=2n

Finalmente:



 .. respuesta.

Nota: la suma de los primeros números naturales hasta un valor fijo es:

Sea:

Resolver .

Solución:

Es obvio que:

Elevando al cubo:




Remplazando en nuestro ejercicio, obtenemos:

f(∛((1+1)/2) )=4(1)^2+1
 .. respuesta.

Calcular el valor de  P(3)  si se cumple:

P( (ax+b)/(ax-b) )=ax/b

Solución

Realizaremos el siguiente cambio de variable:

(ax+b)/(ax-b)=m

Operando:

ax+b=m(ax-b)

ax+b=max-mb

ax-max=-mb-b

ax(1-m)=-b(m+1)

ax/b=-((m+1))/(1-m)

ax/b=(m+1)/(m-1)

Este resultado junto con este otro:

(ax+b)/(ax-b)=m

Lo reemplazamos en:
  P( (ax+b)/(ax-b) )=ax/b

Resulta: 

P( m )=(m+1)/(m-1)

Piden  P(3) , lo que significa que  m=3

P( 3)=(3+1)/(3-1)=2 …   Respuesta.

Dado el polinomio  P(x+1)=3〖(x-1)〗^2+2(x-1)+1, que forma toma este polinomio P(x+2)

Solución:

Reemplazando  x  por  x+1  en  P(x+1)=3〖(x-1)〗^2+2(x-1)+1, resulta:

P(x+1+1)=3〖(x+1-1)〗^2+2(x+1-1)+1

P(x+2)=3〖(x)〗^2+2(x)+1 … respuesta.

Sea las siguientes condiciones:

  •  F(n)+F(n-1)=2/(n^2-1)
  •  F(1)=1/2

Calcular  F(1)+F(2)+F(3)+⋯

Solución:

Calculamos para  n=2 tenemos:

F(2)+F(2-1)=2/(2^2-1)

F(2)+F(1)=2/3

F(2)+1/2=2/3

F(2)=2/3-1/2=1/6

Calculamos para  n =3

F(3)+F(3-1)=2/(3^2-1)

F(3)+F(2)=2/8

F(3)+1/6-=1/4

F(3)=1/4-1/6=(3-2)/12=1/12

Nos piden:

■(■(F(1)&+&F(2)&+&F(3)&+&← Reemplazamos los valores hallados@1/2&+&1/6&+&1/12&+&← Descomponemos en fracciones@(1-1/2 )&+&(1/2-1/3)&+&(1/3-1/4)&+&← así sucesivamente)@ ⏟( )┬(-1/2+1/2=0) ⏟( )┬(-1/3+1/3=0) ⏟( )┬(-1/4+1/4=0) )

Al final solo queda el número 1, por tanto:

F(1)+F(2)+F(3)+⋯=1  … respuesta.

Fin de la sección 8

Esto son algunos ejercicios de valor numero donde se incluye el cambio de variable, una sección corta y sin mucho que decir pero sencilla y digerible a la vez.

La próxima sección desarrollaremos el tema racionalización, sin mas que decir, me despido y gracias por seguirme hasta el final.

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2018-08-09T16:10:31+00:00
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