Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Niveles de los ejercicios:

Nivel avanzado

Es increíble verte de nuevo por aquí, al parecer quieres más dosis de dificultad, por esta razón he creado esta sección únicamente para ti. Los ejercicios que verás a continuación tiene una dificultad muy alta.

Te sugiero que comiences a resolver cada uno de estos problemas antes de ver la resolución, son un total de 28 ejercicios de nivel avanzado y debes en cuando usaremos algunas propiedades algebraicas que no están incluidas en este capítulo.

Sin mas que decir, comencemos con el ejercicio 74 que estoy seguro que para ti es solo un calentamiento.

Ejercicio 74

Averigüe el valor de \( x \) en base a la siguiente condición:


\[ (x+2) x^{ x^{2} } = 4 x^{ 4(3-x) } \]

Solución:

  1. Trabajaremos en el miembro derecho, del exponente \( 4(3 −x) \) se puede escribir como \( 12–4x \):
    \[ (x+2)x^{x^2} =4x^{12−4x} \]
  2. Por la propiedad de cociente de potencias \( a^{n−m} =a^n a^m \) en el miembro derecho:
    \[ (x+2)x^{x^2} = \frac{4x^{12}}{x^{4x}} \]
  3. Pasando \( x^{4x} \) al otro miembro:
    \[ (x+2) x^{ x^{2} } \cdot x^{4x} = 4 x^{12} \]
  4. Por la propiedad de producto de potencias \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \):
    \[ (x+2) x^{ x^{2} + 4x } = 4x^{12} \]
  5. Note que el exponente \( x^2+4x \) le falta un término para que sea un trinomio cuadrado perfecto (curso de producto notables que veremos más adelante) de la forma \( a2+2ab+b2 \), para ello, multiplicaremos a los dos miembros por \( x4 \), entonces:
    \[ (x+2) x^{ x^{2} + 4x } \cdot x^{4} = 4x^{12} \cdot x^{4} \]
  6. Por la propiedad de multiplicación de potencias \( a^n⋅a^m=a^(n+m) \):
    \[ (x+2) x^{ x^{2} + 4x + 4 } = 4 x^{12+4} = 4 x^{16} = 4x^{ 4^{2} } \]
  7. Donde \( x^{2} + 4x + 4 = (x+2)^{2} \), entonces:
    \[ (x+2) x^{ (x+2)^{2} } = 4x^{ 4^{2} } \]
  8. Note que por su semejanza, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} x+2 & = 4 \\ x & = \boxed{ \Large{ 2 } } \end{align} \]

Ejercicio 75

Resolver los valores de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ 3( 3^{x} + 1 ) = 10 { \sqrt{3} }^{x} \]

Solución:


  1. Comencemos eliminando la raíz elevando al cuadrado:
    \[ ( 3 ( 3^{x} + 1 ) )^{2} = ( 10 { \sqrt{3} }^{x} )^{2} \]
  2. Por la propiedad de potencia de un producto \( (ab)^2=a^2 b^2 \):
    \[ 3^{2} ( 3^{x} +1 )^{2} = 10^{2} ( { \sqrt{3} }^{x} )^{2} \]
  3. Donde \( ( 3^{x} + 1 )^{2} = 3^{2x} + 2 \cdot 3^{x} + 1 \) por ser un binomio al cuadrado (cosa que estudiaremos mas adelante) y resolviendo:
    \[ \begin{align} 3^{2} ( 3^{2x} + 2 \cdot 3^{x} + 1 ) & = 10^{2} ( { \sqrt{3} }^{2} )^{x} \\ 9( 3^{2x} + 2 \cdot 3^{x} + 1 ) & = 100 \cdot 3^{x} \\ 9 \cdot 3^{2x} + 18 \cdot 3^{2} + 9 & = 100 \cdot 3^{x} \\ 9 \cdot 3^{3x} – 82 \cdot 3^{x} + 9 & = 0 \end{align} \]
  4. Por el método de aspa simple (método para factorizar y que estudiaremos más adelante):
    \[ ( 9 \cdot 3^{x} – 1 )( 3^{x} – 1 ) = 0 \]
  5. Para que se cumpla la ecuación anterior, cualquiera de los factores puede ser \( 0 \), entonces:
    \[ 9 \cdot 3^{x} – 1 = 0 \ \text{ó} \ 3^{x} – 1 = 0 \\ 3^{x} = \frac{1}{9} = 3^{-2} \ \text{ó} \ 3^{x} = \underbrace{ 3^{0} }_{1} \]
  6. Entre estas dos ecuaciones como las bases son iguales, los exponentes son iguales, de esta manera los valores de \( x \) son:
    \[ \boxed{ \Large{ x = -2 } \ \text{ó} \ \Large{ x = 0 } } \]

Ejercicio 76

Resolver el valor de \( x \):

\[ 4^{ x^{2} – 3x } = \frac{ { \sqrt[3]{5} }^{x} }{5} \]

Solución:

  1. Por definición de radicación \( \sqrt[m]{ a^{n} } = a^{ \frac{n}{m} } \):
    \[ 4^{ x^{2} -3x } = \frac{ 5^{ \frac{x}{3} } }{5} \]
  2. Por la propiedad de cociente de potencia \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \):
    \[ 4^{ x^{2} – 3x } = 5^{ \frac{x}{3} – 1 } \]
  3. Elevando al cubo, resulta:
    \[ [ 4^{ x^{2} – 3x } ]^{3} = [ 5^{ \frac{x}{3} – 1 } ]^{3} \]
  4. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \) y como \( x^{2} – 3x = x( x-3 ) \):
    \[ \begin{align} 4^{ (x^{2} – 3x) \cdot 3 } & = 5^{ ( \frac{x}{3} – 1 ) \cdot 3 } \\ 4^{ 3x(x-3) } & = 5^{ x-3 } \\ ( 4^{3x} )^{x-3} & = 5^{ x-3 } \\ \frac{ ( 4^{3x} )^{x-3} }{ 5^{x-3} } & = 1 \end{align} \]
  5. Por la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ b^{n} } = ( \frac{a}{b} )^{n} \):
    \[ ( \frac{ 4^{3x} }{ 5 } )^{ x-3 } = 1 \]
  6. Por definición de exponente cero \( a^0=1 \), finalmente obtenemos:
    \[ x-3=0 \ x = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 77

Resolver el valor de \( x \):

\[ 11^{ -3^{1331x} } = x \]


Solución:

  1. En el curso de ecuaciones exponenciales de matemática elemental tratamos solo cuando las bases de los miembros de la ecuación son iguales, por tal motivo, el valor de \( x \) debe ser en base \( 11 \), entonces existe un \( n \) tal que se cumpla \( x=11^n \), pero para hacerlo más sencillas las operaciones, para eliminar el signo negativo del miembro izquierdo de la ecuación, hacemos \( x=11^{−n} \), entonces:
    \[ 11^{ -3^{1331 (11^{-n}) } } = 11^{-n} \]
  2. Como las bases son iguales, los exponentes son iguales, resultando:
    \[ \begin{align} -3^{ 1331 (11^{-n}) } & = -n \\ 3^{1331 (11^{-n}) } & = n \end{align} \]
  3. Cómo \( 1331 = 11^{3} \), tenemos:
    \[ \begin{align} 3^{ 11^{3} \cdot 11^{-n} } & = n \\ ( 3^{ 11^{3} } )^{ 11^{-n} } & = n \\ ( 3^{ 11^{3} } )^{ \frac{1}{ 11^{n} } } & = n \end{align} \]
  4. Observe que por propiedad de exponente fraccionario se cumple que \( a^{ \frac{1}{x} } = b \Rightarrow a = b^{x} \), resulta:
    \[ 3^{ 11^{3} } = n^{ 11^{n} } \]
  5. Por simetría se cumple que \( n=3 \), como \( x=11^{−n} \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} x & = 11^{-3} \\ & = \frac{1}{ 11^{3} } \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{1331} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 78

Resolver los valores de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ x^{ x – x^{2} + 13 } = x^2 – 12 \]

Solución:

  1. Este ejercicio se resuelve de la siguiente manera: buscaremos en el exponente del miembro izquierdo un término igual al miembro derecho, esto es, de \( x^{2} –12 \), para ello, vamos a separarlo en dos factores el miembro izquierdo de la siguiente manera:
    \[ \begin{align} x^{x+1} \cdot x^{ -x^{2} +12 } & = x^{2} – 12 \\ x^{x+1} \cdot x^{ – ( x^{2} -12 ) } & = x^{2} – 12 \end{align} \]
  2. Por definición de exponente negativo \( a^{−n} = \frac{1}{a^n} \):
    \[ x^{x+1} \cdot \frac{ 1 }{ x^{ x^{2} – 12 } } = x^{2} – 12 \]
  3. Trasladando el término \( x^{x^2–12} \), entonces:
    \[ x^{x+1} = ( x^{2} – 12 ) x^{ x^{2} – 12 } \]
  4. Como \( x^{x+1} = x \cdot x^x \), entonces:
    \[ \color{red}{x} \cdot x^{ \color{red}{x} } = ( \color{red}{ x^2 – 12 } ) x^{ \color{red}{ x^{2} – 12 } } \]
  5. Por comparación o simetría, se cumple que:
    \[ x = x^{2} – 12 \]
  6. Resolviendo la ecuación, finalmente obtenemos los valores de \( x \):
    \[ \begin{align} x^{2} – x – 12 & = 0 \\ ( x-4 )( x+3 ) & = 0 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ { 4, -3 } } \\ \hline \end{array} \end{align} \]
  7. Esto quiere decir que \( x \) es \( 4 \) ó \( −3 \).

Ejercicio 79

Calcular el valor de \( xy \) si se cumple el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:


  1. \( (x+y)2^{y-x} = 3 \)
  2. \( \sqrt[x-y]{x+y} = 2 \sqrt{3} \)

Solución:

  1. Resolveremos los valores de \( x \) e \( y \), para ello, reemplazamos la ecuación 1 en 2, para ello, comenzaremos por la primera a la ecuación 1:
    \[ \begin{align} (x+y)2^{y-x} & = 3 \\ (x+y) & = \frac{3}{ 2^{y-x} } \\ x+y & = 3 \cdot 2^{ -(y-x) } \\ x+y & = 3 \cdot 2^{ x-y } \end{align} \]
  2. Ahora reemplazando en \( 2 \), resulta:
    \[ \begin{align} \sqrt[x-y]{ 3 \cdot 2^{x-y} } & = 2 \sqrt{3} \\ \sqrt[x-y]{3} \cdot \sqrt[x-y]{ 2^{x-y} } & = 2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt[x-y]{3} & = 2 \sqrt{3} \end{align} \\ \sqrt[x-y]{3} = \sqrt{3} \]
  3. Para que esta igualdad se cumpla, los indices de los radicales deben ser iguales, entonces:
    \[ x-y = 2 \cdots ( \alpha ) \]
  4. Reemplazando \( α \) a la ecuación \( 1 \):
    \[ \begin{align} (x+y)2^{ y-x } & = 3 \\ (x+y)2^{ -(x-y) } & = 3 \\ (x+y)2^{ -2 } & = 3 \\ (x+y) ( \frac{1}{2^2} ) & = 3 \\ x+y & = 3 \cdot 2^{2} \\ x+y & = 12 \end{align} \]
  5. De esta manera, obtenemos dos sistema de ecuaciones lineales (tema que estudiaremos en un curso de ecuaciones más adelante) y son:
    \[ x-y=2 \\ x+y = 12 \]
  6. Sumando las ecuaciones, resulta:
    \[ \begin{align} (x-y) + (x+y) & = 2 + 12 \\ 2x & = 14 \\ x & = 7 \end{align} \]
  7. Si restamos el sistema de ecuaciones dados, resulta:
    \[ \begin{align} (x+y) – (x-y) & = 12-2 \\ 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{align} \]
  8. Finalmente, el producto de \( x \) e \( y \) es:
    \[ \begin{align} xy & = 7 \cdot 5 \\ xy & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 35 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 80

Averigüe el valor de \( x \) en el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales siguientes:

  1. \( x^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } = y^{ \frac{8}{3} } \)
  2. \( y^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } = x^{ \frac{2}{3} } \)

Solución:

  1. Vamos a reemplazar el valor de \( x \) (solo la base) en la ecuación 1 desde la ecuación 2, para ello, vamos a elevar al exponente \( \frac{2}{3} \) a los dos miembros de la ecuación 1, resulta:
    \[ ( x^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } )^{ \frac{2}{3} } = ( y^{ \frac{8}{3} } )^{ \frac{2}{3} } \]
  2. Por la el teorema \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} = a^{nm} \), entonces:
    \[ \begin{align} ( x^{ \frac{2}{3} } )^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } & = y^{ \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} } \\ ( x^{ \frac{2}{3} } )^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } & = y^{ \frac{16}{9} } \end{align} \]
  3. Ahora si reemplazando 2 en 1:
    \[ \begin{align} ( y^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } )^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } & = y^{ \frac{16}{8} } \\ y^{ ( \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} )^{2} } & = y^{ \frac{16}{9} } \end{align} \]
  4. Eliminando la base \( y \) en los dos miembros:
    \[ \begin{align} ( \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} )^{2} & = \frac{16}{9} \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} … ( \alpha ) \end{align} \]
  5. Reemplazando el valor de \( α \) en \( 2 \), tenemos:
    \[ \begin{align} y^{ \frac{4}{3} } & = x^{ \frac{2}{3} } \\ y^{2} & = x \end{align} \]
  6. Reemplazando esta nueva ecuación en \( α \), resulta:
    \[ \begin{align} \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ \sqrt[4]{ y^{2} } + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ \sqrt{y} + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ 2 \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ \sqrt{y} & = \frac{2}{3} \\ y & = \frac{4}{9} \end{align} \]
  7. Como \( x=y^2 \), resulta:
    \[ \begin{align} x & = ( \frac{4}{9} )^{2} \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{16}{81} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 81

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ x^{ x – \sqrt{x} – 1 } = \sqrt{x} + 2 \]


Solución:

  1. Por la propiedad de cociente de potencias:
    \[ \frac{ x^{x} }{ x^{ \sqrt{x} + 1 } } = \sqrt{x} + 2 \]
  2. Pasando el término \( x^{ \sqrt{x}+1 } \) al otro miembro:
    \[ x^{x} = ( \sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 1 } \]
  3. Multiplicando por \( x \) a los dos miembros, resulta:
    \[ \begin{align} x \cdot x^{x} & = (\sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 1 } \cdot x \\ x \cdot x^{x} & = ( \sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 1 + 1 } \\ x \cdot x^{x} & = ( \sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 2 } \end{align} \]
  4. Si comparamos los miembros de esta ecuación, podemos deducir que:
    \[ x = \sqrt{x} + 2 \cdots ( \alpha ) \\ x-2 = \sqrt{x} \\ (x-2)^{2} = x \\ x^{2} – 4x + 4 = x \\ x^{2} -5x + 4 = 0 \]
  5. Tenga en cuenta que \( (x−2)^2 = x^2–4x+4 \) (esta fórmula lo estudiaremos en una sección de productos notables), si factorizamos por aspa simple la última ecuación, quedando:
    \[ (x-4)(x-1) = 0 \]
  6. De esta manera obtenemos dos valores de xx y son:
    \[ x = 4 \ \text{y} \ x=1 \]
  7. Si reemplazamos estos valores en \( \alpha \), el único valor aceptable es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = 4 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 82

Averigüe el valor de \( x \) en la siguiente expresión:

\[ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x – 1 } + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x  + 1} = \frac{4}{ 2 – \sqrt{3} } \]

Solución:

Este ejercicio requiere de algunos conceptos de productos notables, en este caso usaremos sólo las propiedades de diferencia de cuadrados \( (a−b)(a+b)=a^2−b^2 \) y binomio al cuadrado \( (a±b)^2=a^2±2ab+b^2 \).


  1. Vamos a eliminar el \( 1 \) y \( −1 \) de los exponentes de las bases de \( 2+\sqrt{3} \) y \( 2– \sqrt{3} \) del miembro izquierdo de la siguiente manera:
    \[ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( 2 + \sqrt{3} ) + \frac{ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } }{ 2 – \sqrt{3} } = \frac{4}{ 2 – \sqrt{3} } \]
  2. Multiplicando a los dos miembros por \( 2 – \sqrt{3} \), resulta:
    \[ \require{cancel} \begin{align} ( ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \underbrace{ ( 2 + \sqrt{3} )( 2 – \sqrt{3} ) }_{ (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} } + \frac{ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } }{ \cancel{ 2 – \sqrt{3} } } \cdot ( \cancel{ 2 – \sqrt{3} } ) & = \frac{ 4 }{ \cancel{ 2 – \sqrt{3} } } \cdot ( \cancel{ 2 – \sqrt{3} } ) \\ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( \underbrace{ 2^{2} – { \sqrt{3} }^{2} }_{ 4-3 = 1 } ) + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 4 \\ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 4 \end{align} \]
  3. Ahora la ecuación se ve menos espantosa por no decir más agradable, la siguiente estrategia para resolver el valor de \( x \) es multiplicando a los dos miembros por \( (2 – \sqrt{3} )^{ x^2–2x} \), el punto aquí es eliminar la base \( 2+\sqrt{3} \), tenemos:
    \[ \begin{align} ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2x} – 2x } ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \\ [ \underbrace{ ( 2 + \sqrt{3} )( 2 – \sqrt{3} ) }_{1} ]^{ x^{2} – 2x } + [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} & = 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \\ 1 + [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} & = 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \\ [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} – 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = -1 \end{align} \]
  4. El punto aquí es buscar un trinomio cuadrado perfecto \( a^2 ± 2ab +b^2 = (a±b)^2 \), sumaremos a los dos miembros por \( 4 \), resulta:
    \[ \begin{align} [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} – 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } + 4 & = 4-1 \\ [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} – 2( ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } )(2) + 2^{2} & = 3 \\ ( ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } – 2 )^{2} & = 3 \end{align} \]
  5. Ahora la ecuación se ve mas agradable, por definición de radicación, resulta:
    \[ \begin{align} ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } – 2 & = \sqrt{3} \\ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} -2x } & = 2 + \sqrt{3} \end{align} \]
  6. Multiplicando a los dos miembros por \( 2 – \sqrt{3} \):
    \[ \begin{align} ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( 2 – \sqrt{3} ) & = \underbrace{ ( 2 + \sqrt{3} )( 2 – \sqrt{3} ) }_{ 4 – { \sqrt{3} }^{2} = 1 } \\ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 1 \end{align} \]
  7. Por definición de exponente cero \( a^0=1 \), entonces el exponente de la base \( 2– \sqrt{3} \) es cero ( \( 0 \) ), quedando:
    \[ \begin{align} x^{2} – 2x & = 0 \\ x( x -2 ) & = 0 \end{align} \]
  8. Finalmente los valores de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x=0 } \ \text{ó} \ \Large{ x=2 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 83

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación exponencial:

\[ 2x+1 = \frac{3}{2} [ \sqrt{ \frac{1}{x} } ]^{4x-1} \]

Solución:

  1. Por propiedad de radicación \( \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \) y la definición de radicación \( \sqrt[n]{a} = b \Rightarrow a = b^n \) y realizando algunas operaciones:
    \[ \begin{align} 2x+1 & = \frac{3}{2} [ \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{x} } ]^{4x-1} \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} [ \frac{1}{ \sqrt{x} } ]^{4x-1} \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} [ \frac{1}{ x^{ \frac{1}{2} } } ]^{4x-1} \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} ( \frac{1}{ x^{ \frac{1}{2} \cdot (4x-1) } } ) \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} ( \frac{1}{ x^{ 2x – \frac{1}{2} } } ) \end{align} \]
  2. Pasando el factor \( x^{ 2x – \frac{1}{2} } \) al otro miembro:
    \[ (2x+1) x^{ 2x – \frac{1}{2} } = \frac{3}{2} \]
  3. Multiplicando por \( x^{ \frac{3}{2} } \)  a los dos miembros:
    \[ \begin{align} (2x+1) x^{ 2x – \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{3}{2} } & = \frac{3}{2} \cdot x^{ \frac{3}{2} } \\ (2x+1) x^{ 2x – \frac{1}{2} + \frac{3}{2} } & = \frac{3}{2} x^{ \frac{3}{2} } \\ (2x+1) x^{ 2x + 1 } & = \frac{3}{2} x^{ \frac{3}{2} } \end{align} \]
  4. Por comparación, podemos decir que:
    \[ 2x+1= \frac{3}{2} \]
  5. Operando, obtenemos finalmente el valor de \( x \):
    \[ \begin{align} 2x & = \frac{3}{2} – 1 \\ 2x & = \frac{1}{2} \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{4} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 84

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} – 1 } = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \]


Solución:

  1. Si tienes la experiencia adecuada, este problema se resuelve de la siguiente manera: multiplicando a los dos miembros por \( \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \), resulta:
    \[ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} – 1 } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \]
  2. Por la propiedad de radicación \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \):
    \[ \begin{align} \sqrt[x-1]{ 1+ \sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{ \underbrace{ ( \sqrt{2} – 1 )( \sqrt{2} + 1 ) }_{ { \sqrt{2} }^{2} – 1{2} = 2-1 =1 } } & = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \\ \sqrt[x-1]{ 1 +\sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{1} & = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \\ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } & = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ 1 + \sqrt{2} } \end{align} \]
  3. Pasando el factor \( \sqrt[x+1]{ 1 + \sqrt{2} } \) al otro miembro:
    \[ \frac{ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } }{ \sqrt[x+1]{ 1 + \sqrt{2} } } = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \]
  4. Por definición de radicación:
    \[ \begin{align} \frac{ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{ x-1 } } }{ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{x+1} } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x+1} } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{ x+1 – (x-1) }{ (x-1)(x+1) } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{ x^{2}  – 1 } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } … ( \alpha ) \end{align} \]
  5. La base del miembro izquierdo se puede escribir como \( 1 + \sqrt{2} = ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{2}{2} } \) 1+√2=(1+√2)22, por propiedad de potencia de potencia:
    \[ 1 + \sqrt{2} = [ ( 1 + \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \]
  6. Como \( (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \):
    \[ \begin{align} 1 + \sqrt{2} & = ( 1^{2} + 2(1)( \sqrt{2} ) + { \sqrt{2} }^{2} )^{ \frac{1}{2} } \\ & = ( 1 + 2 \sqrt{2} + 2 )^{ \frac{1}{2} } \\ 1 + \sqrt{2} & = ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{2} } \end{align} \]
  7. La expresión \( 3 + 2 \sqrt{2} \) se puede escribir como \( [ ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \) [(3+2√2)2]12, entonces:
    \[ \begin{align} 1 + \sqrt{2} & = ( [ ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \\ & = [ ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} } \\ & = ( 3^{2} + 2 (3) ( \sqrt{2} ) + \underbrace{ ( 2 \sqrt{2} )^{2} }_{ 2^{2} \cdot 2 = 8 } )^{ \frac{1}{4} } \\ & = ( 9 + 8 + 6 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{4} } \\ 1 + \sqrt{2} & = ( 17 + 6 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{4} } \end{align} \]
  8. Reemplazando en \( α \), resulta:
    \[ \begin{align} [ ( 17 + 6 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{4} } ]^{ \frac{1}{ x^{2} – 1 } } & = ( 17 + 6 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 17 + 6 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{ x^{2} – 1 } } & = ( 17 + 6 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{16} } \end{align} \]
  9. Se pueden eliminar las bases por ser iguales, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{align} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{ x^{2} – 1 } & = \frac{1}{16} \\ \frac{1}{ 4( x^{2} – 1 ) } & = \frac{1}{16} \\ 4( x^{2} – 1 ) & = 16 \\ x^{2} – 1 & = 4 \\ x^{2} & = 5 \\ x & = \boxed{ -\sqrt{5} \text{ó} \sqrt{5} } \end{align} \]

Ejercicio 85

De la condición \( x^{ x^{ 1- x } } = { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } \), resolver el valor numérico de \( x^{ x^{ 1 + 2x } } \).

Solución:

  1. Comencemos por la condición, el exponente del miembro izquierdo se puede escribir como \( x^{1-x} = x \cdot x^{-x} \), entonces:
    \[ \begin{align} x^{ x \cdot x^{-x} } & = { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } \\ ( x^{x} )^{ x^{-x} } & = { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } \end{align} \]
  2. Elevando a la \( -1 \) a los dos miembros:
    \[ \begin{align} [ ( x^{x} )^{ x^{-x} } ]^{-1} & = ( { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } ){-1} \\ ( x^{ -x } )^{ x^{-x} } & = { \sqrt[4]{2} }^{ – \sqrt{2} } \end{align} \]
  3. La raíz \( \sqrt[4]{2} \) se puede escribir como \( \sqrt{2}^{ \frac{1}{2} } \), tenemos:
    \[ ( x^{-x} )^{ x^{-x} } = [ ( \sqrt{2} )^{ \frac{1}{2} } ]^{ – \sqrt{2} } \]
  4. Intercambiado exponentes en el miembro derecho y realizando algunos cálculos:
    \[ \begin{align} ( x^{-x} )^{ x^{-x} } & = [ ( \sqrt{2} )^{-1} ]^{ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} } \\ & = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } )^{ \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } } \\ & = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } )^{ \frac{ \sqrt{2} }{ { \sqrt{2} }^{2} } }  \\ ( x^{-x} )^{ x^{-x} } & = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } )^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } \end{align} \]
  5. Por simetría, obtenemos:
    \[ \begin{align} x^{-x} & = \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ x^{-x} & = { \sqrt{2} }^{-1} \end{align} \]
  6. Elevando a los dos miembros a la \( -1\):
    \[ \begin{align} ( x^{-x} )^{-1} & = [ { \sqrt{2} }^{-1} ]^{-1} \\ x^{x} & = \sqrt{2} \end{align} \]
  7. Ahora vamos a calcular lo que nos pode, se tiene:
    \[ \begin{align} x^{ x^{1 + 2x} } & = x^{ x \cdot x^{2x} } \\ & = ( x^{x} )^{ x^{2x} } \\ x^{ x^{ 1+2x } }  & = ( x^{x} )^{ ( x^{x} )^{2} } \end{align} \]
  8. Cómo \( x^{x} = \sqrt{2} \), finalmente logramos obtener:
    \[ \begin{align} x^{ x^{ 1 + 2x } } & = ( \sqrt{2} )^{ ( \sqrt{2} )^{2} } \\ & = ( \sqrt{2} )^{2} \\ x^{ x^{ 1+2x } } & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 2 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 86

Despejar \( x \) en:

\[ x^{x} = \frac{ \sqrt[n]{4} }{ n^{x} } \]


Solución:

  1. Pasando el factor \( n^{x} \) al otro miembro:
    \[ x^{x} \cdot n^{x} = \sqrt[n]{4} \]
  2. Por la propiedad de potencia de un producto \( a^{n} b^{n} = (ab)^{n} \):
    \[ (xn)^{x} = \sqrt[n]{4} \]
  3. Por definición de radicación \( \sqrt[n]{a} = b \Rightarrow a = b^{n} \):
    \[ \begin{align} [ (xn)^{x} ]^{n} & = 4 \\ (xn)^{xn} & = 2^{2} \end{align} \]
  4. Por simetría, logramos obtener:
    \[ \begin{align} xn & = 2 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{2}{n} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 87

Resolver el valor de \( \frac{3x}{y} \) si se cumple:
\[ \sqrt[x+y]{ ( \frac{ \sqrt[x]{ xy^{-1} } }{ \sqrt[y]{ yx^{-1} } } )^{ x^{2} } } = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \]

Solución:

  1. Las expresiones \( xy^{-1} \) y \( yx^{-1} \) se puede escribir respectivamente en \( \sqrt[y]{ ( xy^{-1} )^{y} } \) y \( \sqrt[x]{ ( yx^{-1} )^{x} } \), tenemos:
    \[ \begin{align} \sqrt[x+y]{ ( \frac{ \sqrt[x]{ ( \sqrt[y]{ xy^{-1} } )^{y} } }{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ yx^{-1} } )^{x} } } )^{ x^{2} } } & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ \sqrt[x+y]{ ( \sqrt[xy]{ \frac{ ( xy^{-1} )^{y} }{ ( yx^{-1} )^{x} } } )^{ x^{2} } } & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  2. Aplicando las propiedades \( \sqrt[nk]{ a^{mk} } = \sqrt[n]{ a^{m} } \), entonces:
    \[ \begin{align} { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ ( xy^{-1} )^{y} }{ ( yx^{-1} )^{x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ x^{y} y^{-y} }{ y^{x} x^{-x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  3. Sabiendo que \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \) y \( \frac{1}{ b^{-m} } = b^{m} \), entonces:
    \[ \begin{align} { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ ( xy^{-1} )^{y} }{ ( yx^{-1} )^{x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ x^{y} y^{-y} }{ y^{x} x^{-x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  4. Simplificando \( x+y \) y por definición de radicación:
    \[ \begin{align} { \sqrt[y]{ \frac{x}{y} } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ ( \frac{x}{y} )^{ \frac{x}{y} } & = \frac{1}{ 3^{ \frac{1}{3} } } \\ ( \frac{x}{y} )^{ \frac{x}{y} } & = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{3} } \end{align} \]
  5. Por comparación o simetría, se cumple:
    \[ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \]
  6. Por tanto, el valor de 3xy3xy es:
    \[ \begin{align} \frac{3x}{y} & = 3( \frac{x}{y} ) \\ & = 3( \frac{1}{3} ) \\ \frac{3x}{y}  & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 88

Sea la condición \( x^{ -4^{ 4^{-x} } } = 4 \), cuál es el valor numérico de \( x^{ x^{-1} } \).

Solución:


  1. Este ejercicio es interesante, para resolverlo, pasaremos el exponente de la base \( x \) al otro miembro, esto es se cumple que si \( a^{n} = b \), entonces \( a = b^{ \frac{1}{n} } \), resulta:
    \[ \begin{align} x & = 4^{ \frac{1}{ -4^{ 4^{ -x } } } } \\ x & = 4^{ – \frac{1}{ 4^{ 4^{ -x } } } } \end{align} \]
  2. Por definición de exponente negativo \( \frac{1}{ a^{n} } = a^{-n} \):
    \[ x = 4^{ – 4^{ -4^{-x} } } \]
  3. Por propiedad de potencia de potencia \( a^{nm} = ( a^{n} )^{m} \):
    \[ x = ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{x} } } \]
  4. Note que \( x \) se puede escribir como \( { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{x} } } \), entonces:
    \[ { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{x} } } = ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{x} } } \]
  5. Por comparación o simetría, resulta:
    \[ \sqrt[x]{x} = 4^{-1} \]
  6. Nos piden \( x^{ x^{-1} } \), por tanto, el ejercicio esta resuelto por lo siguiente:
    \[ \begin{align} \sqrt[x]{x} & = \frac{1}{4} \\ x^{ \frac{1}{x} } & = \frac{1}{4} \\ x^{ x^{-1} } & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{4} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 89

Cual es el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ 4^{x} – 3^{ x – \frac{1}{2} } = 3^{ x + \frac{1}{2} } – 2^{2x-1} \]

Solución:

  1. Pasaremos los términos \( -3^{ x – \frac{1}{2} } \) y \( 2^{2x-1} \) al otro miembro y sabiendo que la base \( 2 \) se puede escribir como \( 2= 4^{ \frac{1}{2} } \) y realizando algunas operaciones:
    \[ \begin{align} 4^{x} + [ 4^{ \frac{1}{2} } ]^{ 2x – 1 } & = 3^{ x + \frac{1}{2} } + 3^{ x – \frac{1}{2} } \\ 4^{x} + 4^{ \frac{1}{2} ( 2x – 1 ) } & = 3^{ x + \frac{1}{2} } + 3^{ x – \frac{1}{2} } \\ 4^{x} + 4^{ x – \frac{1}{2} } & = 3^{x} \cdot 3^{ \frac{1}{2} } + 3^{x} \cdot 3^{ – \frac{1}{2} } \\ 4^{x} + 4^{x} \cdot 4^{ – \frac{1}{2} } & = 3^{x} ( 3^{ \frac{1}{2} } + 3^{ – \frac{1}{2} } ) \\ 4^{x} ( 1 + 4^{ – \frac{1}{2} } ) & = 3^{x} ( 3^{ \frac{1}{2} } + 3^{ – \frac{1}{2} } ) \\ 4^{x} ( 1 + \frac{1}{ 4^{ \frac{1}{2} } } ) & = 3^{x} ( 3^{ \frac{1}{2} } + \frac{1}{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \\ 4^{x} ( 1 + \frac{1}{2} ) & = 3^{x} ( \frac{ 3 + 1 }{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \\ 4^{x} ( \frac{ 1+2 }{2} ) & = 3^{x} ( \frac{ 4 }{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \\ 4^{x} ( \frac{3}{2} ) & = 3^{x} ( \frac{4}{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \end{align} \]
  2. Pasando \( 3^x \) y \( 3^2 \) al otro miembro, resulta:
    \[ \begin{align} \frac{ 4^{x} }{ 3^{x} } & = \frac{8}{ 3 \cdot 3^{ \frac{1}{2} } } \\ ( \frac{4}{3} )^{x} & = \frac{8}{ 3^{ 1 + \frac{1}{2} } } \\ ( \frac{4}{3} )^{x} & = \frac{ 8 }{ 3^{ \frac{3}{2} } } \end{align} \]
  3. Como \( 8 = 4^{ \frac{3}{2} } \), entonces:
    \[ \begin{align} ( \frac{4}{3} )^{x} & = \frac{ 4^{ \frac{3}{2} } }{ 3^{ \frac{3}{2} } } \\ ( \frac{4}{3} )^{x} & = ( \frac{4}{3} )^{ \frac{3}{2} } \end{align} \]
  4. Eliminando las bases, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = \frac{3}{2} } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 90

Reducir el siguiente radical:

\[ \mathrm{B} = \sqrt[1]{ \frac{ \sqrt[2]{ \frac{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt[4]{ \frac{ .^{ .^{ .^{ n \ \color{red}{ \text{radicales} } } } } }{ x^{ 4! } } } }{ x^{ 3! } } } }{ x^{ 2! } } } }{ x } } \]


Solución:

  1. La raíz uno de un número es el mismo número, aunque contradice la definición de radicación, lo aceptaremos por esta vez, la expresión quedaría:
    \[ \mathrm{B} =  \frac{ \sqrt[2]{ \frac{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt[4]{ \frac{ .^{ .^{ .^{ n-1 \ \color{red}{ \text{radicales} } } } } }{ x^{ 4! } } } }{ x^{ 3! } } } }{ x^{ 2! } } } }{ x } \]
  2. Ahora quedan \( n-1 \) radicales, tener en cuenta que el índice del radical con valor \( 2 \) se puede escribir como \( 1 \cdot 2 = 2! \), recordar la definición del factorial de un número queda definido como  \[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)n \] , entonces:
    \[ \mathrm{B} =  \frac{ \sqrt[ 2! ]{ \frac{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt[4]{ \frac{ .^{ .^{ .^{ n-1 \ \color{red}{ \text{radicales} } } } } }{ x^{ 4! } } } }{ x^{ 3! } } } }{ x^{ 2! } } } }{ x } \]
  3. Para no entrar en confusión, usaremos la definición de exponente negativo donde \( \frac{1}{ x^{n} } = x^{-n} \) (aunque podía haberlo hecho desde un inicio, pero bueno), tenemos:
    \[ \mathrm{B} =  \underbrace{ x^{-1} }_{ 1 \ \text{factor} } \sqrt[ 2! ]{ x^{ -2! } \sqrt[3]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-1) \ \text{radicales} } } } \]
    Tenga en cuenta que \( \overbrace{1}^{ \text{factor} } + \overbrace{n-1}^{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \).
  4. Usando la propiedad \( \sqrt[n]{ ab } = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \):
    \[ \mathrm{B} =  x^{-1} \cdot \sqrt[ 2! ]{ x^{ -2! } } \sqrt[ 2! ]{ \sqrt[3]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } } \]
  5. Quedando \( n-2 \) radicales, por las propiedades \( \sqrt[n]{ a^{nk} } = a^{k} \) y \( \sqrt[n]{ \sqrt[m]{b} } = \sqrt[nm]{b} \), resulta:
    \[ \mathrm{B} =  \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 2 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 2! \cdot 3 ]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } \]
    Observe que \( \overbrace{2}^{ \text{factores} } + \overbrace{ n-2 }^{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \).
  6. Tener en cuenta una propiedad del factorial que nos dice \( n! = (n-1)! \cdot n \), entonces \( 2! \cdot 3 = 3! \), obteniendo:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & =  x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot \sqrt[ 3! ]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } \\ & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 3 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 3! ]{ \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } \\ & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 3 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 3! \cdot 4 ]{ x^{-4!} \cdots (n-3) \ \text{radicales} } \\ & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 3 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 4! ]{ x^{-4!} \cdots (n-3) \ \text{radicales} } \end{align} \]
    Note también que factores \( \overbrace{3}^{ \text{factores} } + \overbrace{n-3}^{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \), esto quiere decir que todos los radicales se pueden transformar en todos los factores tal que \( \underbrace{n}_{ \text{factores} } + \underbrace{0}_{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \).
  7. En base a lo ultimo, nuestra expresión queda de la siguiente manera y último paso:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} \cdots x^{-1} }_{ n \ \text{ factores} } \\ &= ( x^{-1} )^{n} \\ \mathrm{B} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x^{-n} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 91

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ 3^{2x+5} – 28( 3^{x+1} – 2 ) = 55 \]

Solución:

  1. Aplicando las mismas propiedades habituales de potenciación, resulta:
    \[ \begin{align} 3^{2x} \cdot 3^{5} – 28 \cdot 3^{x} \cdot 3 + 56 & = 55 \\ 3^{5} \cdot 3^{2x} – 28 \cdot 3 \cdot 3^{x} + 56 – 55 & = 0 \\ 3^{5} \cdot 3^{2x} – 28 \cdot 3 \cdot 3^{x} + 1 & = 0 \end{align} \]
  2. Por el método del aspa simple (factorización), resulta:
    \[ \underbrace{ 3^{5} }_{ \begin{array}{ c } \color{red}{ 3^{4} } \\ \color{red}{ 3 } \end{array} } \cdot 3^{2x} \underbrace{ – 28 \cdot 3 }_{ ( \color{green}{-1} )( \color{red}{3^{4}} ) + ( \color{green}{-1} )( \color{red}{3} ) } \cdot 3^{x} + \underbrace{1}_{ \begin{array}{ c } \color{green}{-1} \\ \color{green}{-1} \end{array} } = 0 \]
  3. Nuestra ecuación exponencial se escribe de la siguiente manera:
    \[ ( 3^{4} \cdot 3^{x} – 1 )( 3 \cdot 3^{x} – 1 ) = 0 \]
  4. Los valores de 3x3x, para ser mas exactos, la de xx serían:
    \[ 3^{x} = \frac{1}{ 3^{4} } \vee 3^{x} = \frac{1}{3} \\ 3^{x} = 3^{-4} \vee 3^{x} = 3^{-1} \\ x = \begin{array}{ | c | } \hline -4 \\ \hline \end{array} \vee x = \begin{array}{ | c | } \hline -1 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 92

Resolver la siguiente ecuación exponencial:


\[ x^{2x} + x^{3} = ( x^{2} + x )x^{x} \]

Solución:

  1. Este ejercicio es similar como en el caso anterior, es decir, se puede realizar una factorización del tipo aspa simple, veamos:
    \[ \underbrace{ 1 }_{ \begin{array}{ c } \color{red}{1} \\ \color{red}{1} \end{array} } \cdot x^{2x} – ( \underbrace{ x^{2} + x }_{ – \color{red}{1} \cdot \color{green}{ x^{2} } – \color{red}{ 1 } \cdot \color{green}{ x } } ) x^{x} + \underbrace{ x^{3} }_{ \begin{array}{ c } \color{green}{ -x^{2} } \\ \color{green}{ -x } \end{array} } = 0 \]
  2. La ecuación quedaría así:
    \[ ( x^{x} – x^{2} )( x^{x} – x ) = 0 \]
  3. Obteniéndose:
    \[ x^{x} = x^{2} \vee x^{x} = x \]
  4. Eliminando las bases, finalmente obtenemos los dos valores de \( x \) tal que:
    \[ x = \begin{array}{ | c | } \hline 2 \\ \hline \end{array} \vee x = \begin{array}{ | c | } \hline 1 \\ \hline \end{array} \]
    Si reemplazamos cualquiera de estos dos valores en la ecuación \( x^{2x} + x^{3} = ( x^{2} + x )x^{x} \).

Ejercicio 93

Despeje el \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ a^{2x} ( a^{2} + 1 ) = ( a^{3x} + a^{x} )a \]

Solución:


  1. Este ejercicio también se puede realizar con aspa simple, veamos:
    \[ a^{2x} ( a^{2} + 1 ) = a \cdot a^{3x} + a \cdot a^{x} \\ \underbrace{ a \cdot a^{3x} }_{ \begin{array}{ c } \color{red}{a \cdot a^{2x} } \\ \color{red}{ a^{x} } \end{array} } \underbrace{ – ( a^{2} + 1 ) a^{2x} }_{ ( \color{green}{ -a } )( \color{red}{ a \cdot a^{2x} } ) + ( \color{green}{ -a^{x} } )( \color{red}{ a^{x} } ) } + \underbrace{ a \cdot a^{x} }_{ \begin{array}{ c } \color{green}{ -a^{x} } \\ \color{green}{ -a } \end{array} } = 0 \]
  2. Quedando:
    \[ ( a \cdot a^{2x} – a^{x} )( a^{x} – a ) = 0 \]
  3. Finalmente logramos obtener los valores de \( x \) en el siguiente y último desarrollo:
    \[ a \cdot a^{2x} = a^{x} \vee a^{x} = a \\ a \cdot a^{x} = 1 \vee x=1 \\ a^{x} = a^{-1} \vee x=1 \\ x = \begin{array}{ | c | } \hline -1 \\ \hline \end{array} \vee x = \begin{array}{ | c | } \hline 1 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 94

Averigüe los valores de \( x \) e \( y \) en el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ x^{x+y} = y^{x-y} \wedge x^{2} y = 1 \]

Solución:

  1. De la ecuación \( x^{2}y=1 \) donde debe cumplirse que \( x \neq 0 \) y \( y \neq 0 \) para que el resultado sea diferente de cero, despejando \( y \), resulta:
    \[ y = x^{-2} \cdots ( \mathrm{I} ) \]
  2. Este resultado lo reemplazamos en la otra ecuación, tenemos:
    \[ \begin{align} x^{ x+ x^{-2} } & = ( x^{-2} )^{ x – x^{-2} } \\ x^{ x + x^{-2} } & = x^{ -2( x – x^{-2} ) } \\ x^{ x + x^{-2} } & = x^{ -2x + 2x^{-2} } \end{align} \]
  3. De aquí se pueden eliminar las bases, sin embargo, se puede obtener una solución desde este mismo resultado, si hacemos \( x=1 \), la ecuación no tiene ninguna contradicción y la igualdad se cumple, si reemplazamos en \( x^{-2}y = 1 \), obtenemos \( y = 1 \), de esta manera obtenemos las primeras soluciones. Ahora eliminando las bases, la ecuación queda así:
    \[ \begin{align} x + x^{-2} & = 2x^{-2} -2x \\ 3x & = x^{-2} \\ x^{3} & = \frac{1}{3} \\ x & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  4. Reemplazando en \( ( \mathrm{I} ) \), resulta:
    \[ \begin{align} y & = x^{-2} \\ &= ( \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } )^{-2} \\ y & = \sqrt[3]{9} \end{align} \]
  5. Por tanto, los valores de \( x \) e \( y \) son:
    \[ (x = 1 \wedge y = 1) \vee ( x = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \wedge y = \sqrt[3]{9} ) \]

Ejercicio 95

Resuelva el sistema de ecuaciones:

\[ \left. (x+y)^{x+y} = 8 – (x+y)^{x}  \atop (x+y)^{x-y} = 8 – 16(x+y)^{y-x} \right \} \]


donde \( x \) e \( y \) son dos enteros positivos.

Solución:

  1. Comenzaremos por esta ecuación ya que a simple vista parece ser un trinomio cuadrado perfecto:
    \[ (x+y)^{x-y} = 8 – 16(x+y)^{y-x} \]
  2. Como \( (x+y)^{y-x} = \frac{1}{ (x+y)^{x-y} } \), tenemos:
    \[ (x+y)^{x-y} = 8 – \frac{16}{ (x+y)^{x-y} } \]
  3. Multiplicando por (x+y)x−y(x+y)x−y, entonces:
    \[ \begin{align} (x+y)^{ 2(x-y) } & = 8(x+y)^{x-y} – 16 \\ (x+y)^{ 2(x-y) } – 8(x+y)^{x-y} + 16 & = 0 \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( a^{2} + b^{2} + 2ab = (a+b)^{2} \), tenemos:
    \[ \begin{align} ( (x+y)^{x-y} – 4 )^{2} & = 0 \\ (x+y)^{x-y} – 4 = 0 \\ (x+y)^{x-y} & = 4 \end{align} \]
  5. Por el teorema \( a^{n-m} = \frac{ a^{n} }{ a^{m} } \):
    \[ \frac{ (x+y)^{x} }{ (x+y)^{y} } = 4 \\ (x+y)^{x} = 4(x+y)^{y} \cdots ( \mathrm{I} ) \]
  6. Reservando la ecuación \( ( \mathrm{I} ) \), vamos a  darle forma a la otra ecuación del sistema, por la propiedad \( a^{m+n} = a^{m} \cdot a^{n} \), la ecuación que no hemos tocado quedaría así:
    \[ (x+y)^{x} \cdot (x+y)^{y} = 8 – (x+y)^{x} \]
  7. De \( ( \mathrm{I} ) \), resulta:
    \[ 4(x+y)^{y} \cdot (x+y)^{y} = 8 – 4(x+y)^{y} \\ 4(x+y)^{2y} = 8 – 4(x+y)^{y} \\ (x+y)^{2y} + (x+y)^{x} = 2 \]
  8. Daremos forma al miembro izquierdo tal que sea un trinomio cuadrado perfecto \( a^{2} + b^{2} + 2ab = (a+b)^{2} \), tenemos:
    \[ (x+y)^{2y} + 2(x+y)^{x} ( \frac{1}{2} ) + ( \frac{1}{2} )^{2} = 2 + ( \frac{1}{2} )^{2} \\ ( (x+y)^{y} + \frac{1}{2} )^{2} = \frac{9}{4} \]
  9. Si \( z^{2} = a \), entonces \( z = a \vee z = -a \), resulta:
    \[ (x+y)^{y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vee (x+y)^{y} + \frac{1}{2} = – \frac{3}{2} \\ (x+y)^{y} = 1 \vee (x+y)^{y} = -2 \]
  10. De la ecuación  \( ( \mathrm{I} ) \):
    \[ ( (x+y)^{y} = 1 \wedge (x+y)^{x} = 4 ) \vee ( (x+y)^{y} = -2 \wedge (x+y)^{x} = -8 ) \]
  11. Comencemos por estas ecuaciones:
    \[ (x+y)^{y} = 1 \wedge (x+y)^{x} = 4 \]
  12. Observe que para que se cumpla \( (x+y)^{y} = 1 \), debe cumplirse que \( y = 1 \), este valor lo reemplazamos en \( (x+y)^{x} = 4 \), obtenemos que \( x = 2 \).
  13. Falta resolver la otra posibles variables de la ecuación \( (x+y)^{y} = -2 \wedge (x+y)^{x} = -8 \), sin embargo y para no alargar este ejercicio, los valores de \( x \) e \( y \) no existen para cuando \( x \) e ( y \) son enteros como lo indica este ejercicio, por tanto, por tanto los valores admitidos son:
    \[ x=2 \wedge y=0 \]

Ejercicio 96

Reducir la siguiente expresión:

\[ \mathrm{X} = \sqrt[ ( \sqrt{2} + 1 )^{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ [ ( \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{2} \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } } ]^{ \sqrt{2}^{n-1} } } } \]

Solución:

  1. Es posible que este ejercicio se algo intimidante, pero es mas fácil de lo que creen, volveremos a escribir esta ecuación coloreando de color rojo un fragmento de la expresión así:
    \[ \mathrm{X} = \sqrt[ ( \sqrt{2} + 1 )^{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ [ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{2} \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } } ]^{ \sqrt{2}^{n-1} } } } \]
  2. Llamemos \( \mathrm{Y} \) al fragmento rojo de la ecuación anterior así:
    \[ \color{red}{ \mathrm{Y} = \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{2} \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } } \]
  3. Como \( x^{2} \) se puede escribir como \( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{ 2 \sqrt{2} } } } \), entonces:
    \[ \begin{align} \color{red}{ \mathrm{Y} } & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{ 2 \sqrt{2} } } \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{ 2 \sqrt{2} } \cdot x } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} ]{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt{ x^{2} } \cdot \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt{ x^{2} \cdot  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt{ x^{2} } \cdot \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{  \sqrt{ x^{2} \cdot x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{  \sqrt{  x^{ 2 + 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{  \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } } \\ \mathrm{Y} & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } \end{align} \]
  4. Reemplazando este resultado en \( \mathrm{X} \), resultando:
    \[ \mathrm{X} = \sqrt[ ( \sqrt{2} + 1 )^{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ [ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } } ]^{ \sqrt{2}^{n-1} } } } \]
  5. Note que \( ( \sqrt{2} + 1 )^{2} = \sqrt{2}^{2} + 2 \sqrt{2} + 1 = \color{red}{ 2 \sqrt{2} + 3 } \):
    \[ \mathrm{X} = \sqrt[ \color{red}{ 2 \sqrt{2} + 3 } ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } } \]
  6. La expresión \( \color{red}{ 2 \sqrt{2} + 3 } \) se puede simplificar sin problemas ya que no existe sumas y restas entre los radicandos, de esta manera, finalmente el valor de XX es después de una serie de operaciones en este momento:
    \[ \begin{align} \mathrm{X} & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x } } )^{ \sqrt{2}^{ \frac{ n-2n^{2} }{n} } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x }^{ \sqrt{2}^{ 1-2n } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } \cdot \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ \sqrt{2}^{ 1-2n } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ ( \sqrt{2}^{2} )^{ -n-1 } \cdot 2 \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x^{ \sqrt{2}^{ 1-2n + n-1 } } } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n-1 } \cdot 2 \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x^{ \sqrt{2}^{ -n } } } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n-1 + 1 } \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x^{ \frac{1}{ \sqrt{2}^{n} } } } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{x} } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot \sqrt{2}^{n} \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot ( \sqrt{2}^{2} )^{n}  ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot 2^{n} ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n+n } ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{0} ]{ x } \\ & = \sqrt[ 1 ]{ x } \\ \mathrm{X} & = \boxed{ \Large{x} } \end{align} \]

Ejercicio 97

Reduzca la siguiente expresión:

\[ \mathrm{T} = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y+2x} } – \sqrt[x]{ y^{2x} x^{y} } )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x+y)^{x-y} \cdot (x-y)^{x+y} } } \]

Solución:

  1. La expresión de TT se puede escribir de la siguiente manera:
    \[ \require{cancel} \begin{align} \mathrm{T} & = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y} \cdot x^{2x} } – \sqrt[x]{ y^{2x} x^{y} } )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x+y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x+y)^{ – \color{blue}{y} } \cdot (x-y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x-y)^{ \color{blue}{y} } } } \\ & = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y} } \cdot x^{2} – y^{2} \sqrt[x]{ x^{y} } )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x+y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x-y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x+y)^{ – \color{blue}{y} } \cdot (x-y)^{ \color{blue}{y} } } } \\ & = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y} } ( x^{2} – y^{2} ) )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x^{2}-y^{2} )^{ \color{red}{x} } \cdot \frac{1}{ (x+y)^{ \color{blue}{y} } } \cdot (x-y)^{ \color{blue}{y} } } } \\ & = \frac{ \sqrt[y]{ x^{y} ( x^{2} – y^{2} )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x^{2}-y^{2} )^{ \color{red}{x} } \cdot \frac{ (x-y)^{ \color{blue}{y} } }{ (x+y)^{ \color{blue}{y} } } } } \\ & = \frac{ (x – y) \cancel{ \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } } }{ \frac{ x-y }{ x+y } \cdot \cancel{ \sqrt[y]{ (x^{2}-y^{2} )^{ \color{red}{x} } } } } \\ & = \frac{ \cancel{ x – y } }{ \frac{ \cancel{ x-y } }{ x+y } } \\ & = \frac{ 1 }{ \frac{ 1 }{ x+y } } \\ & = [ (x+y)^{-1} ]^{-1} \\ & = (x+y)^{ (-1)(-1) } \\ & = (x+y)^{1} \\ \mathrm{T} & = \boxed{ \Large{ x+y } } \end{align} \]
    De esta manera el ejercicio queda reducido a su expresión más mínimo.

Ejercicio 98

Dar el valor de \( \frac{x}{y} \) en términos de \( m \) y \( n \) luego de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \left. (mx)^{ \sqrt[m]{x} } = \sqrt[ m^{ m^{-1} } ]{ m^{-1} } \atop ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} } = \sqrt[ m^{ m^{-2} } ]{ m^{-1} }  \right \} \]

Solución:

  1. Comencemos por esta ecuación:
    \[ (mx)^{ \sqrt[m]{x} } = \sqrt[ m^{ m^{-1} } ]{ m^{-1} } \]
  2. Para lograr una simetría exponencial, primero fíjense en \( m^{ m^{-1} } = m^{ \frac{1}{m} } = \sqrt[m]{m} \), lo que haremos es elevar las dos miembros a \( \sqrt[m]{m} \), resultando:
    \[ [ (mx)^{ \sqrt[m]{x} } ]^{ \sqrt[m]{m} } =  ( \sqrt[ { \sqrt[m]{x} } ]{ m^{-1} } )^{ \sqrt[m]{x} } \]
  3. Vea que \( \sqrt[m]{m} \) se elimina en el miembro derecho, quedando:
    \[ \begin{align} (mx)^{ \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[m]{m} } & =  m^{-1} \\ (mx)^{ \sqrt[m]{mx} } & = \frac{1}{m} \\ (mx)^{ (mx)^{ \frac{1}{m} } } & = \frac{1}{m} \end{align} \]
  4. En la teoría de ecuaciones exponenciales se había explicado desde el segundo ejercicio y siguientes que una expresión de la forma \( x^{ x^{ .^{ .^{ .^{ a } } } } } = a \) se cumplía sí \( x = \sqrt[a]{a} \), en nuestro ejercicio se cumple entonces que:
    \[ \begin{align} mx & = \sqrt[ \frac{1}{m} ]{ \frac{1}{m} } \end{align} \]
  5. Sepa qué \( \sqrt[ \frac{1}{y} ]{p} = p^{y} \), entonces:
    \[ \begin{align} mx & = ( \frac{1}{m} )^{m} \\ mx & = \frac{1}{ m^{m} } \\ x & = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{ m^{m} } \end{align} \]
  6. La ecuación anterior lo dejaremos así mientras tanto. Ahora tomemos la segunda ecuación:
    \[ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} } = \sqrt[ m^{ m^{-2} } ]{ m^{-1} } \]
  7. Aquí \( m^{ m^{-2} } = \sqrt[ m^{2} ]{m} \), elevando \( \sqrt[ m^{2} ]{m} \), a los dos miembros, quedaría así:
    \[ \begin{align} [ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} } ]^{ \sqrt[ m^{2} ]{m} } & = ( \sqrt[ { \sqrt[ m^{2} ]{m} } ]{ m^{-1} } )^{ \sqrt[ m^{2} ]{m} } \\ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} \cdot \sqrt[ m ]{ \sqrt[m]{m} } } & = m^{-1} \\ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{ \sqrt[m]{m} y }  } & = m^{-1} \\ ( \sqrt[m]{m} y )^{ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \frac{1}{m} } } & = \frac{1}{m} \end{align} \]
  8. De aquí podemos concluir que:
    \[ \sqrt[m]{m} y = \sqrt[ \frac{1}{m} ]{ \frac{1}{m} } \\ \sqrt[m]{m} y = ( \frac{1}{m} )^{ \frac{1}{ \frac{1}{m} } } \\ \sqrt[m]{m} y = ( \frac{1}{m} )^{ m } \\ \sqrt[m]{m} y = \frac{1}{ m^{m} } \\ y = \frac{1}{ \sqrt[m]{m} } \cdot \frac{1}{ m^{m} } \]
  9. Ahora dividiendo \( x \) e \( y \), resulta:
    \[ \frac{x}{y} = \frac{ \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{ m^{m} } }{ \frac{1}{ \sqrt[m]{m} } \cdot \frac{1}{ m^{m} } } = \frac{x}{y} = \frac{ \frac{1}{m} }{ \frac{1}{ \sqrt[m]{m} } } \]
  10. Como \( \frac{ \frac{1}{p} }{ \frac{1}{q} } = \frac{q}{p} \), finalmente obtenemos la forma simplificada de \( \frac{x}{y} \) quedando:
    \[ \frac{x}{y} = \boxed{ \Large{ \frac{ \sqrt[m]{m} }{m} } } \]

Ejercicio 99

Simplifique la siguiente expresión:

\[ \mathrm{W} = \frac{ \sqrt[n]{ (n-1)! \cdots 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} \cdots ( \frac{1}{4} )^{4} \cdot ( \frac{1}{3} )^{3} \cdot ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]

Donde \( n! \) se llama “factorial de \( n \)” y se define como \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)n \).

Solución:

  1. Ese ejercicio tiene su truco, vamos hacerlo por partes, sea \( \mathrm{W}_{2} \) tal que:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{2} & = \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{2} )^{2} } } \\ & = \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \frac{1}{ 2^{2} } } \\ \mathrm{W}_{2} & = \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \frac{1}{ \sqrt[n]{ 2^{2} } } } \end{align} \]
  2. Tenga en cuenta que \( \frac{1}{ \frac{1}{a} } = a \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ 2! } \cdot \sqrt[n]{ 2^{2} } \\ \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ 2! \cdot 2^{2} } \end{align} \]
  3. Como \( 2! = 1 \cdot 2 = 2 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ 2! \cdot ( 2! )^{2} } \\ \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \end{align} \]
  4. Por tanto para este caso particular, se cumple:
    \[ \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{2} )^{2} } } = \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \]
  5. Ahora definamos \( \mathrm{W}_{3} \) tal que:
    \[ \mathrm{W}_{3} = \frac{ \sqrt[n]{ 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{3} )^{3} \cdot ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]
  6. Se puede separar así:
    \[ \mathrm{W}_{3} = \frac{ \sqrt[n]{ 3! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{3} )^{3} } } \cdot \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]
  7. De \( \mathrm{W}_{2} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{3} & = \frac{ \sqrt[n]{ 3! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{3} )^{3} } } \cdot \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \\ & = \frac{ \sqrt[n]{ 3! } }{ \frac{1}{ \sqrt[n]{ 3^{3} } } } \cdot \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \\ & = \sqrt[n]{ 3! } \sqrt[n]{ 3^{3} } \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \\ & = \sqrt[n]{ 3! \cdot 3^{3} \cdot ( 2! )^{3} } \\ & =\sqrt[n]{ 3! ( 3 \cdot 2! )^{3} } \\ & = \sqrt[n]{ 3! ( 3! )^{3} } \\ \mathrm{W}_{3} & = \sqrt[n]{ ( 3! )^{4} } \end{align} \]
  8. Nos damos cuenta que esto se repite constantemente, si realizamos la misma dinámica para \( \mathrm{W}_{4} \), se cumple:
    \[ \mathrm{W}_{4} = \frac{ \sqrt[n]{ 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{4} )^{4} \cdot ( \frac{1}{3} )^{3} \cdot ( \frac{1}{2} )^{2} } } = \sqrt[n]{ ( 4! )^{5} } \]
  9. En base a este coincidencia, daremos forma a \( \mathrm{W} \) de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{W} = \frac{ \sqrt[n]{ (n-1)! \cdots 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} ( \frac{1}{n-1} )^{n-1} \cdots ( \frac{1}{4} )^{4} ( \frac{1}{3} )^{3} ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]
  10. Lo escribiremos así:
    \[ \mathrm{W} = \frac{1}{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} } } \cdot \color{red}{ \frac{ \sqrt[n]{ (n-1)! \cdots 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n-1} )^{n-1} \cdots ( \frac{1}{4} )^{4} ( \frac{1}{3} )^{3} ( \frac{1}{2} )^{2} } } } \]
  11. El fragmento de color rojo de \( \mathrm{W} \) debería ser \( \color{red}{ \sqrt[n]{ [ (n-1)! ]^{n} } } = (n-1)! \) y como \( \frac{1}{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} } } = n \), por tanto, logramos reducir la expresión de  \( \mathrm{W} \), quedando:
    \[ \mathrm{W} = n \cdot (n-1)! = \boxed{ \large{ n! } } \]

Ejercicio 100

Tenemos la siguiente ecuación exponencial:

\[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } }{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]

Resolver el valor numérico de:

\[ \mathrm{P} = \frac{ x^{-4} – 4 }{ x^{-2} -2 } \]

Solución:

  1. Este ejercicio es muy sencillo, lo volveremos a haciendo énfasis un pedazo del ejercicio del miembro izquierdo:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } }{ \color{red}{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]
  2. Daremos forma al radical de color rojo, usaremos el método del factor multiplicando por \( -1 \) al exponente e índice de este radical de la siguiente manera:
    \[ \begin{align} \color{red}{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } } & = \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } (-1) ]{ ( \frac{1}{x} )^{ (-1) x^{-1} } } \\ & = \sqrt[ x^{ – \frac{1}{x} } ]{ [ ( \frac{1}{x} )^{-1} ]^{ x^{-1} } } \end{align} \]
  3. No olvidas que \( ( \frac{1}{x} )^{-1} = x \), esto ya se explicó en el tema de potenciación, quedaría:
    \[ \begin{align} \color{red}{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } } & = \sqrt[ x^{ – \frac{1}{x} } ]{ x^{ x^{-1} } } \\ & = \sqrt[ ( x^{-1} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } \\ & = \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } \end{align} \]
  4. Esta expresión lo reemplazamos en nuestra ecuación exponencial y fíjense que hay otro igual en la misma ecuación, se darán cuenta cuando le ponga un color:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } \cdot \color{blue}{ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } }{ \color{blue}{ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]
  5. Simplificando, la ecuación se reduce a:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } }{ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]
  6. Ahora pasaremos a exponentes los radicales del numerador y denominador quedando de la siguiente manera:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ \frac{ ( ( x^{-1} )^{ \frac{1}{x} } )^{ \frac{1}{ x^{x} } } }{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ \frac{1}{ ( \frac{1}{x} )^{x} } } } } = \frac{1}{4} \\ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ \frac{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ – \frac{1}{ x^{x} } } }{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ x^{x} } } } = \frac{1}{4} \]
  7. Fíjense que \[ \frac{1}{ ( \frac{1}{x} )^{x} } = \frac{1}{ ( x^{-1} )^{x} } = \frac{1}{ x^{-x} } = ( x^{ -x } )^{-1} = x^{x} \], por si no entienden este paso, ahora la ecuación quedaría así:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ – \frac{1}{ x^{x} } – x^{x} } } = \frac{1}{4} \\ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ ( x^{ – \frac{1}{x} } )^{ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} } } = \frac{1}{4} \]
  8. Vemos que podemos eliminar \[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} \], quedando en su forma reducida así:
    \[ x^{ – \frac{1}{x} } = \frac{1}{4} \\ ( x^{-1} )^{ \frac{1}{x} } = \frac{1}{4} \\ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = \frac{1}{4} \]
  9. Aquí en esta ecuación tan solo hay que darle forma:
    \[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = 4^{-1} \]
  10. Existe una propiedad exponencial que dice que \( a^{2} = ( -a )^{2} \), el número \( 4 \) puede escribirse así \( 4 = (2)^{2} = (-2)^{2} \). En este caso optamos por la base negativa, la ecuación quedaría así:
    \[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = [ (-2)^{2} ]^{-1} \\ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = (-2)^{-2} \]
  11. Por comparación, se supone que se cumple:
    \[ \frac{1}{x} = -2 \\ x = – \frac{1}{2} \]
  12. Con este resultado podemos resolver el valor de \( \mathrm{P} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = \frac{ x^{-4} – 4 }{ x^{-2} -2 } \\ & = \frac{ ( x^{-2} )^{2} – 2^{2} }{ x^{-2} – 2 } \\ & = \frac{ ( x^{-2} + 2 )( x^{-2} – 2 ) }{ x^{-2} – 2 } \\ \mathrm{P} & = x^{-2} + 2 \end{align} \]
  13. Reemplazando el valor de \( x \), finalmente logramos el siguiente resultado para \( \mathrm{P} \) y es:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = ( – \frac{1}{2} )^{-2} + 2 \\ & = [ ( – \frac{1}{2} )^{-1} ]^{2} +2 \\ & = (-2)^{2} + 2 \\ \mathrm{P} & = \boxed{ \Large{6} } \end{align} \]

Ejercicio 101

Luego de resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ x^{ x^{ \sqrt{3} ( x^{3} + \sqrt{3} ) } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \]

Cual es el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{M} = \frac{ ( x^{3} + 1 )^{2} + ( x^{3} – 1 )^{2} }{ ( x^{3} + 1 )^{2} – ( x^{3} – 1 )^{2} } \]

Solución:

  1. Daremos forma a esta ecuación, el punto es buscar la simetría, comencemos por el miembro izquierdo:
    \[ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} + ( \sqrt{3} )^{2} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} + 3 } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} } \cdot x^{3} } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \]
  2. Ahora daremos forma al miembro derecho:
    \[ \begin{align} ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } & = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ & = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} } \cdot 3^{-2} } \\ & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ 3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} } } \\ & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ 3^{ – 3^{-2} \cdot \sqrt{3} } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ ( 3^{ – 3^{-2} } )^{ \sqrt{3} } } \end{align} \]
  3. Por simetría, se cumple que:
    \[ x^{ x^{3} } = 3^{ -3^{-2} } \]
  4. Elevando al cubo, tenemos:
    \[ [ x^{ x^{3} } ]^{3} = [ 3^{ -3^{-2} } ]^{3} \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = 3^{ -3^{-2} \cdot 3 } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( 3^{-1} )^{ 3^{-2+1} } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( \frac{1}{3} )^{ 3^{-1} } \\ ( 3^{-1} )^{ 3^{-2+1} } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{3} } \]
  5. Resultando:
    \[ x^{3} = \frac{1}{3} \]
  6. No es necesario despejar \( x \) ya que necesitamos el valor de \( x^{3} \) para resolver el valor de \( \mathrm{M} \), antes de reemplazar el valor de \( x^{3} \), vamos a reducir el valor de \( \mathrm{M} \), Por las propiedades de productos notables \( (a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2( a^{2} + b^{2} ) \) y \( (a+b)^{2} – (a-b)^{2} = 4ab \), entonces:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2[ ( x^{3} )^{2} + 1^{2} ] }{ 4( x^{3} )(1) } \]
  7. Reemplazando el valor de \( x^{3} \), finalmente resulta:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2[ ( \frac{1}{3} )^{2} + 1 ] }{ 4( \frac{1}{3} )(1) } = \boxed{ \Large{ \frac{5}{3} } } \]

Ejercicio 102

Luego de resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ x^{ x^{ \sqrt{3} ( x^{3} + \sqrt{3} ) } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \]

Cual es el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{M} = \frac{ ( x^{3} + 1 )^{2} + ( x^{3} – 1 )^{2} }{ ( x^{3} + 1 )^{2} – ( x^{3} – 1 )^{2} } \]

Solución:

  1. Daremos forma a esta ecuación, el punto es buscar al simetría, comencemos por el miembro izquierdo:
    \[ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} + ( \sqrt{3} )^{2} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} + 3 } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} } \cdot x^{3} } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \]
  2. Ahora daremos forma al miembro derecho:
    \[ \begin{align} ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } & = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ & = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} } \cdot 3^{-2} } \\ & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ 3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} } } \\ & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ 3^{ – 3^{-2} \cdot \sqrt{3} } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ ( 3^{ – 3^{-2} } )^{ \sqrt{3} } } \end{align} \]
  3. Por simetría, se cumple que:
    \[ x^{ x^{3} } = 3^{ -3^{-2} } \]
  4. Elevando al cubo, tenemos:
    \[ [ x^{ x^{3} } ]^{3} = [ 3^{ -3^{-2} } ]^{3} \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = 3^{ -3^{-2} \cdot 3 } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( 3^{-1} )^{ 3^{-2+1} } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( \frac{1}{3} )^{ 3^{-1} } \\ ( 3^{-1} )^{ 3^{-2+1} } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{3} } \]
  5. Resultando:
    \[ x^{3} = \frac{1}{3} \]
  6. No es necesario despejar \( x \) ya que necesitamos el valor de \( x^{3} \) para resolver el valor de \( \mathrm{M} \), antes de reemplazar el valor de \( x^{3} \), vamos a reducir el valor de \( \mathrm{M} \), Por las propiedades de productos notables \( (a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2( a^{2} + b^{2} ) \), entonces:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2[ ( x^{3} )^{2} + 1^{2} ] }{ 4( x^{3} )(1) } \]
  7. Reemplazando el valor de \( x^{3} \), finalmente resulta:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2[ ( \frac{1}{3} )^{2} + 1 ] }{ 4( \frac{1}{3} )(1) } = \boxed{ \Large{ \frac{5}{3} } } \]

De esta manera finalizamos con el curso elemental de teoría de exponentes, sin embargo y para tu sorpresa, este tema no termina aquí ya que existen niveles más avanzados sobre esta teoría y conceptos nuevos.

Solo ten en cuenta que este curso apenas está comenzando, mientras tanto, puedes seguir con el siguiente curso que corresponde a la teoría de exponente, esto es, las operaciones algebraicas.

De esta manera finalizamos temporalmente el curso actual.

Detalles Del Capitulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Nombre Del Articulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Descripción
Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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Ciencias Básicas
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