Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Niveles de los ejercicios:

Nivel básico

Este es el nivel de dificultad mas básico, pero no implica que sea muy elemental como el nivel anterior. Lo que quiero decir con esta explicación es que no hacemos hincapié en algunas operaciones básicas y sus propiedades como la suma, resta multiplicación y división en el campo de los números naturales, enteros, racionales e incluso números irracionales, en fin, todo el conjunto de los números reales.

El nivel anterior junto con el nivel básico, sirven para lograr tener una buena noción al uso adecuado sobre las operaciones con los exponentes, no es una obligación ni tampoco es cierto que al no ser capaz de resolver ejercicios de mayor nivel, no implica el uso correcto de las definiciones y propiedades de esta corta materia.

Sin embargo, todo tiene una base y si quieres lograr mejores resultados con ejercicios con mayor dificultad, lo mejor es lograr un mejor uso de dichas propiedades en el nivel básico, de esta manera tendrás éxito en otros niveles superiores y sobre todo, disfrutar resolver ejercicios de esta índole.

Finalmente el nivel básico consta de 18 ejercicios lo suficientemente prácticos para comenzar a calentar tus habilidades operacionales. Sin mas que decir, comencemos con los ejercicios



Ejercicio 31

Cual es la expresión final de:

\[ \require{cancel} \mathrm{F} = ( \frac{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} }{ 2^{-x} + 3^{-x} + 4^{-x} + 5^{-x} } )^{ \frac{1}{x} } \]

Solución:

  1. Por definición de exponente negativo \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{F} = ( \frac{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} }{ \frac{1}{ 2^{x} } + \frac{1}{ 3^{x} } + \frac{1}{ 4^{x} } + \frac{1}{ 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \]
  2. Por la propiedad de fracciones heterogéneas, tenemos:
    \[ \mathrm{F} = ( \frac{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} }{ \frac{ 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} + 2^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} + 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 5^{x} + 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} }{ 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \]
  3. Por la propiedad \( a^{n} \cdot b^{n} \cdot c^{n} = (abc)^{n} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( \frac{ \cancel{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} } }{ \frac{ \cancel{ 60^{x} + 40^{x} + 30^{x} + 24^{x} } }{ 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \\ & = ( \frac{1}{ \frac{1}{ 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \end{align} \]
  4. Recordar que \( \frac{ 1 }{ a } = a^{-1} \), entonces \( [ a^{-1} ]^{-1} = a^{ (-1)(-1) } = a \) y tener en cuenta que \( [ a^{y} ]^{ \frac{1}{y} } = a^{ y \cdot \frac{1}{ y } } = a \), finalmente logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( \frac{1}{ ( 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} )^{-1} } )^{ \frac{1}{x} } \\ & = \left \{ [ ( 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} )^{-1} ]^{-1} \right \}^{ \frac{1}{x} } \\ & = ( 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} )^{ \frac{1}{x} } \\ & = [ ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 )^{x} ]^{ \frac{1}{x} } \\ & = ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 ) \\ \mathrm{F} & = \boxed{ \Large{ 120 } } \end{align} \]

Ejercicio 32

Cual es el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:
\[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = 3 \]

Solución:


  1. Este ejercicio se resuelve por simetría, tenga en cuenta que exponente afecta solo a la variable \( x \) pero no al número \( 2 \) ya que no se podría aplicar la propiedad directamente \( a^{ a^{ a^{n} } } = n \) cumpliéndose que \( a = \sqrt[n]{n} \), para lograrlo, realizamos la siguiente estrategia con el número \( 3 \) de la siguiente manera:
    \[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = { \sqrt[6]{3} }^{6} \]
  2. El exponente \( 6 \) del miembro derecho se puede escribir como \( 6 = 2 \cdot 3 = 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{6} \), teniendo:
    \[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = { \sqrt[6]{3} }^{ 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{6} } \]
  3. Repitiendo el mismo proceso, método que puedes encontrar en la teoría y ejercicios de la sección de ecuaciones exponenciales, resulta:
    \[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = { \sqrt[6]{3} }^{ 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{ 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{6} } } \]
  4. Por simetría o comparación, podemos concluir que:
    \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[6]{3} } } \]

Ejercicio 33

Calcular el valor numérico de \( x^{2}+y^{2} \), luego de resolver el siguiente sistema de ecuaciones trascendentales:

\[ 2^{x} \cdot 3^{y} = 24 \wedge 2^{y} \cdot 3^{x} = 54 \]

Solución:

  1. Este ejercicio se puede resolver hasta por tanteo, pero lo resolveremos por despeje, multiplicaremos las dos condiciones entre si de la siguiente manera:
    \[ 2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 2^{y} \cdot 3^{x} = 24 \cdot 54 \]
  2. Ordenando y aplicando la propiedades \( a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \) y \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 2^{y} \cdot 3^{y} & = 24 \cdot 54 \\ ( 2 \cdot 3 )^{x} \cdot ( 2 \cdot 3^{y} ) & = 24 \cdot 54 \\ (2 \cdot 3)^{x+y} & = 24 \cdot 54 \\ 6^{x+y} & = 6^{4} \\ x+y & = 4 \end{align} \]
  3. Con este nueva resultado donde \( y = 4-x \), remplazaremos en cualquiera de las dos condiciones iniciales, tenemos:
    \[ \begin{align} 2^{y} \cdot 3^{x} & = 54 \ 2^{ 4-x} \cdot 3^{x} & = 54 \\ \frac{ 2^{4} }{ 2^{x} } \cdot 3^{x} & = 54 \\ \frac{ 3^{x} }{ 2^{x} } & = \frac{54}{ 2^{4} } \\ ( \frac{3}{2} )^{x} & = \frac{ 3^{3} \cdot 2 }{ 2^{4} } \\ ( \frac{3}{2} )^{x} & = \frac{ 3^{3} }{ 2^{4} } \\ ( \frac{3}{2} )^{x} & = ( \frac{3}{2} )^{2} \end{align} \]
  4. Eliminando las bases, el valor de \( x \) es \( 3 \), como \( x+y=4 \), entonces \( y \) es \( 1 \), por tanto, el valor numérico pedido de \( x^{2} + y^{2} \) es:
    \[ x^{2} + y^{2} = 3^{2} + 1^{2} = \boxed{ \Large{ 10 } } \]

Ejercicio 34

Simplifique la siguiente expresión:

\[ \mathrm{B} = \frac{ ( 49^{-1} x^{7} y^{ 4 } z^{ -5 } )^{5} ( x^{ 2 } y^{ 3 } )^{-4} }{ ( 7 x^{ -3 } y^{-1} z^{4} )^{ -9 } } \]


Solución:

  1. Por el teorema \( (ab)^{n} = a^{n} b^{n} \):
    \[ \mathrm{B} = \frac{ ( 49^{-1} )^{ 5 } ( x^{7} )^{5} ( y^{ 4 } )^{5} ( z^{ -5 } )^{5} ( x^{ 2 } )^{-4} ( y^{ 3 } )^{-4} }{ ( 7 )^{-9} ( x^{ -3 } )^{-9} ( y^{-1} )^{-9} z^{4} )^{ -9 } } \]
  2. Aplicando el teorema \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 49^{ (-1)5 } x^{ 7 \cdot 5 } y^{ 4 \cdot 5 } z^{ (-5 ) 5 } x^{ 2 ( -4 ) } y^{ 3 ( -4 ) } }{ 7^{ -9 } x^{ (-3)(-9) } y^{ (-1)(-9) } z^{ 4( -9 ) } } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{35} y^{20} z^{-25} x^{ -8 } y^{-12} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{ -36 } } \end{align} \]
  3. Ordenando y aplicando la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 49^{-5} x^{35} x^{ -8 } y^{20} y^{-12} z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{ -36 } } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{ 35+(-8) } y^{ 20+(-12) } z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{-36} } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{27} y^{8} z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{-36} } \end{align} \]
  4. Usando la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \) y no olvidar que \( 49^{-5} = 7^{ 2(-5) } = 7^{-10} \), logrando el siguiente resultado final:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 7^{-10} }{ 7^{-9} } \cdot \frac{ x^{27} }{ x^{27} } \cdot \frac{ y^{8} }{ y^{9} } \cdot \frac{ z^{-25} }{ z^{ -36 } } \\ & = 7^{ -10 – (-9) } \cdot x^{ 27-27 } \cdot y^{ 8-9 } \cdot z^{ -25 -(-36) } \\ & = 7^{-1}x^{0} y^{-1} z^{11} \\ & = \boxed{ \Large{ \frac{ z^{11} }{7 y } } } \end{align} \]

Ejercicio 35

Simplifique la siguiente expresión:

\[ \mathrm{A} = \frac{ x \cdot x^{2} \cdot x^{3} … x^{n} }{ x^{2} \cdot x^{4} \cdot x^{6} … x^{2n} } \]

Solución:

  1. Por la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ x^{ 1+2+3+…+n } }{ x^{ 2+4+6+…+2n } } \]
  2. Resolviendo la suma de la serie del exponente de la expresión \( x^{1+2+3+…+4} \) usando la siguiente estrategia:
    \[ \scriptsize{ \begin{array}{ c c c c c c c c c } & S_{n} = & 1 & + & 2 & + & 3 & +…+ & n \\ \textbf{ + } & S_{n} = & n & + & (n-1) & + & (n-2) & +…+ & 1 \\ \hline & 2S_{n} = & (n+1) & + & (n+1) & + & (n+1) & +…+ & (n+1) \end{array} } \]
  3. Como hay \( n \) sumandos de la nueva suma \( 2 S_{n} \), resulta:
    \[ \begin{align} 2S_{n} & = n(n+1) \\ \rightarrow S_{n} & = \frac{ n(n+1) }{2} … ( \alpha ) \end{align} \]
  4. Ahora resolveremos la suma de la serie del exponente de la expresión \( x^{2+4+6+…+2n} \) definido como \( S_{2n} \), realizando la siguiente estrategia:
    \[ \begin{align} S_{2n} & = 2+4+6+…+2n \\ \frac{ S_{2n} }{2} & = \frac{ 2+4+6+…+2n }{2} \\ \frac{ S_{2n} }{2} & = 1+2+3+…+n \end{align} \]
  5. De \( \alpha \) resulta:
    \[ \begin{align} \frac{ S_{2n} }{2} & = \frac{ n(n+1) }{2} \\ S_{2n} & = n(n+1) … ( \beta ) \end{align} \]
  6. Reemplazando \( \alpha \) y \( \beta \) en \( \mathrm{A} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ x^{ \frac{ n(n+1) }{2} } }{ x^{ n(n+1) } } \]
  7. Por la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = x^{ \frac{ n(n+1) }{2} – n(n+1) } \\ & = \boxed{ \Large{ x^{ – \frac{ n(n+1) }{2} } } } \end{align} \]

Ejercicio 36

Reducir el valor de \( \mathrm{M} \):
\[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} }{ 3^{ -6x } + 3^{ -4x } + 3^{ -2x } } \]


Solución:

  1. Por definición de exponente negativo \( a^{ -n } = \frac{1}{a^{n}} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} }{ \frac{1}{ 3^{6x} } + \frac{1}{ 3^{4x} } + \frac{1}{ 3^{2x} } } \]
  2. Multiplicando el numerador y denominador por \( 3^{6x} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{ 6x } (3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} ) }{ 3^{6x} ( \frac{1}{ 3^{6x} } + \frac{1}{ 3^{4x} } + \frac{1}{ 3^{2x} } ) } \]
  3. Operando:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{ 6x } \cdot 3^{2x} + 3^{ 6x } \cdot 3^{4x} + 3^{ 6x } \cdot 3^{6x} }{ \frac{ 3^{ 6x } }{ 3^{6x} } + \frac{ 3^{ 6x } }{ 3^{4x} } + \frac{ 3^{ 6x } }{ 3^{2x} } } \]
  4. Por el teorema \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{ M } = & \frac{ 3^{ 6x+2x } + 3^{ 6x + 4x } + 3^{ 6x + 6x } }{ 3^{ 6x-6x } + 3^{ 6x-4x } + 3^{ 6x-2x } } \\ & = \frac{ 3^{8x} + 3^{ 10x } + 3^{ 12x } }{ 3^{ 0 } + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } } \end{align} \]
  5. Factorizando \( 3^{8x} \) en el numerador y teniendo en cuenta que \( a^{0} = 1 \), entonces:
    \[ \mathrm{ M } = \frac{ 3^{8x} ( 1 + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } ) }{ 1 + 3^{2x} + 3^{ 4x } } \]
  6. Simplificando \( 1 + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } \), finalmente logramos obtener:
    \[ \boxed{ \Large{ \mathrm{M} = 3^{8x} } } \]

Ejercicio 37

Si la base de \( x^{ x^{ x^{x} } } \) es \( x^{ x^{x} } \), ¿cual es su exponente?.

Solución:

  1. Llamemos \( y \) al exponente de la expresión de \( x^{ x^{ x^{x} } } \) con base \( x^{ x^{x} } \), entonces:
    \[ ( x^{ x^{ x } } )^{y} = x^{ x^{ x^{x} } } \]
  2. Por el teorema \( ( m^{n} )^{p} = m^{ np } \), resulta:
    \[ x^{ x^{x} y } = x^{ x^{ x^{ x } } } \]
  3. Por la propiedad del exponente sucesivo \( a^{ b^{c} } = a^{d} \) donde \( d = b^{c} \), se cumple:
    \[ x^{x} y = x^{ x^{x} } \]
  4. Despejando \( y \):
    \[ y = \frac{ x^{ x^{x} } }{ x^{x} } \]
  5. Por el teorema \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{ n-m } \) finalmente logramos:
    \[ \boxed{ \Large{ y = x^{ x^{x} – x } } } \]

Ejercicio 38

Determinar el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{C} = \frac{ \left ( 6^{5^{x-2}} \right )^{ {15}^{2-x} } \cdot9^{3^{2-x} } }{ 3^{ 3^{3-x} } \cdot2^{ 3^{2-x} } } \]


Solución:

  1. Por la propiedad \( (a^n)^m = a^{nm} \) y teniendo en cuenta que \( 15 = 3 \cdot 5 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \) y \( 4-2x = 2(2-x) \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{ ( 3 \cdot 2 )^{5^{x-2} \cdot{ 3 \cdot 5 }^{2-x}} \cdot ( 3^2 )^{3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x}} \cdot2^{3^{2-x}}} \]
  2. Por las propiedades \( (ab)^{x} = a^{x} b^{x} \) y \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \), tenemos:
    \[ \mathrm{C} = \frac{ \left ( 3 \cdot 2 \right )^{5^{x-2} \cdot 3^{2-x} \cdot 5^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x }} \cdot 2^{3^{2-x}}} \]
  3. Ordenando los exponentes de la base \( 3 \cdot 2 \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{ \left (3 \cdot 2 \right )^{(5^{x-2} \cdot5^{2-x}) \cdot 3^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x }} \cdot 2^{3^{2-x}}} \]
  4. Por el teorema \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{ \left( 3 \cdot 2 \right)^{5^{x-2+2-x} \cdot3^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot3^{2-x}}}{3^{3^{ 2 \left( 2- x \right )}} \cdot 2^{3^{2-x}}} \\ & = \frac{ \left ( 3 \cdot 2 \right )^{ \overbrace{ 5^0 }^{ 1 } \cdot 3^{2-x}} \cdot 3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{ 3^{3^{ 2 \left (2- x \right )}} \cdot 2^{ 3^{ 2-x}}} \\ & = \frac{ \left ( 3 \cdot 2 \right )^{3^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{ 3^{ 3^{3-x}} \cdot 2^{3^{2-x}}} \end{align} \]
  5. Por el teorema \( (a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{3^{3^{2-x}} \cdot 2^{3^{2-x}} \cdot 3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{ 3^{3^{3-x}} \cdot 2^{3^{2-x}}} \]
  6. Ordenando y por las propiedades \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \) y simplificando \( 2^{ 3^{2-x} } \):
    \[ \require{cancel} \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{3^{3^{2-x}} \cdot 3^{ 2 \cdot 3^{2-x}} \cancel{ \cdot 2^{3^{2-x}} } }{3^{3^{3-x}} \cancel{ \cdot2^{3^{2-x}} } } \\ & = \frac{3^{3^{2-x}+2 \cdot 3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}} } \\ & = \frac{3^{3 \cdot 3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}}} \end{align} \]
  7. Finalmente, aplicando la propiedad \( a^{n} \cdot a^{ m } = a^{n+m} \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{3^{3^{1+2-x}}}{3^{3^{3-x}}} \\ & = \frac{3^{3^{3-x}}}{3^{3^{3-x}}} \\ & \mathrm{C} = \boxed{ \Large{ 1 } } \end{align} \]

Ejercicio 39

Si \( 1 < a < 11 \), calcular la siguiente multiplicación:

\[ \mathrm{H} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ \frac{a}{2} + \frac{a}{3} \ \text{veces} } \]

Solución:

La expresión de la forma \( a \cdot a \cdot a … a \) solo esta definido para exponente natural, esto significa que \( \frac{ a }{2} + \frac{ a }{3} \) es un número natural ya que indica cuántas veces debe multiplicarse el factor \( a \).


Para que sea \( \frac{ a }{2} + \frac{ a }{3} \) natural, significa que \( a \) es múltiplo de \( 2 \) y \( 3 \), pero como \( a \) se encuentra entre \( 1 \) y \( 11 \), el único valor aceptable es \( a=6 \), entonces se cumple lo siguiente:

\[ \begin{align} \mathrm{H} & = \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 … 6 }_{ \frac{6}{2} + \frac{6}{3} \ \text{veces} } \\ & = \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 }_{ 5 \ \text{veces} } = \begin{array}{ | c | } \hline \large{ 46656 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]


Ejercicio 40

Calcular el valor de \( a+b \) si se cumple la siguiente relación:

\[ 6^{2} + 8^{2} + 25^2 = a^2+b^2 \]

Donde \( a \) y \( b \) son enteros positivos. (Ayuda: use los números pitagóricos)


Solución:

  1. Haciendo \( 6^{2} = ( 3 \cdot 2 )^2 = 3^{2} \cdot 2^{2} \), \( 8^{2} = ( 4 \cdot 2 )^{2} = 4^{2} \cdot 2^{2} \) y \( 25^2 = 24^2 + 7^2 \) (ver tabla de números pitagóricos), tenemos:
    \[ 3^{2} \cdot 2^{2} + 4^{2} \cdot 2^{2} + 24^{2} + 7^{2} = a^{2} +b^{2} \]
  2. Factorizando \( 2^{2} \):
    \[ 2^{2} ( 3^2 + 4^2 ) + 24^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  3. Como \( 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} \) por ser números pitagóricos y hacemos \( 24^{2} = ( 2 \cdot 12 )^{2} = 2^{2} \cdot 12^{2} \):
    \[ 2^{2} \cdot 5^{2} + 2^{2} \cdot 12^{2} +7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  4. Volviendo a factorizar \( 2^{2} \):
    \[ 2^{2} ( 5^{2} + 12^{2} ) +7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  5. De la tabla de números pitagóricos encontramos que \( 5^{2} + 12^{2} = 13^{2} \):
    \[ 2^{2} \cdot 13^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  6. Como \( 2^{2} \cdot 13^{2} = ( 2 \cdot 13 )^{2} = 26^{2} \), resulta:
    \[ 26^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  7. Como solo nos pide calcular la suma de \( a \) y \( b \), no importa si \( a=7 \), \( b=26 \) ó \( a=26 \), \( b=7 \) ya que la suma siempre es conmutativa, por tanto, la suma es:
    \[ a+b = 26+7 = 7+26= \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 33 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 41

Comencemos con un ejercicio sencillo. Reducir el siguiente ejercicio:

\[ \mathrm{A} = ( \frac{ \sqrt[ a^2 ]{ x \cdot \sqrt[ a^2 ]{ x \cdot \sqrt[ a^2 ]{x} } } }{ \sqrt[ a^2 ]{ x \cdot \sqrt[ a^{4} ]{ x } } } )^{ a^6 } \]

Solución:

  1. Para hacerlo más sencillo, lo pasaremos en su forma exponencial, por definición de radicación \( \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n} } \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = ( \frac{ ( x ( x ( x )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{ ( x ( x )^{ \frac{1}{a^4} } )^{ \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \\ & = ( \frac{ ( x ( x \cdot x^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{ ( x \cdot x^{ \frac{1}{a^4} } )^{ \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  2. Por la propiedad \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{A} = ( \frac{ ( x ( x^{ \frac{1}{a^2} +1 } )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{ ( x^{ \frac{1}{a^4} + 1 } )^{ \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} }  \]
  3. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^n )^m = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = ( \frac{ ( x \cdot x^{ ( \frac{1}{a^2} +1 ) \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{  x^{ ( \frac{1}{a^4} + 1 ) \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \\ & = ( \frac{ ( x \cdot x^{ \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^2}  } )^{ \frac{1}{a^2} } }{  x^{  \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^2}  } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  4. Por los teoremas \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \) y \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = ( \frac{ ( x^{ \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^2} + 1 } )^{ \frac{1}{a^2} } }{  x^{  \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^2}  } } )^{ a^{6} } \\ & = ( \frac{ x^{ \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^2} } }{ x^{ \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  5. Por la propiedad de cociente de potencias \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \) y simplificando exponentes:
    \[ \require{cancel} \begin{align} \mathrm{A} & = ( x^{ \cancel{ \frac{1}{a^6} } + \frac{1}{a^4} + \cancel{ \frac{1}{a^2} } – \cancel{ \frac{1}{a^6} } – \cancel{ \frac{1}{a^2} } } )^{a^6} \\ & = ( x^{ \frac{1}{ a^{4} } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  6. Por el teorema de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = x^{ \frac{a^{6}}{a^{4}} } \\ & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x^{ a^{2} } } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 42

Reducir la siguiente expresión:


\[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 9^{3n+8} + 2^{3n+11} \cdot 3^{6n+14} } } \]

Solución:

  1. El factor \( 9^{3n+8} \) lo podemos escribir como \( 9^{3n+8} = ( 3^{2} )^{3n+8} = 3^{ 2(3n+8) } = 3^{ 6n+16 } \), reemplazando en \( \mathrm{B} \):
    \[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 3^{ 6n+16 } + 2^{3n+11} \cdot 3^{6n+14} } } \]
  2. Si hacemos \( 3^{ 6n+16 } = 3^{ 6n+14+2 } = 3^{6n+14} \cdot 3^2 \) y \( 2^{3n+11} = 2^{3n+7+4} = 2^{3n+7} \cdot 2^4 \), tenemos:
    \[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} \cdot 3^2 + 2^{3n+7} \cdot 2^4 \cdot 3^{6n+14} } } \]
  3. Factorizando \( 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} \):
    \[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} ( 3^2 + \cdot 2^4 ) } } \]
  4. Como \( 3^2 + 2^4 = 25 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \sqrt[3n+7]{ \frac{ \cancel{25} }{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} \cdot \cancel{25} } } \\ & = \sqrt[3n+7]{ \frac{ 1 }{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} } } \end{align} \]
  5. Como \( 3^{6n+14} = 3^{ 2(3n+7) } = ( 3^{2} )^{3n+7} = 9^{3n+7} \) y por la propiedad de raíz de un cociente \( \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ \sqrt[3n+7]{1} }{ \sqrt[3n+7]{ 2^{3n+7} \cdot 9^{3n+7} } } \\ & =  \frac{ 1 }{ \sqrt[3n+7]{ 2^{3n+7} \cdot 9^{3n+7} } } \end{align} \]
  6. Por la propiedad de raíz de un producto \( \sqrt[x]{ab} = \sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b} \) y simplificando, logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & =  \frac{ 1 }{ \sqrt[  3n+7 ]{ 2^{ 3n+7 } } \cdot \sqrt[ 3n+7 ]{ 9^{ 3n+7 } } } \\ & = \frac{1}{ 2 \cdot 9 } = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{18} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 43

Si \( abc=3 \), calcular el valor numérico de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} + b^{2n} c^{n} + b^{n} c^{2n} }{ 3^{-n} + a^{-2n} b^{-n} + a^{-2n} c^{-n} } } \]

Solución:


  1. Por dato del ejercicio, remplazaremos el número \( 3 \) por las variables \( abc \) en \( \mathrm{C} \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ (abc)^{n} + b^{2n} c^{n} + b^{n} c^{2n} }{ (abc)^{-n} + a^{-2n} b^{-n} + a^{-2n} c^{-n} } } \]
  2. Por la propiedad de la potencia de un producto \( (xy)^{m} = x^{m} y^{m} \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} b^{n} c^{n} + b^{2n} c^{n} + b^{n} c^{2n} }{ a^{-n} b^{-n} c^{-n} + a^{-2n} b^{-n} + a^{-2n} c^{-n} } } \]
  3. Factorizando \( b^{n} c^{n} \) y \( a^{-n} \) en el numerador y denominador respectivamente en el radicando:
    \[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ b^{n} c^{n} ( a^{n} + b^{n} + c^{n} ) }{ a^{-n} ( b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} ) } } \]
  4. Sabiendo que \( \frac{1}{ a^{-n} } = ( a^{-n} )^{-1} = a^{n} \) y por la propiedad de la raíz de un producto \( \sqrt[m]{ xy } = \sqrt[m]{ x } \sqrt[m]{y} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} b^{n} c^{n} ( a^{n} + b^{n} + c^{n} ) }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \\ & = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ a^{n} } \sqrt[n]{ b^{n} } \sqrt[n]{ c^{n} } \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} + b^{n} + c^{n} }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \\ & = \frac{1}{ \cancel{abc} } \cdot \cancel{abc} \cdot \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} + b^{n} + c^{n} }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \\ & = \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} + b^{n} + c^{n} }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \end{align} \]
  5. Para reducir operaciones innecesarias, vamos a multiplicar el factor \( a^n b^n c^n \) en el numerador y denominador en el radicando y simplificando:
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \sqrt[n]{ \frac{ (a^{n} + b^{n} + c^{n}) a^{n} b^{n} c^{n} }{ (b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n}) a^{n} b^{n} c^{n} } } \\ & = \sqrt[n]{ \frac{ (a^{n} + b^{n} + c^{n}) a^{n} b^{n} c^{n} }{ \cancel{ b^{-n} } \cancel{ c^{-n} } a^{n} \cancel{ b^{n} } \cancel{ c^{n} } + \cancel{ a^{-n} } \cancel{ b^{-n} } \cancel{ a^{n} } \cancel{ b^{n} } c^{n} + \cancel{ a^{-n} } \cancel{ c^{-n} } \cancel{ a^{n} } b^{n} \cancel{ c^{n} } } } \\ & = \sqrt[n]{ \frac{ ( \cancel{ a^{n} + b^{n} + c^{n} } ) a^{n} b^{n} c^{n} }{ \cancel{ a^{n} +b^{n} + c^{n} } } } \\ & = \sqrt[n]{ a^{n} b^{n} c^{n} } \\ & = abc \end{align} \]
  6. Por dato \( abc=3 \), finalmente logramos resolver el valor de \( \mathrm{C} \):
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \mathrm{C} = 3 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 44

Simplificar la siguiente expresión

\[ \mathrm{D} = \frac{ \sqrt[a-b+c]{ 25^{5a+2b} } + 15 \cdot \sqrt[a-b+c]{ 25^{ 4a + 3b – c } } + 75 \cdot \sqrt[a-b+c]{ 5^{7a+7b+c} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a+5b-c} } } \]

Solución:

  1. Separando la expresión en sumandos:
    \[ \mathrm{D} = \frac{ \sqrt[a-b+c]{ 25^{5a+2b} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a+5b-c} } } + \frac{ 15 \sqrt[a-b+c]{ 25^{4a+3b-c} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a + 5b – c} } } + \frac{ 75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{7a+7b+c} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a+5b-c} } } \]
  2. Como \( 25 = 5^{2} \) y por la propiedades de raíz de un cociente \( \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \) y potencia de potencia \( ( x^{n} )^{m} = x^{nm} \) aplicado en el valor \( 5^{2} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{D} & = \sqrt[a-b+c]{ \frac{ (5^{2})^{5a+2b} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 15 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ (5^{2})^{4a+3b-c} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 75 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{ 7a+7b+c } }{ 5^{9a+5b-c} } } \\ & = \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{10a+4b} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 15 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{8a+6b-2c} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 75 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{ 7a+7b+c } }{ 5^{9a+5b-c} } } \end{align} \]
  3. Por la propiedad cociente de potencias \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{D} & = \sqrt[a-b+c]{ 5^{ 10a + 4b – 9a – 5b +c } } + 15 \sqrt[a-b+c]{ 5^{8a+6b-2c -9a -5b+c} } + 75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{7a+7b+c -9a-5b+c} } \\ & = \sqrt[a-b+c]{ 5^{a-b+c} } + 15 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -a+b-c } } + 75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -2a + 2b + 2c } } \\ & = \sqrt[a-b+c]{ 5^{a-b+c} } + 15 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -1(a-b+c) } } +75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -2(a-b+c) } } \end{align} \]
  4. Simplificando el índice y el exponente \( a-b+c \), finalmente obtenemos el resultado deseado:
    \[ \begin{align} \mathrm{D} & = 5 + 15 \cdot 5^{-1} + 75 \cdot 5^{-2} \\ & = 5 + 15 \cdot \frac{1}{5} + 75 \cdot \frac{1}{ 5^{2} } \\ & = 5 + \frac{15}{5} + \frac{75}{25} \\ & = 5 + 3 + 3 = \begin{array}{ | c | } \hline 11 \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 45

Reducir la siguiente expresión:

\[ \require{cancel} \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^4 \cdot \sqrt{x^5}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]


Solución:

  1. Como \( x^{4} = \sqrt{ x^{ 4 \cdot 2 } } = \sqrt{ x^{8} } \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{8} } \cdot \sqrt{x^5}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  2. Por la propiedad \( \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{y} = \sqrt[a]{xy} \), resulta:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{8} \cdot x^{5}}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  3. Por el teorema \( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{8+5}}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{13} }}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  4. Por la propiedad de raíz de raíz \( \sqrt[n]{ \sqrt[m]{a} } = \sqrt[nm]{a} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[ 3 \cdot 2 ]{  x^{13} }}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ x^3 \cdot \sqrt[6]{  x^{13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  5. Como \( x^{3} = \sqrt[6]{ x^{ 3 \cdot 6 } } = \sqrt[6]{ x^{18} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{18} } \cdot \sqrt[6]{  x^{13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  6. De nuevo por la propiedad \( \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{y} = \sqrt[a]{xy} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{18} \cdot x^{13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{18+13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{31} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  7. Como \( \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{31} } } = \sqrt[ 4 \cdot  6 ]{ x^{31} } = \sqrt[24]{ x^{31} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[24]{ x^{31} } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  8. Haciendo \( x^{2} = \sqrt[ 24 ]{ x^{ 2 \cdot 24 } } = \sqrt[24]{ x^{48} } \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{ \sqrt[24]{ x^{48} } \cdot \sqrt[24]{ x^{31} } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  9. Como \( \sqrt[24]{ x^{48} } \cdot \sqrt[24]{ x^{31} } = \sqrt[24]{ x^{48} \cdot x^{31} } = \sqrt[24]{ x^{48+31} } = \sqrt[24]{ x^{79} } \):
    \[ \begin{align} \frac{ \sqrt[5]{ \sqrt[24]{ x^{79} } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } & = \frac{ \sqrt[ 5 \cdot 24 ]{ x^{79} } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[120]{ x^{79} } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  10. Por la propiedad \( \frac{ \sqrt[n]{x} }{ \sqrt[n]{y} } = \sqrt[n]{ \frac{x}{y} } \), finalmente logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[120]{ x^{79} } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \sqrt[120]{ \frac{ x^{79} }{ x^{19} } } \\ & = \sqrt[ 120 ]{ x^{79-19} } \\ & = \sqrt[120]{ x^{60} } \\ \mathrm{A} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt{x} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 46

Simplifique la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot \sqrt{ x \sqrt{2}} \cdot \sqrt{x \sqrt{3}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{4}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{5}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{6}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{7}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{8}} }{ \sqrt[4]{ 70 \cdot 18 \cdot 32 } x^{ \frac{5}{2} } } \]

Solución:

  1. Para reducir cálculos y no hacerla tan larga como en caso anterior, pasaremos todos los radicales a exponentes de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot ( x \cdot 2^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 3^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 4^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 5^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 6^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 7^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 8^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \]
  2. Por las propiedades \( ( ab )^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \) y \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 3^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 4^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 5^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 6^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 7^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 8^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \]
  3. Ordenando factores según la propiedad asociativa de la multiplicación, resulta:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{1}{4} } \cdot 3^{ \frac{1}{4} } \cdot 4^{ \frac{1}{4} } \cdot 5^{ \frac{1}{4} } \cdot 6^{ \frac{1}{4} } \cdot 7^{ \frac{1}{4} } \cdot 8^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \]
  4. Por las propiedades \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \) y \( a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ x^{ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} } \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot  6 \cdot 7 \cdot 8 )^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \\ & = \frac{ x^{ \frac{9}{2} } \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 )^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \end{align} \]
  5. Tenga en cuenta que es fácil comprobar que \( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 70 \cdot 18 \cdot 32 \), Finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ \cancel{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } } \cdot x^{ \frac{9}{2} } }{ \cancel{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \\ & = \frac{ x^{ \frac{9}{2} } }{ x^{ \frac{5}{2} } } \\ & = x^{ \frac{9}{2} – \frac{5}{2} } \\ & = x^{ \frac{4}{2} } \\ \mathrm{E} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x^{2} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 47

Simplifique a lo mas mínimo la siguiente expresión:


\[ \mathrm{S} = ( \sqrt[ 81^{ 3^{n} } ]{ \sqrt[3]{ 216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } } )^{ 3^{ 3^{n} } } \]

Solución:

  1. Este ejercicio es rápido, por la propiedad \( \sqrt[n]{ \sqrt[m]{x} } = \sqrt[nm]{x} \) y sabiendo que \( 81 = 3^{4} \):
    \[ \mathrm{S} = ( \sqrt[ ( 3^{4} )^{ 3^{n} } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } )^{ 3^{ 3^{n} } } \]
  2. Tener en cuenta que \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \) aplicado al indice de la raíz:
    \[ \mathrm{S} = ( \sqrt[ ( 3^{ 3^{n} } )^{ 4 } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } )^{ 3^{ 3^{n} } } \]
  3. Simplificando índice y exponente según la propiedad \( { \sqrt[nk]{a} }^{mk} = { \sqrt[n]{a} }^{m} \):
    \[ \mathrm{S} = \sqrt[ ( 3^{ 3^{n} } )^{ 3 } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } \]
    Note que se ha simplificado el factor \( 3^{ 3^{n} } \) en el indice y en el exponente.
  4. Como \( ( 3^{ 3^{n} } )^{ 3 } = 3^{ 3^{n} \cdot 3 } = 3^{ 3^{n+1} }  \), resulta:
    \[ \mathrm{S} = \sqrt[ 3^{ 3^{n+1} } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } \]
  5. Simplificando \( 3^{ 3^{n+1} } \) en el índice y en el exponente del radicando, finalmente logramos obtener lo siguiente:
    \[ \mathrm{S} = \sqrt[3]{ 216 } = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{6} \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 48

Simplificar la siguiente expresión:

\[ \mathrm{U} = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[ 5n+1 ]{4} \cdot \sqrt[ 5n-1 ]{ 2^{-1} } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \]

Solución:


  1. Intentaremos que esta expresión se exprese en un mismo radicando, aplicaremos la propiedad \( \sqrt[n]{ a^{m} } = \sqrt[nk]{ a^{mk} } \) de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{U} = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[ (5n+1)( \color{red}{ 5n-1 } ) ]{ 4^{ \color{red}{5n-1} } } \cdot \sqrt[ (5n-1)( \color{green}{5n+1} ) ]{ 2^{ -1( \color{green}{5n+1} ) } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \]
  2. Por propiedad de diferencia de cuadrados estudiado en el curso de productos notables que nos dice \( (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} \), tenemos:
    \[ \mathrm{U} = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ 4^{ 5n-1 } } \cdot \sqrt[ (5n)^{2} – 1^{2} ]{ 2^{ -5n-1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \]
  3. Por la propiedad \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \) y ademas \( 4 = 2^{2} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{U} & = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ ( 2^{2} )^{ 5n-1 } \cdot 2^{ -5n-1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \\ & = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ 2^{ 10n-2 } \cdot 2^{ -5n-1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \\ & = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ 2^{ 10n-2 – 5n – 1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \\ & = ( \sqrt[ 2( \color{red}{5n-3} ) ]{ \sqrt[ \color{blue}{25n^{2} – 1} ]{ 2^{ \color{red}{5n-3} } } } )^{ 8( \color{blue}{25n^{2}-1} ) } \end{align} \]
  4. Simplificando, finalmente logramos:
    \[ \mathrm{U} = { \sqrt{2} }^{8} = 2^{4} = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{16} \\ \hline \end{array} \]

Ahora subiremos el nivel, los siguientes ejercicios tiene una dificultad intermedia, espero que te encante porque son un total de 25 ejercicios de nivel intermedio y se que lo disfrutarás, te veo en dicha sección.

Detalles Del Capitulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
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Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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Ciencias Básicas
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