1. Leyes De La Potenciación

Hola a todos, ¿que tal el día? ¿bien no? ¿o mal?, bueno, mejor no digo nada. 🙂 En esta oportunidad, les presento una entrada de la enseñanza media de mi amigo Juan Blas, que por lo general es muy tímido, pero bueno, es cosa él, jojo. Este es su primer capitulo del curso de álgebra elemental.

Para entender como se define la potenciación, debemos establecer 3 elementos, esto son, la base, el exponente y la potencia. Todo esto lo veremos a continuación.

Nota: La teoría expuesta será de manera informal, es decir, omitiremos definiciones muy complejas para un entendimientos básico de los estudiantes de enseñanza media.

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La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número denominado base tantas veces como lo indique otro número llamado exponente. Para ello, definimos 3 términos, esto son el exponente, la base y la potencia, de tal manera que se cumpla la siguiente ilustración:

Notación de la potenciación

Definicion

Resultado

a^n = a x a x a x ... x a = Potencia

El concepto de potencia en matematicas es una multiplicación repetitiva de un mismo numero tantas veces como lo indique el exponente, del esquea se lee: a elevado a la potencia de n.

Con la potenciación podemos evitar escribir repetitivamente la base a varias veces, esta abreviación es análoga como el caso de la multiplicación an=⏟(a+a+a+⋯+a)┬(n veces). Las abreviaturas a elevado a la n y an nos ayuda a reducir la repetitiva escritura de la variable a varias veces. Veamos algunos ejemplos, veamos:

  • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 lo escribimos 2^5.
  • 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 lo escribimos 5^7.
  • 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 lo escribimos 10^20.
  • 2 lo escribimos 2^1 como tambien aa^1 ó x = x^1.

En el último ejemplo donde encontramos que aa^1 ó x = x^1, significa que el mínimo valor del exponente es 1 por el “momento“.

Ejemplos de potenciación

  • Calcular el valor de 2 elevado a la sexta:

Del concepto anterior, se puede escribir de la siguiente manera:

2^6 = ⏟(2×2×2×2×2×2)┬(6 veces) = 6número 4

entonces, decimos que la potencia de 2^6 es 6número 4, más ejemplos:

  • 5^4 = ⏟(5×5×5×5)┬(4 veces) = 625
  • 3^5 = ⏟(3×3×3×3×3×3)┬(6 veces) = 243
  • a^2 = ⏟(a×a)┬(2 veces)
  • a^1 = ⏟a┬(1 vez)
  • a^1 × a^2 × a^3 = ⏟a┬(1 vez) × ⏟(a×a)┬(2 veces)  × ⏟(a×a×a)┬(3 vez) = ⏟(a×a×a×a×a×a)┬(6 vez) = a elevado a la sexta
  • (-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = número 16
  • -2 elevado a la cuarta = -⏟(2×2×2×2)┬(4 veces) = - número 16

en este último ejemplo de -2 elevado a la cuarta, el exponente afecta a la base 2 pero no al símbolo menos -, téngase en cuenta este punto.

  • ⏟(a×a×a…a)┬(10 veces) = a elevado a la 10
  • ⏟(√2×√2×√2…√2 )┬(30 veces) = 〖√2〗^30
  • ⏟(x^x∙x^x∙x^x…x^x )┬(15 veces) = (x^x )^15
  • ⏟((-2)(-2)(-2)…(-2))┬(1000 veces) = (-2)^1000

Exponente de exponente, una pequeña aclaración

Llamamos exponente de exponente a las expresiones del tipo:

  • 4^(3^7 ) donde su base es 4 y el exponente es .
  • 2^(3^(9^5 ) ) donde su base es 2 y el exponente es 3^(9^5 ).
  • 5^(6^3 ) donde su base es 5 y el exponente es 6^3.

Veamos algunos ejemplos mas para diferenciar estos puntos.

  • La potenciación 2 elevado a la 9 se puede escribir como 2^(3^2 ).
    La base de 2^(3^2 ) es 2 y su exponente es 3^2.
  • La igualdad 2^16=2^(2^4 )=2^(2^(2^2 ) ).
    La base de 2^(2^(2^2 ) ) es 2 y el exponente es 2^(2^2 ) = número 16.
  • La potenciación a^(x^x ) tiene como base el valor de a y su exponente es x^x.

Ahora veamos las primeras 5 leyes, reglas o propiedades de la potenciación de números enteros siendo las primeras leyes fundamentales de la teoría de exponentes con sus respectivos ejemplos.

Teorema 1: Multiplicación de potencias de bases iguales

Se cumple:

a^n × a^m = a^(n+m)

No olvidar que m y n indican cuantas veces se debe de multiplicar la base a, la base puede tomar cualquier valor que te imagines.

Este teorema es una de las primeras propiedades más básicas de la teoría de exponentes y es, junto con el resto de las siguientes propiedades, la que usaremos en todas las áreas relacionadas con las matemáticas, la propiedad se centra en el producto de dos factores de bases iguales y exponentes distintos, su demostración informal es la siguiente:

demostración de Multiplicación de potencias de bases iguales

1. Por el concepto de potencia:

a^m=⏞(⏟(a∙a∙a…a)┬(m veces) )┴Contando  y  a^n=⏞(⏟(a∙a∙a…a)┬(n veces) )┴Contando

2. Multiplicando:

〖a^m∙a〗^n=⏞(⏟(a∙a∙a…a)┬(m veces) )┴Contando∙⏞(⏟(a∙a∙a…a)┬(n veces) )┴Contando

3. Agrupando:

〖a^m∙a〗^n=⏞(⏟(a∙a∙a…a)┬(m+n veces) )┴Contando

4. Por el concepto de potencia:

a^n × a^m = a^(n+m)

¿Sencillo no? todas las leyes que veremos más adelante se prueba usando el concepto de potencia, pero antes de comenzar con el resto de las propiedades, vayamos a ver algunas aplicaciones de nuestra primera ley.

Ejemplos de Multiplicación de potencias de bases iguales

Ejemplo 1

Para nuestro propósito que ya verán a continuación, realizaremos 4 sencillos pasos, tomaremos los valores de a^2 y a^3 como ejemplos, tenemos lo siguiente.

1. Por el concepto de potencia:

a^2 = ⏟(a∙a)┬(2 veces) y a^3 = ⏟(a∙a∙a)┬(3 veces)

2. Multiplicando:

3. Agrupando:

4. Por el concepto de potencia:

Ejemplo 2

Si tienes problemas con las leyes de exponentes, te sugiero que visualices bien la lógica de cada una de los ejemplos, de esta manera lo entenderás mejor.

  1. 2^3× 2^2 = 2^(3+2) = 2^5
  2. 2^a × 2^b = 2^(a+b)
  3. 3^2 × 3^4 3^6 = 3^(2+4+6)
  4. 5^1 × 5^2 × 5 al cubo × 5^4 = 5^(1+2+3+4) = 5^10
  5. a^1 × a^3 × a^6a^(1+3+6) = a^10
  6. Probar: 2^3× 2^2 = 2^5
    Solucion: 2^3 × 2^2 = ⏟(2∙2∙2)┬(3 veces) × ⏟(2∙2)┬(2 veces) = 2 ×  2 
  7. 4^a × 4^b = 4^(a+b)
  8. 3^n × 3^m = 3^(n+m)
  9. 7^(n+m) = 7^n × 7^m
  10. 〖10〗^(a+b+c) = 〖10〗^a × 〖10〗^b × 〖10〗^c

Note que los puntos 9 y 10 del ejemplo 2 son dos operaciones de la primera ley enunciada pero calculada al revés, la ley dice que a^n × a^m = a^(n+m), también se puede escribir así a^(n+m) = a^n × a^m.

El resto de las propiedades de la potenciación se demostrarán y ejemplificarán del mismo modo como la primera ley de potencia que acabamos de finalizar.

Teorema 2: Potencia de un producto

Se consigue que:

Aquí el exponente n afecta por separado a los valores a y b.

Como hemos visto, el producto se realiza con bases diferentes pero con el mismo exponente. Veamos como se demuestra esta ley.

demostración de potencia de un producto

1. Por el concepto de potencia:

(ab)^n = ⏟((ab)(ab)(ab)…(ab))┬(n veces)

2. Ordenando términos segun la propiedad asociativa:

2. Por el concepto de potencia

Como acabamos de ver, la prueba de la potencia de un producto es muy sencilla. No olvidar que la ley de potencia de un producto se puede escribir al revés así a^n × b^n = (ab)^n.

Ejemplos de potencia de un producto

1. Por el concepto de potencia

(5∙6)^3⏟((5∙6)(5∙6)(5∙6) )┬(3 veces)

2. Ordenando términos

2. Por el concepto de potencia

Mas ejemplos:

¿Que te pareció? ¿sencillo no? si has leído detenidamente desde el inicio de esta sección hasta ahora, te será muy fácil entender estas propiedades, vayamos a la siguiente ley de teoría de exponentes.

Teorema 3: Potencia de potencia

Se prueba que:

(a^m )^n = a^(mn)

Cómo ven, los exponentes mn se multiplican al quitar los signos de agrupación.

Demostración de Potencia de potencia

1. Por el concepto de potencia:

(a^n )^m = ⏟((a^n )(a^n )(a^n )…(a^n ) )┬(m veces)

2. Usando a^n × a^m = a^(n+m):

(a^n )^m=a^⏞(n+n+n+⋯+n)┴(m veces)

3. resultando:

(a^n )^m = a^(nm)

Ejemplos de Potencia de potencia

Veamos los siguientes ejemplos, comenzaremos con la expresión (5^2 )^3:

1. Por el concepto de potencia:

(5^2 )^3 = ⏟(5^2∙5^2∙5^2 )┬(3 veces)

2. Usando a^n × a^m = a^(n+m):

(5^2 )^3=5^⏞(2+2+2)┴(3 veces)

3. Resultando:

(5^2 )^3 = 5^(2∙3)

Mas ejemplos:

  • (a^3 )^2 = a^(3∙2) = a^6
  • [(a^2 )^3 ]^5 = [a^(3∙2) ]^5 = a^(3∙2∙5)
  • Probar que: (a^2 )^3 = a^6

        Solución: (a^2 )^3 = ⏟((a^2)(a^2)(a^2))┬(3 veces)

                         (a^2 )^3=a^⏞(2+2+2)┴(3 veces)

                         (a^2 )^3 = a^(2∙3) = a^6

El concepto de potenciación que establecimos al inicio de esta sección sirve unicamente para numeros naturales que indica cuantas veces debe de multiplicarse la base, pero para definir el concepto de potenciacion de numeros enteros, debemos definir otros dos tipos de potencias, esto son, el exponente cero y el exponente negativo. y esto es lo que discutiremos en los siguientes apartados.

Exponente cero

El valor minimo de un exponente para a^n es cuando n = 1. Si queremos saber el valor de a^0, esto es, el exponente cero para cualquier valor de a, realizaremos la siguiente operación matemática.

  • Tenemos:  a^n = a^n
  • Lo escribimos así: a^n = a^(n+0)
  • Aplicando a^n × a^m = a^(n+m), tenemos: a^n = a^n × a^0
  • Pero como: a^n = a^n × 1, resulta: a^n × 1 = a^n × a^0
  • Cancelando a^n, finalmente obtenemos: a^0 = 1

Este nuevo concepto nos ayuda a extender la teoria de exponentes para potencias con exponente cero, por ello, lo anunciamos como una nueva definición.

Definición de exponente cero

Toda base elevado al exponente 0, nos da como resultado 1, matemáticamente se expresa así:

a^0 = 1,

donde a ≠ 0.

Indicamos a ≠ 0 porque no existe, no está definido el valor de 0^0, de hecho, antes se aceptaba sin demostración que 0^0 = 1, actualmente se ha demostrado que esto no es cierto, pero esto lo trataremos en un curso de matematica básica de numros reales. Vayamos con algunas aplicaciones:

Ejemplos de exponente cero

  • = 1
  • 5^0 = 1
  • (-8)^0 = 1
  • -7^0
  • (2^6+3^4 )^0

exponente negativo

Supongamos que queremos dividir a^6 con a^3, tenemos:

a^6/a^3 =(⏞(a∙a∙a∙a∙a∙a)┴(6 veces))/⏟(a∙a∙a)┬(3 veces)

a^6/a^3 =(⏞(a∙a∙a∙a∙a∙a)┴(6 veces))/⏟(a∙a∙a)┬(3 veces)

Usando el concepto de potenciación vemos que podemos eliminar términos, en este caso el numerador y denominador tienen en común el producto a∙a∙a, nos quedaría:

a^6/a^3 =⏞(a∙a∙a)┴(6-3 veces)

Por tanto:

a^6/a^3 =a^(6-3)=a^3

Por lo visto, este resultado no es nada del otro mundo, pero es la primera vez que existe una resta en nuestro exponente. Pero si cambiamos las posiciones de los términos de nuestra división de a^6 y a^3 quedaría así:

a^3/a^6 =(⏞(a∙a∙a)┴(3 veces))/⏟(a∙a∙a∙a∙a∙a)┬(6 veces)

Vemos que podemos quitarle al denominador los términos a∙a∙a de lo que hay en el numerador resultando:

a^3/a^6 =1/⏟(a∙a∙a)┬(6-3 veces)

Nos queda:

a^3/a^6 =1/a^3

Por lo visto, este resultado no lo podemos expresar en forma de potencia, recordar que el exponente n de la potencia a^n indica cuántas veces debe de multiplicarse la base, entonces 1/a^n no nos dice ni se puede colocar como una potencia que nos indique cuantas veces debe multiplicarse la base a. Por ello, necesitamos un nuevo concepto del exponente negativo, para averiguarlo, tomaremos el concepto del exponente cero de la siguiente manera.

Tenemos:

a^0 = a^0

Como n - n = 0 y por la definición del exponente cero, tenemos:

a^(n-n)a^0 = 1

Aplicando a^n × a^m = a^(n+m):

a^n× a^(-n) = 1

Logrado:

a^(-n)=1/a^n

El exponente a^(-n) no puede expresarse con el concepto de potenciación, esto es, no se puede hacer ⏟(a∙a∙a…a)┬(-n), simplemente no existe y es por ello que lo vamos a definir con el resultado que logramos obtener anteriormente, de la siguiente manera:

Definición del exponente negativo

Toda base elevado al exponente negativo n, nos dará como resultado lo siguiente:

a^(-n)=1/a^n ,

donde a ≠ 0.

Ejemplos del exponente negativo

Veamos algunas aplicaciones sencillas del exponente negativo:

  • 2^(-5)=1/2^5
  • 3^(-7)=1/3^7
  • (-4)^(-2)=1/(-4)^2
  • (-2)^(-3)=1/(-2)^3
  • 1/4^2 =4^(-2)
  • 1/4=1/4^1 =4^(-1)

Ahora gracias a los conceptos del exponente cero y el exponente negativo podemos anunciar las siguientes 2 leyes clásicas de la teoria exponentes.

Teorema 4: DIVISIÓN de potencias de bases iguales

La siguiente ley es posible:

a^n/a^m =a^(n-m)

si a ≠ 0.

¿Recuerdan este caso?:

a^3/a^6 =1/a^(6-3) =1/a^3

Usando la ley de la división de potencia de bases iguales, tenemos:

a^3/a^6 =a^(3-6)=a^(-3)

Ya no habría problema con el resultado anterior con respecto al exponente negativo ya que hemos definido a^(-n)=1/a^n, donde n = 3. Ahora demostremos la ley actual:

Demostracion de la division de potencias de bases iguales

1. Tenemos:

a^n/a^m =a^n/a^m

2. Usando a/b=a∙1/b, tenemos:

a^n/a^m =a^n∙1/a^m

3. Aplicando el exponente negativo 1/a^m =a^(-m):

a^n/a^m =a^n∙a^(-m)

4. Donde a^n∙a^(-m)=a^(n+(-m) )=a^(n-m),  finalmente logramos:

a^n/a^m =a^(n-m)

Ejemplos de la división de potencias de bases iguales

Veamos algunas aplicaciones sencillas del de esta propiedad:

  • 5^7/5^5 =5^(7-5)=5^2
  • 7^(-2)/7^3 =7^(-2-3)=7^(-6)
  • x^200/x^100 =x^(200-100)=x^100
  • Probar que: 2^7/2^5 =2^2
    Solución
    Por el concepto de potencia:
    2^7/2^5 =(⏞(2∙2∙2∙2∙2∙2∙2)┴(7 veces))/⏟(2∙2∙2∙2∙2)┬(5 veces)
    Simplificando:
    2^7/2^5 =2∙2=2^2
    Usando la ley, el resultado es el mismo:
    2^7/2^5 =2^(7-2)=2^2
  • También 3/5^7 =3(1/5^7 ), Recordar que: a/b=a(1/b)=a∙1/b.

Quedando demostrado la cuarta ley de la teoría de exponentes. Ahora vayamos con la ultima ley de las leyes de potenciación.

Teorema 5: Potencia de un cociente

Se puede demostrar que:

(a/b)^n=a^n/b^n

donde b ≠ 0.

Demostración de la Potencia de un cociente

1. Tenemos:

(a/b)^n=(a/b)^n

2. Sabiendo que a/b=ab^(-1):

(a/b)^n=(ab^(-1) )^n

3. Como (ab^(-1) )^n = a^n(b^(-1) )^n:

(a/b)^n=a^n (b^(-1) )^n

Donde (b^(-1) )^n = b^(-n):

(a/b)^n=a^n b^(-n)

Como b^(-n)=1/b^n , tenemos:

(a/b)^n=a^n∙1/b^n

Donde a^n∙1/b^n =a^n/b^n , finalmente logramos:

(a/b)^n=a^n/b^n

De esta manera, queda demostrada la ley de potencia de un cociente, ahora aquí viene algunas aplicaciones de esta ley.

Ejemplos de la Potencia de un cociente

  • (m/n)^3=m^3/n^3
  • (p/q)^7=p^3/q^3
  • (2/3)^12=2^12/3^12
  • Probar que: (m/n)^3=m^3/n^3
    Solución: Por el concepto de potencia: 
    (m/n)^3=⏟((m/n)(m/n)(m/n))┬(3 veces)
    (m/n)^3=(m∙m∙m)/(n∙n∙n)
    (m/n)^3=m^3/n^3
  • (a^2/b^3 )^5=a^(2∙5)/b^(3∙5) =a^10/b^15
  • (2^3/3^4 )^5=a^(3∙5)/b^(4∙5) =a^15/b^20

Veremos una propiedad que es consecuencia de la ley de potencia de un cociente, veamos que nos dice esta propiedad.

Potencia negativa de un cociente

Nos dice que:

(a^3/b^4 )^5=a^(3∙5)/b^(4∙5) =a^15/b^20

Donde: b ≠ 0, esta propiedad es solo una consecuencia de la ley de potencia de un cociente, veamos algunos ejemplos aplicativos:

Ejemplos de Potencia negativa de un cociente

  • (x/y)^(-2)=(y/x)^2
  • (m/n)^(-5)=(n/m)^5
  • (7/9)^(-2)=(9/7)^2
  • (1/n)^(-5)=(n/1)^5=n^5
  • (1/2)^(-3)=(2/1)^3=2^3
  • (1/10)^(-2)=(10/1)^2

La demostración de esta propiedad es muy sencilla, pero lo dejaremos para los ejercicios resueltos despues de la sección de radicales o de exponente fraccionario.

Tabla de potencias

Aquí te dejo una tabla de potencias de los 12 primeros números naturales elevados del 1 al 12.

11=1
12=1
13=1
14=1
15=1
16=1
17=1
18=1
19=1
110=1
111=1
112=1

21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024
211=2048
212=4096
31=3
32=9
33=27
34=81
35=243
36=729
37=2187
38=6165
39=19683
310=59049
311=177147
312=531441
41=4
42=16
43=64
44=256
45=1024
46=4096
47=16387
48=65536
49=262144
410=1048576
411=4192304
412=16777216
51=5
52=25
53=125
54=625
15=3125
56=15625
57=78125
58=390625
59=1953125
510=9765625
511=48828125
512=244140625
61=6
62=36
63=216
64=1292
65=7776
66=46656
67=279936
68=1679616
69=10077696
610=60466176
611=362797056
612=2176782336
 71=7
72=49
73=343
74=2401
75=16807
76=117649
77=823543
78=5764801
79=40353607
710=282475249
711=1977326743
712=13841287201
81 = 8
82 = 64
83 = 512
84 = 4096
85 = 32768
86 = 262144
87 = 2097152
88 = 16777216
89 = 134217728
810 = 1073741824
811 = 8589934592
812 = 68719476736
91 = 9
92 = 81
93 = 729
94 = 6561
95 = 59049
96 = 531441
97 = 4782969
98 = 43046721
99 = 387420489
910 = 3486784401
911 = 31381059609
912 = 282429536481
 101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000
106 = 1000000
107 = 10000000
108 = 100000000
109 = 1000000000
1010 = 10000000000
1011 = 100000000000
1012 = 1000000000000
111 = 11
112 = 121
113 = 1331
114 = 14641
115 = 161051
116 = 1771561
117 = 19487171
118 = 214358881
119 = 2357947691
1110 = 25937424601
1111 = 285311670611
1112 = 3138428376721
121 = 12
122 = 144
123 = 1728
124 = 20736
125 = 248832
126 = 2985984
127 = 35831808
128 = 429981696
129 = 5159780352
1210 = 61917364224
1211 = 743008370688
1212 = 8916100448256

Potencia de un número

La potencia de un número sirve para indicar sobre que base se esta trabajando para calculos numéricos muy grandes o para números ultra pequeños, por ejemplo, en quimica, la definición de una unidad molar es “1 mol = 6,022045 x 1023 particulas“, el número grande recibe el nombre de constante de avogadro con el valor de “6,022045 x 1023“; en física cuantica, la constante de Planck es “h = 6,63 x 10-34 J·s“; la constante de gravitación universal es “6,674 x 10-11 Nm2/kg2“. Si se fijan bien, cada una de estas expresiones estan expresadas en potencias de base 10.

Un ejemplo de números en potencias de base 5 es la tabla del apartado anterior con exponentes del 1 al 12, con este terminamos la sección actual.

Y eso sería todo queridos amigos, solo he desarrollado las 5 primeras leyes muy faciles de entender para el capitulo de teoria de exponentes restringida únicamente para el exponente entero, la próxima sección me dedicaré a la definición radicación junto con sus leyes, luego comenzaremos con los ejercícios de potenciación y radicación terminando de esta manera el capitulo de teoria de exponentes.

Y eso seria todo queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, gracias, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Leyes de la potenciacion
Clasificación
51star1star1star1star1star
2018-06-21T00:00:28+00:00