1. Leyes De La Potenciación

Hola a todos, ¿que tal el día? ¿bien no? ¿o mal?, bueno, mejor no digo nada. 🙂 En esta oportunidad, les presento una entrada de la enseñanza media de mi amigo Juan Blas, que por lo general es muy tímido, pero bueno, es cosa él, jojo. Este es su primer capitulo del curso de algebra elemental. Hoy discutiremos que es la potenciación y las 5 principales leyes de la potenciación de la teoría de exponentes.

Nota: La teoría expuesta será de manera informal, es decir, omitiremos definiciones muy complejas para un entendimientos básico de los estudiantes de enseñanza media.

En matemáticas, la potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un numero denominado base tantas veces como lo indique otro número llamado exponente. Para ello, definimos 3 términos, esto son el exponente, la base y la potencia, de tal manera que se cumpla lo siguiente:

Notación
De una Potencia

Definicion

Resultado

\( \overset{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \overset{ \ \ \ \mathrm{exponente}}{ {\color{Red} \swarrow} } }{ \underset{ \underset{  \mathrm{ base } } { {\color{Red} \downarrow} } }{ \ \ { {\color{Blue} a } }^{ n } } } = \underbrace{ {\color{Blue} a } \cdot {\color{Blue} a } \cdot {\color{Blue} a } … {\color{Blue} a } \cdot {\color{Blue} a } }_{n \ \mathrm{veces}} = \mathrm{Potencia} \)

y se lee: \( a \) elevado a la potencia de \( n \).

Con la potenciación podemos evitar escribir repetitivamente la base \(a\) varias veces, esta abreviación es análoga como el caso de la multiplicación:

\( an = \underbrace{ a+a+a+ … a }_{ n \ \mathrm{veces}} \)

Las abreviaturas \( a^{n} \) y \( an \) nos ayuda a reducir la repetitiva escritura de la variable \(a\) varias veces. Todo es más fácil con sencillos ejemplos, veamos:

  •  \( \underbrace{ {\color{blue} 2 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 2 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 2 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 2 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 2} }_{5 \ \mathrm{veces} } \) lo escribimos así \( {\color{blue} 2}^{5} \).
  • \( \underbrace{ {\color{blue} 5 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 5 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 5 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 5 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 5} {\color{blue} \times } {\color{blue} 5} {\color{blue} \times } {\color{blue} 5} }_{7 \ \mathrm{veces} } \)  lo escribimos así \( {\color{blue} 5}^{7} \).
  • \( \underbrace{ {\color{blue} 1 } {\color{blue} 0 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 1} {\color{blue} 0 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 1} {\color{blue} 0 } … {\color{blue} \times } {\color{blue} 1} {\color{blue} 0 } {\color{blue} \times } {\color{blue} 1} {\color{blue}0} {\color{blue} \times } {\color{blue} 1} {\color{blue}0 } }_{20 \ \mathrm{veces} } \)  lo escribimos así \({\color{blue} 1} {\color{blue} 0 }^{20}\).
  • \( \underbrace{ {\color{blue} 2} }_{1 \ \mathrm{vez} } \) lo escribimos así \( {\color{blue} 2 }^1 \) como también \( a = a^1 \) ó \( x = x^1 \).

En el último ejemplo donde encontramos que \( a = a^1 \) ó \( x = x^1 \), significa que el mínimo valor del exponente es 1 por el “momento” ya que estamos multiplicando varias veces una misma base.

Ejemplos de potenciación

  • Calcular el valor de \( 2^{6} \):

Del concepto anterior, se puede escribir de la siguiente manera:

\( 2^{ {\color{red} 6 }} = \underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ {\color{red} 6 } \ \mathrm{veces} } = 64 \)

entonces, decimos que la potencia de \( 2^{ {\color{red} 6} } \) es \( 64 \), más ejemplos:

  • \( 5^{ {\color{red} 4 } } = \underbrace{ 5 \times 5 \times 5 \times 5 }_{ {\color{red} 4 } \ \mathrm{veces} } = 625 \)
  • \( 3^{ {\color{red} 5 } } = \underbrace{ 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 }_{ {\color{red} 5 } \ \mathrm{veces} } = 243 \)
  • \( a^{ {\color{red} 2 } } = \underbrace{ a \times a }_{ {\color{red} 2 } \ \mathrm{veces} } \)
  • \( a^{ {\color{red} 1} } = \underbrace{a}_{ {\color{red} 1 } \ \mathrm{vez} } \)
  • \( a^{ {\color{red} 1 } } \times a^{ {\color{red}2 } } \times a^{ {\color{red}2 } } = \underbrace{ a }_{ {\color{red} 1 } \ \mathrm{vez} } \times \underbrace{ a \times a }_{ {\color{red} 2 } \ \mathrm{veces} } \times \underbrace{a \times a \times a}_{ {\color{red} 3 } \ \mathrm{veces} } \times \underbrace{ a \times a \times a \times a \times a \times a }_{ {\color{red} 6 } \ \mathrm{veces} } = a^{ {\color{red} 6 } } \)
  • \( \underbrace{(-2)^{ {\color{red} 4 } }}_{ \mathrm{la \ base \ es } \ -2 } = \underbrace{ (-2)(-2)(-2)(-2) }_{ {\color{red} 4 } \ \mathrm{veces} } = 16 \)
  • \( -2^{ {\color{red} 4} } = \underbrace{ -2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ {\color{red} 4 } \ \mathrm{veces} } = 16 \)

en este último ejemplo de \( -2^{ {\color{red} 4} } \), el exponente afecta a la base 2 pero no al símbolo menos “\( – \)”, téngase en cuenta este punto.

  • \( \underbrace{ a \times a \times a … a }_{ 10 \ \mathrm{veces} } = a^{10} \)
  • \( \underbrace{ \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} … \sqrt{2} }_{30 \ \mathrm{veces}} =  \sqrt{2}^{30} \)
  • \( \underbrace{ x^{x} \cdot x^{x} \cdot x^{x} … x^{x} }_{ 30 \mathrm{veces} } = ( x^{x} )^{30} \)
  • \( \underbrace{ (-2)(-2)(-2) … (-2) }_{1000 \ \mathrm{veces} } = (-2)^{1000} \)

Exponente de exponente, una pequeña aclaración

Ahora vamos hablar sobre un punto importante, a veces hay mucha confusión con el concepto de potenciación. El inconveniente viene dado con el siguiente ejemplo:

  • \( 5^{ 6^{3} } \) ¿cual es el exponente de 5?

La respuesta puede ser una de las 3 alternativas y son:

  • 6
  • 3
  • \( 6^{3} \)

Lo que hay que entender para el concepto de potenciación es que está formada por 3 terminos muy bien definidos, esto es, la base, el exponente y la potencia. El esquema del concepto de potenciación se muestra de la siguiente manera:

\( \mathrm{Base}^{ \mathrm{Exponente} } = \mathrm{Potencia} \)

Esta expresión nos dice realmente pero con parentesis que:

\( ( \mathrm{Base} )^{ \mathrm{Exponente} } = \mathrm{Potencia} \)

El exponente no afecta a una parte de la base sino a toda la base, parece redundante pero todavía existen problemas al diferenciar cual es el exponente de la base. Para el ejemplo de \( 5^{6^{3}} \) queremos aclarar que:

\( 5^{6^{3}} \) es diferente de \( ( 5^{6} )^3 \)

Veamos algunos ejemplos para diferenciar estos puntos.

  • La potenciación \( {\color{blue} 2 }^{ {\color{DarkGreen} 9 } } \) se puede escribir como \( {\color{blue}2}^{ { {\color{DarkGreen} 3 } }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } } \).
    La base de \( {\color{blue}2}^{ { {\color{DarkGreen} 3 } }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } } \) es \( {\color{blue} 2 } \) y su exponente es \( { {\color{DarkGreen} 3 } }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } \).
  • La igualdad \( {\color{blue} 2 }^{16} = { {\color{blue} 2 } }^{ {2}^{ {\color{DarkGreen} 4 } } } = { \color{blue} 2 }^{ 2^{ {\color{DarkGreen} 2 }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } } } \).
    La base de \( { \color{blue} 2 }^{ \underbrace{2^{ {\color{DarkGreen} 2 }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } } } } \) es \( {\color{blue} 2 } \) y el exponente es \( {2}^{ { {\color{DarkGreen} 2 } }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } } =16 \).
  • La potenciación \( { {\color{blue} a } }^{ { {\color{DarkGreen} x } }^{ {\color{DarkGreen} x } } } \) tiene como base el valor de \( {\color{blue} a } \) y su exponente es \( { {\color{DarkGreen} x } }^{ {\color{DarkGreen} x } } \).
    La base de \( { {\color{blue} 2 } }^{ { {\color{DarkGreen} 3 } }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } } \) es \( {\color{blue} 2 } \) y su exponente es \( { {\color{DarkGreen} 3 } }^{ {\color{DarkGreen} 2 } } \).
Entonces, ¿cuál es la base y exponente de \( 5^{6^{3}} \)?, si has logrado entender la explicación anterior, la base de \( {\color{blue} 5 }^{ {\color{darkgreen} 6 }^{\color{darkgreen} 3} } \) es \( {\color{blue} 5 } \) y su exponente es \( {\color{darkgreen} 6 }^{\color{darkgreen} 3} \). El concepto de exponente de exponente lo volveremos a retomar para aclarar con otro punto importante en la próxima entrada luego de explicar todas las leyes de exponentes.

A continuación veamos las primeras 5 leyes, reglas o propiedades de la potenciación de números enteros siendo las 5 primeras leyes fundamentales de la teoría de exponentes con sus respectivos ejemplos.

Teorema 1: Multiplicación de potencias de bases iguales

Se cumple:

\( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n} {\color{red} + } {\color{red} m} } \)

No olvidar que \( m \) y \( n \) indican cuantas veces se debe de multiplicar la base \( a \), la base puede tomar cualquier valor que te imagines.

Esto es una de las primeras propiedades más básicas de la teoría de exponentes y es, junto con el resto de las siguientes propiedades, la que usaremos en todas las áreas relacionadas con las matemáticas, la propiedad se centra en el producto de dos factores de bases iguales y exponentes distintos, su demostración es la siguiente:

demostración de Multiplicación de potencias de bases iguales

1. Por el concepto de potencia:

\( a^{\color{red} m } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ {\color{red} m } \ \mathrm{veces}  } }^{ \mathrm{contando} } \)  y  \( a^{\color{red} n } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ {\color{red} n } \ \mathrm{veces}  } }^{ \mathrm{contando} } \)

2. Multiplicando:

\( a^{\color{red} m } \cdot a^{\color{red} n } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ {\color{red} m } \ \mathrm{veces}  } }^{ \mathrm{contando} } \cdot \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ {\color{red} n } \ \mathrm{veces}  } }^{ \mathrm{contando} } \)

3. Agrupando:

\( a^{\color{red} m } \cdot a^{\color{red} n } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ {\color{red} m } \ \mathrm{veces} +  {\color{red} n } \ \mathrm{veces} } }^{ \mathrm{contando} } \)

4. Por el concepto de potencia:

\( a^{\color{red} m } \cdot a^{\color{red} n } = a^{ {\color{red} m } {\color{red} + } {\color{red} n } } \)

¿Sencillo no? todas las leyes que veremos más adelante se prueba usando el concepto de potencia, pero antes de comenzar con el resto de las propiedades, vayamos a ver algunas aplicaciones de nuestra primera ley.

Ejemplos de Multiplicación de potencias de bases iguales

Ejemplo 1

Para nuestro propósito que ya verán a continuación, lo realizaremos en 4 sencillos pasos, tomaremos los valores de \( a^{2} \) y \( a^{3} \) como ejemplos, tenemos lo siguiente.

1. Por el concepto de potencia:

\( a^{2} = \underbrace{ a \cdot a }_{2 \ \mathrm{veces}} \) y \( a^{3} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{3 \ \mathrm{veces}} \)

2. Multiplicando:

\( a^{2} \cdot a^{3} = \underbrace{ a \cdot a }_{2 \ \mathrm{veces} } \cdot \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{3 \ \mathrm{veces} }  \)

3. Agrupando:

\( a^{2} \cdot a^{3} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{ 2 \ \mathrm{veces} + 3 \ \mathrm{veces} } \)

4. Por el concepto de potencia:

\( a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} \)

Ejemplo 2

Si tienes problemas con las leyes de exponentes, te sugiero que visualices bien la lógica de cada una de los ejemplos, de esta manera lo entenderás mejor.

  1. \( 2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3+2} = 2^{5} \)
  2. \( 2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a+b} \)
  3. \( 3^{2} \cdot 3^{4} \cdot 3^{6} = 3^{2+4+6}  \)
  4. \( 5^{1} \cdot 5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{1+2+3+4} = 5^{10} \)
  5. \( a^{1} \cdot a^{3} \cdot a^{6} = a^{1+3+6} = a^{10} \)
  6. Probar: \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^5 \)
    Solucion: \( {\color{blue} 2 }^{\color{blue} 3 } \cdot {\color{red} 2 }^{\color{red} 2 } = \underbrace{ {\color{blue}  2} \cdot {\color{blue} 2 } \cdot {\color{blue} 2 } }_{ 3 \ \mathrm{veces}} \cdot \underbrace{ {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } }_{ 2 \ \mathrm{veces} } = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 \)
  7. \( 4^{a} \cdot 4^{b} = 4^{a+b} \)
  8. \( 3^{n} \cdot 3^{m} = 3^{n+m} \)
  9. \( 7^{n+m} = 7^{n} \cdot 7^{m} \)
  10. \( 10^{a+b+c} = 10^a \cdot 10^b \cdot 10^c \)

Note que los puntos 9 y 10 del ejemplo 2 son dos operaciones de la primera ley enunciada pero calculada al revés, la ley dice que \( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n } {\color{red} + } {\color{red} m } } \), también se puede escribir así \( a^{ {\color{red} n } {\color{red} + } {\color{red} m } } = a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m }  \).

El resto de las propiedades de la potenciación se demostrarán y ejemplificarán del mismo modo como la primera ley de potencia que acabamos de finalizar.

Teorema 2: Potencia de un producto

Se consigue que:

\( (ab)^{\color{red} n } = a^{\color{red} n } b^{\color{red} n } \)

Aquí el exponente \( n \) afecta por separado a los valores \(a\) y \(b\).

Como hemos visto, el producto se realiza con bases diferentes pero con el mismo exponente. Veamos como se demuestra esta ley.

demostración de potencia de un producto

1. Por el concepto de potencia:

\( (ab)^n = \underbrace{ (ab)(ab)(ab) … (ab) }_{n \ \mathrm{veces}} \)

2. Ordenando términos

\( (ab)^n = \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{n \ \mathrm{veces}} \cdot \underbrace{ b \cdot b \cdot b … b }_{n \ \mathrm{veces}} \)

2. Por el concepto de potencia

\( (ab)^n = a^n a^m \)

Como acabamos de ver, la prueba de la potencia de un producto es muy sencilla. No olvidar que la ley de potencia de un producto se puede escribir al revés así \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \).

Ejemplos de potencia de un producto

Comenzaremos con este ejemplo \( (5 \cdot 6)^3 \), lo resolveremos como en el caso de la demostración anterior, veamos:

1. Por el concepto de potencia

\( (5 \cdot 6)^3 = \underbrace{ (5 \cdot 6)(5 \cdot 6)(5 \cdot 6) }_{ 3 \ \mathrm{veces} } \)

2. Ordenando términos

\( (5 \cdot 6)^3 = \underbrace{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }_{3 \ \mathrm{veces} } \cdot \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 }_{ 3 \ \mathrm{veces} } \)

2. Por el concepto de potencia

\( (5 \cdot 6)^3 = 5^3 \cdot 6^3 \)

Mas ejemplos:

  • \( (ab)^3 = a^3 \cdot b^3 \)
  • \( (mnp)^5 = m^5 \cdot n^5 \cdot p^5 \)
  • \( (2xy)^7 = 2^7 \cdot x^7 \cdot y^7 \)
  • \( (2 \cdot 7 \cdot 9)^4 = 2^4 \cdot 7^4 \cdot 9^4 \)
  • Probar \( (ab)^3 = a^3 \cdot b^3 \)
    Solucion: \( (ab)^3 = \underbrace{ (ab)(ab)(ab) } \)
                     \( (ab)^3 = \underbrace{ a \cdot a \cot a}_{ 3 \ \mathrm{veces} } \cdot \underbrace{ b \cdot b \cdot b }_{3 \ \mathrm{veces}} = a^3 \cdot b^3 \).

¿que te pareció? ¿sencillo no? si has leído detenidamente desde la primera entrada hasta ahora, de seguro que se esta haciendo muy fácil entender estas propiedades, vayamos a la siguiente ley de teoría de exponentes.

Teorema 3: Potencia de potencia

Se prueba que:

\( (a^{\color{red} n })^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n }{\color{red} m } } \)

Cómo ven, los exponentes \(n\) y \(m\) se multiplican al quitar los signos de agrupación.

Demostración de Potencia de potencia

1. Por el concepto de potencia:

\( (a^n)^m = \underbrace{ (a^n)(a^n)(a^n) … (a^n) }_{m \ \mathrm{veces}} \)

2. Usando \( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n } {\color{red} + } {\color{red} m } } \)

\( (a^n)^m = a^{ \overbrace{n+n+n+ … +n}^{ m \ \mathrm{veces} } } \)

3. resultando:

\( (a^n)^m = a^{nm} \)

Ejemplos de Potencia de potencia

Veamos los siguientes ejemplos, comenzaremos con la expresión \( (5^6)^3 \):

1. Por el concepto de potencia:

\( (5^2)^3 = \underbrace{ 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 }_{3 \ \mathrm{veces} } \)

2. Usando \( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m } \) = a^{ {\color{red} n }{\color{red} + }{\color{red} m }}:

\( (5^2)^3 = 5^{ \overbrace{2+2+2}^{3 \ \mathrm{veces}} } \)

3. resultando:

\( (5^2)^3 = 5^{ 2 \cdot 3 } \)

Mas ejemplos:

  • \( (a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6 \)
  • \( [(a^2)^3]^5 = [a^{2 \cdot 3}]^5 = a^{2 \cdot 3 \cdot 5 } \)
  • Probar que: \( (a^2)^3 = a^6 \)
    Solución: \( ({\color{blue} a }^{\color{blue} 2 })^{\color{red} 3 } = \underbrace{ ({\color{blue} a }^{\color{blue} 2 })({\color{blue} a }^{\color{blue} 2 })({\color{blue} a }^{\color{blue} 2 }) }_{ {\color{red} 3 } \ \mathrm{\color{red} veces} } \)
                                \( = \underbrace{ {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } }_{ {\color{red} 2 } {\color{red} + } {\color{red} 2 } {\color{red} + } {\color{red} 2 } } \)
                                \( = \underbrace{ {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } }_{ {\color{red} 6 } \ \mathrm{veces} } \)
                                \( = a^6 \)
  • Probar que: \( ( {\color{blue} a }^{\color{blue} 2 } \cdot {\color{blue} b }^{\color{blue} 5 } )^{\color{red} 3 } = {\color{blue} a }^{ {\color{blue}2} \cdot {\color{red} 3 } } {\color{blue} b }^{ {\color{blue} 5 } \cdot {\color{red} 3 } } \).
    Solución: por la ley \( (ab)^{\color{red} n } = a^{\color{red} n } b^{\color{red} n } \)
    tenemos \( ( {\color{blue} a }^{\color{blue} 2 } \cdot {\color{blue} b }^{\color{blue}5} )^{\color{red} 3 } = ({\color{blue} a }^{\color{blue} 2 } )^{\color{red} 3 } ({\color{blue} b }^{\color{blue} 5 })^{\color{red} 3 }  \).
                                   \( = {\color{blue} a }^{ {\color{blue} 2 } \cdot {\color{red} 3 } } \cdot {\color{blue} b }^{ {\color{blue} 5 } \cdot {\color{red} 3 } } \)
  • \( ( 2^3 a^5 b^7 )^4 = (2^3)^4 (a^5)^4 (b^7)^4 \)
                         \( = 2^{3 \cdot 3} \cdot a^{5 \cdot 4} \cdot b^{7 \cdot 4} \)
                         \( 2^12 \cdot a^20 \cdot b^28 \)

En el transcurso de la sección actual tan solo nos hemos centrado en la multiplicación de bases iguales o diferentes mostradas en las leyes anteriores, ¿pero que pasaría si dividimos las bases?,¿que propiedades conseguimos con respecto a los exponentes?, expliquemos este punto ahora mismo.

El concepto del exponente negativo

Supongamos que queremos dividir \( a^6 \) con \( a^3 \), veamos:

\( \frac{a^{\color{red} 6 }}{a^{\color{red} 3 }} = \frac{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a }^{ {\color{red} 6 } \ \mathrm{veces} } }{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ {\color{red} 3 } \ \mathrm{veces} } } \)

\( \require{cancel} \frac{a^{\color{red} 6 }}{a^{\color{red} 3 }} = \frac{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } } }^{ {\color{red} 6 } \ \mathrm{veces} } }{ \underbrace{ \cancel{ {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } } }_{ {\color{red} 3 } \ \mathrm{veces} } } \)

Usando el concepto de potenciación vemos que podemos eliminar términos, en este caso el numerador y denominador tienen en común {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a }, nos quedaría:

\( \frac{a^{\color{red} 6 }}{a^{\color{red} 3 }} = \overbrace{ a \cdot a \cdot a }^{ {\color{red} 6 } {\color{red} – } {\color{red} 3 } \ \mathrm{veces} } \)

Por tanto:

\( \frac{a^{\color{red} 6 }}{a^{\color{red} 3 }} = a^{ {\color{red} 6 } {\color{red}-} {\color{red} 3 } } = a^3 \)

Por lo visto, este resultado no es nada del otro mundo, pero es la primera vez que existe una resta en nuestro exponente. Pero si cambiamos las posiciones de los términos de nuestra división de \( a^6 \) y \( a^3 \) así:

\( \frac{a^3}{a^6} = \frac{ \require{cancel} \overbrace{ \cancel{ {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } } }^{ {\color{red} 3 } \ \mathrm{veces} }
}{ \require{cancel} \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } \cdot {\color{blue} a } } }_{ {\color{red} 6 } \ \mathrm{veces} } } \)

Vemos que podemos quitarle al denominador los términos \( {\color{blue} a } {\color{blue} \cdot } {\color{blue} a }{\color{blue} \cdot } {\color{blue} a } \) de lo que hay en el numerador resultando:

\( \frac{a^{\color{red} 3 }}{a^{\color{red} 6 }} = \frac{1}{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ {\color{red} 6 } {\color{red} – } {\color{red} 3 } \ \mathrm{veces} } } \)

Nos queda:

\( \frac{a^{\color{red} 3 }}{a^{\color{red} 6 }} = \frac{1}{a^3 } \)

Por lo visto, este resultado no lo podemos expresar en forma de exponente, recordar que el exponente \(n\) de la potencia \(a^n\) indica cuántas veces debe de multiplicarse la base , entonces \( \frac{1}{a^n} \) no nos dice ni se puede colocar como una potencia que nos indique cuantas veces debe multiplicarse la base \(a\). Lo que veremos en breve serán dos definiciones importantes que nos ayudará a ampliar el concepto de potencia que acabamos de encontrar, vamos a ello.

Exponente cero

Si bien es cierto que el concepto de potenciación toma valores tal que el valor mínimo de conteo para el exponente es 1, en esta oportunidad extenderemos el concepto de exponente cero, esto es, aquellos números elevados a la cero “0”. Vamos a averiguarlo:

Tenemos:

\( a^n = a^n \)

Lo escribimos así:

\( a^n = a^{n+0} \)

Usando \( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n } {\color{red} + } {\color{red} m } } \):

\( a^n = a^n \cdot a^0 \)

Pero como \( a^n = a^n \cdot 1 \), remplazando:

\( a^n \cdot {\color{red} 1 } = a^n \cdot {\color{red} a }^{\color{red} 0 } \)

Si eliminamos \( a^n \) nos quedará \( a^0 = 1 \), sin embargo, habíamos dicho que el valor mínimo del exponente es 1 contradiciendo nuestro concepto de potencia. Exactamente no es una contradicción, simplemente no esta definido para esos valores por lo que  nadie nos obliga definirlo como una extensión de la teoria actual y eso es lo que haremos ahora:

Definición de exponente cero

Toda base elevado al exponente 0, nos da como resultado 1, matemáticamente se expresa así:

\( a^0 = 1 \),

donde \( a \neq 0 \).

Indicamos \( a \neq 0 \) porque no existe, no está definido el valor de \( 0^0 \), de hecho, antes se aceptaba sin demostración que \( 0^0 \), actualmente se ha demostrado que esto no es cierto. Vayamos con algunas aplicaciones:

Ejemplos de exponente cero

  • \(2^0 = 1\)
  • \(5^0 = 1\)
  • \( (-8)^0 = 1 \)
  • \( -7^0 = -1 \)
  • \( (2^6 + 3^4)^0 = 1 \)

Espero que con estas aplicaciones quede claro el concepto del exponente cero. Existe otro nuevo concepto de exponente que lo usaremos a menudo en el transcurso de los ejercicios del curso, es el exponente negativo, para averiguarlo, tomaremos el concepto del exponente cero de la siguiente manera:

Tenemos:

\( a^0 = a^0 \)

Como \( n-n = 0 \) y por la definicion del exponente cero, tenemos:

\( a^{n-n} = a^0 = 1 \)

Usando \( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} m } = a^{ {\color{red} n } {\color{red} + } {\color{red} m }} \):

\( a^n \cdot a^{-n} = 1 \)

Logrado:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

El exponente \( a^{-n} \) no puede expresarse con el concepto de potenciación, esto es, no se puede hacer \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{-n} \), simplemente no existe y es por ello que lo vamos a definir con el resultado que logramos obtener anteriormente, de la siguiente manera:

Definición del exponente negativo

Toda base elevado al exponente negativo \( -n \), nos dará como resultado lo siguiente:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \),

donde \( a \neq 0 \).

Ejemplos del exponente negativo

Veamos algunas aplicaciones sencillas del exponente negativo:

  • \( 2^{-5} = \frac{1}{2^5} \)
  • \( 3^{-7} =\frac{1}{3^7} \)
  • \( (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} \)
  • \( (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} \)
  • \( \frac{1}{4^2} = 4^{-2} \)
  • \( \frac{1}{4} = \frac{1}{4^1} =4^{-1} \)

Ahora gracias a los conceptos del exponente cero y el exponente negativo podemos anunciar las siguientes 2 leyes clásicas de la teoria exponentes.

Teorema 4: DIVISIÓN de potencias de bases iguales

La siguiente ley es posible:

\( \frac{a^{\color{red} n }}{a^{\color{red} m }} = a^{ {\color{red} a } {\color{red}-} {\color{red} m } } \)

si \( a \neq 0 \).

¿Recuerdan este caso?:

\( \frac{a^3}{a^6} = \frac{1}{a^{ {\color{red} 6 } {\color{red} – } {\color{red} 3 } }} = \frac{1}{a^3} \)

Usando la ley de la división de potencia de bases iguales, tenemos:

\( \frac{a^{\color{red} 3 }}{a^{\color{red} 6 }} = a^{ {\color{red} 3 } {\color{red} – } {\color{red} 6 } } = a^{ {\color{red} – } {\color{red} 3 }} \)

Ya no habría problema con el resultado anterior con respecto al exponente negativo ya que hemos definido \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), donde \( n = 3 \). Ahora demostremos la ley actual:

Demostracion de la division de potencias de bases iguales

1. Tenemos:

\( \frac{a^{\color{red} n }}{a^{\color{red} m }} = \frac{a^{\color{red} n }}{a^{\color{red} m }} \)

2. Usando \( \frac{a}{\color{red} b } = a \cdot \frac{\color{red} 1 }{\color{red} b } \), tenemos:

\( \frac{a^{\color{red} n }}{a^{\color{red} m }} = a^{\color{red} n } \cdot \frac{1}{a^{\color{red} m }} \)

3. Usando \( a^{-m} = \frac{1}{a^m} \):

\( \frac{a^{\color{red} n }}{a^{\color{red} m }} = a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} -m } \)

4. Donde \( a^{\color{red} n } \cdot a^{\color{red} -m } = a^{ {\color{red} n } {\color{red} – } {\color{red} m } } \):

\( \frac{a^{\color{red} n }}{a^{\color{red} m }} = a^{ {\color{red} n } {\color{red} – } {\color{red} m } } \)

Ejemplos de la división de potencias de bases iguales

Veamos algunas aplicaciones sencillas del exponente negativo:

  • \( \frac{5^7}{5^5} = 5^{7-5} = 5^2 \)
  • \( \frac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2 \)
  • \( \frac{7^{-2}}{7^3} = 7^{-2-3} = 7^{-5} \)
  • \( \frac{x^{200}}{x^{100}} = x^{200 – 100} = x^{100} \)
  • Probar que: \( \frac{2^7}{2^5} = 2^2 \)
    Solución
    Por el concepto de potencia:
    \( \frac{2^7}{2^5} = \frac{ \overbrace{ {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } \cdot 2 \cdot 2 }^{ 7 \ \mathrm{veces}} }{ \underbrace{ {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } \cdot {\color{red} 2 } }_{ 5 \ \mathrm{veces} } } \)
    Simplificando:
    \( \frac{2^7}{2^5} = 2 \cdot 2 = 2^2 \)
    Usando la ley, el resultado es el mismo:
    \( \frac{2^7}{2^5} = 2^{7-2} = 2^2 \)
  • También \( \frac{3}{5^7} = 3 ( \frac{1}{5^7} ) \), Recordar que: \( \frac{a}{\color{red} b } = a ( \frac{\color{red} 1 }{\color{red} b } ) = a \times \frac{\color{red} 1 }{\color{red} b } \).
    Para otros ejemplo:
  • \( \frac{2}{6^5} = 2 \cdot 6^{-5} \)
  • \( \frac{a}{b} = ab^{-1} \)

Quedando demostrado la cuarta ley de la teoría de exponentes. Ahora vayamos con el último de nuestra entrada de la primera parte de las leyes de exponentes.

Teorema 5: Potencia de un cociente

Se puede demostrar que:

\( ( \frac{a}{b} )^{\color{red} n } = \frac{a^{\color{red} n }}{b^{\color{red} n }} \)

donde \( b \neq 0 \).

Demostración de la Potencia de un cociente

1. Tenemos:

\( ( \frac{a}{b} )^{\color{red} n } = ( \frac{a}{b} )^{\color{red} n } \)

2. Sabiendo que \( \frac{a}{b} = ab^{-1} \):

\( ( \frac{a}{b} )^{\color{red} n } = (ab^{-1})^{\color{red} n } \)

3. Como \( (ab^{-1})^{\color{red} n } = a^{\color{red} n } = a^{\color{red} n } (b^{-1})^{\color{red} n } \):

\( ( \frac{a}{b} )^{\color{red} n } = a^{\color{red} n } (b^{-1})^{\color{red} n } \)

Donde \( a^{\color{red} n } \cdot a^{ {\color{red} -m } } = a^{ {\color{red} n } {\color{red} – } {\color{red} m } } \):

\( \frac{a^{\color{red} n }}{a^{\color{red} m }} = a^{ {\color{red} n } {\color{red} – } {\color{red} m } } \)

Des esta manera, queda demostrada la ley de potencia de un cociente, ahora aquí viene algunas aplicaciones de esta ley.

Ejemplos de la Potencia de un cociente

  • \( ( \frac{m}{n} )^3 = \frac{m^3}{n^3} \)
  • \( ( \frac{p}{q} )^7 = \frac{p^7}{q^7} \)
  • \( ( \frac{2}{3} )^{12} = \frac{2{^12}}{3^{12}} \)
  • Probar que: \( ( \frac{m}{n} )^3 = \frac{m^3}{n^3} \)
    Solución: Por el concepto de potencia: 
    \( ( \frac{m}{n} )^3 = \underbrace{ ( \frac{m}{n} ) ( \frac{m}{n} ) ( \frac{m}{n} ) }_{ 3 \ \mathrm{veces}} \)
    \( ( \frac{m}{n} )^3 = \frac{ m \cdot m \cdot m }{ n \cdot n \cdot n } \)
    \( ( \frac{m}{n} )^3 = \frac{m^3}{n^3} \)
  • \( ( \frac{a^2}{b^3} )^5 = \frac{a^{2 \cdot 5}}{b^{3 \cdot 5}} = \frac{a^{10}}{b^{15}} \) 
  • \( ( \frac{2^3}{3^4} )^5 = \frac{2^{3 \cdot 5}}{3^{4 \cdot 5}} = \frac{2^{15}}{3^{20}} \)

Veremos una propiedad que es consecuencia de la ley de potencia de un cociente, veamos que nos dice esta propiedad.

Potencia negativa de un cociente

Nos dice que:

\( ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^n \)

Donde: \( b \neq 0 \), esta propiedad es solo una consecuencia de la ley de potencia de un cociente, algunos aquí algunos ejemplos:

Ejemplos de Potencia negativa de un cociente

  • \( ( \frac{x}{y} )^{-2} = ( \frac{y}{x} )^2 \)
  • \( ( \frac{m}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{m} )^5 \)
  • \( ( \frac{7}{9} )^{-2} = ( \frac{9}{7} )^{2} \)
  • \( ( \frac{1}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{1} )^5 = n^5 \)
  • \( ( \frac{1}{2} )^{-3} = ( \frac{2}{1} )^3 = 2^3 \)
  • \( ( \frac{1}{10} )^{-2} = ( \frac{10}{1} )^2 \)

La demostración de esta propiedad es muy sencilla, pero lo dejaremos para los ejercicios resueltos cuando termine sección próxima de radicales o de exponente fraccionario.

Y eso sería todo queridos amigos, solo he desarrollado las 5 primeras leyes más fáciles de entender del curso de teoria de exponentes restringida únicamente para el exponente entero, la próxima sección me dedicaré a la definición radicación junto con sus leyes, luego comenzaremos con los ejercicios terminando de esta manera el capitulo de teoria de exponentes.

Y eso seria todos queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, gracias, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Leyes de la potenciacion
Clasificación
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2018-03-29T19:15:36+00:00