Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Niveles de los ejercicios:

Nivel intermedio

Si has llegado hasta aquí, te felicito, porque estoy seguro que quieres ampliar tus destrezas operativas, los ejercicios que mostramos en esta sección tiene un nivel ligeramente superior al nivel básico.

La mayoría de estos ejercicios fueron tomadas de ejercicios propuesto y resueltos para que disfrutes de su resolución, pero ojo, te sugerimos lograr resolver cada una de ellas antes de ver cómo y con qué métodos fueron resueltos.

Este nivel posee un total de 25 ejercicios de nivel intermedio muy bien desarrollados y ejecutados, espero que disfrutes de cada uno de ellos, gracias, que lo disfrutes.


Ejercicio 49

Sea la siguiente condición:


\[ \sqrt[n]{ \overline{abcd} } = n \]

Donde \( n \) es un natural y \( \overline{abcd} \) es un numero positivo de 4 dígitos, calcular el valor de \( a+b+c+d+n \).

Solución:

Este es un ejercicio que puede también encajar en un curso de numeración, aunque a primera vista parece complejo pero realmente es sencillo ya que este tipo de ejercicios se resuelven por tanteo, veamos.

  1. De la condición, por definición de radicación, se cumple:
    \[ \overline{abcd} = n^{n} \]
  2. Si damos valores a \( n \) obtenemos lo siguientes resultados:
    Para \( n = 3 \Rightarrow 3^{3} = 27 \)
    Para \( n = 4 \Rightarrow 4^{4} = 256 \)
    Para \( n = 5 \Rightarrow 5^{5} = 3125 \)
    Para \( n = 6 \Rightarrow 6^{6} = 46656 \)
  3. Entre todos estos casos, el único que cumple con cuatro dígitos es para \( n = 5 \), quedando:
    \[ \overline{abcd} = 3125 \Rightarrow a=3, b = 1, c = 2, d = 5 \]
  4. Finalmente logramos el resultado pedido:
    \[ a+b+c+d+n = 3+1+2+5+5= \boxed{ \Large{ 16 } } \]

Ejercicio 50

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación exponencial:


\[ { \sqrt{ 2x^{ 2 } } }^{x} = 2^{ \sqrt{2} } \]

Solución:

  1. Aplicando la propiedad \( { \sqrt[n]{ a } }^{m} = \sqrt[n]{ a^{m} } \), tenemos:
    \[ \sqrt{ [ 2x^{2} ]^{x} } = 2^{ \sqrt{2} } \]
  2. Por definición de radicación \( \sqrt[n]{x} = y \Rightarrow x = y^{n} \), resulta:
    \[ [ 2x^{2} ]^{x} = ( 2^{ \sqrt{2} } )^{2} \]
  3. Por la propiedad \( ( x^{n} )^{m} = ( x^{m} )^{n} \) para el miembro derecho:
    \[ ( 2x^{2} )^{x} = ( 2^{2} )^{ \sqrt{2} } = 4^{ \sqrt{2} } \]
  4. Tener en cuenta que \( 2 = { \sqrt{2} }^{2} \):
    \[ ( { \sqrt{2} }^{2} x^{2} )^{x} = 4^{ \sqrt{2} } \]
  5. Por la propiedad \( a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \):
    \[ ( ( \sqrt{2} x )^{2} )^{x} = 4^{ \sqrt{2} } \]
  6. Por el teorema \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ ( \sqrt{2} x )^{2x} = 4^{ \sqrt{2} } \]
  7. Para lograr la simetría, elevaremos a la \( \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \):
    \[ [ ( \sqrt{2} x )^{2x} ]^{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = ( 4^{ \sqrt{2} } )^{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \]
  8. De nuevo por la propiedad \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} ( \sqrt{2} x )^{ \sqrt{2} x } & = 4^{ \frac{ { \sqrt{2} }^{2} }{2} } \\ & = 4^{ \frac{2}{2} } \\ & = 4 \\ ( \sqrt{2} x )^{ \sqrt{2} x } & = 2^{2} \end{align} \]
  9. Por simetría y sabiendo que \( 2 = ( \sqrt{2} )^{2} \), logramos obtener:
    \[ \begin{align} \sqrt{2} x & = 2 \\ & = \frac{2}{ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ { \sqrt{2} }^{2} }{ \sqrt{2} } \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt{2} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 51

Calcular el valor de \( xy \) luego de resolver el sistema de ecuaciones a continuación:

\[ \sqrt[y]{ 4^{x} } = 32 \sqrt[x]{ 8^{y} } \wedge \sqrt[y]{ 3^{x} } = 3 \sqrt[y]{ 9^{1-y} } \]

Solución:


  1. Este ejercicio es sencillo de resolver, pasemos todo a potencia de 2 y de 3 según respectivamente las condiciones como sigue:
    \[ \begin{align} ( 2^{2} )^{ \frac{x}{y} } & = 2^{5} \cdot ( 2^{3} )^{ \frac{y}{x} } \cdots ( \mathrm{I} ) \\ 3^{ \frac{x}{y} } &= 3 \cdot ( 3^{2} )^{ \frac{1-y}{y} } \cdots ( \mathrm{II} ) \end{align} \]
  2. Simplificando \( ( \mathrm{I} ) \), tenemos:
    \[ \begin{align} 2^{ \frac{2x}{y} } & = 2^{5} \cdot 2^{ \frac{3y}{x} } \\ 2^{ \frac{2x}{y} } & = 2^{ 5 + \frac{3y}{x} } \\ \frac{2x}{y} & = 5 + \frac{3y}{x} \\ 2x^{2} & = 5xy + 3y^{2} \\ 2x^{2} – 5xy – 3y^{2} & = 0  \end{align} \]
  3. Factorizando \( 2x^{2} – 5xy – 3y^{2} \) resulta \( ( 2x + y )( x-3y ) \), entonces:
    \[ (2x+y)(x-3y) = 0 \Rightarrow 2x=-y \vee x= 3y \cdots ( \alpha ) \]
  4. Simplifiquemos la condición \( ( \mathrm{II} ) \):
    \[ \begin{align} 3^{ \frac{x}{y} } & = 3 \cdot 3^{ \frac{ 2 – 2y }{y} } \\ 3^{ \frac{x}{y} } & = 3^{ 1 + \frac{2-2y}{y} } \\ \frac{x}{y} & = 1 + \frac{ 2 – 2y }{y} \\ y( \frac{x}{y} ) & = y( 1 + \frac{ 2 – 2y }{y} ) \\ x &= y +2-2y \\ y & = 2-x \end{align} \]
  5. Reemplazando en \( \alpha \), resulta:
    \[ 2x = -(2-x) \vee x = 3(2-x) \\ x = – 2 \vee x = \frac{3}{2} \]
  6. Cómo \( y = 2-x \), tenemos:
    \[ ( x = – 2 \rightarrow  y = 4 ) \vee ( x = \frac{3}{2} \rightarrow y = \frac{1}{2} ) \]
  7. Por tanto, encontramos dos valores para el producto de \( x \) e \( y \) y son:
    \[ xy = (-2)(4) = \boxed{ \Large{ -8 } } \vee xy = ( \frac{3}{2} )( \frac{1}{2} ) = \boxed{ \Large{ \frac{3}{4} } } \]

Ejercicio 52

Sean las siguientes condiciones \( a = x^{ \frac{1}{ 3-2x } } \) y \( b = x^{ \frac{x}{ 3-2x } } \), averigüe cómo están relacionadas las \( a \) y \( b \) eliminando la variable \( x \).

Solución:

  1. Elevando las expresiones \( a = x^{ \frac{1}{ 3-2x } } \) y \( b = x^{ \frac{x}{ 3-2x } } \) al cubo y al cuadrado respectivamente, resulta:
    \[ a^3 = ( x^{ \frac{1}{ 3-2x } } )^3 = a^3 \color{red}{ \text{ y } } b^2 = ( x^{ \frac{ x }{ 3-2x } } )^2 \]
  2. Dividiendo estas dos expresiones y aplicando la propiedad \( \frac{ a^n }{ x^m } = a^{ n-m } \) de la siguiente manera:
    \[ \begin{align} \frac{a^3}{b^2} & = \frac{ x^{ \frac{3}{3-2x} } }{ x^{ \frac{2x}{3-2x} } } \\ & = x^{ \frac{3}{3-2x} – \frac{2x}{3-2x} } \\ & = x^{ \frac{ 3-2x }{ 3-2x } } \\ \frac{ a^3 }{ b^2 } & = x … ( \alpha ) \end{align} \]
  3. Por otro lado, elevando a la \( x \) la expresión \( a = x^{ \frac{1}{3-2x} } \), tenemos:
    \[ \begin{align} a^{ x } & = ( x^{ \frac{1}{3-2x} } )^x \\ & = \overbrace{ x^{ \frac{x}{3-2x} } }^{b} \\ a^{x} & = b … ( \beta ) \end{align} \]
  4. Reemplazando \( \alpha \) en \( \beta \), finalmente obtenemos:
    \[ a^{ \frac{ a^{3} }{ b^{2} } } = b \]

Si usamos las propiedades de radicación ya que implícitamente los exponentes fraccionarios que tratamos en este ejercicio tiene que ver con radicación, lo podemos escribir así:

\[ \begin{array}{ | c | } \hline \large{ a^{ a^3 } = b^{ b^2 } } \\ \hline \end{array} \]

Esto es, hemos extraído la raíz de \( b^{2} \), quedando de esta manera finalizando el problema.



Ejercicio 53

Si se cumple que \( c^{ d^{ e } } = a \), \( e^{ d^{-e} } = c^{ b^{a} } \) y \( e=2 \) calcular el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = a^{ b^{ c^{ d^{ e } } } } \]

Solución:

  1. Usando la condición \( c^{ d^{ e } } = a \) en \( \mathrm{E} \):
    \[ \mathrm{E} = { \color{red}{ a } }^{ b^{a} } \]
  2. Sin embargo, usaremos la misma condición \( c^{ d^{ e } } = \color{red}{ a } \) pero en la base de color rojo de \( \mathrm{E} \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = ( c^{ \color{blue}{ d^{ e } } } )^{ \color{green}{ b^{a} } } \]
  3. Aplicando la propiedad \( ( x^{ \color{blue}{ y } } )^{ \color{green}{ z } } = x^{yz} = ( x^{ \color{green}{ z } } )^{ \color{blue}{ x } } \), esto es, intercambiado exponentes, resulta:
    \[ \mathrm{E} = ( c^{ \color{green}{ b^{a} } } )^{ \color{blue}{ d^{e} } } \]
  4. Usando la condición \( e^{ d^{ -e } } = c^{ b^{a} } \):
    \[ \mathrm{E} = ( e^{ d^{ -e } } )^{ d^{e} } \]
  5. Usando la propiedad \( ( x^{y} )^{z} = x^{yz} \):
    \[ \mathrm{E} = e^{ d^{-e} \cdot d^{e} } = e^{ d^{e-e} } = e^{ \overbrace{ d^0 }^{ 1 } } = e \]
  6. Como \( e=2 \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \mathrm{E} = 2 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 54

Resolver el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{X} = ( x^y y^x – \frac{x^y}{x^y-1} – \frac{x^y}{y^x} )^{x+x^{2}+x^{3}} \]


Si se cumple \( \frac{1}{x^y} + \frac{1}{y^x} =1 \).

Solución:

  1. De la condición, se cumple:
    \[ \frac{1}{x^y} + \frac{1}{y^x} = \frac{ 1 \cdot y^{x} + 1 \cdot x^{y} }{ x^{y} \cdot y^{x} } = \frac{ y^{x} + x^{y} }{ x^{y} \cdot y^{x} } = 1 \]
  2. Despejando \( x^{y} \cdot y^{x} \):
    \[ y^{x} + x^{y} = x^{y} y^{x} … ( \alpha ) \]
  3. Factorizando \( x^{y} \) de dos términos de los 3 de la base de \( \mathrm{X} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{X} & = ( x^y y^x – \frac{x^y}{x^y-1} – \frac{x^y}{y^x} )^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – x^{y} ( \frac{1}{ x^{y} – 1 } + \frac{1}{ y^{x} } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – x^y ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ ( x^y – 1 ) y^x } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – x^y ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ x^y y^x – y^x } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}}  \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( \alpha \) en el denominador:
    \[ \begin{align} \require{cancel} \mathrm{X} & = [ x^y y^x – x^y ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ x^y + \cancel{ y^x } – \cancel{ y^x } } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – \cancel{ x^y } ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ \cancel{ x^y } } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – ( y^x + x^y – 1  ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \end{align} \]
  5. De la condición \( \alpha \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{X} & = [ \cancel{ x^y y^x } – ( \cancel{ y^x x^y } – 1  ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = 1^{x+x^{2}+x^{3}} \\ \mathrm{X} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{1} \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 55

Demuestre la siguiente relación:

\[ \underbrace{ \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x … \sqrt[n]{x} } } } }_{ m \ \text{veces} } = x^{ \frac{ n^m-1 }{ n^m (n-1) } } \]

Una propiedad parcialmente conocida.


Solución:

  1. Comencemos por el lado de los radicales con el nombre \( \mathrm{A}_m \), donde:
    \[ \mathrm{A}_m = \underbrace{ \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x … \sqrt[n]{x} } } } }_{ m \ \text{veces} } \]
  2. Comencemos cuando \( m=1 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{A}_1 & = \sqrt[n]{x} \\ \mathrm{A}_1 & = x^{ \frac{1}{n} } \end{align} \]
  3. Para cuando \( m=2 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A}_2 & = \sqrt[n]{ x \sqrt[n]{x} } \\ & = ( x \cdot x^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{n} } \\ & = x^{ ( 1 + \frac{1}{n} ) \frac{1}{n} } \\ \mathrm{A}_2 & = x^{ \frac{1}{ n } + \frac{1}{ n^{2} } } \end{align} \]
  4. Para cuando \( m=3 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A}_3 & = \sqrt[n]{ x \sqrt[n]{ x \sqrt[n]{x} } } \\ & = ( x \cdot ( x^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{n} } \\ \mathrm{A}_3 & = x^{ \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } } \end{align} \]
  5. Note que existe un patrón repetitivo, de esta manera para \( m \) radicales, podemos generalizar el expresión de \( \mathrm{A}_m \) de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{A}_m = x^{ \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m} } } \]
  6. Ahora resolveremos la serie del exponente de \( x \) en \( \mathrm{A}_m \), lo llamaremos \( \mathrm{S}_m \), tal que \( \mathrm{A}_m = x^{ \mathrm{S}_m } \), entonces:
    \[ \mathrm{S}_m = \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m} } \]
  7. Factorizando \( \frac{1}{n} \), resulta:
    \[ \mathrm{S}_m = \frac{1}{n} ( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m-1} } ) \]
  8. La siguiente estrategia para resolver esta serie es sumando y restando el término \( \frac{1}{ n^{m} } \) y encontramos la siguiente coincidencia:
    \[ \begin{align} \mathrm{S}_m & = \frac{1}{n} ( 1 + \overbrace{ \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m-1} } + \frac{1}{ n^{m} } }^{ \mathrm{S}_m } – \frac{1}{ n^{m} }  ) \\ \mathrm{S}_m & = \frac{1}{n} ( 1 + \mathrm{S}_m – \frac{1}{ n^{m} } ) \end{align} \]
  9. Aquí nos queda resolver el valor de \( \mathrm{S}_m \), esto es, despejarlo, veamos:
    \[ \begin{align} n \mathrm{S}_m & = 1 + \mathrm{S}_m – \frac{1}{ n^{m} } \\ n \mathrm{S}_m – \mathrm{S}_m & = 1 – \frac{1}{ n^{m} } \\ \mathrm{S}_m (n-1) & = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m} } \\ \mathrm{S}_m & = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m} (n-1) } \end{align} \]
  10. Como \( \mathrm{A}_m = x^{ \mathrm{S}_m } \), entonces:
    \[ \mathrm{A}_m = x^{ \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m} (n-1) } } \]
  11. Finalmente demostramos que:
    \[ \underbrace{ \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x … \sqrt[n]{x} } } } }_{ m \ \text{veces} } = \boxed{ \Large{ x^{ \frac{ n^m-1 }{ n^m (n-1) } } } } \]

Ejercicio 56

Reducir la expresión:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{ m+n } + nx^{2n} }{ nx^{m+n} +mx^{2m} } } \]

Este ejercicio lo encontré por Internet, si tiene la suerte de buscarlo, bien por ustedes, eso sí, lo encontré sin resolver.

Solución:


  1. Para resolver este ejercicio, tan solo debemos buscar exponentes en el radicando que sea múltiplo del índice \( m-n \), analizando el ejercicio, multiplicaremos en el numerador y denominador por el factor \( x^{-2n} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[m-n]{ \frac{ ( mx^{m+n} + nx^{2n} ) x^{-2n} }{ ( nx^{m+n} + mx^{2m} ) x^{-2n} } } \\ & = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{m+n} x^{-2n} + nx^{2n} x^{-2n} }{ nx^{m+n} x^{-2n} + mx^{2m} x^{-2n} } } \end{align} \]
  2. Por la propiedad de producto de potencias \( a^x a^y = a^{x+y} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{ m+n-2n } + nx^{2n-2n} }{ nx^{m+n-2n} + mx^{2m-2n} } } \\ & = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{m-n} + nx^{0} }{ nx^{m-n} + mx^{m-n} x^{m-n} } } \end{align} \]
  3. Donde \( x^{0} = 1 \) y factorizando \( x^{m-n} \) en el denominador del radicando, resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[m-n]{ \frac{ \cancel{ mx^{m-n} + n } }{ x^{m-n} ( \cancel{ n + mx^{m-n} } ) } } \\ & = \sqrt[m-n]{ \frac{1}{ x^{m-n} } } \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \) logrando finalmente:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ \sqrt[m-n]{1} }{ \sqrt[m-n]{ x^{m-n} } } \\ \mathrm{E} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{ x } } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Tenga en cuenta que \( \sqrt[x]{1} = 1 \) y \( \sqrt[x]{ a^n } = a \) solo para cuando \( n \) es impar, pero si \( n \) es par, se debe escribir \( \sqrt[x]{ a^{n} } = |a| \).


Ejercicio 57

Se cumple la siguiente condición \( n^{n} = n+1 \)

\[ \mathrm{F} = \sqrt[ n^n ]{ n \sqrt[n]{n} } \cdot \sqrt[n]{ \frac{n+1}{n} } \]

Este ejercicio también lo encontré en la web como ejercicio propuesto.

Solución:


  1. Del dato del ejercicio \( n+1 = n^{n} \), escribimos \( \mathrm{F} \) así:
    \[ \mathrm{F} = \sqrt[ n^{n} ]{ n \sqrt[n]{n} } \cdot  \sqrt[n]{ \frac{ n^{n} }{n} } \]
  2. Para hacerlo más fácil, lo escribiremos en su forma exponencial de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{F} = ( n \cdot n^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot ( \frac{ n^{n} }{n} )^{ \frac{1}{n} } \]
  3. Por las propiedades de productos de potencias \( x^{y} x^{z} = x^{y+z} \) y cociente de potencias \( ( \frac{x}{y} )^{z} = \frac{ x^{z} }{ y^{z} } \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( n^{ 1 + \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot ( n^{ n-1 } )^{ \frac{1}{n} } \\ & = ( n^{ \frac{n+1}{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot ( n^{n-1} )^{ \frac{1}{n} } \end{align} \]
  4. Como \( n+1 = n^{n} \) y por la propiedad de potencia de potencia \( ( x^{y} )^{z} = x^{yz} \) y simplificando, finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( n^{ \frac{ n^{n} }{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot n^{ \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{  n^{n} }{n} \cdot \frac{1}{ n^{n}  } } \cdot n^{ \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{1}{n} } \cdot n^{ \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{1}{n} + \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{ 1+n-1 }{n} } \\ & = n^{ \frac{n}{n} } \\ & = n^{1} \\ \mathrm{F} & = \begin{array}{ | c | } \hline n \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 58

Averigüe el valor numérico de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{G} = \frac{ \sqrt[x]{ 3^{y+z} } + \sqrt[y]{ 3^{z+x} } + \sqrt[z]{ 3^{x+y} } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \]

Siempre y cuando se cumpla que \( x + y + z = xyz \)

Solución:

  1. Pasando en su forma exponencial a la expresión de \( \mathrm{G} \):
    \[ \mathrm{G} = \frac{ 3^{ \frac{y+z}{x} } + 3^{ \frac{z+x}{y} } + 3^{ \frac{x+y}{z} } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \]
  2. Del dato, sabemos que \( y+z = xyz-x \), \( z+x = xyz – y \) y \( x+y = xyz – z \), reemplazando y realizando algunas simplificaciones:
    \[ \begin{align} \mathrm{G} & = \frac{ 3^{ \frac{xyz – x}{x} } + 3^{ \frac{xyz-y}{y} } + 3^{ \frac{xyz-z}{z} } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \\ & = \frac{ 3^{ yz-1 } + 3^{ zx-1 } + 3^{ xy-1 } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \end{align} \]
  3. Por el teorema \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \), simplificando y resolviendo, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{G} & = \frac{ 3^{yz} \cdot 3^{-1} + 3^{zx} \cdot 3^{-1} + 3^{xy} \cdot 3^{-1} }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \\ & = \frac{ 3^{-1} ( \cancel{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } ) }{ \cancel{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } } \\ & = 3^{-1} = \begin{array}{ | c | } \hline \frac{1}{3} \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 59

Simplifique \( \mathrm{ H } \) en la siguiente expresión:


\[ \mathrm{H} = \frac{ \frac{ \sqrt[x-y]{ x^{x} } }{ \sqrt[y-x]{ x^{a} } } + \frac{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} } } }{ \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{ x^{ -a^{2} } } } + \frac{ \sqrt[y-a]{ x^{x} } }{ \sqrt[a-y]{ x^{-a} } } }{ \frac{1}{ { \sqrt[y-x]{x} }^{y+a} } + \frac{1}{ { \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{ x } }^{ y^{2} – a^{2} } } + \frac{1}{ { \sqrt[a-y]{x} }^{x-y} } } \]

Solución:

  1. Aplicando una propiedad llamada factor de multiplicación para radicales \( \sqrt[ n ]{ x^{m} } = \sqrt[ nk ]{ x^{mk} } \) donde \( k=-1 \) y por definición de exponente negativo \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{H} & = \frac{ \frac{ \sqrt[x-y]{ x^{x} } }{ \sqrt[ (y-x)(-1) ]{ x^{ a(-1) } } } + \frac{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} } } }{ \sqrt[ ( y^{2} – x^{2} )(-1) ]{ x^{ -a^{2} (-1) } } } + \frac{ \sqrt[ y-a ]{ x^{x} } }{ \sqrt[ (a-y)(-1) ]{ x^{ -a(-1) } } } }{ ( { \sqrt[ y-x ]{ x } }^{y+a} )^{-1} + ( { \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x} }^{ y^{2} – a^{2} } )^{-1} + ( { \sqrt[a-y]{x} }^{x-y} )^{-1} } \\ & =  \frac{ \frac{ \sqrt[x-y]{ x^{x} } }{ \sqrt[ x-y ]{ x^{ -a } } } + \frac{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} } } }{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ a^{2} } } } + \frac{ \sqrt[ y-a ]{ x^{x} } }{ \sqrt[ y-a ]{ x^{ a } } } }{ ( { \sqrt[ y-x ]{ x } }^{y+a} )^{-1} + ( { \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x} }^{ y^{2} – a^{2} } )^{-1} + ( { \sqrt[a-y]{x} }^{x-y} )^{-1} } \end{align} \]
  2. Aplicando las siguientes propiedades \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \), \( \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } = \sqrt[ n ]{ \frac{a}{b} } \) y \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \) donde el primero es para el denominador y los dos segundos para el numerador, resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{H} & = \frac{ \sqrt[x-y]{ \frac{ x^{x} }{ x^{-a} } } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ \frac{ x^{ x^{2} } }{ x^{ a^{2} } } } + \sqrt[y-a]{ \frac{ x^{x} }{ x^{a} } } }{ ( \sqrt[y-x]{x}^{-1} )^{y+a} + ( \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x}^{-1} )^{ y^{2} – a^{2} } + ( \sqrt[a-y]{x}^{-1} )^{x-y} } \\ & = \frac{ \sqrt[ x-y ]{ x^{x+a} } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} – a^{2} } } + \sqrt[y-a]{ x^{x-a} } }{ ( \sqrt[y-x]{x}^{-1} )^{y+a} + ( \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x}^{-1} )^{ y^{2} – a^{2} } + ( \sqrt[a-y]{x}^{-1} )^{x-y} } \end{align} \]
  3. Por la propiedad del factor de multiplicación para radicales \( \sqrt[n]{ a }^{m} = \sqrt[nk]{ a }^{mk} \), donde \( k=-1 \) aplicado al denominador, logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{H} & = \frac{ \sqrt[ x-y ]{ x^{x+a} } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} – a^{2} } } + \sqrt[y-a]{ x^{x-a} } }{ ( \sqrt[ (y-x)(-1) ]{x}^{ (-1)(-1) } )^{y+a} + ( \sqrt[ ( y^{2} – x^{2} )(-1) ]{x}^{ (-1)(-1) } )^{ y^{2} – a^{2} } + ( \sqrt[ ( a-y )(-1) ]{x}^{ (-1)(-1) } )^{x-y} } \\ & = \frac{ \cancel{ \sqrt[ x-y ]{ x^{x+a} } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} – a^{2} } } + \sqrt[y-a]{ x^{x-a} } } }{ \cancel{ \sqrt[ x-y ]{x}^{ y+a }  + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{x}^{ y^{2} – a^{2} } + \sqrt[ y-a ]{x}^{x-y} } } \\ \mathrm{H} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 60

Busque una fórmula general para la siguiente expresión:

\[ \mathrm{I}_n = \sqrt{ x^{n} \cdot \sqrt{ x^{n-1} \cdot \sqrt{ x^{n-2} … \sqrt{ x^2 \sqrt{x} } } } } \]

Solución:


  1. Comencemos por partes, sea \( n=1 \), tenemos:
    \[ \mathrm{I}_1 = \sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2} } \]
  2. Para \( n=2 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_2 & = \sqrt{ x^{2} \sqrt{x} } \\ & = ( x^{2} \cdot x^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \\ & = ( x^{ 2 + \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \\ \mathrm{H}_2 & = x^{ \frac{2}{2} + \frac{1}{ 2^{2} } } \end{align} \]
  3. Para \( n=3 \) y resumiendo operaciones:
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_3 & = \sqrt{ x^{3} \sqrt{ x^{2} \sqrt{x} } } \\ \mathrm{I}_3 & = x^{ \frac{3}{2} + \frac{2}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 2^{3} } } \end{align} \]
  4. En general, para cualquier valor de \( n \), tenemos que:
    \[ \mathrm{I}_n = x^{ \frac{n}{2} + \frac{n-1}{ 2^{2} } + \frac{ n-2 }{ 2^{3} } + … + \frac{1}{ 2^{n} } } \]
  5. Multiplicando y dividiendo por \( 2^n \) al exponente de la base \( x \) de la expresión de \( \mathrm{H}_n \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_n & = x^{ \frac{ 2^{n} ( \frac{n}{2} + \frac{n-1}{ 2^{2} } + \frac{ n-2 }{ 2^{3} } + … + \frac{1}{ 2^{n} } ) }{ 2^n } } \\ & = x^{ \frac{ n2^{n-1} + (n-1)2^{n-2} + (n-2)2^{n-3} +…+ 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 }{ 2^{n} } } \end{align} \]
  6. Llamaremos \( \mathrm{S}_n \) a la serie del numerador del exponente de base \( 2 \) de la expresión \( \mathrm{I}_n \) tal que \( \mathrm{I}_n = x^{ \frac{ \mathrm{S}_n }{ 2^{n} } } \), resulta:
    \[ \mathrm{S}_n = n2^{n-1} + (n-1)2^{n-2} + (n-2)2^{n-3} +…+ 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
  7. Pero la escribiremos así:
    \[ \mathrm{S}_n = 1 + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + … + (n-2)2^{n-3} + (n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} … ( \alpha ) \]
  8. El método que mostraremos para resolver esta serie, deriva de un teorema llamada «propiedad telescópica de series finitas». Usaremos de una manera indirecta esta propiedad sin explicación alguna, si quieres saber porque y con qué razón usamos este método, puedes buscar por Google esta propiedad y sabrás las razones del método de resolución. En fin, Sumamos y restamos \( (n+1)2^{n} \) en la serie, quedando así:
    \[ \mathrm{S}_n = 1 + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + … + (n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} + (n+1)2^{n} – (n+1)2^{n} \]
  9. Ordenaremos la serie convenientemente de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{S}_n = ( 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + … + (n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} + (n+1)2^{n} ) + \color{red}{ 1 – (n+1)2^n } \]
  10. Ahora buscaremos en la nueva serie dentro del paréntesis otra serie igual a la serie \( ( \alpha ) \), para ello, factorizando \( 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{S}_n = 2( 2 \cdot 2^{0} + 3 \cdot 2^{1} + … + (n-1)2^{n-3} + n2^{n-2} + (n+1)2^{n-1} ) + \color{red}{ 1-(n+1)2^{n} } \]
  11. Ahora realizaremos la siguiente estrategia matemática magistral:
    \[ \scriptsize{ \begin{align} \mathrm{S}_n & = 2( (1+1) \cdot 2^{0} + (2+1) \cdot 2^{1} + (3+1) \cdot 2^{2} + …+ (n-2+1)2^{n-3} + (n-1+1)2^{n-2} + (n+1)2^{n-1} ) + \color{red}{ 1-(n+1)2^{n} } \\ & = 2( \color{blue}{ 2^{0} }  + 2^{0} + \color{blue}{ 2 \cdot 2^{1} } + 2^{1} + \color{blue}{ 3 \cdot 2^{2} } + 2^{2} + … + 2^{n-4} + \color{blue}{ (n-2)2^{n-3} } + 2^{n-3} + \color{blue}{ (n-1)2^{n-2} } + 2^{n-2} + \color{blue}{ n2^{n-1} } + 2^{n-1} ) + \color{red}{ 1 – (n+1)2^{n} } \end{align} } \]
  12. Si observa detenidamente, los términos de color azul, resulta ser igual a la serie \( ( \alpha ) \), y también la podemos escribir como \( \mathrm{S}_n \), tener en cuenta que \( 2^{0} = 1 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{S}_n & = 2( \mathrm{S}_n + 1+2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{n-1} ) + 1-(n+1)2^{n} \\ & = 2 \mathrm{S}_n + \underbrace{ 2^{1} +2^{2}+2^{3} + … + 2^{n} + 1}_{ \frac{ 2^{n+1}-1 }{2-1} }-(n+1)2^{n} \end{align} \]
  13. Aplicando una propiedad de series de potencias \( 1+a^{1}+a^{2}+2^{3}…+a^{n}= \frac{ a^{n+1} }{a-1} \) (y que explicaremos en un curso de cocientes notables y en otro llamado serie de potencias) para cuando \( a=2 \), resulta:
    \[ \mathrm{S}_n = 2 \mathrm{S}_n + \frac{ 2^{n+1} – 1}{2-1} – (n+1)2^{n} \]
  14. Despejando \( \mathrm{S}_n \):
    \[ \begin{align} \mathrm{S}_n & = (n+1)2^{n} – 2^{n+1} + 1 \\ \mathrm{S}_n & = (n-1)2^{n} + 1 \end{align} \]
  15. Como sabemos \( \mathrm{I}_n = x^{ \frac{ \mathrm{S}_n }{ 2^{n} } } \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_n & = x^{ \frac{ (n-1)2^{n} + 1 }{ 2^{n} } } \\ & = x^{ n-1+2^{-n} } \\ \mathrm{I}_n & = x^{ 2^{-n} + n -1 } \end{align} \]
  16. Por tanto, se cumple que:
    \[ \sqrt{ x^{n} \cdot \sqrt{ x^{n-1} \cdot \sqrt{ x^{n-2} … \sqrt{ x^2 \sqrt{x} } } } } = \boxed{ \Large{ x^{ 2^{-n} + n -1 } } } \]

Ejercicio 61

Resolver el valor de \( x \) en \( 3^{2x} + 9 = 10 ( 3^{x} ) \):

Solución:

  1. Ordenando:
    \[ 3^{2x} – 10( 3^{x} ) + 9 = 0 \]
  2. Por el método de factorización de aspa simple (lo estudiaremos mas adelante), resulta:
    \[ ( 3^{x} -9 )( 3^{x} – 1 ) = 0 \]
  3. Para que esta igualdad sea 0, debe cumplirse que:
    \[ 3^{x} – 9 = 0 \ \text{ó} \ 3^{x} – 1 = 0 \]
  4. Entonces:
    \( \begin{array}{  c  } \color{red}{ 3^{x} = 9 } \\ \color{red}{ 3^{x} = 3^{2} } \end{array} \) ó \( \begin{array}{  c  } \color{green}{ 3^{x} = 1 } \\ \color{green}{ 3^{x} = 3^{0} } \end{array} \)
  5. Obteniéndose finalmente dos posibles valores \( x = 2 \) y \( x = 0 \).

Ejercicio 62

Resolver la siguiente ecuación:

\[ x^{ ( \sqrt{2} x )^{-1} } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]

Solución:


  1. Daremos forma al primer miembro, por definición de exponente negativo \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \):
    \[ x^{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} x } } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  2. Por la propiedad de multiplicación de fracciones \( \frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \):
    \[ x^{ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  3. Por la propiedad de potencia de potencia:
    \[ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  4. Por definición de radicación \(  a^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a} \):
    \[ \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt[x]{x} } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  5. Por semejanza, logramos obtener que:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = 2 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 63

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ x^{ \sqrt{x} } = \sqrt{ x^{x} } \]

Solución:

  1. Por definición de radicación para el segundo miembro \( \sqrt[n]{ a^{m} } = a^{ \frac{m}{n} } \):
    \[ x^{ \sqrt{x} } = x^{ \frac{x}{2} } \]
  2. Como las bases son iguales, los exponentes son iguales, entonces:
    \[ \sqrt{x} = \frac{x}{2} \]
  3. Elevando al cuadrado y resolviendo:
    \[ \begin{align} { \sqrt{x} }^{2} & = ( \frac{x}{2} )^{2} \\ x & = \frac{ x^{2} }{4} \\ x^{2} – 4x & = 0 \\ x ( x-4 ) & = 0 \end{align} \]
  4. De la última igualdad, obtenemos dos valores distintos y son:
    \[ \Large{ x = 0 } \ \text{ ó } \ \Large{ x = 4 } \]
  5. Sin embargo, el único valor aceptable es \( \color{red}{ x = 2 } \), ya que para \( x=0 \), el valor de de \( x^{x} \) que encontramos en el radicando del segundo miembro del ejercicio \( x^{ \sqrt{x} } = \sqrt{ \color{red}{ x^{x} } } \) es indeterminado, es decir, el valor de \( 0^{0} \) no está definido ya que existen funciones que cumplen esta indeterminación obtienen distintos valores, esto lo veremos en un curso de límites de funciones indeterminadas más adelante.

Ejercicio 64

\[ \sqrt[x]{ \frac{2}{x+1} } = (x+1)^{x+2} \]

Solución:


  1. Este ejercicio es sencillo, elevando a los dos miembros por \( x \) y simplificando:
    \[ \begin{align} { \sqrt[x]{ \frac{2}{x+1} } } & = { (x+1)^{x+2} }^{x} \\ \frac{2}{x+1} & = (x+1)^{ x(x+2) } \\ \frac{2}{x+1} & = (x+1)^{ x^{2} + 2x } \end{align} \]
  2. Pasando el factor \( x+1 \) del denominador del primer miembro:
    \[ 2 = (x+1)^{ x^{2} + 2x } (x+1) \]
  3. Por la propiedad de producto de potencias \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ 2 = (x+1)^{ x^{2} + 2x + 1 } \]
  4. El exponente \( x^{2} + 2x + 1 \) es un producto notable (que lo estudiaremos más adelante) que se puede escribir como \( (x+1)^{2} \), entonces:
    \[ 2 = (x+1)^{ (x+1)^{2} } \]
  5. En ejercicios anteriores ya habíamos explicado más de una vez que el número ( 2 ) se puede escribir como \( { \sqrt{2} }^{ { \sqrt{2} }^{2} } \), tenemos:
    \[ { \sqrt{2} }^{ { \sqrt{2} }^{2} } = (x+1)^{ (x+1)^{2} } \]
  6. Por simetría, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \sqrt{2} & = x+1 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt{2} – 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 65

Averigüe el valor de \( x \) si \( x>1 \) en:

\[ ( \frac{1}{ x^{3} } )^{ \frac{1}{ x^{4} } } = ( \frac{1}{ \sqrt[3x]{x} } )^{ \frac{1}{x} } \]

Solución:

  1. El punto aquí es lograr que como mínimo la ecuación se encuentre en una misma base, como \( \frac{1}{ a^{n} } = ( \frac{1}{a} )^{n} \) para el miembro izquierdo y \( \sqrt[3x]{x} = x^{ \frac{1}{3x} } \) en el miembro derecho:
    \[ \begin{align} [ ( \frac{1}{x} )^{3} ]^{ \frac{1}{ x^{4} } } & = ( \frac{1}{ x^{ \frac{1}{3x} } } )^{ \frac{1}{x} } \\ & = [ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{3x} } ]^{ \frac{1}{x} } \end{align} \]
  2. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{3}{ x^{4} } } = ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{3x^{2}} } \]
  3. Si las bases son iguales, entonces los exponentes son iguales, tenemos:
    \[ \frac{3}{ x^{4} } = \frac{1}{ 3x^{2} } \]
  4. Resolviendo:
    \[ \begin{align} 3 ( 3x^{2} ) & = x^{4} \\ 9x^{2} – x^{4} & = 0 \\ x^{2} (  9 – x^{2} ) & = 0 \\ x^{2} ( 3 – x ) (3 + x) & = 0 \end{align} \]
  5. De esta última ecuación, se puede encontrar 3 valores y son:
    \[ x= -3, x = 0 \ \text{y} \ x=3 \]
  6. Como \( x>1 \), por tanto, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x=3 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 66

Averigüe \( \mathrm{E} = \sqrt[ab]{ \frac{y}{x} } \)

\[ \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[b]{y} = a^{a+b} \cdot b^{a} \color{red}{ \wedge } xy = a^{2ab} \cdot b^{ab} \]


Solución:

  1. Comenzaremos por esta ecuación \( xy = a^{2ab} \cdot b^{ab} \cdots ( \alpha ) \), despejando \( x \) y extrayendo la raíz de indice \( a \), resulta:
    \[ \begin{align} x & = \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{y} \\ \sqrt[a]{x} & = \sqrt[a]{ \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{y} } \\ \sqrt[a]{x} & = \frac{ \sqrt[a]{ a^{2ab} \cdot b^{ab} } }{ \sqrt[a]{y} } \\ \sqrt[a]{x} & = \frac{ a^{2b} \cdot b^{b} }{ \sqrt[a]{y} } \end{align} \]
  2. Reemplazando en la otra ecuación, tenemos:
    \[ \begin{align} \frac{ a^{2b} \cdot b^{b} }{ \sqrt[a]{y} } \cdot \sqrt[b]{y} & = a^{a+b} \cdot b^{a} \\ \frac{ \sqrt[b]{y} }{ \sqrt[a]{y} } & = \frac{ a^{a+b} b^{a} }{ a^{2b} b^{b} } \\ \sqrt[ab]{ \frac{ y^{a} }{ y^{b} } } & = a^{a-b} b^{a-b} \\ \sqrt[ab]{ y^{a-b} } & = (ab)^{a-b} \\ \sqrt[ab]{y} & = ab \\ y & = (ab)^{ab} \end{align} \]
  3. Reemplazar en \( \alpha \), tenemos:
    \[ \begin{align} x \cdot (ab)^{ab} & = a^{2ab} \cdot b^{ab} \\ x & = \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{ (ab)^{ab} } \\ x & = \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{ a^{ab} \cdot b^{ab} } \\ x & = a^{ab} \end{align} \]
  4. Finalmente reemplazando en \( \mathrm{E} \), logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[ab]{ \frac{y}{x} } \\ & = \sqrt[ab]{ \frac{ (ab)^{ab} }{ a^{ab} } } \\ & = \sqrt[ab]{ \frac{ a^{ab} b^{ab} }{ a^{ab} } } \\ & = \sqrt[ab]{ b^{ab} } \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{b} } \end{align} \]

Ejercicio 67

Simplificar:

\[ \mathrm{A} = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ \sqrt[x]{ 32^{ x^{2} } } } } ]^{x+2} \]

Solución:

  1. Resolveremos primero el denominador del radicando, por definición de raíz \( \sqrt[m]{ a^{n} } = a^{ \frac{m}{n} } \) y sabiendo que \( 32 = 2^{5} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ 32^{ \frac{ ( 2^{5} )^{2} }{x} } } } ]^{x+2} \\ & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ ( 2^{5} )^{x} } } ]^{x+2} \end{align} \]
  2. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \) y luego por la propiedad de potencia de cocientes \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), en el denominador del radicando:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ 2^{5x} } } ]^{x+2} \\ & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 – 5x } } ]^{x+2} \\ & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ x^{2} -2x + 4 } } ]^{x+2} \end{align} \]
  3. Sabiendo que \( { \sqrt[n]{ a } }^{m} = \sqrt[n]{ a^{m} } \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ ( x^{2} – 2x + 4 )(x+2) } } \]
  4. Como \( ( x^{2} -2x +4 )( x+2 ) = x^{3} + 8 \), un producto notable que estudiaremos más adelante, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ x^{3} + 8 } } \\ \mathrm{A} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 2 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 68

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ x^{ x^{x} } = 3^{ – \frac{ \sqrt[3]{9} }{3} } \]

Solución:

  1. Este ejercicio se resuelve por racionalización (este método sirve para eliminar radicales en los denominadores), como \( \sqrt[3]{9} = { \sqrt[3]{3} }^{2} \) y \( 3 = { \sqrt[3]{3} }^{3} \), entonces:
    \[ x^{ x^{x} } = 3^{ – \frac{ { \sqrt[3]{3} }^{2} }{ { \sqrt[3]{3} }^{3} } } \]
  2. Simplificando \( { \sqrt[3]{3} }^{2} \) y realizando algunas operaciones:
    \[ \begin{align} x^{ x^{x} } & = 3^{ – \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{3} } } \\ & = 3^{ -1 ( \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } ) } \\ & = ( 3^{-1} )^{ \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } } \\ x^{ x^{x} } & = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } } \end{align} \]
  3. Como \( \sqrt[3]{3} = 3^{ \frac{1}{3} } \):
    \[ x^{ x^{x} } = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{ 3^{ \frac{1}{3} } } } \]
  4. Como \( \frac{ 1 }{ a^{n} } = ( \frac{1}{a} )^{n} \):
    \[ x^{ x^{x} } = ( \frac{1}{3} )^{ ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{3} } } \]
  5. Por comparación, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = \frac{1}{3} } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 69

Cual es el valor de \( x \):

\[ \sqrt[x-13]{ \frac{ x^{x} – x^{13} }{ x^{37} – x^{x} } } = \frac{1}{x} \]

Solución:

  1. Por definición de radicación \( \sqrt[n]{ a } = b \Rightarrow a = b^{n} \), entonces:
    \[ \frac{ x^{x} – x^{13} }{ x^{37} – x^{x} } = ( \frac{1}{x} )^{ x-13 } \]
  2. Como sabemos que \( ( \frac{1}{a} )^{n} = \frac{ 1 }{ a^{n} } \):
    \[ \frac{ x^{x} – x^{13} }{ x^{37} – x^{x} } = \frac{ 1 }{ x^{x-13} } \]
  3. Pasando los factores \( x^{37} – x^{x} \) y \( x^{ x-13 } \) al otro miembro, entonces:
    \[ \begin{align} ( x^{x} – x^{13}  ) x^{ x-13 } & = x^{37} – x^{x} \\ x^{x} \cdot x^{x-13} – x^{13} \cdot x^{x-13} & = x^{37} – x^{x} \end{align} \]
  4. Por la propiedad de multiplicación de potencias \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} x^{ x + x-13 } – x^{ 13 + x-13 } & = x^{37} – x^{x} \\ x^{-13} – x^{x} & = x^{37} – x^{x} \\ x^{-13} & = x^{37} \end{align} \]
  5. Multiplicando por \( x^{13} \) en cada miembro, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} x^{-13} \cdot x^{13} & = x^{37} \cdot x^{13} \\ x^{-13 + 13} & = x^{37+13} \\ x^{0} & = x^{50} \\ 1 & = x^{50} \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 70

Resolver el valor de \( x \):

\[ \sqrt{x} = \sqrt[ 2 \cdot { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } ]{25} \]

Solución:

  1. Elevando al exponente \( { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } \), resulta:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = { \sqrt[ 2 \cdot { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } ]{25} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } \]
  2. Simplificando \( { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } \) en el miembro derecho de la igualdad, resulta:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = \sqrt[2]{25} \]
  3. Como \( \sqrt[2]{25} = 5 \), resulta:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = 5 \]
  4. Como \( 5 = { \sqrt[5]{5} }^{5} = { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{5} } = { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{5} } } \), entonces:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{5} } } \]
  5. Por simetría, se cumple que:
    \[ \sqrt{x} = \sqrt[5]{5} \]
  6. Despejando \( x \), finalmente logramos:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = { \sqrt[5]{5} }^{2} } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 71

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ x^{ x^{110} } = 10^{ 10^{10} } \]

Solución:

  1. Este ejercicio se resuelve por simetría, para lograrlo, elevaremos a la \( 110 \) en cada miembro:
    \[ ( x^{ x^{110} } )^{110} = ( 10^{ 10^{10} } )^{110} \]
  2. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \) en los dos miembros:
    \[ ( x^{110} )^{ x^{110} } = ( 10^{110} )^{ 10^{10} } \]
  3. Como \( 110 = 11 \cdot 10 \):
    \[ ( x^{110} )^{ x^{110} } = ( 10^{ 11 \cdot 10 } )^{ 10^{10} } \]
  4. Por la propiedad \( ( a^{kn} )^{ m } = ( a^{k} )^{nm} \) en el miembro derecho:
    \[ \begin{align} ( x^{110} )^{ x^{110} } & = ( 10^{11} )^{ 10 \cdot 10^{10} } \\ ( x^{110} )^{ x^{110} } & = ( 10^{11} )^{ 10^{11} } \end{align} \]
  5. Por comparación, resulta:
    \[ \begin{align} x^{110} & = 10^{11} \\ x^{ 10 \cdot 11 } & = 10^{11} \end{align} \]
  6. Extrayendo la raíz de índice \( 11 \), y por definición de radicación, finalmente resulta:
    \[ \begin{align} \sqrt[11]{ x^{ 10 \cdot 11 } } & = \sqrt[ 11 ]{ 10^{11} } \\ x^{10} & = 10 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt[10]{10} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 72

Si \( \frac{m+n}{m} + \frac{m+n}{n} = 1 \), simplificar la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = ( \frac{ \sqrt[m+n]{a} }{ \sqrt[m]{a} } )^{n} + ( \frac{ \sqrt[m+n]{a} }{ \sqrt[n]{a} } )^{m} \]

Solución:

  1. Primero daremos forma a \( \mathrm{E} \), tomemos primero el término izquierdo y lo pasaremos a una sola base \( a \), entonces:
    \[ \begin{align} ( \frac{ \sqrt[m+n]{a} }{ \sqrt[m]{a} } )^{n} & = ( \frac{ \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{m} } }{ \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{m+n} } } )^{n} \\ & = ( \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{ m-m-n } } )^{n} \\ & = ( \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{-n} } )^{n} \\ & = \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{ -n^{2} } } \\ & = a^{ – \frac{ n^{2} }{ (m+n)m } } \end{align} \]
  2. El mismo procedimiento aplica para el término derecho de \( \mathrm{E} \), quedando:
    \[ \mathrm{E} = a^{ – \frac{ n^{2} }{ ( m+n )m } } + a^{ – \frac{ m^{2} }{ (m+n)n } } \]
  3. Para averiguar el valor de los exponentes de estos dos términos, comenzaremos a manipular la condición del ejercicio, tenemos:
    \[ \begin{align} \frac{m+n}{m} + \frac{m+n}{n} & = 1 \\ \frac{ (m+n)n }{mn} + \frac{ (m+n)m }{mn} & = 1 \\ \frac{ (m+n)n + (m+n)m }{mn} & = 1 \\ \frac{ (m+n)(m+n) }{mn} & = 1 \\ \frac{ (m+n)^{2} }{mn} & = 1 \\ (m+n)^{2} & = mn \\ m^{2} + 2mn + n^{2} & = mn \\ m^{2} + mn & = – n^{2} \\ m( m+n ) & = – n^{2} \\ – \frac{ n^{2} }{ (m+n)m } & = 1 \end{align} \]
  4. De esta manera logramos resolver uno de los exponentes de los términos de \( \mathrm{E} \) con base \( a \), el otro término se resuelve de manera análoga, esto es, también se cumple que \( – \frac{ m^{2} }{ (m+n)n } = 1 \), reemplazando en \( \mathrm{E} \), obtenemos finalmente:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = a^{1} + a^{1} \\ & = a + a \\ \mathrm{E} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 2a } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 73

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ \frac{ 2^{x+1} – 3^{x+1} }{ 3^{x} } = 1,5 \]

Solución:

  1. Como \( 1,5 = \frac{3}{2} \), entonces:
    \[ \begin{align} \frac{ 2^{x+1} – 3^{x+1} }{ 3^{x} } & = \frac{3}{2} \\ 2( 2^{x+1}  – 3^{x+1} ) & = 3 \cdot 3^{x} \\ 2^{x+2} – 2 \cdot 3^{x+1} & = 3^{x+1} \end{align} \]
  2. Pasando el término \( 2 \cdot 3^{x+1} \) en el miembro derecho:
    \[ 2^{x+2} = 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{x+1} \]
  3. Factorizando \( 3^{x+1} \), tenemos:
    \[ \begin{align} 2^{x+2} & = 3^{x+1} (2+1) \\ 2^{x+2} & = 3^{x+1} \cdot 3 \\ 2^{x+2} & = 3^{x+2} \\ \frac{ 2^{x+2} }{ 3^{x+2} } & = 1 \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( \frac{ a^{x} }{ b^{x} } = ( \frac{a}{b} )^{x} \):
    \[ ( \frac{2}{3} )^{x+2} = 1 \]
  5. Por definición de exponente negativo \( x^{0} = 1 \), resulta:
    \[ \begin{align} x+2 & = 0 \\ x & = \begin{array}{ | c| } \hline \Large{ -2 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Si estos ejercicios no te fueron suficientes, entonces subiremos el grado de dificultad aun más que antes, te va a gustar porque son un total 28 ejercicios de nivel avanzado, disfrutalo y te veo en esa sección.

Detalles Del Capitulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Descripción
Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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Ciencias Básicas
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