Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Hola amigos, comenzamos con una nueva sección, pues, en esta nueva oportunidad y última entrada de este curso, desarrollaremos ejercicios resueltos de potenciación y radicación del curso de teoría de exponentes.

Se supone que ya estudiaron la teoría que abarca las propiedades de potenciación, radicación y ecuaciones exponenciales, si no lo han hecho, al lado izquierdo verán un grupo de secciones del curso si estas en escritorio o tablet o en la pestaña fija de la parte inferior donde dice “suscripcion” si estas en móvil.

Para desarrollar correctamente los ejercicios, debes tener en cuenta todo el conjunto de las principales leyes de la teoría de exponente y saberlos usar con inteligencia, ante todo, vamos a resumir las leyes de la potenciación y radicación anteriormente estudiadas.

En total tenemos 73 ejercicios resueltos para que te diviertas, espero ten gusten, aquí te dejo la siguiente tabla de contenido.

Resumen de las leyes de la potenciación y radicación


Para el desarrollo de los ejercicios que veremos en el siguiente apartado, vamos a resumir con abreviaturas tanto las definiciones y como las leyes de la teoría de exponentes como recordatorio para los ejercicios resueltos que mostraremos en breve.


Definiciones de la potenciación y radicación

  • D I: \( a^{0} = 1 \)
  • D II: \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \)
  • D III: \( \sqrt[n]{ x^{m} } = x^{ \frac{m}{n} } \) ó \( x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^{m} } \)

Leyes de potenciación

  • LP I: \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \) ó \( a^{ \color{red}{n+m} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } \)
  • LP II: \( (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \) ó \( a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } = (ab)^{ \color{red}{n} } \)
  • LP III: \( ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{nm} } \) ó \( a^{ \color{red}{nm} } = ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } \)
  • LP IV: \( \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \) ó \( a^{ \color{red}{n-m} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } \)
  • LP V: \( ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{n} } } \) ó \( \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{n} } } = ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } \)
  • Corolario: \( ( \frac{a}{b} )^{ -n } = ( \frac{b}{a} )^{n} \) ó \( ( \frac{a}{b} )^{n} = ( \frac{b}{a} )^{ -n } \)

Leyes de la radicación

  • LR I: \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ ab } = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} \) ó \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{a} \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ab} \)
  • LR II: \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } }{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} } \) ó \( \frac{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } }{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} } = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \frac{a}{b} } \)
  • LR III: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \sqrt[ \color{red}{p} ]{a} } } = \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{a} \) ó \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \sqrt[ \color{red}{p} ]{a} } } = \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{a} \)

Leyes auxiliares de la radicación

  • LAR I: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{ b \cdot \sqrt[ \color{red}{p} ]{c} } } = \sqrt[ \color{red}{m} ]{a} \cdot \sqrt[ \color{red}{mn} ]{b} \cdot \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{c} \)
  • LAR II: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a^{x} \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a^{y} \cdot \sqrt[ \color{red}{p} ]{ a^{z} \cdot \sqrt[ \color{red}{q} ]{ a^{r} } } } } = \sqrt[ \color{red}{mnpq} ]{ a^{ ( ( xn+y )p+z )q+r } } \)
  • LAR III: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a^{x} \div \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a^{y} \div \sqrt[ \color{red}{p} ]{ a^{z} \div \sqrt[ \color{red}{q} ]{ a^{r} } } } } = \sqrt[ \color{red}{mnpq} ]{ a^{ ( ( xn-y )p-z )q-r } } \)

73 Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Por fin comenzaremos con un mix de ejercicios resueltos de potenciación y radicación. Naturalmente todos los ejercicios se desarrollan desde las leyes anteriormente expuestas y muy pero muy rara vez usaremos la definición de potenciación pero si la definición de radicación. Los niveles presentados hasta ahora son:

Nivel elemental

Es el nivel mas elemental, sirve como explicativo de todos las teorías explicadas hasta el momento y no presenta ninguna tipo de dificultad, consta de un total de 30 ejercicios y es considerado tan solo para calentamiento.

Ejercicio 1

Simplificar

\[ \mathrm{A} =  \frac{ ( 2 \cdot 3 \cdot 5 )^{3} }{ 15^{2} \cdot 60 } \]

Solución:


  1. Para resolverlo, vamos a colocar en sus factores primos los números \( 15 \) y \( 60 \) así:
    \[ 15 = 3 \cdot 5 \ \text{y} \ 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \]
  2. Remplazando en \( \mathrm{A} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ ( 2 \cdot 3 \cdot 5 )^{3} }{ ( 3 \cdot 5 )^2 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 } \]
  3. Por la propiedad \( (ab)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \), se cumple:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 } \]
  4. Ordenando factores en el numerador de tal manera que se puedan aplicar las leyes de los exponentes, tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 5 \cdot 2^{2} } \]
  5. Por la regla \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2+1} \cdot 5^{2+1} \cdot 2^{2} } \\ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 2^{2} \cdot } \]
  6. Aplicando las propiedades sobre fracciones \( \frac{ab}{cd} = \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} }{ 2^{2} } \cdot \frac{ 3^{3} }{ 3^{3} } \cdot \frac{ 5^{3} }{ 5^{3} } \]
  7. Por la regla \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), resulta:
    \[ \mathrm{A} = 2^{3-2} \cdot 3^{3-3} \cdot 5^{ 3-3 } \\ \mathrm{A} = 2^{1} \cdot 3^{0} \cdot 5^{0} \]
  8. Como \( a^{1} = a \) y \( a^{0} = 1 \), finalmente logramos el siguiente resultado:
    \[ \mathrm{A} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 2

Si \( 2^{a} = 3^{b} \), calcular el valor de:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a+2} + 2^{a+3} }{ 3^{b+1} + 3^{b+2} } \]

Solución:

  1. Usando \( a^{n+m} = a^{n}\cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a} \cdot 2^{2} + 2^{a} \cdot 2^{3} }{ 3^{b} \cdot 3^{1} + 3^{b} \cdot 3^{2} } \]
  2. Factorizando \( 2^{a} \) en el numerador y \( 3^{b} \) en el denominador:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a} ( 2^{2} + 2^{3} ) }{ 3^{b} ( 3^{1} + 3^{2} ) } \]
  3. Reemplazando el valor de \[ 2^{a} = 3^{b} \] en el numerador:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{b} (4+8) }{ 3^{b} (3+9) } \]
  4. Simplificando el factor \( 3^{b} \) y desarrollando, finalmente tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ (4+8) }{3+9} = \frac{12}{12} = \boxed{ \Large{1} } \]

Ejercicio 3

Si \( 3^{a-1} = 5 \), cual es el valor de:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a+b} + 3^{a+c} }{ 3^{b+1} + 3^{c+1} } \]


Solución:

  1. Usando \( a^{ n+m } = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a} \cdot 3^{b} + 3^{a} \cdot 3^{c} }{ 3^{b} \cdot 3^{1} + 3^{c} \cdot 3^{1} } \]
  2. Factorizando \( 3^{a} \) y \( 3^{1} \) en el numerador y denominador respectivamente:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a}( 3^{b} + 3^{c} ) }{ 3^{1} (3^{b} + 3^{c} ) } \]
  3. Simplificando \( 3^{b} + 3^{c} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a} }{ 3^{1} } \]
  4. Usando \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \):
    \[ \mathrm{E} = 3^{a-1} \]
  5. Teniendo como dato \( 3^{a-1} = 5 \), resulta:
    \[ \mathrm{E}= \boxed{ \Large{5} } \]

Ejercicio 4

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 6 \cdot 2^{m-1} + 2^{m+3} }{ 2^{m+1} + 2^{m} } \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} =\frac{ 6 \cdot 2^{m} \cdot 2^{-1} + 2^{m} \cdot 2^{3} }{ 2^{m} \cdot 2^{1} + 2^{m} } \]
  2. Aplicando \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 6 \cdot 2^{m} ( \frac{1}{2} ) + 2^{m} \cdot 2^{3} }{ 2^{m} \cdot 2^{1} + 2^{m} } \]
  3. Factorizando \( 2^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{m} ( 6( \frac{1}{2} ) + 2^{3} ) }{ 2^{m} ( 2^{1} + 1 ) } \]
  4. Simplificando \( 2^{m} \) y resolviendo, resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ 6( \frac{1}{2} + 2^{3} ) }{ 2^{1} + 1 } \\ & = \frac{ \frac{6}{2} + 8 }{ 2+1 } \\ & = \boxed{ \Large{ \frac{11}{3} } } \end{align} \]

Ejercicio 5

Calcular la siguiente expresión:


\[ \mathrm{E} = [ ( \frac{1}{3} )^{ -2 } + ( \frac{1}{4} )^{-2} ]^{ \frac{1}{2} } \]

Solución:

  1. Por el corolario \( ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{3}{1} )^{2} + ( \frac{4}{1} )^{2} )^{ \frac{1}{2} } \\ & = [ 3^{2} + 4^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \end{align} \]
  2. Por definición de radicación \( x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^{m} } \) dónde \( x = 25 \) y \( \frac{m}{n} = \frac{1}{2} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = [ 3^{2} + 4^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \\ & = 25^{ \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{25} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 6

Resolver:

\[ \mathrm{E} = ( ab^{-1} + ba^{-1} )( a^{-2} + b^{-2} )^{-1} \]

Solución:


  1. Aplicando \( a^{-n} = \frac{ 1 }{ a^{n} } \):
    \[ \mathrm{E} = ( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} )( \frac{1}{ a^{2} } + \frac{1}{ b^{2} } )^{-1} \]
  2. Recordando que \( \frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + np}{nq} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{ a \cdot a + b \cdot b }{ba} )( \frac{ b^{2} + a^{2} }{ a^{2} b^{2} } )^{-1} \\ & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ba} )( \frac{ b^{2} + a^{2} }{ a^{2} b^{2} } )^{-1} \end{align} \]
  3. Por el corolario \( ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} \) y finalmente simplificando los factores \( a^{2} + b^{2} \) y \( ab \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ba} )( \frac{ a^{2} b^{2} }{ b^{2}  + a^{2} } ) \\ & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ab} )( \frac{ (ab)^{2} }{ a^{2} + b^{2} } ) \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{ab} } \end{align} \]

Ejercicio 7

Efectuar:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n+5} – 2^{n+4} }{ 2^{n+3} } \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n} \cdot 2^{5} – 2^{n} \cdot 2^{4} }{ 2^{n} \cdot 2^{3} } \]
  2. Factorizando \( 2^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n} ( 2^{5} – 2^{4} ) }{ 2^{n} \cdot 2^{3} } \]
  3. Simplificando \( 2^{n} \) y resolviendo, obtenemos finalmente:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{5} – 2^{4} }{ 2^{3} } = \frac{ 32 – 16 }{8} = \frac{16}{8} = \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 8

Calcular:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \cdots \infty } } } } \]


Solución:

  1. Por su infinitud de la expresión, vamos a colorear de color azul el un parte de la expresión \( \mathrm{E} \), esto es, un radical:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \color{blue}{ \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \cdots \infty} } } } } \]
  2. Como el radical de color azul también es infinito, lo llamaremos también \( \mathrm{E} \), resultando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \mathrm{E} } \]
  3. Elevando al cuadrado cada miembro de la igualdad para eliminar la raíz, resulta:
    \[ \mathrm{E}^{2} = \sqrt{ 6 + \mathrm{E} }^{2} \]
  4. Recordar que \( \sqrt[x]{ a }^{x} = a \) y despejando términos tal que:
    \[ \mathrm{E}^{2} = 6+ \mathrm{E} \\ \mathrm{E}^{2} – 6 – \mathrm{E} = 0 \]
  5. Usaremos un método de factorización llamado aspa simple para la ecuación anterior, resulta:
    \[ ( \mathrm{E} – 3 )( \mathrm{E} + 2 ) = 0 \]
  6. Igualando a cada factor a cero:
    \[ \mathrm{E} – 3 = 0 \vee \mathrm{E} + 2 = 0 \\ \mathrm{E} = 3 \vee \mathrm{E} = -2 \]
  7. Como la raíz cuadrada de \( \mathrm{E} \) debe ser positiva, tomaremos el siguiente valor como solución de nuestro ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 9

Efectuar:

\[ \mathrm{E} = a^{2} b^{3} c^{4} a^{5} b^{6} c^{7} a^{8} b^{9} c^{10} \]

Solución:

  1. En esta multiplicación ordenaremos todos los términos juntando todos aquellos que tiene bases iguales:
    \[ \mathrm{E} = a^{2} a^{5} a^{8} b^{3} b^{6} b^{9} c^{4} c^{7} c^{10} \]
  2. Aplicando \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{ a^{n+m} } \):
    \[ \mathrm{E} = a^{2+5+8} b^{3+6+9} c^{4+7+10} \]
  3. Resultando finalmente:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{ a^{15} b^{18} c^{21} } } \]

Ejercicio 10

Resolver:


\[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \sqrt[3]{27} } } } } } \]

Solución:

  1. Note que \( \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), reemplazando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } } } } \]
  2. Pero aquí se repite la misma secuencia donde \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } } } \]
  3. De nuevo \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \color{red}{3} } } } \]
  4. Como la secuencia se repite continuamente, escribiremos el valor de \( \cdots \color{red}{3} \) por el valor de \( \color{red}{3} \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \color{red}{3} } } } \]
  5. Como este factor \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \color{red}{3} \) se repite continuamente, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } \\ & = \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } \\ & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 11

Resolver este clásico:

\[ \mathrm{E} = 16^{ 4^{ -2^{-1} } } \]

Solución:


  1. El valor \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \) lo reemplazamos en nuestra ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = 16^{ 4^{ – \color{red}{ 2^{-1} } } } = 16^{ 4^{ – \color{red}{ \frac{1}{2} } } } \]
  2. En el caso anterior usamos \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \), de la misma manera para \( 4^{ – \frac{1}{2} = \frac{1}{ 4^{ \frac{1}{2} } } } = \frac{1}{ \sqrt{4} } = \frac{1}{2} \), finalmente resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = 16^{ 4^{ – \frac{1}{2} } } \\ & = 16^{ \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{16} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{4} } \end{align} \]

Ejercicio 12

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n+3} – 5^{n+2} }{ 5^{n} } } \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n} \cdot 5^{3} – 5^{n} \cdot 5^{2} }{ 5^{n} } } \]
  2. Factorizando \( 5^{n} \) en el numerador:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n} ( 5^{3} – 5^{2} ) }{ 5^{n} } } \]
  3. Simplificando \( 5^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 5^{3} – 5^{2} } \]
  4. Resolviendo, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt{125-25} \\ & = \sqrt{100} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{10} } \end{align} \]

Ejercicio 13

Calcular:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \vdots } } } } } } \]


Solución:

  1. Este ejercicio es similar como el ejercicio 12, solo que en este caso se esta usando la división, aplicaremos el mismo método como en ese ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \color{red}{ \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \vdots } } } } } } } \]
  2. Resultando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \color{red}{ \mathrm{E} } } } \]
  3. Elevando al cuadrado y eliminando la raíz con la forma \( \sqrt[x]{a}^{x} = a \), tenemos:
    \[ \mathrm{E}^{2} = \sqrt{ \frac{125}{ \mathrm{E} } }^{2} = \frac{125}{ \mathrm{E} } \]
  4. Despejando \( 125 \) del lado derecho de la igualdad:
    \[ \mathrm{E}^{3} = 125 \]
  5. Extrayendo la raíz cúbica \( \sqrt[3]{ \mathrm{ E^{3} } } = \sqrt[3]{125} \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{125} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 14

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \sqrt{16} } + \sqrt[3]{ \sqrt[3]{ 27^{3} } } + \sqrt[3]{ \sqrt{64} } \]

Solución:

  1. Para este caso aplicaremos \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{ \sqrt[p]{ a } } } = \sqrt[mnp]{a} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[ 2 \cdot 2 ]{16} + \sqrt[ 3 \cdot 3 ]{ ( 3^{3} )^{3} } + \sqrt[ 3 \cdot 2 ]{64} \]
  2. Sabiendo que \( 16 = 2^{4} \) y \( 64 = 2^{6} \) y resolviendo los indices y los exponentes, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[4]{ 2^{4} } + \sqrt[9]{ 3^{9} } + \sqrt[6]{ 2^{6} } \\ & = 2+3+2 \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{7} } \end{align} \]

Ejercicio 15

Si \( ab = b^b = 2 \), Simplificar este clásico.


\[ \mathrm{E} = ab^{ab^{ab}} \]

Solución:

  1. Este tipo de ejercicios de exponente de exponente se resuelve de arriba abajo como ya indicamos en entrada anterior, sabemos \( ab = 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = ab^{ab^{ab}} = ab^{ab^{2}} \]
  2. Haremos la siguiente estrategia para el exponente \( ab^{2} = abb = 2b \), recordar que \( ab = 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = ab^{ab^{2}} = ab^{2b} \]
  3. Aplicando \( a^{mn} = ( a^{n} )^{m} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = ab^{2b} = ab^{ b \cdot 2 } = a( b^{b} )^{2} \]
  4. Como \( b^{b} = 2 \), remplazando, finalmente logramos:
    \[ \mathrm{E} = a( b^{b} )^{2} = a(2)^{2} = \boxed{ \Large{4a} } \]

Este es el limite del resultado de \( \mathrm{E} \), sin embargo, es posible resolver el valor de \( a \), primero debemos resolver el valor de \( b \) en la ecuación \( b^b=2 \) que dicho sea de paso, el valor de \( b \) es irracional y su solución por métodos avanzados es muy compleja, una forma matemática para solucionar este ejercicio es:

\[ b = e^{ \mathrm{W}( \ln{2} ) } \]

Donde \( \ln{} \) es el logaritmo natural y \( \mathrm{W} \) es la función de Lambert, de aquí \( b \) aproximadamente resulta ser:


\[ b = 1.55961… \]

Este es un valor irracional, ahora de \( ab = 2 \), despejando \( a \), su valor resulta ser:

\[ a = 1.28237…. \]

Aquí, tanto los valores de \( a \) y \( b \), son irracionales.

Ejercicio 16

Si \( x^{x} = 3 \), resolver:


\[ \mathrm{E} = x^{ x^{x+1} } \]

Solución:

  1. Como en el caso del ejercicio anterior, este tipo de problemas se resuelven de arriba a abajo, aplicaremos \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{x+1} } = x^{ x^{x} \cdot x^{1} } \]
  2. Intercambiando los factores del producto \( x^{x} \cdot x^{1} = x^{1} \cdot x^{x} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{x} \cdot x^{1} } = x^{ x^{1} \cdot x^{x} } \]
  3. Por la propiedad \( a^{nm} = ( a^{n} )^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{1} \cdot x^{x} } = ( x^{x^{1}} )^{ x^{x} } = ( x^{x} )^{x^{x}} \]
  4. Como \( x^{x} = 3 \), finalmente hallamos:
    \[ \mathrm{E} = ( x^{x} )^{ x^{x} } = 3^{3} = \boxed{ \Large{27} } \]

Ejercicio 17

Reducir la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a+3} + 2^{a} }{ 3^{a+2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]

Solución:


  1. Aplicando la propiedad \( x^{m+n} = x^{m} \cdot x^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a} \cdot 2^{3} + 2^{a} }{ 3^{a} \cdot 3^{2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  2. Factorizando \( 2^{a} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a} ( 2^{3} + 1 ) }{ 3^{a} \cdot 3^{2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  3. Donde \( 2^{3} + 1 = 3^{2} = 9 \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a}(9) }{ 3^{a} \cdot 9 } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  4. Simplificando y reduciendo:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = [ \frac{ 2^{a} }{ 3^{a} } ]^{ \frac{1}{a} } \\ & = [ ( \frac{2}{3} )^{a} ]^{ \frac{1}{a} } \\ & = ( \frac{2}{3} )^{ a \cdot \frac{1}{a} } \end{align} \]
  5. Finalmente obtenemos:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{ \frac{2}{3} } } \]

Ejercicio 18

Este ejercicio pertenece a la sección de ecuaciones exponenciales, pero igual te la pongo aquí:

Si \( \sqrt[6]{8} = \sqrt[n]{2n} \) donde  \( n \in \mathbb{N} \), hallar \( n \):

Solución:

  1. Haciendo \( 8=2^{3} \), entonces:
    \[ \sqrt[6]{ 2^{3} } = \sqrt[n]{2n} \]
  2. Donde \( \sqrt[6]{ 2^{3} } = \sqrt[ \color{red}{3} \cdot 2 ]{ 2^{ \color{red}{3} } } = \sqrt{2} \), entonces:
    \[ \sqrt[2]{2} = \sqrt[n]{2n} \]
  3. Haciendo \( \sqrt[2]{2} = \sqrt[ 2 \cdot 4 ]{ 2^{4} } = \sqrt[8]{16} \):
    \[ \sqrt[8]{16} = \sqrt[n]{2n} \]
  4. Dando forma:
    \[ \sqrt[8]{ 2 \cdot 8 } = \sqrt[n]{2n} \]
  5. Por simetría (ver ecuaciones exponenciales) finalmente resulta:
    \[ n = \boxed{ \Large{8} } \]

Ejercicio 19

Si \( a^{a} = 2 \), calcular:
\[ \mathrm{E} = a^{2a} + a^{ a^{a+1} } \]

Solución:


  1. Hacemos \( 2a = 2 \cdot a \) y \( a^{a+1} = a^{a} \cdot a \):
    \[ \mathrm{E} = a^{ 2 \cdot a } + a^{ a^{a} \cdot a^{1} } \]
  2. Aplicando la propiedad \( x^{nm} = ( x^{n} )^{m} \), donde \( a^{a} \cdot a = a \cdot a^{a} \):
    \[ \mathrm{E} = ( a^{a} )^{2} + ( a^{a} )^{  a^{a} } \]
  3. Aplicando el dato del problema \( a^{a} = 2 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( 2 )^{2} + (2)^{2} \\ & = 4 + 4 \\ \mathrm{E} & = 8 \end{align} \]

Ejercicio 20

Calcular \( \mathrm{M}^{3} \) si se cumple la siguiente condición:

\[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{3 \cdots \infty } } } } \]

Solución:

  1. Coloreando el fragmento repetido:
    \[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{3 \cdots \infty } } } } } \]
  2. Como es una serie repetitiva, el color rojo también es \( \mathrm{M} \), lo escribimos así:
    \[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } } \]
  3. Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz:
    \[ ( \mathrm{M} )^{2} = ( \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } } )^{2} \\ \mathrm{M}^{2} = 2 \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } \]
  4. Elevamos al cuadrado otra vez para eliminar la raíz:
    \[ ( \mathrm{M}^{2} )^{2} = ( 2 \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} }  } )^{2} \]
  5. Resolviendo:
    \[ \mathrm{M}^{4} = ( 2 \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} } } )^{2} = 2^{2} ( \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} } } )^{2} = 4 \cdot 3 \mathrm{M} \]
  6. Simplificamos \( \mathrm{M} \) finalmente logramos resolver \( \mathrm{M}^{3} \):
    \[ \mathrm{M}^{3} = \boxed{ \Large{12} } \]

Ejercicio 21

Si \( m = 81n \), calcular:

\[ \mathrm{P} = \frac{ \sqrt{ n \sqrt{m} } \cdot \sqrt{m} }{ \sqrt{ m \sqrt{n} } \cdots \sqrt{n} } \]

Solución:

  1. Propiedad \( \sqrt[a]{ x \cdot \sqrt[b]{ y } } = \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{ \sqrt[b]{y} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{P} = \frac{ \color{red}{ \sqrt{n} } \cdot \sqrt{ \sqrt{m} } \cdot \color{green}{ \sqrt{m} } }{ \color{green}{ \sqrt{m} } \cdot \sqrt{ \sqrt{n} } \color{red}{ \sqrt{n} } } \]
  2. Simplificando \( \color{red}{ \sqrt{n} } \), \( \color{blue}{ \sqrt{m} } \) y operando:
    \[ \mathrm{P} = \frac{ \sqrt{ \sqrt{m} } }{ \sqrt{ \sqrt{n} } } = \frac{ \sqrt[4]{m} }{ \sqrt[4]{n} } = \sqrt[4]{ \frac{m}{n} } \]
  3. Aplicando dato del problema \( m = 81n \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = \sqrt[4]{ \frac{ 81n }{n} } \\ & = \sqrt[4]{81} \\ & = \sqrt[4]{ 3^{4} } \\ \mathrm{P} & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 22

Si \( x^{n} y^{m} = 10^{n} \), \( x^{m} y^{n} = 10^{m} \), calcular el valor de \( \mathrm{E} = xy \).

Solución:

Para obtener el producto \( xy \), debemos lograr que los exponentes del producto de los datos en términos de \( x \) e \( y \) tengan el mismo exponente, realizando la siguiente estrategia:

  1. Multiplicando miembro a miembro los datos del problema:
    \[ ( x^{n} y^{m} )( x^{m} y^{n} ) = 10^{n} \cdot 10^{m} \]
  2. Ordenando para aplicar \( a^{p} \cdot a^{q} = a^{p+q} \), resulta:
    \[ x^{m} x^{n} y^{m} y^{n} = 10^{m} \cdot 10^{n} \\ x^{m+n} y^{m+n} = 10^{m+n} \\ (xy)^{m+n} = 10^{m+n} \]
  3. Extrayendo la raíz \( \color{red}{m+n} \) a ambos miembros:
    \[ \sqrt[ \color{red}{m+n} ]{ (xy)^{ \color{red}{m+n} } } = \sqrt[ \color{red}{m+n} ]{ 10^{ \color{red}{m+n} } } \]
  4. Obtenemos finalmente:
    \[  xy = \boxed{ \Large{10} } \]

Ejercicio 23

Si \( a^{a}  = a+1\), reducir la siguiente expresión:
\[ \sqrt[ a^{ a^{a} } ]{ (a+1)^{a+1} } \]

Solución:

Sea la igualdad \( x^{ y^{z} } = x^{ y^{z} } \), el exponente de \( x \) es todo lo que está arriba de \( x \), en este caso, el exponente \( y^{z} \), comenzaremos por ahí.

  1. En base a esto, modificamos índice \( \color{red}{a^{ a^{a} } } \) donde \( a^{a} = a+1 \), tenemos:
    \[ \begin{align} a^{ a^{a} } & = a^{ (a^{a} ) } \\ & = a^{a+1} \\ & = a^{a} \cdot a^{1} \\  a^{ a^{a} } & = a^{a} \cdot a \end{align} \]
  2. Reemplazando en nuestra expresión \( \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ (a+1)^{a+1} } \), donde \( a+1 = a^{a} \), resulta:
    \[ \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ ( a^{a} )^{ a^{a} } } = \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } \]
  3. Como \( a^{a} \cdot a = a \cdot a^{a} \), resulta:
    \[ \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } = \sqrt[ a \cdot a^{a} ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } = \boxed{ \Large{a} } \]

Ejercicio 24

Si \( x^{n} y^{m} = 7^{n} \) y \( x^{m} y^{n} = 7{n} \), calcular \( \mathrm{E} = \frac{y}{x} \).

Solución:

  1. Las condiciones del ejercicio lo dividiremos miembro a miembro:
    \[ \frac{ x^{n} y^{m} }{ x^{m} y^{n} } = \frac{ 7^{n} }{ 7^{m} } \]
  2. Sabemos que \( \frac{a}{b} = ( \frac{b}{a} )^{-1} = ( a^{-1} b )^{-1} = \frac{1}{ a^{-1} b } \), entonces:
    \[ \frac{ y^{m} y^{-n} }{ x^{m} \cdot x^{-n} } = \frac{ 7^{n} }{ 7^{m} } = \frac{1}{ 7^{m} \cdot 7^{-n} } = \frac{1}{ 7^{m-n} } \]
  3. Como \( y^{m} y^{-n} = y^{m-n} \), \( x^{m} x^{-n} = x^{m-n} \) y \( \frac{1}{ 7^{m-n} } = ( \frac{1}{7} )^{m-n} \), entonces:
    \[ ( \frac{y}{x} )^{m-n} = ( \frac{1}{7} )^{m-n} \]
  4. Extrayendo raíz \( m-n \):
    \[ \sqrt[m-n]{ ( \frac{y}{x} )^{m-n} } = \sqrt[m-n]{ ( \frac{1}{7} )^{m-n} } \]
  5. Simplificando, obtenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{y}{x} = \boxed{ \Large{ \frac{1}{7} } } \]

Ejercicio 25

Reducir:

\[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot 16^{x+4} }{ 8^{x+3} \cdot 4^{x+2} } \]

Solución:

  1. Tener en cuenta que \( 8 = 2^{3} \) y \( 4 = 2^{2} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot ( 2^{4} )^{x+4} }{ ( 2^{3} )^{x+3} \cdot ( 2^{2} )^{x+2} } \]
  2. Propiedad \( ( a^{b} )^{c} = a^{bc} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot 2^{ 4x + 16 } }{ 2^{ 3x+9 } \cdot 2^{ 2x+4 } } \]
  3. Por la propiedad \( a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5+4x+16} }{ 2^{ 3x+9+2x+4 } } = \frac{ 2^{ 5x +21 } }{ 2^{ 5x + 13 } } \]
  4. Ahora por la propiedad \( \frac{ a^{b} }{ a^{c} } = a^{b-c} \), finalmente logramos:
    \[ \mathrm{M} = 2^{ 5x + 21 – ( 5x +13 ) } = 2^{8} = 256 \]

Ejercicio 26

Calcular la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a+1} }{ 2^{ 2a+4 } + 2^{ 2a+2 } } } \]

Solución:

  1. Propiedad \( x^{n+m} = x^{n} \cdot x^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20^{1} }{ 2^{ 2a } \cdot 2^{4} + 2^{2a} \cdot 2^{2} } } \]
  2. Factorizamos \( 2^{2a} \) en el denominador del radicando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20 }{ 2^{2a} ( 2^{4} + 2^{2} ) } } = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20 }{ 2^{2a} (20) } } \]
  3. Simplificando el entero \( 20 \) y operando, finalmente logramos el siguiente resultado:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ 2^{2a} } } \\ & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ ( 2^{2} )^{a} } } \\ & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ 4^{a} } } \\ & = \sqrt[a]{ ( \frac{20}{4} )^{a} } \\ & = \frac{ 20 }{4} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 27

Calcular:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 25 + \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } } } \]

Solución:

  1. Llamaremos \( \mathrm{A} \) a un fragmento de la expresión infinita y coloreando una parte de este mismo fragmento de color rojo, tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } } \]
  2. Como el color rojo de \( \mathrm{A} \) es repetitivo (en matemática puras se le llama sucesión recurrente), también la llamaremos \( \mathrm{A} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \underbrace{ \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  3. Logrando haciendo más sencillo la ecuación:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \mathrm{A} } \]
  4. Realizando algunas operaciones:
    \[ ( \mathrm{A} )^{2} = ( \sqrt{ 6 – \mathrm{A} } )^{2} \\ \mathrm{A} = 6 – \mathrm{A} \\ \mathrm{A}^{2} + \mathrm{A} = 6 \]
  5. Factorizando \( \mathrm{A} \) y comparando por colores:
    \[ \mathrm{A} ( \mathrm{A} + 1 ) = 2 \cdot 3 \]
  6. Logramos deducir que:
    \[ \mathrm{A} = 2 \]
  7. Remplazando en \( \mathrm{E} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{ 25 + 2 } \\ & = \sqrt[3]{27} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 28

Sea la expresión:

\[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 \cdots \infty } } } \]

Calcular \( \mathrm{A}^{2} – \mathrm{A} \).

Solución:

  1. La misma estrategia, de la expresión en \( \mathrm{A} \), llamaremos también \( \mathrm{A} \) a la expresión repetida por ser una expresión infinita:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \underbrace{ \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 \cdots \infty } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  2. Tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \mathrm{A} } \]
  3. Elevando al cuadrado:
    \[ ( \mathrm{A} )^{2} = ( \sqrt{ 3+ \mathrm{A} } )^{2} \]
  4. Resulta:
    \[ \mathrm{A}^{2} = 3 + \mathrm{A} \]
  5. Despejando el entero \( 3 \), finalmente hallamos:
    \[ \mathrm{A}^{2} – \mathrm{A} = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 29

Calcular:

\[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \vdots } } } } } } \]

Solución:

  1. Como en los casos anteriores, llamaremos \( \mathrm{A} \) la expresión repetida:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \underbrace{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \vdots } } } } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  2. Resulta:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \frac{16}{ \mathrm{A} } } \]
  3. Elevamos al cubo cada miembro del resultado:
    \[ ( \mathrm{A} )^{3} = ( \sqrt[3]{ \frac{16}{ \mathrm{A} } } )^{3} = \frac{16}{ \mathrm{A} } \]
  4. Despejando \( \mathrm{A} \), obtenemos:
    \[ ( \mathrm{A} )^{3} = \frac{16}{ \mathrm{A} } \\ \mathrm{A}^{4} = 16 \]
  5. Extraemos la raíz cuarta a cada miembro de la ecuación, finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \sqrt[4]{ \mathrm{A}^{4} } & = \sqrt[4]{16} \\ & = \sqrt[4]{ 2^{4} } \\ \mathrm{A} & = \boxed{ \Large{2} } \end{align} \]

Ejercicio 30

Simplificar:

\[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{3n+1} + 3^{n+2} }{ 3 + 9^{n} } \]

Solución:

  1. Como \( 3n+1 = 3n + n + 1 \) y \( n+2 = +1+1 \),entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{2n + n + 1} + 3^{n + 1 +1} }{ 3 + 9^{n} } \]
  2. Como \( a^{x+y} = a^{x} \cdot a^{y} \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{2n} \cdot 3^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 3^{1} }{ 3 + 9^{n} } \]
  3. Extraemos el factor común \( 3^{n+1} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{n+1} ( 3^{2n} + 3^{1} ) }{ 3 + 9^{n} } \]
  4. Como \( 3 + (9)^{n} = 3 + ( 3^{2} )^{n} = 3^{2n} + 3 \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{n+1} ( 3^{2n} + 3 ) }{ 3 + ( 3^{2} )^{n} } \]
  5. Simplificando, finalmente obtenemos:
    \[ \mathrm{A} = \boxed{ \Large{ 3^{n+1} } } \]

De esta manera finalizamos con el nivel elemental, un nivel que solo sirve de calentamiento. Si quieres subir ligeramente el nivel, te presento el 👉 nivel básico compuesto de 18 ejercicios mas, si bien no tendrás dificultad, te será interesante, y divertido.

Pero si quieres darle divertirte con una dificultad mayor, aquí te dejo el 👉 nivel intermedio que son un total de 25 ejercicios que te va a encantar. Pronto subiremos en menos de un mes el nivel avanzado, suerte.

Detalles Del Capitulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Nombre Del Articulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Descripción
Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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Nombre De La Organización
Ciencias Básicas
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