Holas amigos, hoy comenzare con la teoría de la radicación del curso de teoria de exponentes, esto es, con el exponente fraccionario. Como este tipo de exponentes no está definido y qué es lo que hace o para qué sirve, comenzaré diseñar algunos ejemplos prácticos para que lo entiendan un poco mejor y luego explicar las 3 principales leyes de la radiación también con sus respectivos ejemplos.

No olviden esta es la continuación de la entrada de las leyes de la potenciación, estas propiedades serán útiles para finalizar con la ultima sección de ecuaciones exponenciales del capitulo actual.

Para el tema del exponente fraccionario, por lo general son 3 leyes básicas, de ellas, existen otras derivadas auxiliares, estas auxiliares son consecuencia directa de estas 3, estas leyes auxiliares se usan solo para reducir problemas que tiene una semejanza similar a las leyes auxiliares ya que se ven muy a menudo en los ejercicios del capitulo actual.

La radicación es una operación matemática de la potenciación, de la misma manera como la resta y la multiplicación donde sus operadores inversos son la resta y la división.

Te lo explico de esta manera, si la suma te agrega, la resta te quita, si la multiplicación te agrega, la división te quita, de la misma manera ocurre con la radicación, es decir, si la potenciación te agrega, la radicación te quita. Expliquemos con un ejemplo sencillo, sea la siguiente igualdad:

\( x = 3 \)

ANALOGÍA con la suma

Si le sumamos 6, resulta:

\( x+6 = 3+6 \)

\( x+6 = 9 \)

Hemos transformado el número 3 en 9 por medio de una suma, ahora, de este nuevo resultado le restamos 6, resultando:

\( x+6-6 = 9-6  \)

\( x+6-6 = 3 \)

Como se han dado cuenta, hemos regresado al primer resultado que habíamos propuesto inicialmente, solo hemos sumado y restado un mismo número para volver al mismo primer resultado, en este caso \( x=3 \).

ANALOGÍA con la MULTIPLICACIÓN 

Haremos lo mismo con otra operación matemática, multipliquemos por 6 al resultado \( x=3 \), veamos:

\( x \cdot 6 = 3 \cdot 6 \)

\( x \cdot 6 = 18 \)

Ahora, dividamos este nuevo resultado entre 6, tenemos:

\( \frac{ x \cdot 6 }{6} = \frac{18}{6} \)
\( \frac{ x \cdot 6 }{6} = 3 \)

Como se habrán dado cuenta, hemos multiplicado nuestro resultado por 6 y luego hemos regresado al mismo resultado dividiendo al nuevo resultado entre 6 quedando \( x=3 \). Hasta aquí todo va muy bien, haremos lo mismo pero con otra operación.

¿Como sería con la potenciación? ¿cual sería el operador contrario?

Tenemos \( x=3 \), si lo elevamos al cubo, nos da:

\( x^3 = 3^3 \)
\( x^3 = 27 \)

Elevar al cubo el valor de 3 nos da como resultado 27, ahora, debe existir una operación matemática que regrese el valor de 27 a 3, Este operador se le ha denominado raíz y se le representa así \( \sqrt{ \ \ } \), para el caso de nuestro ejemplo, si queremos volver al valor original de \( x^3 = 27 \), lo escribimos así:

\( \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{27} \)

\( \sqrt[3]{x^3} = 3 \)

Con respecto a este resultado, podemos anunciar los siguientes ejemplos:

  • Si \( x=7 \), al cuadrado \( x^2 = 49 \), su raíz sería \( \sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{49} = 7 \).
  • Si \( x=9 \), al cubo \( x^3 = 729 \), su raíz sería \( \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{729} = 9 \)
  • Si \( x=7 \), a la cuarta \( x^4 = 1296 \), su raíz sería \( \sqrt[4]{x^4} = \sqrt[4]{1296} = 6 \)

Suponiendo que \(x\) es igual para los casos anteriores,  vemos que estamos regresando al resultado inicial, esto es \( \sqrt[2]{x^2} = \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[4]{x^4} = x \).

Los símbolos \( \sqrt[4]{ \ \ } \), \( \sqrt[3]{ \ \ } \) y \( \sqrt[2]{ \ \ } \) se leen “raiz cuarta de”, “raíz cúbica de” y “raíz cuadrada de” respectivamente, por ejemplo, para \( \sqrt[2]{49} \) se lee “raíz cuadrada de 49”, para \( \sqrt[4]{2401} \) se lee “raíz cuarta de 2401″. Para el caso de la raíz cuadrada del ejemplo \( \sqrt[2]{49} \), por lo general se escribe simplemente como \( \sqrt{49} \).

En general, si tenemos un valor \( z \) y le sacamos la “raíz n-sima”, nos da como resultado otro valor, llamemoslo \( y \), lo escribiremos así:

\( \sqrt[n]{z} = y \)

Esto significa que \( y \) debe ser el valor inicial de \( z \), es decir:

\( y^n =z \)

Si para el ejemplo ilustrativo escribimos \( \sqrt[2]{x^2} = \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[4]{x^4} =x \), nuestro resultado anterior lo podemos escribir así:

\( \sqrt[n]{y^n} = y \)

Por tanto, el concepto de raíz es como el concepto de la resta o división para la suma y multiplicación respectivamente pero aplicada a la potenciación entera. Ahora vamos a deducir o comprender de que está formado este tipo de operaciones, el resultado que veremos a continuación nos dará una noción de cómo se comportan los radicales.

La deducción matemática de la radicacion

Caso particular

Comencemos con un sencillo ejemplo antes de generalizar, tenemos el número 1024, le sacaremos la raíz quinta, el resultado sería:

\( \sqrt[5]{1024} = 4 \) porque \( 4^5 = 1024 \)

Ahora, sabemos que \( 4=4^1 \), donde el exponente 1 se puede escribir así \( 1 = 5 ( \frac{1}{5} ) \), quedando:

\( \sqrt[5]{1024} = 4^1 = 4^{ 5 ( \frac{1}{5} ) } \)

Aplicando la propiedad de potencia de potencia que explicamos en leyes de exponentes de números enteros, es decir, \( a^{ {\color{red} p }{\color{red} q } } = ( a^{\color{red} p } )^{\color{red} q } \) , quedando así:

\( \sqrt[5]{1024} = ( 4^5 )^{ \frac{1}{5} } \)

Sabemos que \( 4^5 = 1024 \), reemplazando este resultado en el lado derecho de la expresión anterior:

\( \sqrt[5]{1024} = 1024^{ \frac{1}{5} } \)

Con este resultado, podemos tener una nocion de como se comportan los radicales, podemos escribirlo en forma exponencial, sin embargo, la expresión \( 1024^{ \frac{1}{5} } \) no se puede expresar como una multiplicación de 1024 varias veces porque no se puede contar de cuantos \( \frac{1}{5} \) hay en 1024, porque \( \frac{1}{5} \) no es entero y no sirve para contar.

Antes de solucionar este problema, vayamos con una forma mas generalizada de este caso particular.

Caso general

Para \( \sqrt[n]{z} =y \), usaremos una propiedad que tratamos en el capítulo anterior del exponente entero y que también usamos en caso particular anterior, pero antes haremos una pequeña estrategia, sabemos que:

\( \sqrt[n]{z} = y = y^1 \)

El exponente 1 se puede escribir como una multiplicación así \( n ( \frac{1}{n} ) \), tenemos:

\( \sqrt[n]{z} = y^{ n ( \frac{1}{n} ) } \)

Usaremos la propiedad de potencia de potencia que nos dice \( a^{ {\color{red} p }{\color{red} q } } = ( a^{\color{red} p } )^{\color{red} q } \), tenemos:

\( \sqrt[n]{z} = ( y^n )^{ \frac{1}{n} } \)

Como \( y^n = z \), entonces:

\( \sqrt[n]{z} = z^{ \frac{1}{n} } \)

Este resultado era el que buscábamos, sin embargo, el término \( z^{ \frac{1}{n} } \), no se puede representar como una multiplicación de potencias, obviamente tu no puedes contar \( 1/8 \) veces o \( 3/29 \) veces, esto significa que \( \z^{ \frac{1}{n} } \) no esta definido, pero si puede admitirse, es decir, puede definirse. Es por ello que lo vamos a definirlo para darle una utilidad necesaria para nuestro curso.

El concepto de RADICACIÓN:

Sabemos que:

\( \sqrt[n]{z} = z^{ \frac{1}{n} } \)

Si hacemos que \( z = x^m \), nos queda:

\( \sqrt[n]{m} =  (x^m)^{ \frac{1}{n} } \)

Usando la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{\color{red} p } )^{\color{red} q } =a^{ {\color{red} p }{\color{red} q } } \), tenemos:

\( \sqrt[n]{ x^m } = x^{ m ( \frac{1}{n} ) } \)

Donde \( m ( \frac{1}{m} ) = \frac{m}{n} \), nuestro nuevo resultado sería:

\( \sqrt[n]{x^m} = x^( \frac{m}{n} ) \)

Pero como los exponentes del tipo \( \frac{m}{n} \) y \( \frac{1}{n} \) no está permitido como ya explique dos veces anteriormente en esta publicación, le daremos una definición adecuada ahora mismo como sigue.

Definicion de radicacion:

Para cualquier valor entero \( {\color{blue} m } \) y \( {\color{red} n } \) y cualquier valor de \( a \), la radicación de \( a^{\color{red} n } \) respecto a \( {\color{blue} m } \) simbolizado por \( \sqrt[ {\color{red} n } ]{a^{\color{blue} m }} \) es:

\( \sqrt[ {\color{red} n } ]{a^{\color{blue} m }} = \underbrace{ a^{ \frac{\color{blue} m }{\color{red} n } } }_{ \begin{matrix} \mathrm{base \ con \ exponente} \\ \mathrm{fracionario} \end{matrix} } \)

Donde \( n \neq 0 \) ya que no existe por ejemplo \( \frac{4}{0} \). Por otro lado, toda raíz de una potencia resulta otra potencia pero con exponente fraccionario. El valor \( n \) se le denomina índice y el valor \( a^n \) se le llama radicando.

Factor de multiplicación en radicales

Del concepto de radicación podemos deducir que \( \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[ n {\color{red}k} ]{ x^{ m {\color{red} k } } } \) y esto es evidente por lo siguiente:

\( \sqrt[ n {\color{red} k } ]{x^{ m {\color{red} k } }} = x^{ \frac{ m {\color{red} k } }{ n {\color{red} k } } } = x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^m } \)

Comencemos con algunos ejemplos aplicativos.

Ejemplos del factor de multiplicación en radicales

  • \( \sqrt[3]{a^5} = \sqrt[ 3 \cdot {\color{red} 2 } ]{ a^{ 5 \cdot {\color{red} 2 } } } \)
  • \( \sqrt[4]{ a^{12} } = \sqrt[ 4 \cdot {\color{red} 3 } ]{ a^{ 12 \cdot {\color{red} 3 } } } \)
  • \( \sqrt[5]{a^2} = \sqrt[ 5 \cdot {\color{red} 4 } ]{ a^{ 2 \cdot {\color{red} 4 } } } \)

Al reves tambien:

  • \( \sqrt[ 3 \cdot {\color{red} 4 } ]{ a^{ 5 \cdot {\color{red} 4 } } } = \sqrt[3]{a^5} \)
  • \( \sqrt[ 7 \cdot {\color{red} 1} {\color{red} 2} ]{ a^{ 2 \cdot {\color{red} 1} {\color{red} 2} } } = \sqrt[7]{a^2} \)

Ejemplos de la definicion de radicacion

De raíz a exponente fraccionario:

  • \( \sqrt{5^3} = { 5^{ \frac{3}{2} } } \)
  • \( \sqrt[3]{7^4} = 7^{ \frac{4}{3} } \)
  • \( \sqrt[5]{4^9} = 4^{ \frac{9}{5} } \)
  • \( \sqrt[8]{a^{15}} = a^{ \frac{15}{8} } \)

De exponente fraccionario a raíz:

  • \( 5^{ \frac{3}{\color{red} 2 } } = \sqrt{5}  \)
  • \( 7^{ \frac{4}{\color{red} 3 } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{7^4} \)
  • \( 4^{ \frac{9}{\color{red} 5 } } = \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{4^9} \)
  • \( 12^{ \frac{3}{\color{red} 5 } } = \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{12^3} \)

Por último, no hay que olvidar que el índice y exponente pueden cambiar su orden de la siguiente manera:

\( \sqrt[n]{ a^m } = { \sqrt[n]{a} }^m \)

Aquí algunos ejemplos:

  • \( \sqrt[17]{8^35} = { \sqrt[17]{8} }^{35} \)
  • \( \sqrt[23]{ 13^7 } = { \sqrt[23]{13} }^7 \)
  • \( \sqrt{5^4} = { \sqrt{5} }^4 \)

Ahora enumeremos las 3 principales leyes de la radicación y algunas leyes auxiliares mas.

Teorema 6: ley de Raíz de un producto:

Se cumple para cualquier valor de \( a \) y \( b \) y un entero \( n \) lo siguiente:

\( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \)

Es decir, la raíz de un producto es igual al producto de sus raíces.

Las pruebas de de esta ley y las siguientes lo encontrarás en la siguiente sección de ejercicios resueltos de potenciacion y radicacion, esto es para no alargar la sección actual. Pero realizaremos una prueba para casos particulares a modo de ejemplo.

Sean las siguientes raíces \( \sqrt[3]{24} \) y \( \sqrt[3]{18} \), según la definición de radicación que nos dice que \( \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n} } \), lo podemos escribir así:

  • \( \sqrt[3]{24} = 24^{ \frac{1}{3} } \)
  • \( \sqrt[3]{18} = 18^{ \frac{1}{3} } \)

Multiplicando miembro a miembro, tenemos:

  • \( \sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{18} = 24^{ \frac{1}{3} } \cdot 18^{ \frac{1}{3} } \)

Usando la propiedad de teoria exponentes de productos de bases iguales que nos dice \( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n }{\color{red} + }{\color{red} m } } \), tenemos:

  • \( \sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{18} = (24 \cdot 18)^{ \frac{1}{3} } \)

Por la notación de exponente, finalmente tenemos:

  • \( \sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{ 24 \cdot 18 } \)

Esta expresion tambien se puede escribir al revez.

  • \(  \sqrt[3]{ 24 \cdot 18 } = \sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{18} \)

Este resultado lo podemos generalizar de la siguiente manera:

Si hacemos que \( a=x^p \) y \( b=y^q \), en nuestra ley anterior, resulta una pequeña generalidad.

  • \( \sqrt[n]{ x^p y^q } = \sqrt[n]{x^p} \cdot \sqrt[n]{y^q} \)

Veamos algunos ejemplos de esta ley.

Ejemplos de la ley de raíz de un producto

  • \( \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \), también se puede escribir al revés \( \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab} \).
  • \( \sqrt[5]{xyz} = \sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{y} \cdot \sqrt[5]{z} \), al revés \( \sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{y} \cdot \sqrt[5]{z} = \sqrt[5]{xyz} \).
  • \( \sqrt[7]{2ab^2 c^3} = \sqrt[7]{2} \cdot \sqrt[7]{a} \cdot \sqrt[7]{b^2} \cdot \sqrt[7]{c^3} \), al revés \( \sqrt[7]{2} \cdot \sqrt[7]{a} \cdot \sqrt[7]{b^2} \cdot \sqrt[7]{c^3} = \sqrt[7]{2ab^2 c^3} \).

Teorema 7: Ley de Raíz de un cociente:

Se logra demostrar que:

\( \sqrt[ {\color{red} n } ]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[ {\color{red} n } ]{a} }{ \sqrt[ {\color{red} n } ]{b} } \)

La raíz de un cociente es igual al cociente de sus raíces, donde \( b \neq 0 \) ya que no existe un número que se pueda dividir entre 0.

Tomemos como ejemplo los siguientes resultados:

  • \( \sqrt[3]{24} = 24^{ \frac{1}{3} } \)
  • \( \sqrt[3]{18} = 18^{ \frac{1}{3} } \)

Tenemos:

  • \( \frac{ \sqrt[3]{24} }{ \sqrt[3]{18} } = \frac{ 24^{ \frac{1}{3} } }{ 18^{ \frac{1}{3} } } \)

Usando la propiedad de potencia de un cociente \( \frac{a^{\color{red} n }}{ b^{\color{red} n } } = ( \frac{a}{b} )^{\color{red} n } \), resulta:

  • \( \frac{ \sqrt[3]{24} }{ \sqrt[3]{18} } = ( \frac{24}{18} )^{ \frac{1}{3} } \)

Por la definición de radicación \(   x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{x^m} \), obtenemos:

  • \( \frac{ \sqrt[3]{24} }{ \sqrt[3]{18} } = \sqrt[3]{ \frac{24}{18} } \)

Y al revés

  • \( \sqrt[3]{ \frac{24}{18} } = \frac{ \sqrt[3]{24} }{ \sqrt[3]{18} } \)

Esto resulta lo podemos generalizar así:

Si hacemos que \( a = x^p \) y \( b = y^q \), la ley de la raíz de un cociente puede expresarse así:

  • \( \sqrt[n]{ \frac{ x^p }{ y^q } } = \frac{ \sqrt[n]{x^p} }{ \sqrt[n]{y^q} } \)

Vayamos con algunas aplicaciones:

Ejemplos de la ley de raíz de un producto

  • \( \sqrt{ \frac{2}{3} } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \), también se puede escribir al revés \( \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } = \sqrt{ \frac{2}{3} } \).
  • \( \sqrt[3]{ \frac{4}{5} } = \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{5} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{5} } = \sqrt[3]{ \frac{4}{5} } \).
  • \( \sqrt[7]{ \frac{9}{7} } = \frac{ \sqrt[7]{9} }{ \sqrt[7]{7} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[7]{9} }{ \sqrt[7]{7} } = \sqrt[7]{ \frac{9}{7} } \).
  • \( \sqrt[4]{ \frac{a^3}{b^5} } = \frac{ \sqrt[4]{a^3} }{ \sqrt[4]{b^5} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[4]{a^3} }{ \sqrt[4]{b^5} } = \sqrt[4]{ \frac{a^3}{b^5} } \).
  • \( \sqrt[9]{ \frac{x^3}{y^5} } = \frac{ \sqrt[9]{ x^3 } }{ \sqrt[9]{y^5} } \), al revés se escribe así \( \frac{ \sqrt[9]{ x^3 } }{ \sqrt[9]{y^5} } = \sqrt[9]{ \frac{x^3}{y^5} } \)

La prueba de esta ley lo realizaremos en los ejercicios de la próxima entrada.

Teorema 8: Ley de raíz de raíz

Se demuestra que:

\( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ \sqrt[ {\color{red} p } ]{a} } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{a} \)

Raíz de raíz de raíz de un término es igual una sola raíz de ese término, note que los índices {\color{red} m }, {\color{red} n }, {\color{red} p } se multiplican.

De la misma manera como en las leyes anteriores de esta entrada, comenzaremos con un ejemplo como de costumbre. Tomemos el siguiente valor \( \sqrt[4]{ \sqrt[9]{ 15^5 } } \), por la definición de radical, tenemos:

  • \( \sqrt[4]{ \sqrt[9]{15^5} } = \sqrt[4]{ (15^5)^{ \frac{1}{9} } } = ( ( 15^5 )^{ \frac{1}{9} } )^{ \frac{1}{4} } \)

Usando la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{\color{red} n } )^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n } {\color{red} m } } \), tenemos:

  • \( \sqrt[4]{ \sqrt[9]{15^5} } = (15^5)^{ ( \frac{1}{4} ) ( \frac{1}{9} ) } = ( 15^5 )^{ \frac{1}{ 4 \cdot 9 } } \)

Aplicando la definición de radicación para \( (15^5)^{ \frac{1}{ 4 \cdot 9 } } = \sqrt[ 4 \cdot 9 ]{15^5} \), resulta:

  • \( \sqrt[4]{ \sqrt[9]{15^5} } = \sqrt[ 4 \cdot 9 ]{15^5} \)

Igualmente como en las leyes anteriores, este caso particular se puede generalizar como veremos ahora mismo.

Ley extendida de raíz de raíz

Esta es la forma extendida de raíz de raíz

  • \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a \sqrt[ {\color{red} n } ]{ b \sqrt[ {\color{red} p } ]{c}  } } = \sqrt[ {\color{red} m } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{c} \)

Tener en cuenta que los valores {\color{red} m }, {\color{red} n }, {\color{red} p } son los indices de los radicales, no confundir con exponentes. Tanto la ley de raíz de raíz como su forma extendida serán demostradas en la siguiente entrada.

Otras formas generalizadas de la ley de raíz de raíz

Aquí otras formas generalizadas de esta ley:

Para la multiplicación:

\( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \ \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \ \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } {\color{red} q } ]{ a^{ ( (x {\color{red} n } +y) {\color{red} p } +z ) {\color{red} q } + r } }  \)

Para la división:

\( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \div \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \div \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \div \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[mnpq]{ a^{ ( (x {\color{red} n } -y)  {\color{red} p }-z ) {\color{red} q } – r } }  \)

Cada una de estas propiedades lo demostraremos en los ejercicios propuestos de la próxima entrada, también una sencilla mnemotecnia para no olvidar el desarrollo de estas propiedades. Comencemos con algunas aplicaciones para que se acostumbren con esta ley:

Ejemplos de la Ley extendida y formas generalizadas de la ley de raiz de raiz

  • \( \sqrt{ \sqrt[3]{8} } = \sqrt[ 2 \cdot 3 ]{8} = \sqrt[6]{6} \)
  • \( \sqrt{ \sqrt[3]{ \sqrt[7]{5} } } = \sqrt[ 2 \cdot 3 \cdot 7 ]{5} = \sqrt[42]{5} \)
  • \( \sqrt[4]{ \sqrt[5]{ \sqrt[6]{7} } } =\sqrt[ 4 \cdot 5 \cdot 6 ]{7} = \sqrt[120]{7} \)
  • Reducir \( \sqrt[3]{ x \cdot \sqrt[4]{ y \cdot \sqrt[5]{ z } } } \)
    Usando
    \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a \sqrt[ {\color{red} n } ]{ b \sqrt[ {\color{red} p } ]{c}  } } = \sqrt[ {\color{red} m } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{c} \), tenemos:

    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{z}  } } = \sqrt[{\color{red} 3 } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } \cdot {\color{red} 5 } ]{c} \)
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{z}  } } = \sqrt[{\color{red} 3 } ]{x} \cdot \sqrt[ {\color{red} 1 } {\color{red} 2 } ]{y} \cdot \sqrt[ {\color{red} 6 } {\color{red} 0 } ]{z} \)

  • Reducir \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x^2 \ \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y^7 \ \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ z^9 } } }  \)
    Usando  \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a \sqrt[ {\color{red} n } ]{ b \sqrt[ {\color{red} p } ]{c}  } } = \sqrt[ {\color{red} m } ]{a} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } ]{b} \cdot \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } ]{c} \), tenemos:
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x^2 \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y^7 \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ z^9 }  } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{x^2} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } ]{y^7} \cdot \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 4 } \cdot {\color{red} 5 } ]{z^9} \)
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ x^2 \cdot \sqrt[ {\color{red} 4 } ]{ y^7 \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ z^9 }  } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{x^2} \cdot \sqrt[ {\color{red} 1 }  {\color{red} 2 } ]{y^7} \cdot \sqrt[ {\color{red} 6 } {\color{red} 0 } ]{z^9} \)
  • Reducir \( \sqrt[3]{ a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7} } \)
    Usando \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \ \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \ \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } {\color{red} q } ]{ a^{ ( (x {\color{red} n } +y) {\color{red} p } +z ) {\color{red} q } + r } }  \), tenemos:
    \( \sqrt[ {\color{red} 3 } ]{ a^2 \cdot \sqrt[ {\color{red} 5 } ]{ a^7 } } = \sqrt[ {\color{red} 3 } \cdot {\color{red} 5 } ]{ a^{ 2 \cdot {\color{red} 5 } +7 } }  \)
    \( \sqr[3]{ a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7} } = \sqrt[15]{a^{17}} \)
  • Reducir \( \sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7 \cdot /sqrt[4]{a^8} } } \)
    Usando \( \sqrt[ {\color{red} m } ]{ a^x \ \sqrt[ {\color{red} n } ]{ a^y \ \sqrt[ {\color{red} p } ]{ a^z \ \sqrt[ {\color{red} q } ]{ a^r } } } } = \sqrt[ {\color{red} m } {\color{red} n } {\color{red} p } {\color{red} q } ]{ a^{ ( (x {\color{red} n } +y) {\color{red} p } +z ) {\color{red} q } + r } }  \), tenemos:
    \( \sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[5]{a^7 \cdot \sqrt[4]{a^8} } } = \sqrt[ 3 \cdot 5 \cdot \ 4 ]{ a^{ (2 /cdot 5 +7 ) 4 +8 } } /)
    \( \sqrt[3]{ a^2 \cdot \sqrt[5]{ a^7 \cdot \sqrt[4]{ a^8 } } } = \sqrt[60]{ a^76 } \)

De esta manera terminamos con todas las leyes de los radicales, sin embargo, hay otra propiedad no muy usual, esta es una consecuencia directa de las propiedades de raíz de raíz para la multiplicación, tiene la siguiente forma:

\( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[nm]{ a ^{n+m} }  \)

Es fácilmente demostrable y nos dice que la multiplicación de dos radicales con índices diferente y el mismo radicando nos da como resultado un raíz con la multiplicación de los índices de las raíces iniciales y conservando el radicando inicial pero elevado ala suma de los índices iniciales de las primeras radicales.

Lo anunció por si necesitan se topan con este estilo de problemas y necesitan reducir tiempo al resolver problemas de teoria de exponentes.

Exponente de exponente

Volvamos con el tema de exponente de exponente que ya lo había mencionado en la primera sección de leyes de los exponentes. Pero lo vamos a explicar un poco más claro. Sea la siguiente igualdad.

\( a^{m^n} = \overset{ {\color{red} \swarrow } }{a^{m^n}} = \overset{ \color{red} \swarrow }{ a^{ ( {\color{red} m }^{\color{red} n } ) } } = a^{\color{red} k  } \)

Tengan en cuenta que el exponente de \( a \) es \( m^n = k \), primero se resuelve \( m^n \) que sería \( k \) y luego se resuelve \( a^k \), fijense en el esquema que se opera de arriba hacia abajo, aquí tenemos como es de costumbre, algunas aplicaciones:

Ejemplos de exponente de exponente

  • \( \overset{\color{red} \swarrow }{ 3^{ {\color{red} 2 }^{\color{red} 2 } } } = 3^{ ( {\color{red} 2 }^{\color{red} 2 }) } = \overset{\color{red} \swarrow }{ 3^{\color{red} 4 }} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)
  • \( \overset{\color{red} \swarrow }{ a^{ { 2 }^{ 2^2 } } } = a^{ 2^{ ( {\color{red} 2 }^{\color{red} 2 } ) } } = \overset{\color{red} \swarrow }{ a^{ 2^{\color{red} 4 } }} = a^{ (2^{\color{red} 4 }) } = a^{16} \)
  •  \( \overset{\color{red} \swarrow }{ 2^{5^{7^0}}} = 2^{ 5^{ {\color{red} 7 }^{\color{red} 0 } } } = 2^{ ( 5^{\color{red} 1 } ) } = \overset{\color{red} \swarrow }{ 2^5 } = 32 \)

De esta manera, finalizamos con todas las leyes de los radicales en el curso de teoria de exponentes.

Ley de signos para la multiplicacion, division, potenciacion y radicacion

Por último, dejaremos en pie las leyes de los signos antes de comenzar los ejercicios para la próxima entrada, es muy importante recordarlo.

Signos iguales nos da siempre positivo

\( (+)(+) = + \)

\( \frac{ (+) }{ (+) } = + \)

\( (-)(-) = + \)

\( \frac{ (-) }{ (-) } = + \)

Signos diferente nos da siempre negativo

\( (-)(+) = – \)

\( \frac{ (-) }{ (+) } = – \)

\( (+)(-) = – \)

\( \frac{ (+) }{ (-) } = – \)

Leyes de signos en potenciación

\( (+)^{par} = + \)

\( (-)^{par} = + \)

\( (+)^{impar} = + \)

\( (-)^{impar} \)

Leyes de signos en radicales

\( \sqrt[par]{+} = + \)

\( \sqrt[par]{-} = imaginario \)

\( \sqrt[impar]{+} = + \)

\( \sqrt[impar]{-} = – \)

Ahora estamos preparados para resolver problemas de teoria de exponentes que lo veremos en la próxima sección del capitulo actual, esto sería todo.

Por fin terminamos con la teoría de exponentes, la próxima y penúltima sección del curso básico se centrará en problemas resueltos, es importante tener en cuenta el desarrollo de la potenciacion, los radicales y todas sus leyes. Me despido, esto sería todo por hoy, nos vemos en la próxima sección, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Leyes De La Radicación
Clasificación
51star1star1star1star1star
2018-09-14T13:45:35+00:00