Que es la potenciación

1. Potenciación y sus propiedades


Hola a todos, en esta oportunidad, les presento el primer curso de teoría de exponentes siendo la primera sección del curso de álgebra elemental, en esta ocasión desarrollaremos la potenciación.

Para definir la potenciación, se establecen 3 elementos principales que la conforman, esto son, la base, el exponente y la potencia, donde el exponente se define en el campo de los números enteros, sin mas que decir, comencemos.

¿Que es la potenciación?


La potenciación nos ayuda a resumir simbólicamente al escribir repetitivamente un número al multiplicarse varias veces y esta determinado por 3 elementos principales, veamos su definición.

Definición

Se define potenciación aquella operación matemática que consiste en multiplicar un mismo número \( a \) llamado base tantas veces como lo indique otro número \( n \) llamado exponente obteniendo como resultado un tercer número \( P \) llamado potencia denotado por \( a^{n} \), simbólicamente se expresa así:

\[ { \color{blue}{a} }^{ \color{red}{ n } } = \underbrace{ \color{blue}{a} \cdot \color{blue}{a} \cdot \color{blue}{a} \cdots \color{blue}{a} }_{ n \text{factores} } = \color{green}{P} \]

y se lee “\( a \) elevado potencia de \( n \)” donde:


  • Notación: \( { \color{blue}{a} }^{ \color{red}{n} } \)
  • Definición: \( \color{blue}{a} \cdot \color{blue}{a} \cdot \color{blue}{a} \cdots \color{blue}{a} \)
  • Resultado: \( \color{green}{P} \)

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos, veamos:

  • \( \underbrace{ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ \color{red}{5} \ \text{factores} } \) lo escribimos como \( 2^{ \color{red}{5} } \).
  • \( \underbrace{ 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 }_{ \color{red}{7} \ \text{factores} } \) lo escribimos como \( 5^{ \color{red}{7} } \).
  • \( \underbrace{ 10 \times 10 \times 10 \cdots 10 }_{ \color{red}{20} \ \text{factores} } \) lo escribimos como \( 10^{ \color{red}{20} } \).
  • \( \underbrace{2}_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \) se escribe como \( 2^{ \color{red}{1} } \), otros ejemplos sería \( a = a^{1} \) ó \( x = x^{1} \).

En el último ejemplo donde encontramos que \( a=a^{1} \) ó \( x=x^{1} \), significa que el mínimo valor del exponente es 1 lo que significa que solo estamos multiplicando una única vez, aunque realmente no se esta multiplicando nada, solo aclaro este punto.

Aplicaciones de la potenciación

  • Calcular el valor de \( 2^{6} \):
    Del concepto anterior, se puede escribir de la siguiente manera:
    \[ 2^{ \color{red}{6} } = \underbrace{ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ \color{red}{6} \ \text{ veces } } = 64 \]
    Entonces, decimos que la potencia de \( 2^{ \color{red}{6} } \) es \( 64 \).
  • Resolver \( 5^{4} \):
    \( 5^{ \color{red}{4} } = \underbrace{ 5 \times 5 \times 5 \times 5 }_{ \color{red}{4} \ \text{veces} } = 625 \).
  • Resolver \( 3^{6} \):
    \( 3^{ \color{red}{6} } = \underbrace{ 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 }_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } = 729 \).
  • Resolver \( a^{2} \):
    \( a^{ \color{red}{2} } = \underbrace{ a \times a }_{ \color{red}{2} \ \text{veces} } \).
  • Resolver \( a^{1} \)
    \( a^{ \color{red}{1} } = \underbrace{a}_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \).
  • Resolver \( (-2)^{4} \)
    \( ( -2 )^{ \color{red}{4} } = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 \)
  • Resolver \( -2^{4} \)
    \( -2^{ \color{red}{4} } = – \underbrace{ 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ \color{red}{4} \ \text{veces} } \).
  • Resolver \( a \cdot a^{2} \cdot a^{3} \):
    \( \begin{align} a^{ \color{red}{1} } \times a^{ \color{red}{2} } \times a^{ \color{red}{3} } & = \underbrace{ a }_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \times \underbrace{ a \times a }_{ \color{red}{2} \ \text{veces} } \times \underbrace{ a \times a \times a }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } \\ & = \underbrace{ a \times a \times a \times a \times a \times a }_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } = a^{ \color{red}{6} } \end{align} \).

en este último ejemplo de \( -2^{ \color{red}{4} } \), el exponente afecta a la base \( 2 \) pero no al símbolo de sustracción \( – \), veamos otros ejemplos.

  • \( \underbrace{ a \times a \times a \cdots a }_{ \color{red}{10} \ \text{veces} } = a^{ \color{red}{10} } \)
  • \( \underbrace{ \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \cdots \sqrt{2} }_{ \color{red}{30} \ \text{veces} } = \sqrt{2}^{ \color{red}{30} } \)
  • \( \underbrace{ x^{x} \cdot x^{x} \cdot x^{x} \cdots x^{x} }_{ \color{red}{15} \ \text{veces} } = ( x^{x} )^{ \color{red}{15} } \)
  • \( \underbrace{ (-2)(-2)(-2) \cdots (-2) }_{ \color{red}{1000} \ \text{veces} } = (-2)^{ \color{red}{1000} } \)

Exponentes especiales

Existen exponentes que reciben un nombre especial, por ejemplo, la potencias del tipo \( a^{2} \) y \( a^{3} \) suele leerse como “\( a \) elevado al cuadrado” y “\( a \) elevado al cubo” respectivamente.

Existen otros que se les llama por su numeración como por ejemplo \( a^{4} \) y se lee “\( a \) elevado a la cuarta potencia”, “\( a \) elevado a la cuarta” o simplemente “\( a \) a la cuarta”.

Para \( a^{5} \) simplemente se leería “\( a \) a la quinta” o para \( a^{6} \) se leería “\( a \) a la sexta” y así sucesivamente.


Exponente de exponente

Llamamos exponente de exponente a las expresiones del tipo:

  • \( 4^{ 3^{7} } \) donde su base es \( 4 \) y el exponente es \( 3^{7} \).
  • \( 2^{ 3^{ 9^{5} } } \) donde su base es \( 2 \) y el exponente es \( 3^{ 9^{5} } \).
  • \( 5^{ 6^{3} } \) donde su base es \( 5 \) y el exponente es \( 6^{3} \).

Veamos algunos ejemplos mas para diferenciar estos puntos.

Ejemplos:

  • La potenciación \( { \color{blue}{2} }^{ \color{green}{9} } \) se puede escribir como \( { \color{blue}{2} }^{ \color{green}{ 3^{2} } } \).
    La base de \( { \color{blue}{2} }^{ \color{green}{ 3^{2} } } \) es \( 2 \) y su exponente es \( \color{green}{ 3^{2} } \).
  • La igualdad \( { \color{red}{2} }^{16} = { \color{red}{2} }^{ 2^{4} } = { \color{red}{2} }^{ 2^{ 2^{2} } } \).
    La base de \( { \color{blue}{2} }^{ 2^{ \color{green}{ 2^{2} } } } \) es \( \color{blue}{2} \) y el exponente es \( 2^{ \color{green}{ 2^{2} } } = 16 \).
  • La potenciación \( { \color{blue}{a} }^{ \color{green}{ x^{x} } } \) tiene como base el valor de \( \color{blue}{a} \) y su exponente es \( \color{green}{x^{x} } \).

Exponente sucesivo

Según los puntos anteriores, podemos establecer una regla, sean las variables \( x \), \( y \), \( z \), \( w \), \( m \), \( n \) se cumple que:

\[ x^{ y^{ z^{ w } } } = x^{ y^{m} } = x^{ n } \]

donde \( z^{w} = m \) y \( y^{m} = n \)

Ahora veamos las primeras 5 leyes, reglas o propiedades de la potenciación de números enteros siendo las primeras leyes fundamentales de la teoría de exponentes con sus respectivos ejemplos.


Leyes o Reglas de la potenciación


Las leyes o reglas de la potenciación son en total 5 y están definidas para exponentes en el campo de los números enteros y viene con sus respectiva demostración. Veamos cada una de estas propiedades con sus respectivos ejemplos.


Multiplicación de potencias de bases iguales (regla 1)

El producto de potencias de bases iguales resulta otra potencia con la misma base pero con los exponentes sumados.

\[ a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \]

No olvidar que \( m \) y \( n \) indican cuantas veces se debe de multiplicar la base \( a \), la base puede tomar cualquier valor que te imagines.

Este teorema es una de las primeras propiedades más básicas de la teoría de exponentes y es, junto con el resto de las siguientes propiedades, la que usaremos en todas las áreas relacionadas con las matemáticas, la propiedad se centra en el producto de dos factores de bases iguales y exponentes distintos, su demostración informal es la siguiente:

Demostración:

  1. Por el concepto de potencia:
    \[ a^{ \color{red}{m} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{m} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \  \color{red}{ \text{y} } \  a^{ \color{red}{n} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \]
  2. Multiplicando:
    \[ a^{ \color{red}{m} } \cdot a^{ \color{red}{n} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{m} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \cdot \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \]
  3. Agrupando:
    \[ a^{ \color{red}{m} } \cdot a^{ \color{red}{n} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{m+n} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \]
  4. Por el concepto de potencia:
    \[ a^{ \color{red}{m} } \cdot a^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{m+n} } \]

¿Sencillo no? todas las leyes que veremos más adelante se prueba usando el concepto de potencia, pero antes de comenzar con el resto de las propiedades, vayamos a ver algunas aplicaciones de nuestra primera ley.


Ejemplos:

Para nuestro propósito que ya verán a continuación, realizaremos 4 sencillos pasos, tomaremos los valores de \( a^{2} \) y \( a^{3} \) como ejemplos, tenemos lo siguiente.

  1.  Por el concepto de potencia:
    \[ a^{2} = \underbrace{ a \cdot a }_{ 2 \ \text{veces} }  \ \color{red}{ \text{ y } } \  a^{3} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ 3 \ \text{veces} } \]
  2. Multiplicando:
    \[ a^{2} \cdot a^{3} = \underbrace{ a \cdot a }_{ 2 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ 3 \ \text{veces} } \]
  3. Agrupando:
    \[ a^{2} \cdot a^{3} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a }_{ 2+3 \ \text{veces} } \]
  4. Por el concepto de potencia:
    \[ a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} \]

Si tienes problemas con las leyes de exponentes, te sugiero que visualices bien la lógica de cada una de los ejemplos, de esta manera lo entenderás mejor.

  1. \( 2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3+2} = 2^{5} \)
  2. \( 2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a+b} \)
  3. \( 3^{2} \cdot 3^{4} \cdot 3^{6} = 3^{ 2+4+6 } \)
  4. \( 5^{1} \cdot 5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{1+2+3+4} = 5^{10} \)
  5. \( a^{1} \cdot a^{3} \cdot a^{6} = a^{1+3+6} = a^{10} \)
  6. Probar que \( 2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5} \)
    Solución: \( 2^{3} \cdot 2^{2} = \underbrace{ 2 \cdot 2 \cdot 2 }_{ 3 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ 2 \cdot 2 }_{ 2 \ \text{veces} } = 2 \cdot 2 \)
  7. \( 4^{a} \cdot 4^{b} = 4^{a+b} \)
  8. \( 3^{n} \cdot 3^{m} = 3^{n+m} \)
  9. \( 7^{n+m} = 7^{n} \cdot 7^{m} \)
  10. \( 10^{a+b+c} = 10^{a} \cdot 10^{b} \cdot 10^{c} \)

Note que los puntos 9 y 10 son dos operaciones de la primera ley enunciada pero calculada al revés, la ley dice que \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \), también se puede escribir así \( a^{ \color{red}{n+m} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } \).

El resto de las propiedades de la potenciación se demostrarán y ejemplificarán del mismo modo como la primera ley de potencia que acabamos de finalizar.

Potencia de un producto (regla 2)

La potencia de un producto bajo un exponente es igual a la multiplicación de los factores del producto con el mismo exponente.

\[ (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{n} } \]


Aquí el exponente \( n \) afecta por separado a los valores de \( a \) y \( b \).

Como hemos visto, el producto se realiza con bases diferentes pero con el mismo exponente. Veamos como se demuestra esta ley.

Demostración:

  1. Por el concepto de potencia:
    \[ (ab)^{n} = \underbrace{ (ab)(ab)(ab) \cdots (ab) }_{ n \ \text{veces} } \]
  2. Ordenando términos según la propiedad asociativa para la multiplicación:
    \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ b \cdot b \cdot b \cdots b }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \]
  3. Por el concepto de potencia, finalmente logramos:
    \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \]

Como acabamos de ver, la prueba de la potencia de un producto es muy sencilla. No olvidar que la ley de potencia de un producto se puede escribir al revés así \( a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } = (ab)^{ \color{red}{n} } \).

Ejemplos

Vamos a coprobar que \( ( 5 \cdot 6 )^{3} = 5^{3} \cdot 6^{3} \)

  1.  Por el concepto de potencia:
    \[ (5 \cdot 6  )^3 = \underbrace{ ( 5 \cdot 6 )( 5 \cdot 6 )( 5 \cdot 6 ) }_{ 3 \ \text{veces} } \]
  2. Ordenando términos:
    \[ ( 5 \cdot 6 )^{3} = \underbrace{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }_{ 3 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 }_{ 3 \ \text{veces} } \]
  3. Por definición de potencia:
    \[ ( 5 \cdot 6 )^{3} = 5^{3} \cdot 6^{3} \]

Mas ejemplos:

  • \( (ab) = a^{3} \cdot b^{3} \)
  • \( (mnp)^{5} = m^{5} \cdot n^{5} \cdot p^{5} \)
  • \( ( 2 \cdot 7 \cdot 9 )^{4} = 2^{4} \cdot 7^{4} \cdot 9^{4} \)
  • Probar que \( (ab)^{3} = a^{3} \cdot b^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} (ab)^{3} & = \underbrace{ (ab)(ab)(ab) }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ 3 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ b \cdot b \cdot b }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = a^{3} b^{3} \end{align} \)

¿Que te pareció? ¿sencillo no? si has leído detenidamente desde el inicio de esta sección hasta ahora, te será muy fácil entender las próximas propiedades, vayamos a la siguiente ley de teoría de exponentes.


Potencia de potencia (regla 3)

Una potencia con exponente dado al ser elevado a otro exponente, resulta una potencia con los exponentes multiplicados.

\[ ( a^{ \color{red}{m} } )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{mn} } \]

Cómo ven, los exponentes \( m \) y \( n \) se multiplican al quitar los signos de agrupación.

Demostración

  1. Por el concepto de potencia:
    \[ ( a^{n} )^{m} = \underbrace{ ( a^{n} )( a^{n} )( a^{n} ) \cdots ( a^{n} ) }_{ m \ \text{veces} } \]
  2. Por la propiedad \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \):
    \[ ( a^{n} )^{m} = a^{ \overbrace{ n+n+n+ \cdots + n }^{ m \ \text{veces} } } \]
  3. Resultando:
    \[ ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \]

Ejemplo

Veamos los siguientes ejemplos, comenzaremos con la expresión \( ( 5^{2} )^{3} \):

  1. Por la definición de potencia:
    \[ ( 5^{2} )^{3} = \underbrace{ 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} }_{ 3 \ \text{veces} } \]
  2. Por la propiedad de producto de potencias de bases iguales \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \):
    \[ ( 5^{2} )^{3} = \underbrace{ 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} }_{ 3 \ \text{veces} } \]
  3. Finalmente obtenemos:
    \[ ( 5^{2} )^{3} = 5^{ 2 \cdot 3 } \]

Mas ejemplos:

  • \( ( a^{3} )^{2} = a^{ 3 \cdot 2 } = a^{6} \)
  • \( [ ( b^{2} )^{3} ]^{5} = [ b^{ 3 \cdot 2 } ]^{5} = b^{ 3 \cdot 2 \cdot 5 } \)
  • Probar que \( ( a^{2} )^{3} = a^{6} \)
    Solución:
    \( \begin{align} ( a^{2} )^{3} & = \underbrace{ ( a^{2} ) ( a^{2} ) ( a^{2} ) }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = a^{ \overbrace{ 2+2+2 }^{ 3 \ \text{veces} } } \\ & = a^{ 2 \cdot 3 } \ ( a^{2} )^{3} \\ & = a^{6} \end{align} \)

El concepto de potenciación que establecimos al inicio de esta sección sirve únicamente para números naturales que indica cuantas veces debe de multiplicarse la base, pero para definir el concepto de potenciación de números enteros, debemos definir otros dos tipos de potencias, esto son, el exponente cero y el exponente negativo. y esto es lo que discutiremos en los siguientes apartados.


Exponente cero

El valor mínimo de un exponente para \( a^{ \color{red}{n} } \) es cuando \( n=1 \) según la definición de potenciación que ya hemos propuesto. Si queremos saber el valor de \( a^{0} \), esto es, el exponente cero para cualquier valor real de \( a \), realizaremos la siguiente operación matemática.

  • Tenemos: \( a^{n} = a^{n} \).
  • Lo escribimos así: \( a^{n} = a^{n+0} \), realizaremos un supuesto matemático que viola la definición y las 3 propiedades explicadas hasta ahora donde solo es posible para exponentes enteros positivos iguales y mayores que \( 1 \).
  • Aplicando \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \) donde supondremos que cumple (viola) para \( m=0 \), tenemos: \( a^{n} = a^{n} \cdot a^{0} \cdots ( \mathrm{I} ) \)
  • Pero como sabemos que \( a^{n} = a^{n} \cdot 1 \), de \( \mathrm{I} \) resulta que: \( a^{n} \cdot 1 = a^{n} \cdot a^{0} \).
  • Cancelando \( a^{n} \), finalmente obtenemos: \( a^{0} = 1 \).

Téngase en cuenta que no estamos demostrando nada, la definición de potenciación se ha determinado para cuando el exponente es \( n=1 \), por tanto, no esta definido para \( n=0 \) por lo que estaría violando la definición de potenciación pero no contradiciendo.

Y como no existe contradicción, se pude añadir como una nueva definición, cave destacar que las operaciones anteriores solo sirvieron para averiguar la forma de \( a^{0} \) realizando un supuesto \( m=0 \).

Este nuevo concepto nos puede ayudar a extender la teoría de exponentes para potencias con exponente cero, por ello, lo anunciamos como una nueva definición.

Definición

Toda base elevado al exponente \( 0 \), nos da como resultado 1, matemáticamente se expresa así:

\[ a^{0} = 1 \]


donde \( a \neq 0 \).

Indicamos porque \( a \neq 0 \) no existe ya que no está definido para \( 0^{0} \), de hecho, antes se aceptaba sin demostración que \( 0^{0} = 1 \), actualmente se ha demostrado que esto no es cierto, pero esto lo trataremos en otra oportunidad.

Ejemplo
  • \( 2^{0} = 1 \)
  • \( 5^{0} = 1 \)
  • \( (-8)^{0} = 1 \)
  • \( -7^{0} = -1 \), si el signo negativo no esta encerrado en signos de agrupación, no es afectado por el exponente cero.
  • \( ( 2^{6} + 3^{4} )^{0} = 1 \)

Exponente negativo

Supongamos que queremos dividir \( a^{6} \) con \( a^{3} \), por definición de potencia, resulta:

\[ \require{cancel} \frac{ a^{ \color{red}{6} } }{ a^{ \color{red}{3} } } = \frac{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ a \cdot a \cdot a } }^{ \color{red}{6} \ \text{veces} } }{ \underbrace{ \cancel{ a \cdot a \cdot a } }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } } \]

Usando el concepto de potenciación vemos que podemos eliminar términos, en este caso el numerador y denominador tienen en común el producto  \( a \cdot a \cdot a \), nos quedaría:

\[ \begin{align} \frac{ a^{6} }{ a^{3} } & = \overbrace{ a \cdot a \cdot a }^{ \color{red}{6-3} \ \text{veces} } \ & = a^{ \color{red}{6-3} } = a^{ \color{red}{3} } \end{align} \]


Por lo visto, este resultado no es nada del otro mundo, pero es la primera vez que existe una resta en nuestro exponente. Pero si cambiamos las posiciones de los términos de nuestra división de \( a^{6} \) y \( a^{3} \) quedaría así:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{ \overbrace{ \cancel{ a \cdot a \cdot a } }^{ \color{red}{3} \ \text{veces} } }{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ a \cdot a \cdot a } }_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } } \]

Vemos que podemos quitarle al denominador los términos \( a \cdot a \cdot a \) de lo que hay en el numerador resultando:

\[ \begin{align} \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } & = \frac{ 1 }{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ \color{red}{6-3} \ \text{veces} } } \ \frac{ a^{ \color{red}{6} } }{ a^{ \color{red}{6} } } & = \frac{1}{ a^{3} } \end{align} \]

Por lo visto, este resultado no lo podemos expresar en forma de potencia, recordar que el exponente \( n \) de la potencia \( a^{n} \) indica cuántas veces debe de multiplicarse la base, entonces \( \frac{1}{ a^{n} } \) no nos dice ni se puede colocar como una potencia que nos indique cuantas veces debe multiplicarse la base \( a \). Por ello, necesitamos un nuevo concepto del exponente negativo, para averiguarlo, tomaremos el concepto del exponente cero de la siguiente manera.

  • Tenemos
    \[ a^{0} = a^{0} \]
  • Como \( n-n = 0 \) y por la definición del exponente cero, resulta:
    \[ a^{n-n} = a^{0} = 1 \]
  • Por la propiedad \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \):
    \[ a^{n} \cdot a^{-n} = 1 \]
  • Logramos finalmente:
    \[ a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \]

El exponente \( a^{-n} \) no puede expresarse con el concepto de potenciación, esto es, no se puede hacer \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{-n} \), simplemente no existe.


Esto se debe que la definición de potenciación no admite exponentes negativos pero tampoco lo contradice (razón por el cual no estamos demostrando nada), por tal motivo extenderemos este concepto como una nueva definición.

Definición

Toda base elevado al exponente negativo \( n \), nos dará como resultado lo siguiente:

\[ a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \]

donde \( a \neq 0 \)

Ejemplo

Veamos algunas aplicaciones sencillas del exponente negativo:

  • \( 2^{-5} = \frac{1}{ 2^{5} } \)
  • \( 3^{-7} = \frac{1}{ 3^{7} } \)
  • \( (-4)^{-2} = \frac{1}{ (-4)^{2} } \)
  • \( (-2)^{-3} = \frac{1}{ (-2)^{3} } \)
  • \( \frac{1}{ 4^{2} } = 4^{-2} \)
  • \( \frac{1}{4} = \frac{1}{ 4^{1} } = 4^{-1} \)

Ahora gracias a los conceptos del exponente cero y el exponente negativo podemos anunciar las siguientes 2 leyes clásicas de la teoría exponentes.


División de potencias de bases iguales (regla 4)

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevado a la diferencia de los exponentes de dichas potencias.

\[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \]

Si \( a \neq 0 \).

¿Recuerdan este caso?:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{1}{ a^{ \color{red}{6-3} } } = \frac{1}{ a^{ \color{red}{3} } } \]

Por la ley de la división de potencia de bases iguales, resulta:


\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = a^{ \color{red}{3-6} } = a^{ \color{red}{-3} } \]

Ya no habría problema con el resultado anterior con respecto al exponente negativo ya que hemos definido \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \), donde \( n=3 \). Ahora demostremos la ley actual.

Demostración:

  1. Tenemos:
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } \]
  2. Por la propiedad \( \frac{a}{ \color{red}{b} } = a \cdot \color{red}{ \frac{1}{b} } \):
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ – \color{red}{m} }  \]
  3. Por la propiedad de exponente negativo \( \frac{1}{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ – \color{red}{m} } \):
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ – \color{red}{m} } \]
  4. Donde \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ – \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n} + ( – \color{red}{m} ) } = a^{ n – m } \), finalmente logramos:
    \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \]

Quedando demostrado la cuarta ley de la teoría de exponentes. Ahora vayamos con la ultima ley de las leyes de potenciación.

Ejemplos

Veamos algunas aplicaciones sencillas del de esta propiedad:

  • \( \frac{ 5^{7} }{ 5^{5} } = 5^{ 7-5 } = 5^{2} \)
  • \( \frac{ 3^{5} }{ 3^{3} } = 3^{5-3} = 3^{2} \)
  • \( \frac{ 7^{-2} }{ 7^{3} } = 7^{ -2-3 } = 7^{-6} \)
  • \( \frac{ x^{200} }{ x^{100} } = x^{200-100} = x^{100} \)
  • Probar que \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2^{2} \)
    Solución: por el concepto de potencia.
    \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = \frac{ \overbrace{ 2 \cdot 2 \cdot \cancel{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } }^{ 7 \text{veces} } }{ \underbrace{ \cancel{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } }_{ 5 \text{veces} } } \)
    Simplificando:
    \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2 \cdot 2 = 2^{2} \)
    El resultado sería lo mismo por la cuarta ley o regla:
    \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2^{ 7-5 } = 2^{2} \)

Potencia de un cociente (regla 5)

La potencia de un cociente es igual al cociente de potencias con el mismo exponente.

\[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \]


donde \( b \neq 0 \).

Demostración

  1. Tenemos:
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } \]
  2. Sabiendo que \( \frac{a}{b} = ab^{-1} \):
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = ( ab^{-1} )^{ \color{red}{n} } \]
  3. Como \( ( ab^{-1} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } \):
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } \]
  4. Donde \( ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } = b^{ – \color{red}{n} } \):
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } b^{ – \color{red}{n} } \]
  5. Como \( b^{ – \color{red}{n} } = \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } \), resulta:
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } \]
  6. Donde \( a^{ \color{red}{n} } \cdot \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \), finalmente obtenemos:
    \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \]

De esta manera, queda demostrada la ley de potencia de un cociente, ahora aquí viene algunas aplicaciones de esta ley.

Ejemplo

  • \( ( \frac{m}{n} )^{3} = \frac{ m^{3} }{ n^{3} } \)
  • \( ( \frac{p}{q} )^{7} = \frac{ p^{7} }{ q^{7} } \)
  • \( ( \frac{2}{3} )^{12} = \frac{ 2^{12} }{ 3^{12} } \)
  • Probar que: \( ( \frac{m}{n} )^{3} = \frac{ m^{3} }{ n^{3} } \)
    Solución: Por el concepto de potencia: 
    \( \begin{align} ( \frac{m}{n} )^{3} & = \underbrace{ ( \frac{m}{n} )( \frac{m}{n} )( \frac{m}{n} ) }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = \frac{ m \cdot m \cdot m }{ n \cdot n \cdot n } \\ & = \frac{ m^{3} }{ n^{3} } \end{align} \)
  • \( ( \frac{ a^{2} }{ b^{3} } )^{5} = \frac{ a^{ 2 \cdot 5 } }{ b^{ 3 \cdot 5 } } = \frac{ a^{10} }{ b^{15} } \)
  • \( ( \frac{ 2^{3} }{ 3^{4} } )^{5} = \frac{ 2^{ 3 \cdot 5 } }{ 3^{ 4 \cdot 5 } } = \frac{ a^{15} }{ b^{20} } \)

Veremos una propiedad que es consecuencia de la ley de potencia de un cociente, veamos que nos dice esta propiedad.

Potencia negativa de un cociente (corolario)

Nos dice que:

\[ ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} = \frac{ b^{n} }{ a^{n} } \]

Donde \( ab \neq 0 \), esta propiedad es solo una consecuencia de la ley de potencia de un cociente, su prueba es muy sencilla, te dejo la demostración como ejercicio.


Ejemplos

  • \( ( \frac{x}{y} )^{-2} = ( \frac{y}{x} )^{2} \)
  • \( ( \frac{m}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{m} )^{5} \)
  • \( ( \frac{7}{9} )^{-2} = ( \frac{9}{7} )^{2} \)
  • \( ( \frac{1}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{1} )^{5} = n^{5} \)
  • \( ( \frac{1}{2} )^{-3} = ( \frac{2}{1} )^{3} = 2^{3} \)

La demostración de esta propiedad es muy sencilla, pero lo dejaremos para los ejercicios resueltos después de la sección de radicales o de exponente fraccionario.

Tabla de potencias


Aquí te dejo una tabla de potencias de los 12 primeros números naturales elevados del 1 al 12.

11=1
12=1
13=1
14=1
15=1
16=1
17=1
18=1
19=1
110=1
111=1
112=1
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024
211=2048
212=4096
31=3
32=9
33=27
34=81
35=243
36=729
37=2187
38=6165
39=19683
310=59049
311=177147
312=531441
41=4
42=16
43=64
44=256
45=1024
46=4096
47=16387
48=65536
49=262144
410=1048576
411=4192304
412=16777216
51=5
52=25
53=125
54=625
15=3125
56=15625
57=78125
58=390625
59=1953125
510=9765625
511=48828125
512=244140625
61=6
62=36
63=216
64=1292
65=7776
66=46656
67=279936
68=1679616
69=10077696
610=60466176
611=362797056
612=2176782336
71=7
72=49
73=343
74=2401
75=16807
76=117649
77=823543
78=5764801
79=40353607
710=282475249
711=1977326743
712=13841287201
81 = 8
82 = 64
83 = 512
84 = 4096
85 = 32768
86 = 262144
87 = 2097152
88 = 16777216
89 = 134217728
810 = 1073741824
811 = 8589934592
812 = 68719476736
91 = 9
92 = 81
93 = 729
94 = 6561
95 = 59049
96 = 531441
97 = 4782969
98 = 43046721
99 = 387420489
910 = 3486784401
911 = 31381059609
912 = 282429536481
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000
106 = 1000000
107 = 10000000
108 = 100000000
109 = 1000000000
1010 = 10000000000
1011 = 100000000000
1012 = 1000000000000
111 = 11
112 = 121
113 = 1331
114 = 14641
115 = 161051
116 = 1771561
117 = 19487171
118 = 214358881
119 = 2357947691
1110 = 25937424601
1111 = 285311670611
1112 = 3138428376721
121 = 12
122 = 144
123 = 1728
124 = 20736
125 = 248832
126 = 2985984
127 = 35831808
128 = 429981696
129 = 5159780352
1210 = 61917364224
1211 = 743008370688
1212 = 8916100448256

Potencia de un número


La potencia de un número sirve para indicar sobre que base se esta trabajando para cálculos numéricos muy grandes o para números ultra pequeños, por ejemplo, en quimica, la definición de una unidad molar es “1 mol = 6,022045 x 1023 partículas“, el número grande recibe el nombre de constante de avogadro con el valor de “6,022045 x 1023“; en física cuántica, la constante de Planck es “h = 6,63 x 10-34 J·s“; la constante de gravitación universal es “6,674 x 10-11 Nm2/kg2“. Si se fijan bien, cada una de estas expresiones están expresadas en potencias de base 10.

Un ejemplo de números en potencias de base 5 es la tabla del apartado anterior con exponentes del 1 al 12, con este terminamos la sección actual.

Leyes de los signos para la multiplicación


La multiplicación entre signos iguales resulta ser positivo, y signos contrarios resulta ser negativo.

  • \( (+)(+) = (+) \)
  • \( (-)(-) = (+) \)
  • \( (+)(-) = (-) \)
  • \( (-)(+) = (-) \)

Leyes de los signos para la división


La división entre signos iguales resulta ser positivo, y signos contrarios resulta ser negativo.

  • \( \frac{(+)}{(+)} = (+) \)
  • \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \)
  • \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \)
  • \( \frac{(-)}{(+)} = (-) \)

Leyes de los signos para la potenciación


Aquí no importa si el exponente es un numero entero o natural, sino cuando es par o impar. Cuando una base es elevado a un exponente par, siempre será positivo, pero si el exponente es impar, la potencia hereda el signo de la base.

  • \( (+)^{ \text{par} } = (+) \)
  • \( (-)^{ \text{ par } } = (+) \)
  • \( (+)^{ \text{impar} } = (+) \)
  • \( (-)^{ \text{impar} } = (-) \)

Y eso sería todo queridos amigos, solo he desarrollado las 5 primeras leyes muy fáciles de entender para el capitulo de teoría de exponentes restringida únicamente para el exponente entero, la próxima sección me dedicaré a la definición radicación junto con sus leyes, luego comenzaremos con los ejercícios de potenciación y radicación terminando de esta manera el capitulo de teoría de exponentes.

Y eso seria todo queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, gracias, bye.

Detalles Del Capitulo
Que es la potenciación
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Que es la potenciación
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Definimos potenciación como aquella operación matemática donde se multiplica un mismo número tantas veces como nos indique otro número llamado exponente.
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