3. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

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Hola amigos, hoy un nuevo día comienza, y en esta nueva oportunidad y última entrada, desarrollaremos ejercicios resueltos de potenciacion y radicacion del curso de teoría de exponentes.

Se supone que ya estudiaron la teoría como las leyes de los exponentes y los radicaciones en las secciones anteriores, si no lo han hecho, al lado izquierdo verán un grupo de secciones del curso o al final si estas en tablet o móvil.

Para desarrollar correctamente los ejericcios, debes tener en cuenta todo el conjunto de las principales leyes de la teoria de exponente y saberlos usar inteligencia, comensaremos los primeros ejercicios a modo demostraciones de las leyes de la radicacion que se dejaron pendientes anteriormente.

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Vamosa resolver las demostraciones pendientes de las leyes de la radicación de la entrada anterior. Aquí la anunciaremos como ejercicio resuelto.

Prueba de la ley de la raíz de un producto

  • Ejercicio 1: Demostrar la ley de la raíz de un producto, es decir, demostrar que:

raíz enésima de (a por b) = raíz enésima a por raíz enésima b

Solución:

Partiremos por raíz enésima de (a por b), veamos:

De nuevo por la definición de radicación donde a elevado a la (1 entre n) = raíz n de a y b elevado a la (1 entre n) = raíz n de b:

raíz enésima de a por b = (raíz n de a) por (raíz n de b)

De esta manera, queda demostrado la ley de la raíz de un producto.

Prueba de la ley de la raíz de un cociente

  • Ejercicio 2: Demostrar la ley de la raíz de un cociente, es decir, demostrar que:

raíz enésima de (a entre b) = raíz enésima de a entre la raíz enésima de b

Solución:

Comenzaremos por raíz enésima de (a entre b), veamos:

Por la definición de radicación:

raíz enésima de (a entre b) = (a entre b) elevado a la (1 entre n)

Por la ley de potencia de un cociente:

raíz enésima de (a entre b) = (a elevado a la 1/n) entre (b elevado a la 1/n)

Usando la definición de radicación donde a elevado a la (1 entre n) = raíz n de a y b elevado a la (1 entre n) = raíz n de b:

raíz enésima de (a entre b) = (raíz enésima de a) entre (raíz enésima de b)

Y así queda demostrado la ley de la raíz de un cociente.

Prueba de la ley de la raíz de raíz

  • Ejercicio 3: Demostrar la ley de la raíz de raíz, es decir, demostrar que:

Raíz m de raíz n de raíz p de a = raíz mnp de a

Solución:

De la misma manera como en los casos anteriores, usaremos la definición de radicación en raíz m de raíz n de raíz p de a, tenemos:

Por la definición de radicación:

raíz m de raíz n de raíz p de a = ((a elevado a la 1/p) elevado a la 1/n) elevado a la 1/m

Por la ley de potencia de potencia:

raíz m de raíz n de raíz p de a = a elevado a la (1/p por 1/n por 1/m)

Donde 1/p por 1/n por 1/m = 1/ (p por n por m), tenemos:

raíz m de raíz n de raíz p de a = a elevado a la 1/(n por m por p)

Por último, por la definición de la radicación:

raíz m de raíz n de raíz p de a = raíz (m por n por p) de a

Por último, por la definición de la radicación:

raíz m de raíz n de raíz p de a = raíz (m por n por p) de a

Demostraciones de la ley extendida de raíz de raíz

  • Ejercicio 4: Demostrar la forma extendida de la ley de raíz de raíz, es decir, demostrar que:

raíz m de (a por raíz n de (b por raíz p de c)) = raíz m de a por raíz m por n de b por raíz m por n por p de c

Solución:

Para demostrarlo, usaremos la ley de la raíz de un producto raíz enésima de x por y = (raíz enésima de x) por (raiz enésima de y), tenemos:

Por la ley de raíz de un producto:

Raíz m de (a por (raíz n de (b por (raíz p de c)))) = (raíz m de a) por raíz m de la raíz n de (b por raíz p de c)

Por la ley de raíz de raíz:

Raíz m de (a por (raíz n de (b por (raíz p de c)))) = (raíz m de a) por (raíz m por n de (b por raíz p de c))

Por la ley de raíz de un producto en el lado derecho de la igualdad anterior, tenemos:

Raíz m de (a por (raíz n de (b por (raíz p de c)))) = (raíz m de a) por (raíz m por n de b) por raíz m por n de (raíz p de c)

Volviendo aplicar la ley de raíz de raíz, se tiene:

Raíz m de (a por (raíz n de (b por (raíz p de c)))) = (raíz m de a) por (raíz m por n de b) por (raíz m por n por p de c)

De esta manera se demuestra que:

raíz m de (a por raíz n de (b por raíz p de c)) = raíz m de a por raíz m por n de b por raíz m por n por p de c

Demostraciones de las formas generalizadas de la ley de raíz de raíz

Forma generalizada para la multiplicación:

  • raíz m de (a elevado a la x por raíz n de (a elevado a la y por la raíz p de (a elevado a la z por la raíz q de a elevado a la r)))

Forma generalizada para la división:

  • raíz m de (a elevado a la x entre raíz n de (a elevado a la y entre la raíz p de (a elevado a la z entre la raíz q de a elevado a la r)))

Comenzaremos por demostrar para el caso de la multiplicación:

  • Ejercicio 5: Demostrar la siguiente igualdad:

raíz m de (a elevado a la x por raíz n de (a elevado a la y por la raíz p de (a elevado a la z por la raíz q de a elevado a la r)))

Solución:

Demostraremos rápidamente esta propiedad auxiliar con con la ley extendida de raíz de raíz que demostramos en el ejercicio 4, veamos:

Por la propiedad de la ley extendida de raíz de raíz:

raíz m de ((a elevado a la x) por raíz n de ((a elevado a la y) por raíz p de ((a elevado a la z) por raíz q de a elevado a la r))) = (raíz m de a a la x) por (raíz m por n de a elevado a la y) por (raíz m por n por p de a elevado a la z) por (raíz m por n por p por q de a elevado a la r)

Por el factor de multiplicación de radicales raíz n-sima de x elevado a la m = raíz de (n por k) de x elevado a la (n por k), la razón aquí es lograr que los índices de los radicales del lado derecho de la igualdad sea letra m en cursivaletra n en cursivaProposición pProposición q, tenemos:

raíz m de ((a elevado a la x) por raíz n de ((a elevado a la y) por raíz p de ((a elevado a la z) por raíz q de a elevado a la r))) = (raíz (m por n por p por q) de a a la (x por n por p por q) ) por (raíz (m por n por p por q) de a a la (y por p por q)) por (raíz (m por n por p por q) de a a la (z por q)) por (raíz (m por n por p por q) de a elevado a la r)

Por la ley de raíz de un producto raíz enésima de (a por b) = raíz enésima a por raíz enésima b:

raíz m de ((a elevado a la x) por raíz n de ((a elevado a la y) por raíz p de ((a elevado a la z) por raíz q de a elevado a la r))) = raíz (m por n por p por q) de ((a elevado a la (m por p por q por x)) por (a elevado a la (p por q por y)) por (a elevado a la (z por q)) por (a elevado a la r))

Por la ley de potencia de un producto:

raíz m de ((a elevado a la x) por raíz n de ((a elevado a la y) por raíz p de ((a elevado a la z) por raíz q de a elevado a la r))) = raíz (m por n por p por q) de a elevado a la ((n por p por q por x) + (p por q por y) + (z por q) + r)

Finalmente obtenemos:

raíz m de (a elevado a la x por raíz n de (a elevado a la y por la raíz p de (a elevado a la z por la raíz q de a elevado a la r)))

Para de la forma generalizada de la división te lo dejo a tu criterio, la razón!, pues, me aburrí jaja

Resumen de las leyes de la POTENCIACIÓN y RADICACIÓN

Para el desarrollo de los ejercicios que veremos en el siguiente apartado, vamos a resumir con abreviaturas tanto las definiciones y como las leyes de la teoría de exponentes como recordatorio para los ejercicios resueltos que mostraremos en breve.

Definiciones de la potenciación

  • D I: a elevado a la 0 = número 1
  • D II: a elevado a la -n = 1 entre a a la n 
  • D III: raíz n-sima de x elevado a la m = x elevado a la m/n  ó  x^(m/n) = raíz enésima de x^m

Leyes de potenciación:

  • LP I: a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo = a elevado n+m  ó  a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo 
  • LP II: Potencia de un producto  ó  a elevado a la n con exponente color rojob elevado a la n = (a por b) elevado a la n
  • LP III: potencia de potencia  ó  a elevado a la (m por n) = (a elevado a la n) elevado a la m
  • LP IV: a a la n entre a a la m = a a la n-m  ó  a elevado a la (n menos m) = (a elevado a la n) entre (a elevado a la m)
  • LP V: (a entre b) a la n  ó  (a elevado a la n) entre (b elevado a la n) = (a entre b) elevado a la n
    Corolario: (a entre b) a la -n = (b entre a) a la n  ó  (a entre b) a la n = (b entre a) a la -n

Leyes de la radicación:

  • LR I: raíz enésima de (a por b) = raíz enésima a por raíz enésima b  ó  raíz enésima a por raíz enésima b  =  raíz enésima de (a por b)
  • LR II: raíz enésima de (a entre b) = raíz enésima de a entre la raíz enésima de b  ó  (raíz n de a) entre (raíz n de b) = raíz n de (a entre b)
  • LR III: Raíz m de raíz n de raíz p de a = raíz mnp de a  ó  raíz mnp de a = raíz m de raíz n de raíz p de a

Leyes auxiliares de la radicación:

  • LAR I: raíz m de (a por raíz n de (b por raíz p de c)) = raíz m de a por raíz m por n de b por raíz m por n por p de c
  • LAR II: raíz m de (a elevado a la x por raíz n de (a elevado a la y por la raíz p de (a elevado a la z por la raíz q de a elevado a la r)))
  • LAR III: raíz m de (a elevado a la x entre raíz n de (a elevado a la y entre la raíz p de (a elevado a la z entre la raíz q de a elevado a la r)))

Veite Ejercicios resueltos de POTENCIACIÓN y RADICACIÓN:

En este ultimo apartado nos dedicaremos a desarrollar un mix de ejercicios de potenciacion y radicacion. Naturalmente todos los ejercicios se desarrollar desde las leyes anteriormente expuestas y muy pero muy rara vez usaremos la definicion de potenciacion. Comencemos.

  • Ejercicio 6: Si 2 elevado a la a = 3 elevado a la b, calcular el valor de:

E= ((2 elevado a la (a+2))+(2 elevado a la (a+3))) entre((3 elevado a la (b+1))+(3 elevado a la (b+2)))

Solución:

Usando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E= ((2 elevado a la a) por (2 elevado al cuadrado) + (2 elevado a la a) por (2 elevado al a cubo)) entre (3 elevado a la b) por (3 elevado a la 1) + (3 elevado a la b) por (3 elevado a al cuadrado)

Factorizando 2 elevado a la a en el numerador y 3 elevado a la b en el denominador:

E = ((2 elevado a la a) por (2 al cuadrado + 2 al cubo)) entre ((3 a la b) por (3 elevado a la 1 + 3 al cuadrado))

Reemplazando el valor de 2 elevado a la a = 3 elevado a la b en el numerador:

E = ((3 elevado a la b) por (4 + 8)) entre ((3 elevado a la b) por (3 + 9))

Simplificando el factor 3 elevado a la b y desarrollando, finalmente tenemos:

E=(4+8)/(3+9) = 12/12 = 1

  • Ejercicio 7: Si 3 elevado a la a-1 = cinco, cual es el valor de:

E=((3 elevado a la (a+b)) + (3 elevado a la (a+c))) entre ((3 elevado a la b+1) + (3 elevado a la c+1))

Solución:

Usando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

((3 elevado a la a) por (3 elevado a la b) + (3 elevado a la a) por (3 elevado a la c)) entre ((3 elevado a la b) por (3 elevado a la 1) + (3 elevado a la c) por (3 elevado a la 1))

Factorizando 3 elevado a la a y 3 elevado a la 1 en el numerador y denominador respectivamente:

E= (3 elevado a la a) por (3 elevado a la b por 3 elevado a la c) entre (3 elevado a la 1) por (e elevado a la b + 3 elevado a la c)

Simplificando 3 elevado a la b + 3 elevado a la c, resulta:

E= (3 elevado a la a) entre (3 elevado a la 1)

Usando a a la n entre a a la m = a a la n-m :

3 elevado a la (a-1)

Teniendo como dato 3 elevado a la a-1 = cinco, resulta:

E = cinco

  • Ejercicio 8: Resolver: 

E= (6 por (2 elevado a la (m-1)) + 2 elevado a la (m+3)) entre ((2 elevado a la (m+1)) + (2 elevado a la m))

Solución:

Aplicando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E = (6 por (2 elevado a la m) por (2 elevado a la -1) + (2 elevado a la m) por (2 al cubo)) entre ((2 elevado a la m) por (2 elevado a la 1) + (2 elevado a la m))

Aplicando a elevado a la -n = 1 entre a a la n:

(6 por ((2 elevado a la m) por (1 entre 2) + ((2 elevado a la m) por (2 al cubo))) entre ((2 elevado a la m) por (2 elevado a la 1) + 2 elevado a la m)

Factorizando 2 elevado a la m:

((2 elevado a la m) por (6 por (1/2) +2 al cubo)) entre ((2 elevado a la m) por ((2 elevado a la 1) + 1))

Simplificando 2 elevado a la m y resolviendo, resulta:

11 entre 3

  • Ejercicio 9: Calcular la siguiente expresión:

E = ((1/3)^(-2) + (1/4)^(-2))^(1/2)

Solución:

Por el corolario (a entre b) a la -n = (b entre a) a la n :

E = [(3/1)^2 + (4/1)^2]^(1/2) = [3^2 + 4^2]^(1/2)

Resolviendo y aplicando x^(m/n) = raíz enésima de x^m dónde variable x = número 2número 5 y m/n = 1/2, finalmente logramos:

25^(1/2) =raíz cuadrada de 25 = 5

  • Ejercicio 10: Resolver:

E = (ab^(-1) + ba^(-1))(a^(-2) + b^(-2))^(-1)

Solución:

Aplicando a elevado a la -n = 1 entre a a la n :

E = (a/b + b/a) (1/a^2 + 1/b^2)

Recordando que  m/n + p/q = (mq + np)/nq :

E = ((a^2 + b^2)/ba)/(((b^2 + a^2)((a^2)(b^2)))^(-1))

Por el corolario (a entre b) a la -n = (b entre a) a la n  y finalmente simplificando los factores a^2 + b^2 y a por b, resulta:

E = a por b

  • Ejercicio 11: Efectuar:

E = (2^(n+5) - 2^(n+4))/(2^(n+3))

Solución:

Aplicando a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E = ((2^n) por (2^5) - (2^n) por (2^4)) / ((2^n) por (2 ^3))

Factorizando 2^n :

(2^n)(2^5 - 2^4) / ((2^n) (2^3))

Simplificando 2^n y resolviendo, obtenemos finalmente:

E = 2

  • Ejercicio 12: Calcular:

E = raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 +hasta el infinito)))

Solución:

Por su infinitud de la expresión, podemos suponer lo siguiente:

E = raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 + raíz cuadrada de (6 +hasta el infinito)))

Entonces:

E = raíz cuadrada de (6 + E)

Elevando al cuadrado cada miembro de la igualdad para eliminar la raíz:

E^2 = (raíz cuadrada de (6 + E))^2

Recordar que (raíz x de a)^x y despejando términos tal que:

E^2 = 6 + E símbolo de la implicación lógica E^2 - 6 - E = =

Usaremos el método de aspa simple para factorizar la ecuación E^2 - 6 - E = =, este método lo enseñaremos en capítulos posteriores de factorización, tenemos:

(E-3)(E+2) = 0

Igualando a cada factor a cero:

E - 3 = 0 símbolo de la implicación lógica E = número 3
E + 2 = 0 símbolo de la implicación lógica E = –número 2

Como la raíz cuadrada de E debe ser positiva, tomaremos el siguiente valor como solución de nuestro ejercicio:

E = número 3

  • Ejercicio 13: Efectuar:

E = a al cuadradob al cuboc^4a^5b^6c^7a^8b^9c^10

Solución:

En esta multiplicación ordenaremos todos los términos juntando todos aquellos que tiene bases iguales:

E = a al cuadradoa^5a^8b al cubob^6b^9c^4c^7c^10

Aplicando a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo = a elevado n+m :

E = a^(2+5+8)b^(3+6+9)c^(4+7+10) 

Resultando finalmente:

E = a^15 b^18 c^21

  • Ejercicio 14: Resolver:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito (raíz cubica de (raíz cubica de (9 por raíz de 27))))))

Solución:

Note que raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo, reemplazando:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito (raíz cubica de (raíz cubica de (9 por 3))))))

Pero aquí se repite la misma secuencia donde raíz cúbica de (9 por 3) = raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo, tenemos:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito (raíz cubica de 3)))))

De nuevo raíz cúbica de (9 por 3) = raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo, tenemos:

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por hasta el infinito 3))))

Como la secuencia se repite continuamente, escribiremos el valor de .......3 por el valor de 3 de color rojo :

E = raíz cubica de ( 9 por raíz cubica de (9 por raíz cubica de (9 por 3)))

Como este factor raíz cúbica de (9 por 3) = raíz cúbica de 27 = 3 de color rojo se repite continuamente, finalmente obtenemos:

E = 3

  • Ejercicio 15: Resolver este clásico:

E = 16^(4^(-3^(-1)))

Solución:

El valor 2^(-1) = 1/2 lo reemplazamos en nuestra ejercicio:

E = 16^(4^(-3^(-1))) = 16^(4^(-1/2))

En el caso anterior usamos a elevado a la -n = 1 entre a a la n, de la misma manera para 4^(-1/2) = 1/(4^(1/2)) = 1/(raíz cuadrada de 4) = 1/2, finalmente resulta:

E = 4

  • Ejercicio 16: Resolver:

E=√((5^(n+3)-5^(n+2))/5^n )

Solución:

Aplicando a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo = a elevado n+m :

E=√((5^n∙5^3-5^n∙5^2)/5^n )

Factorizando 5^n en el numerador:

E=√((5^n (5^3-5^2))/5^n )

Simplificando 5^n :

E=√((5^3-5^2))

Resolviendo, finalmente obtenemos:

E=√((125-25))=√100=10

  • Ejercicio 17: Calcular:

E=√(125/√(125/√(125/⋮)))

Solución:

Este ejercicio es similar como el ejercicio 12, solo que en este caso se esta usando la división, aplicaremos el mismo método como en ese ejercicio:

E=√(125/⏟(√(125/√(125/⋮)) )┬E )

Resultando:

E=√(125/E)

Elevando al cuadrado y eliminando la raíz con la forma (raíz x de a)^x, tenemos:

E^2=〖√(125/E)〗^2=125/E

Despejando 125 del lado derecho de la igualdad:

E^3=125

Extrayendo la raíz cúbica  ∛(E^3 )=∛125, finalmente obtenemos:

E=∛125=5

  • Ejercicio 18: Resolver:

E=√(√16) +∛(∛(〖27〗^3 )) +∛(√64)

Solución:

Para este caso aplicaremos Raíz m de raíz n de raíz p de a = raíz mnp de a :

E=√(2∙2&16)+√(3∙3&(3^3 )^3 )+√(3∙2&64)

Sabiendo que número 1número 6 = 2 a la cuarta y número 6número 4 = 2 elevado a la sexta y resolviendo los indices y los exponentes, finalmente obtenemos:

E=∜(2^4 )+√(9&3^9 )+√(6&2^6 )=2+3+2=7

  • Ejercicio 19: Si  = b^b = número 2, resolver este clasico de clasicos:

E=ab^(ab^ab )

Solución:

Este tipo de ejercicios de exponente de exponente se resuelve de arriba abajo como ya indicamos en entrada anterior, sabemos  = número 2, tenemos:

E=ab^(ab^ab )=ab^(ab^2 )

Haremos la siguiente estrategia para el exponente letra a minuscula cursivab^2 = letra b = número 2letra b, recordar que  = número 2, tenemos:

E=ab^(ab^2 )=ab^2b

Aplicando  a elevado a la (m por n) = (a elevado a la n) elevado a la m, resulta:

E=ab^2b=ab^(b∙2)=a(b^b )^2

Como b^b = número 2, remplazando, finalmente logramos:

E=a(b^b )^2=a(2)^2=4a

  • Ejercicio 20: Si x^x = número 3, resolver:

E=x^(x^(x+1) )

Como en el caso del ejercicio anterior, este tipo de problemas se resuelven de arriba a abajo, aplicaremos a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo :

E=x^(x^(x+1) )=x^(x^x∙x^1 )

Intercambiando los factores del producto x^x∙x^1 = x^1∙x^x, resulta:

E=x^(x^x∙x^1 )=x^(x^1∙x^x )

Aplicando a elevado a la (m por n) = (a elevado a la n) elevado a la m : 

E=x^(x^1∙x^x )=(x^(x^1 ) )^(x^x )=(x^x )^(x^x )

Como x^x = número 3, finalmente hallamos:

E=(x^x )^(x^x )=3^3=27

Por fin terminamos con el curso de teoria de exponentes, estos ejercicios sirven para usar correctamente las propiedades o leyes de la potenciacion y radicacion y lograr resolver problemas de cualquier nivel. Lo importante es saber usar estas propiedades.

En la próxima entrada publicaré una entrada auxiliar de ecuaciones exponenciales para terminar con esta sección. El próximo curso que desarrollaremos será el de productos notables (aunque el capitulo original se llamará operaciones algebraicas) antes de que polinomios, ya que resulta ser unas secciones más rápidas de terminar que la extensa teoría de los polinomios.

Y eso sería todo queridos amigos, que tengan un buen día, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Clasificación
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2018-06-21T00:05:41+00:00