Que es la radicación y cuales son sus principales leyes

2. La Radicación y sus propiedades

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Hola amigos, hoy comenzare con la teoría de la radicación del curso de teoría de exponentes, y su forma extendida, el exponente fraccionario.

En este tema, el estudio de la radicación comprender solo 3 leyes principales, entre ellas existen otras derivaciones auxiliares y son consecuencia directa de estas 3 que veremos mas adelante, en ocasiones se usan solo para resolver problemas rápidamente que tiene una semejanza similar de estas leyes auxiliares ya que se ven en ocasiones en los ejercicios del tema actual. Sin mas que decir, comencemos con el tema.

¿Que es la radicación?


La radicación es una operación matemática de la potenciación, de la misma manera como la resta y la multiplicación donde sus operadores inversos son la resta y la división.

Suficiente con resolver la ecuación de grado \( n \) de la forma \( x^{n} = a \), el punto res resolver el valor de \( x \), generalmente se denota simbólicamente como \( x = \sqrt[n]{a} \), si elevamos esta expresión a la potencia \( n \), quedaría como \( \underbrace{ x^{n} }_{a} = { \sqrt[n]{a} }^{n} \) donde \( a = { \sqrt[n]{a} }^{n} \), esta ecuación nos ayudará realmente saber el aspecto de \( \sqrt[n]{a} \) ya que su aspecto simbólico nos muestra muy poca información desde un angulo exponencial.

Antes de realizar una definición coherente, averigüemos la forma de \( \sqrt[n]{a} \), para lograrlo, supondremos que esta expresión tiene una forma exponencial de la forma:

\[ \sqrt[n]{a} = a^{y} \]

Tenga en cuenta que la definición habitual de potenciación solo admite valores enteros para el exponente \( y \), otros valores admisibles a ellos, seria una violación. Con esto en mente, elevemos a la potencia \( n \), tenemos:

\[ { \sqrt[n]{a} }^{n} = ( a^{y} )^{n} \]

Como sabemos que \( a = { \sqrt[n]{a} }^{n} \), resulta:

\[ a = ( a^{y} )^{n} \]

y por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{p} )^{q} = a^{pq} \), obtenemos:

\[ a = a^{yn} \]

por la propiedad de exponente unitario \( a^{1} = \underbrace{a}_{ 1 \ \text{vez} } \), se cumple:

\[ yn = 1 \\ y = \frac{1}{n} \]

De aquí deducimos que la raíz \( \sqrt[n]{a} \) se escribiría así:

\[ \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n} } \]

Si \( n \) es entero positivo mayor que \( 1 \), entonces la fracción \( \frac{1}{n} \) como exponente viola la definición de potenciación ya que el exponente debe ser un entero, sin embargo, no lo contradice y por tal razón entra como definición, pero antes, dicha definición lo complementaremos con el concepto de exponente fraccionario, veamos como es esto.

Exponente fraccionario

Hemos descubierto (sin definir) que \( \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n} } \), supongamos que \( a = b^{m} \), tendríamos que:

\[ \sqrt[n]{ b^{m} } = ( b^{m} )^{ \frac{1}{n} } \]

Por la propiedad de potenciación que nos dice que \( ( a^{p} )^{q} = a^{pq} \) solo aplica para cuando \( p \) y \( q \) son enteros, pero lo usaremos para esta expresión quedando:

\[ \begin{align} \sqrt[n]{ b^{m} } & = b^{ m ( \frac{1}{n} ) } \\ \sqrt[n]{ b^{m} } & = b^{ \frac{m}{n} } \end{align} \]

Ahora si podemos definir lo que se entiende por radicación y lo veremos ahora mismo.

Definición de radicación

Para cualquier valor entero \( {\color{blue} m } \) y \( {\color{red} n } \) y cualquier valor de \( a \), la radicación de \( a^{\color{red} n } \) respecto a \( {\color{blue} m } \) simbolizado por \( \sqrt[ {\color{red} n } ]{a^{\color{blue} m }} \) es:

\[ \sqrt[ {\color{red} n } ]{a^{\color{blue} m }} = \underbrace{ a^{ \frac{\color{blue} m }{\color{red} n } } }_{ \begin{matrix} \mathrm{base \ con \ exponente} \\ \mathrm{fracionario} \end{matrix} } \]

Donde \( n \neq 0 \).

Ejemplo

De raíz a exponente fraccionario:

 
  • \( \sqrt{5^3} = { 5^{ \frac{3}{2} } } \)
  • \( \sqrt[3]{7^4} = 7^{ \frac{4}{3} } \)
  • \( \sqrt[5]{4^9} = 4^{ \frac{9}{5} } \)
  • \( \sqrt[8]{a^{15}} = a^{ \frac{15}{8} } \)

De exponente fraccionario a raíz:

  • \( 5^{ \frac{3}{\color{red} 2 } } = \sqrt{5}  \)
  • \( 7^{ \frac{4}{\color{red} 3 } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{7^4} \)
  • \( 4^{ \frac{9}{\color{red} 5 } } = \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{4^9} \)
  • \( 12^{ \frac{3}{\color{red} 5 } } = \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{12^3} \)

Por último, no hay que olvidar que el índice y exponente pueden cambiar su orden de la siguiente manera:

\[ \sqrt[n]{ a^m } = { \sqrt[n]{a} }^m \]

Aquí algunos ejemplos:

  • \( \sqrt[17]{8^35} = { \sqrt[17]{8} }^{35} \)
  • \( \sqrt[23]{ 13^7 } = { \sqrt[23]{13} }^7 \)
  • \( \sqrt{5^4} = { \sqrt{5} }^4 \)

Otras nomenclaturas de escritura de la radicación es \( \sqrt[n]{ a^{m} } = { \sqrt[n]{a} }^{m} = a^{ \frac{m}{n} } \) donde \( { \sqrt[n]{a} }^{m} = ( \sqrt[n]{a} )^{m} \).

Parte de la radicación

El radical de un número también tiene sus partes, si definimos \( \sqrt[n]{x} = y \), entonces las partes de este radical es:

  • \( n \) es el indice de la radicación
  • \( x \) se llama radicando
  • \( y \) se le llama raíz o solución al resolver la ecuación \( y^{n} = x \)
  • \( \sqrt{} \) es el simbolo para representar la inversa de la potenciación.

Radicales especiales

Existe radicales con denominaciones especiales y depende del indice que tenga, generalmente enteros positivos, si el indice de un radical esta representado por el número \( 2 \), visualmente se omite, por ejemplo, la expresión \( \sqrt[2]{x} \) simplemente se escribe así \( \sqrt{x} \) y se lee “raíz cuadrada de \( x \)”.

Para el caso donde el indice es igual a \( 3 \), el radical tiene un nombre especial, por ejemplo, la expresión \( \sqrt[3]{x} \) se lee “raíz cubica de \( x \)”, para valores superiores a \( 3 \), simplemente se dice “raíz cuarta” o “raíz quinta de \( x \)” que hace referencia a las expresiones \( \sqrt[4]{x} \) y \( \sqrt[5]{x} \) respectivamente.

El problema de la raíz cuadrada de un número


Una vez un amigo del facebook me mostró un ejemplo de una imagen de captura de un libro o folleto que decía \( \sqrt{9} = \pm 3 \) porque \( (-3)^{2} = 3^{2} = 9 \). ¿Se dan cuenta este terrible error matemático?.

Si anuncias que \( \sqrt{9} = \pm 3 \), estas afirmando que \( -3 = 3 \) y eso es completamente ilógico, en otras palabras, no puedes darle valores a un número, los números no son variables.

Lo correcto es que si \( x^{2} = a \), entonces \( x = \sqrt{2} \) ó \( x = – \sqrt{2} \), ¿Porque?. primero mostraremos la siguiente propiedad y veremos como probar las soluciones de \( x^{2} = a \).

Propiedad: todo número positivo se puede escribir en términos de una raíz cuadrada positiva

Si \( a \) es un número positivo, entonces \( \sqrt{a} \) también es un número positivo, simbólicamente:

\[ a>0 \rightarrow \sqrt{a}>0 \]

Algunos les parecerá innecesaria esta afirmación, pero mire el siguiente apartado.

Raíz cuadrada de un número al cuadrado

Tenemos \( (-3)^{2} = 3^{2} \), si extraemos la raíz cuadrada:

\[ \sqrt{ (-3)^{2} } = \sqrt{ 3^{2} } \\ -3 = 3 ( \text{contradicción} ) \]

Ademas habíamos dicho desde un inicio que la raíz cuadrada de un número debe ser positivo, ¿como resolver este inconveniente?, veamos la siguiente definición.

Definición de la raíz cuadrada con valor absoluto

Sea \( x \) un número real cualquiera, se cumple que:

\[ \sqrt{ x^{2} } = |x| \]

Donde \( |x| \) es el valor absoluto de \( x \). Tenga en cuenta que el valor absoluto de cualquier número es el mismo número pero siempre positivo.

Esta definición ayuda a resolver este inconveniente:

\[ (-3)^{2} = 3^{2} \\ \sqrt{ (-3)^{2} } = \sqrt{ 3^{2} } \]

Segun la definición, este ejemplo se escribiría así:

\[ |-3| = |3| \]

Como se ha dicho que el valor absoluto de un número es el mismo número pero positivo, entonces \( |-3| = |3| = 3 \). De esta manera queda solucionado este inconveniente.

Solución de la raíz cuadrada de un número

Si \( x^{2} = a \), entonces \( x = \sqrt{a} \) o \( x = – \sqrt{a} \).

Prueba

  1. Tenemos \( x^{2} = a \), si extramos la raíz cuadrada:
    \[ \sqrt{ x^{2} } = \sqrt{a} \]
  2. Como dijimos que \( \sqrt{ x^{2} } = |x| \), entonces:
    \[ |x| = \sqrt{a} \]
  3. Si \( x \) es positivo, entonces simplemente \( |x| = x \), no hay ningún cambio en su signo, se cumple por un lado que \( x = \sqrt{a} \).
  4. Pero si \( x \) es negativo, su valor absoluto debe ser positivo, esto obliga ha que \( |x| = -x \), es decir, \( -x \) es positivo, entonces, por otro lado sería:
    \[ -x = \sqrt{a} \]
  5. De esta manera demostramos que:
    \[ x = \sqrt{a} \ \text{ó} \ x = – \sqrt{a} \]

Factor de multiplicación en radicales

Del concepto de radicación podemos deducir que \( \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[ n {\color{red}k} ]{ x^{ m {\color{red} k } } } \) y esto es evidente por lo siguiente:

\[ \sqrt[ n {\color{red} k } ]{x^{ m {\color{red} k } }} = x^{ \frac{ m {\color{red} k } }{ n {\color{red} k } } } = x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^m } \]

Pero esta simplificación se cumple para cuando \( k \) es impar, si \( k \) es par sería así:

\[ \sqrt[nk]{ x^{mk} } = \sqrt[n]{ |x^{m}| } \]

Y esto es fácil comprobarlo, pero esto lo veremos después de la propiedad de raíz de raíz, antes veamos un ejemplos ilustrativos.

Ejemplos

  • \( \sqrt[3]{a^5} = \sqrt[ 3 \cdot {\color{red} 2 } ]{ a^{ 5 \cdot {\color{red} 2 } } } \)
  • \( \sqrt[4]{ a^{12} } = \sqrt[ 4 \cdot {\color{red} 3 } ]{ a^{ 12 \cdot {\color{red} 3 } } } \)
  • \( \sqrt[5]{a^2} = \sqrt[ 5 \cdot {\color{red} 4 } ]{ a^{ 2 \cdot {\color{red} 4 } } } \)
 

Al revés también:

  • \( \sqrt[ 3 \cdot {\color{red} 4 } ]{ a^{ 5 \cdot {\color{red} 4 } } } = \sqrt[3]{a^5} \)
  • \( \sqrt[ 7 \cdot {\color{red} 1} {\color{red} 2} ]{ a^{ 2 \cdot {\color{red} 1} {\color{red} 2} } } = \sqrt[7]{a^2} \)
  • \( \sqrt[ 3 \cdot 2 ]{ (-7)^{ 5 \cdot 2 } } = \sqrt[3]{ |(-7)^{5}| } \), como \( (-7)^{5} = -7^{5} \), entonces \( \sqrt[3]{ | -7^{5} | } = \sqrt[3]{ 7^{5} } \).

Principales leyes de la radicación


En este tema generalmente existe 3 leyes principales de los radicales, junto con las 5 principales leyes de la potenciación representan las conocidisimas leyes de la teoría de exponentes, veamos cada una de ellas.

Ley de raíz de un producto

Se cumple para cualquier valor de \( a \) y \( b \) y un entero \( n \) lo siguiente:

\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \]

Es decir, la raíz de un producto es igual al producto de sus raíces.

Demostración

  1. Sean \( x = \sqrt[n]{a} \cdot ( \mathrm{I} ) \) y \( y = \sqrt[n]{b} \cdot ( \mathrm{II} ) \), por definición de radicación, resulta:
    \[ x^{n} = a \wedge y^{n} = b \]
  2. multiplicando estas dos expresiones:
    \[ x^{n} \cdot y^{n} = ab \]
  3. Por la propiedad de potencia de un producto \( a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \), resulta:
    \[ (xy)^{n} = ab \]
  4. Por definición de radicación:
    \[ ( xy = \sqrt[n]{ab} … ( \alpha ) \]
  5. Si multiplicamos \( ( \mathrm{I} ) \) y \( \mathrm{II} \)
    \[ xy = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \]
  6. Comparando con \( ( \alpha ) \) demostramos que:
    \[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \]

Ejemplo

  • \( \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \), también se puede escribir al revés \( \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab} \).
  • \( \sqrt[5]{xyz} = \sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{y} \cdot \sqrt[5]{z} \), al revés \( \sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{y} \cdot \sqrt[5]{z} = \sqrt[5]{xyz} \).
  • \( \sqrt[7]{2ab^2 c^3} = \sqrt[7]{2} \cdot \sqrt[7]{a} \cdot \sqrt[7]{b^2} \cdot \sqrt[7]{c^3} \), al revés \( \sqrt[7]{2} \cdot \sqrt[7]{a} \cdot \sqrt[7]{b^2} \cdot \sqrt[7]{c^3} = \sqrt[7]{2ab^2 c^3} \).

Ley de raíz de un cociente

Se logra demostrar que:

\( \sqrt[ {\color{red} n } ]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[ {\color{red} n } ]{a} }{ \sqrt[ {\color{red} n } ]{b} } \)

La raíz de un cociente es igual al cociente de sus raíces, donde \( b \neq 0 \) ya que no existe un número que se pueda dividir entre 0.

Demostración:

  1. La prueba es similar como la demostración anterior, sean \( x = \sqrt[n]{a} \) y \( y = \sqrt[n]{b} \), dividiendo estas dos expresiones, resulta:
    \[ \frac{x}{y} = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \cdots ( \beta ) \]
  2. Por la definición de radicación a \( x \) e \( y \), tenemos:
    \[ x^{n} = a \wedge y^{n} = b \]
  3. Dividiendo:
    \[ \frac{ x^{n} }{ y^{n} } = \frac{a}{b} \]
  4. Por la propiedad de potencia de un cociente \( ( \frac{x}{y} )^{n} = \frac{ x^{n} }{ y^{n} } \), resulta:
    \[ ( \frac{x}{y} )^{n} = \frac{a}{b} \]
  5. Por definición de radicación:
    \[ \frac{x}{y} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \]
  6. Comparando con \( ( \beta ) \), finalmente demostramos que:
    \[ \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \]

Ejemplo

  • \( \sqrt{ \frac{2}{3} } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \), también se puede escribir al revés \( \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } = \sqrt{ \frac{2}{3} } \).
  • \( \sqrt[3]{ \frac{4}{5} } = \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{5} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{5} } = \sqrt[3]{ \frac{4}{5} } \).
  • \( \sqrt[7]{ \frac{9}{7} } = \frac{ \sqrt[7]{9} }{ \sqrt[7]{7} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[7]{9} }{ \sqrt[7]{7} } = \sqrt[7]{ \frac{9}{7} } \).
  • \( \sqrt[4]{ \frac{a^3}{b^5} } = \frac{ \sqrt[4]{a^3} }{ \sqrt[4]{b^5} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[4]{a^3} }{ \sqrt[4]{b^5} } = \sqrt[4]{ \frac{a^3}{b^5} } \).
  • \( \sqrt[9]{ \frac{x^3}{y^5} } = \frac{ \sqrt[9]{ x^3 } }{ \sqrt[9]{y^5} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[9]{ x^3 } }{ \sqrt[9]{y^5} } = \sqrt[9]{ \frac{x^3}{y^5} } \).

La prueba de esta ley lo realizaremos en los ejercicios de la próxima entrada.

Ley de raíz de raíz

Se demuestra que:

\[ \sqrt[ {\color{red} m } ]{ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ \sqrt[ {\color{red} p } ]{a} } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{a} \]

Raíz de raíz de raíz de un término es igual una sola raíz de ese término, note que los índices \( {\color{red} m } \), \( {\color{red} n } \), \( {\color{red} p } \) se multiplican.

Demostración

  1. Su demostración es muy sencilla, demostraremos para dos radicales para reducir el exceso de contenido, sea \( x = \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } \cdots ( \theta ) \), por definición de radicación, tenemos:
    \[ x^{m} = \sqrt[n]{a} \]
  2. De nuevo por la definición de radicación:
    \[ ( x^{m} )^{n} = a \]
  3. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( x^{m} )^{n} = x^{mn} \), tenemos:
    \[ x^{mn} = a \]
  4. Por definición de radicación:
    \[ x = \sqrt[mn]{a} \]
  5. Comparando con \( ( \theta ) \), felizmente se demuestra que:
    \[ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } = \sqrt[mn]{a} \]

Ley extendida de raíz de raíz

Esta es la forma extendida de raíz de raíz:

 
  • \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a \sqrt[ {\color{red} n } ]{ b \sqrt[ {\color{red} p } ]{c}  } } = \sqrt[ {\color{red} m } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{c} \)
 

Tener en cuenta que los valores \( \color{red} m \), \( \color{red} n \), \( \color{red} p \) son los indices de los radicales, no confundir con exponentes. Tanto la ley de raíz de raíz como su forma extendida serán demostradas en la siguiente entrada.

Demostración pendiente. Falto demostrar la propiedad del factor par para radicales que dice:

\[ \sqrt[nk]{ a^{mk} } = \sqrt[n]{ |a^{m}| } \]

Si \( k \) es un número par.

Prueba:

  1. Como \( k \) es par, entonces \( k = 2q \), donde \( q \) es cualquier entero positivo, entonces:
    \[ \sqrt[ n(2q) ]{ a^{ m(2q) } } \]
  2. Por la propiedad de raíz de raíz y potencia de potencia, se tiene:
    \[ \sqrt[nq]{ \sqrt{ ( a^{mq} )^{2} } } \]
  3. Por la definición de la raíz cuadrada con valor absoluto, se cumple:
    \[ \sqrt[nq]{ | a |^{mq} } = \sqrt[n]{ \sqrt[q]{ ( |a|^{m} )^{q} } } \]
  4. Simplificando \( q \), finalmente demostramos que:
    \[ \sqrt[nk]{ a^{mk} } = \sqrt[n]{ | a^{m} | } \]

Otras formas generalizadas de la ley de raíz de raíz


Aquí otras formas generalizadas de esta ley:

Para la multiplicación:

\[ \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \ \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \ \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } {\color{red} q } ]{ a^{ ( (x {\color{red} n } +y) {\color{red} p } +z ) {\color{red} q } + r } }  \]

Para la división:

\[ \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \div \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \div \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \div \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[mnpq]{ a^{ ( (x {\color{red} n } -y)  {\color{red} p }-z ) {\color{red} q } – r } }  \]

Cada una de estas propiedades lo demostraremos en los ejercicios propuestos de la próxima entrada, también una sencilla mnemotecnia para no olvidar el desarrollo de estas propiedades. Comencemos con algunas aplicaciones para que se acostumbren con esta ley:

Ejemplos

  • \( \sqrt{ \sqrt[3]{8} } = \sqrt[ 2 \cdot 3 ]{8} = \sqrt[6]{6} \)
  • \( \sqrt{ \sqrt[3]{ \sqrt[7]{5} } } = \sqrt[ 2 \cdot 3 \cdot 7 ]{5} = \sqrt[42]{5} \)
  • \( \sqrt[4]{ \sqrt[5]{ \sqrt[6]{7} } } =\sqrt[ 4 \cdot 5 \cdot 6 ]{7} = \sqrt[120]{7} \)
  • Reducir \( \sqrt[3]{ x \cdot \sqrt[4]{ y \cdot \sqrt[5]{ z } } } \)
    Usando
    \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a \sqrt[ {\color{red} n } ]{ b \sqrt[ {\color{red} p } ]{c}  } } = \sqrt[ {\color{red} m } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{c} \), tenemos:

    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{z}  } } = \sqrt[{\color{red} 3 } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } \cdot {\color{red} 5 } ]{c} \)
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{z}  } } = \sqrt[{\color{red} 3 } ]{x} \cdot \sqrt[ {\color{red} 1 } {\color{red} 2 } ]{y} \cdot \sqrt[ {\color{red} 6 } {\color{red} 0 } ]{z} \)

  • Reducir \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x^2 \ \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y^7 \ \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ z^9 } } }  \)
    Usando  \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a \sqrt[ {\color{red} n } ]{ b \sqrt[ {\color{red} p } ]{c}  } } = \sqrt[ {\color{red} m } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{c} \), tenemos:
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x^2 \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y^7 \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ z^9 }  } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{x^2} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } ]{y^7} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } \cdot {\color{red} 5 } ]{z^9} \)
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x^2 \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y^7 \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ z^9 }  } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{x^2} \cdot \sqrt[ {\color{red} 1 }  {\color{red} 2 } ]{y^7} \cdot \sqrt[ {\color{red} 6 } {\color{red} 0 } ]{z^9} \)
  • Reducir \( \sqrt[3]{ a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7} } \)
    Usando \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \ \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \ \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } {\color{red} q } ]{ a^{ ( (x {\color{red} n } +y) {\color{red} p } +z ) {\color{red} q } + r } }  \), tenemos:
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ a^2 \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ a^7 } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 5 } ]{ a^{ 2 \cdot {\color{red} 5 } +7 } }  \)
    \( \sqrt[3]{ a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7} } = \sqrt[15]{a^{17}} \)
  • Reducir \( \sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7 \cdot \sqrt[4]{a^8} } } \)
    Usando \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \ \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \ \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } {\color{red} q } ]{ a^{ ( (x {\color{red} n } +y) {\color{red} p } +z ) {\color{red} q } + r } }  \), tenemos:
    \( \sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7 \cdot \sqrt[4]{a^8} } } = \sqrt[ 3 \cdot 5 \cdot \ 4 ]{ a^{ (2 \cdot 5 +7 ) 4 +8 } } \)
    \( \sqrt[3]{ a^2 \cdot \sqrt[5]{ a^7 \cdot \sqrt[4]{ a^8 } } } = \sqrt[60]{ a^76 } \).
 

De esta manera terminamos con todas las leyes de los radicales, sin embargo, hay otra propiedad no muy usual, esta es una consecuencia directa de las propiedades de raíz de raíz para la multiplicación, tiene la siguiente forma:

\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[nm]{ a ^{n+m} }  \]

Es fácilmente demostrable y nos dice que la multiplicación de dos radicales con índices diferente y el mismo radicando nos da como resultado un raíz con la multiplicación de los índices de las raíces iniciales y conservando el radicando inicial pero elevado ala suma de los índices iniciales de las primeras radicales.

Lo anunció por si necesitan se topan con este estilo de problemas y necesitan reducir tiempo al resolver problemas de teoría de exponentes.

Exponente de exponente


Volvamos con el tema de exponente de exponente que ya lo había mencionado en la primera sección de leyes de los exponentes. Pero lo vamos a explicar un poco más claro. Sea la siguiente igualdad.

\[ a^{m^n} = \overset{ {\color{red} \swarrow } }{a^{m^n}} = \overset{ \color{red} \swarrow }{ a^{ ( {\color{red} m }^{\color{red} n } ) } } = a^{\color{red} k  } \]

Tengan en cuenta que el exponente de \( a \) es \( m^n = k \), primero se resuelve \( m^n \) que sería \( k \) y luego se resuelve \( a^k \), fijense en el esquema que se opera de arriba hacia abajo, aquí tenemos como es de costumbre, algunas aplicaciones:

Ejemplos

  • \( \overset{\color{red} \swarrow }{ 3^{ {\color{red} 2 }^{\color{red} 2 } } } = 3^{ ( {\color{red} 2 }^{\color{red} 2 }) } = \overset{\color{red} \swarrow }{ 3^{\color{red} 4 }} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)
  • \( \overset{\color{red} \swarrow }{ a^{ { 2 }^{ 2^2 } } } = a^{ 2^{ ( {\color{red} 2 }^{\color{red} 2 } ) } } = \overset{\color{red} \swarrow }{ a^{ 2^{\color{red} 4 } }} = a^{ (2^{\color{red} 4 }) } = a^{16} \)
  •  \( \overset{\color{red} \swarrow }{ 2^{5^{7^0}}} = 2^{ 5^{ {\color{red} 7 }^{\color{red} 0 } } } = 2^{ ( 5^{\color{red} 1 } ) } = \overset{\color{red} \swarrow }{ 2^5 } = 32 \)

De esta manera, finalizamos con todas las leyes de los radicales en el curso de teoría de exponentes.

Ley de signos para la multiplicación, división, potenciación y radicación


Por último, dejaremos en pie las leyes de los signos antes de comenzar los ejercicios para la próxima entrada, es muy importante recordarlo.

Signos iguales nos da siempre positivo

  • \( (+)(+) = + \)
  • \( \frac{ (+) }{ (+) } = + \)
  • \( (-)(-) = + \)
  • \( \frac{ (-) }{ (-) } = + \)

Signos diferente nos da siempre negativo

  • \( (-)(+) = – \)
  • \( \frac{ (-) }{ (+) } = – \)
  • \( (+)(-) = – \)
  • \( \frac{ (+) }{ (-) } = – \)

Leyes de signos en potenciación

  • \( (+)^{par} = + \)
  • \( (-)^{par} = + \)
  • \( (+)^{impar} = + \)
  • \( (-)^{impar} = – \)

Leyes de signos en radicales

  • \( \sqrt[par]{+} = + \)
  • \( \sqrt[par]{-} = \text{imaginario} \)
  • \( \sqrt[impar]{+} = + \)
  • \( \sqrt[impar]{-} = – \)

Ahora estamos preparados para resolver problemas de teoría de exponentes que lo veremos en la próxima sección del capitulo actual, esto sería todo.

Por fin terminamos con la teoría de exponentes, la próxima y penúltima sección del curso básico se centrará en problemas resueltos, es importante tener en cuenta el desarrollo de la potenciación, los radicales y todas sus leyes. Me despido, esto sería todo por hoy, nos vemos en la próxima sección, bye.

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Detalles Del Capitulo
Que es la radicación
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Que es la radicación
Descripción
La radicación es una operación matemática inversa a la potenciación y viene de resolver la ecuación x^=a, donde x es la raíz enésima o de orden n.
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Ciencias Básicas
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