3. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

Hola amigos, comenzamos con una nueva sección, pues, en esta nueva oportunidad y última entrada de este curso, desarrollaremos ejercicios resueltos de potenciacion y radicacion del curso de teoría de exponentes.

Se supone que ya estudiaron la teoría como las leyes de los exponentes y los radicaciones en las secciones anteriores, si no lo han hecho, al lado izquierdo verán un grupo de secciones del curso o al final si estas en tablet o móvil.

Para desarrollar correctamente los ejercicios, debes tener en cuenta todo el conjunto de las principales leyes de la teoría de exponente y saberlos usar con inteligencia, ante todo, vamos a resumir las leyes de la potenciación y radicación anteriormente estudiadas.

Para el desarrollo de los ejercicios que veremos en el siguiente apartado, vamos a resumir con abreviaturas tanto las definiciones y como las leyes de la teoría de exponentes como recordatorio para los ejercicios resueltos que mostraremos en breve.

Definiciones de la potenciación y radicación

  • D I: a elevado a la 0 = número 1
  • D II: a elevado a la -n = 1 entre a a la n 
  • D III: raíz n-sima de x elevado a la m = x elevado a la m/n  ó  x^(m/n) = raíz enésima de x^m

Leyes de potenciación:

  • LP I: a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo = a elevado n+m  ó  a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo 
  • LP II: Potencia de un producto  ó  a elevado a la n con exponente color rojob elevado a la n = (a por b) elevado a la n
  • LP III: potencia de potencia  ó  a elevado a la (m por n) = (a elevado a la n) elevado a la m
  • LP IV: a a la n entre a a la m = a a la n-m  ó  a elevado a la (n menos m) = (a elevado a la n) entre (a elevado a la m)
  • LP V: (a entre b) a la n  ó  (a elevado a la n) entre (b elevado a la n) = (a entre b) elevado a la n
    Corolario: (a entre b) a la -n = (b entre a) a la n  ó  (a entre b) a la n = (b entre a) a la -n

Leyes de la radicación:

  • LR I: raíz enésima de (a por b) = raíz enésima a por raíz enésima b  ó  raíz enésima a por raíz enésima b  =  raíz enésima de (a por b)
  • LR II: raíz enésima de (a entre b) = raíz enésima de a entre la raíz enésima de b  ó  (raíz n de a) entre (raíz n de b) = raíz n de (a entre b)
  • LR III: Raíz m de raíz n de raíz p de a = raíz mnp de a  ó  raíz mnp de a = raíz m de raíz n de raíz p de a

Leyes auxiliares de la radicación:

  • LAR I: raíz m de (a por raíz n de (b por raíz p de c)) = raíz m de a por raíz m por n de b por raíz m por n por p de c
  • LAR II: raíz m de (a elevado a la x por raíz n de (a elevado a la y por la raíz p de (a elevado a la z por la raíz q de a elevado a la r)))
  • LAR III: raíz m de (a elevado a la x entre raíz n de (a elevado a la y entre la raíz p de (a elevado a la z entre la raíz q de a elevado a la r)))

15 Ejercicios resueltos de POTENCIACIÓN y RADICACIÓN:

En este ultimo apartado nos dedicaremos a desarrollar un mix de ejercicios de potenciacion y radicacion. Naturalmente todos los ejercicios se desarrollar desde las leyes anteriormente expuestas y muy pero muy rara vez usaremos la definicion de potenciacion. Comencemos.

  • Ejercicio 1: Si 2 elevado a la a = 3 elevado a la b, calcular el valor de:

E= ((2 elevado a la (a+2))+(2 elevado a la (a+3))) entre((3 elevado a la (b+1))+(3 elevado a la (b+2)))

Solución:

Usando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E= ((2 elevado a la a) por (2 elevado al cuadrado) + (2 elevado a la a) por (2 elevado al a cubo)) entre (3 elevado a la b) por (3 elevado a la 1) + (3 elevado a la b) por (3 elevado a al cuadrado)

Factorizando 2 elevado a la a en el numerador y 3 elevado a la b en el denominador:

E = ((2 elevado a la a) por (2 al cuadrado + 2 al cubo)) entre ((3 a la b) por (3 elevado a la 1 + 3 al cuadrado))

Reemplazando el valor de 2 elevado a la a = 3 elevado a la b en el numerador:

E = ((3 elevado a la b) por (4 + 8)) entre ((3 elevado a la b) por (3 + 9))

Simplificando el factor 3 elevado a la b y desarrollando, finalmente tenemos:

E=(4+8)/(3+9) = 12/12 = 1

  • Ejercicio 2: Si 3 elevado a la a-1 = cinco, cual es el valor de:

E=((3 elevado a la (a+b)) + (3 elevado a la (a+c))) entre ((3 elevado a la b+1) + (3 elevado a la c+1))

Solución:

Usando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

((3 elevado a la a) por (3 elevado a la b) + (3 elevado a la a) por (3 elevado a la c)) entre ((3 elevado a la b) por (3 elevado a la 1) + (3 elevado a la c) por (3 elevado a la 1))

Factorizando 3 elevado a la a y 3 elevado a la 1 en el numerador y denominador respectivamente:

E= (3 elevado a la a) por (3 elevado a la b por 3 elevado a la c) entre (3 elevado a la 1) por (e elevado a la b + 3 elevado a la c)

Simplificando 3 elevado a la b + 3 elevado a la c, resulta:

E= (3 elevado a la a) entre (3 elevado a la 1)

Usando a a la n entre a a la m = a a la n-m :

3 elevado a la (a-1)

Teniendo como dato 3 elevado a la a-1 = cinco, resulta:

E = cinco

  • Ejercicio 3: Resolver: 

E= (6 por (2 elevado a la (m-1)) + 2 elevado a la (m+3)) entre ((2 elevado a la (m+1)) + (2 elevado a la m))

Solución:

Aplicando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E = (6 por (2 elevado a la m) por (2 elevado a la -1) + (2 elevado a la m) por (2 al cubo)) entre ((2 elevado a la m) por (2 elevado a la 1) + (2 elevado a la m))

Aplicando a elevado a la -n = 1 entre a a la n:

(6 por ((2 elevado a la m) por (1 entre 2) + ((2 elevado a la m) por (2 al cubo))) entre ((2 elevado a la m) por (2 elevado a la 1) + 2 elevado a la m)

Factorizando 2 elevado a la m:

((2 elevado a la m) por (6 por (1/2) +2 al cubo)) entre ((2 elevado a la m) por ((2 elevado a la 1) + 1))

Simplificando 2 elevado a la m y resolviendo, resulta:

11 entre 3

  • Ejercicio 4: Calcular la siguiente expresión:

E = ((1/3)^(-2) + (1/4)^(-2))^(1/2)

Solución:

Por el corolario (a entre b) a la -n = (b entre a) a la n :

E = [(3/1)^2 + (4/1)^2]^(1/2) = [3^2 + 4^2]^(1/2)

Resolviendo y aplicando x^(m/n) = raíz enésima de x^m dónde variable x = número 2número 5 y m/n = 1/2, finalmente logramos:

25^(1/2) =raíz cuadrada de 25 = 5

  • Ejercicio 5: Resolver:

E = (ab^(-1) + ba^(-1))(a^(-2) + b^(-2))^(-1)

Solución:

Aplicando a elevado a la -n = 1 entre a a la n :

E = (a/b + b/a) (1/a^2 + 1/b^2)

Recordando que  m/n + p/q = (mq + np)/nq :

E = ((a^2 + b^2)/ba)/(((b^2 + a^2)((a^2)(b^2)))^(-1))

Por el corolario (a entre b) a la -n = (b entre a) a la n  y finalmente simplificando los factores a^2 + b^2 y a por b, resulta:

E = a por b

  • Ejercicio 6: Efectuar:

E = (2^(n+5) - 2^(n+4))/(2^(n+3))

Solución:

Aplicando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E = ((2^n) por (2^5) - (2^n) por (2^4)) / ((2^n) por (2 ^3))

Factorizando 2^n :

(2^n)(2^5 - 2^4) / ((2^n) (2^3))

Simplificando 2^n y resolviendo, obtenemos finalmente:

E = 2

  • Ejercicio 7: Calcular:

E = raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 +hasta el infinito)))

Solución:

Por su infinitud de la expresión, podemos suponer lo siguiente:

E = raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 +hasta el infinito)))

Entonces:

E = raíz cuadrada de (6 + E)

Elevando al cuadrado cada miembro de la igualdad para eliminar la raíz:

E^2 = (raíz cuadrada de (6 + E))^2

Recordar que (raíz x de a)^x y despejando términos tal que:

E^2 = 6 + E símbolo de la implicación lógica E^2 - 6 - E = =

Usaremos el método de aspa simple para factorizar la ecuación E^2 - 6 - E = =, este método lo enseñaremos en capítulos posteriores de factorización, tenemos:

(E-3)(E+2) = 0

Igualando a cada factor a cero:

E - 3 = 0 símbolo de la implicación lógica E = número 3
E + 2 = 0 símbolo de la implicación lógica E = –número 2

Como la raíz cuadrada de E debe ser positiva, tomaremos el siguiente valor como solución de nuestro ejercicio:

E = número 3

  • Ejercicio 8: Efectuar:

E = a al cuadradob al cuboc^4a^5b^6c^7a^8b^9c^10

Solución:

En esta multiplicación ordenaremos todos los términos juntando todos aquellos que tiene bases iguales:

E = a al cuadradoa^5a^8b al cubob^6b^9c^4c^7c^10

Aplicando a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo = a elevado n+m :

E = a^(2+5+8)b^(3+6+9)c^(4+7+10) 

Resultando finalmente:

E = a^15 b^18 c^21

  • Ejercicio 9: Resolver:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito (raíz cubica de (raíz cubica de (9 por raíz de 27))))))

Solución:

Note que raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo, reemplazando:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito (raíz cubica de (raíz cubica de (9 por 3))))))

Pero aquí se repite la misma secuencia donde raíz cúbica de (9 por 3) = raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo, tenemos:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito (raíz cubica de 3)))))

De nuevo raíz cúbica de (9 por 3) = raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo, tenemos:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito 3))))

Como la secuencia se repite continuamente, escribiremos el valor de .......3 por el valor de 3 de color rojo :

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por 3)))

Como este factor raíz cúbica de (9 por 3) = raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo se repite continuamente, finalmente obtenemos:

E = 3

  • Ejercicio 10: Resolver este clásico:

E = 16^(4^(-3^(-1)))

Solución:

El valor 2^(-1) = 1/2 lo reemplazamos en nuestra ejercicio:

E = 16^(4^(-3^(-1))) = 16^(4^(-1/2))

En el caso anterior usamos a elevado a la -n = 1 entre a a la n, de la misma manera para 4^(-1/2) = 1/(4^(1/2)) = 1/(raíz cuadrada de 4) = 1/2, finalmente resulta:

E = 4

  • Ejercicio 11: Resolver:

E=√((5^(n+3)-5^(n+2))/5^n )

Solución:

Aplicando a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo = a elevado n+m :

E=√((5^n∙5^3-5^n∙5^2)/5^n )

Factorizando 5^n en el numerador:

E=√((5^n (5^3-5^2))/5^n )

Simplificando 5^n :

E=√((5^3-5^2))

Resolviendo, finalmente obtenemos:

E=√((125-25))=√100=10

  • Ejercicio 12: Calcular:

E=√(125/√(125/√(125/⋮)))

Solución:

Este ejercicio es similar como el ejercicio 12, solo que en este caso se esta usando la división, aplicaremos el mismo método como en ese ejercicio:

E=√(125/⏟(√(125/√(125/⋮)) )┬E )

Resultando:

E=√(125/E)

Elevando al cuadrado y eliminando la raíz con la forma (raíz x de a)^x, tenemos:

E^2=〖√(125/E)〗^2=125/E

Despejando 125 del lado derecho de la igualdad:

E^3=125

Extrayendo la raíz cúbica  ∛(E^3 )=∛125, finalmente obtenemos:

E=∛125=5

  • Ejercicio 13: Resolver:

E=√(√16) +∛(∛(〖27〗^3 )) +∛(√64)

Solución:

Para este caso aplicaremos Raíz m de raíz n de raíz p de a = raíz mnp de a :

E=√(2∙2&16)+√(3∙3&(3^3 )^3 )+√(3∙2&64)

Sabiendo que número 1número 6 = 2 a la cuarta y número 6número 4 = 2 elevado a la sexta y resolviendo los indices y los exponentes, finalmente obtenemos:

E=∜(2^4 )+√(9&3^9 )+√(6&2^6 )=2+3+2=7

  • Ejercicio 14: Si  = b^b = número 2, resolver este clásico de clásicos:

E=ab^(ab^ab )

Solución:

Este tipo de ejercicios de exponente de exponente se resuelve de arriba abajo como ya indicamos en entrada anterior, sabemos  = número 2, tenemos:

E=ab^(ab^ab )=ab^(ab^2 )

Haremos la siguiente estrategia para el exponente letra a minuscula cursivab^2 = letra b = número 2letra b, recordar que  = número 2, tenemos:

E=ab^(ab^2 )=ab^2b

Aplicando  a elevado a la (m por n) = (a elevado a la n) elevado a la m, resulta:

E=ab^2b=ab^(b∙2)=a(b^b )^2

Como b^b = número 2, remplazando, finalmente logramos:

E=a(b^b )^2=a(2)^2=4a

  • Ejercicio 15: Si x^x = número 3, resolver:

E=x^(x^(x+1) )

Como en el caso del ejercicio anterior, este tipo de problemas se resuelven de arriba a abajo, aplicaremos a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E=x^(x^(x+1) )=x^(x^x∙x^1 )

Intercambiando los factores del producto x^x∙x^1 = x^1∙x^x, resulta:

E=x^(x^x∙x^1 )=x^(x^1∙x^x )

Aplicando a elevado a la (m por n) = (a elevado a la n) elevado a la m : 

E=x^(x^1∙x^x )=(x^(x^1 ) )^(x^x )=(x^x )^(x^x )

Como x^x = número 3, finalmente hallamos:

E=(x^x )^(x^x )=3^3=27

Por fin terminamos con el curso de teoria de exponentes, estos ejercicios sirven para usar correctamente las propiedades o leyes de la potenciacion y radicacion y lograr resolver problemas de cualquier nivel. Lo importante es saber usar estas propiedades.

En la próxima entrada publicaré una entrada auxiliar de ecuaciones exponenciales para terminar con esta sección. El próximo curso que desarrollaremos será el de productos notables (aunque el capitulo original se llamará operaciones algebraicas) antes de que polinomios, ya que resulta ser unas secciones más rápidas de terminar que la extensa teoría de los polinomios.

Y eso sería todo queridos amigos, que tengan un buen día, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Clasificación
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2018-08-10T15:00:59+00:00
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