Hola amigos, este es la última sección del capítulo de teoría de exponentes del curso matriz de matematicas, en esta ocasiones desarrollaremos el tema de ecuaciones exponenciales.

Esta es una sección muy corta, sobre todo la teoría, lo que abundará más son los ejercicios resueltos del la sección, desarrollados exclusivamente para cursos de bachillerato o estudiantes preuniversitarios.

Una ecuación exponencial consiste cuando encontramos variables en los exponentes de las bases. Este concepto no limita para el caso donde también lo podemos encontrar también en las bases, pero por lo general decimos que las variables o incógnitas se encuentra en los exponentes.

Recordando:
(teoría de exponente)

a^n

Donde 

  • letra a con cursiva de color verde : es la base
  • letra n con cursiva de color naranja: es el exponente

Variable en el exponente:

5^(2^(3^x ) )

De aquí:

  • número 5: la base
  • 2^(3^x ):exponente

No olvidar que el exponente 2^(3^x ), es todo lo que se encuentra por encima de la base número 5.

Un típico ejemplo de una ecuación exponencial es:

3^(2^(x-5) )=3^4

Como podemos ver en esta ecuación, del lado izquierdo de la igualdad, la variable o incógnita x se encuentra en el exponente el cual se tiene que despejar, en este caso es 2^(x-5) donde la base es número 3, el punto aquí es intentar resolver la variable.

Las ecuaciones exponenciales puede ser muy variados, donde los exponentes pueden ser logarítmicas, algebraicas, polares, etc. Peró en esa oportunidad solo nos centraremos aquellas ecuaciones exponenciales mas sencillas usando las tipicas 4 operaciones junto con la potenciacion y radicacion reduciendo todo a números y variables elementales.

En otra ocacion resolveremos mas ecuaciones exponenciales pero junto con los logaritmos para enriquecer y finalizar el capitulo de teoria de exponentes y claro, habra una entrada especial del concepto teorico de logaritmos antes de desarrollar multiples ejercicios resueltos de las mismas y la manera adecuada de despejar un logaritmo ya que muchas veces suele cometerce al resolver ejercicios de logatirmos.

¿Como resolver ecuaciones exponenciales?

Para lograrlo, las potencias en las ecuaciones deben tener la forma exponencial de bases iguales (también de bases diferentes pero eso es un curso un poco más avanzado que lo veremos en un capítulo de funciones exponenciales), y que los exponentes también sea semejantes, en casos que encontremos raíces o radicales, lo sugerente es colocarle en forma exponencial.

Por ejemplo, la ecuación exponencial 3^(2^(x-5) )=3^4, pudo haberse planteado así 3^(2^(x-5) )=81, nuestro objetivo es lograr que los dos miembros de la igualdad tengan visualmente la misma base, en este caso, debemos reemplazar81por su equivalente 3^4, luego, eliminar las bases de los miembros que son iguales y nos quedaría 2^(x-5) = número 4.

Luego, el proceso se repite, tomamos 2^(x-5) = número 4 y lo transformamos en 2^(x-5) = 2 al cuadrado y eliminamos las bases iguales quedando x guión número 5 = número 2, de aquí logramos calcular el valor de x con suma sencillez.

Los ejercicios que presentaremos en breve vendrán inevitablemente con las leyes de exponentes de radicacion y potenciacion que nos facilitará resolver las ecuaciones lo mas breve posible. Otro método que no resaltaremos aquí para resolver ecuaciones exponenciales es usando la definición de logaritmo y sus principales leyes logarítmicas, pero esto lo trataremos en otra oportunidad como capítulo exclusivo del curso de álgebra elemental.

En esta sección nos dedicaremos unica y exclusivamente para bases iguales ya que aparte ser ecuaciones mas fáciles de resolver, nos ayuda entender cómo se comportan este tipo de ecuaciones junto con sus leyes y así afrontarlo en ejercicios o problemas de esta índole.

Las ecuacione exponenciales tiene algunas propiedades elementales que usaremos a lo largo de esta sección, veamos cuales son y luego comenzaremos  desarrollar ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales.

Propiedades de las ecuaciones exponenciales

Nota: La sección de ecuaciones exponenciales trabajará solo y exclusivamente sobre bases iguales por cuestiones practicas, dicho esto, exponemos las siguientes propiedades de ecuaciones exponenciales.

Para resolver ecuaciones exponenciales paso a paso debemos tener en cuenta algunas propiedades básica cuando igualamos variables con formas exponenciales, luego tendrá que repasar nuestros ejercicios mas abajo donde detallamos cada paso de la resolución de cada ejercicios.

Las ecuaciones exponenciales requiere mas practica que resolver ejercicios de teoria de exponentes ya que resulta tener mayor dificultad que reducir a lo mas minimo ejercicios de potenciacion y radicacion, dicho todo esto, exponemos las siguientes propiedades de ecuaciones exponenciales.

Propiedad 1: igualdad de bases iguales

  • Si a elevado a la n = a elevado a la m, entonces letra n en cursiva = letra m en cursiva.

Propiedad 2: igualdad de bases diferentes

  • Si a elevado a la n = b^m, entonces letra n en cursiva = letra m en cursiva = número cero.
    Porque no existe otra posibilidad que a^0 =  = número 1.
    (no olvidas que solo estamos trabajando con bases iguales)

Propiedad 3: igualdad de exponente diferente

  • Si a elevado a la n = b^n, entonces letra a = letra b.

    Dos pequeñas aclaraciones con esta propiedad:

  1. Si letra n en cursiva  es impar, por ejemplo letra n en cursiva = número 3, tendríamos:
    a al cubo = b al cubo, naturalmente letra a = letra b, por ejemplo: letra a = letra b = número 5, aquí no tenemos ningún problema, pero:
  2. Si letra n en cursiva es par, por ejemplo letra n en cursiva = número 2, puede ocurrir lo siguiente:
    a al cuadrado = b^2, no necesariamente letra a = letra b, porque puede presentarse este caso 5^2 = 〖(-5)〗^2 = número 2número 5.
    Es por ello cuando saquemos su raíz cuadrada, tomaremos el valor positivo de la misma, así:
    √(〖(-5)〗^2 ) = número 5, naturalmente para √(5^2 ) = número 5, la raíz cuadrada de un número siempre será un valor positivo ya establecido en las áreas de matemática, entonces,  para toda raíz del tipo √(n&a^n ), donde letra n en cursiva es par, decimos que √(n&a^n ) es positivo y se escribe:
    √(n&a^n ) = |a|, esto significa que |5|, valor absoluto de 5 = número 5 y |5| valor absoluto de 5 = número 5 y por tanto √(〖(-5)〗^2 ) = |5|, valor absoluto de 5 = número 5.
    Para el caso de a elevado a la n = b^n, si letra n en cursiva es par, entonces considérese que |a| valor absoluto de a = |b| valor absoluto de b.

Propiedad 4: igualdad con la misma SIMETRÍA

  • x^x = a^a, entonces x = letra a
  • a^(a^a ) = a^(a^a ), entonces x = letra a
  • x^(x^(x^n ) ) = a^(a^(a^n ) ), entonces x = letra a

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

Como se habrán dado cuenta, esta sección es sumamente corta, ahora presentaremos algunos ejercicios para que sepas cómo resolver ecuaciones exponenciales.

  • Ejercicio 1: Resolver la siguiente ecuación exponencial:

3^(2^(x-5) )=81

Solución:

Escribiendo todo en base número 3 donde 3 a la cuarta = número 8número 1:

3^(2^(x-5) )=3^4

Como a elevado a la n = a elevado a la m, entonces letra n en cursiva = letra m en cursiva:

2^(x-5)=4

Donde número 4 = 2 al cuadrado

2^(x-5)=2^2

Pero a elevado a la n = a elevado a la m símbolo de la implicación lógica letra n en cursiva = letra m en cursiva:

x guión número 5 = número 2

Finalmente:

x = número 2 + símbolo suma número 5 = siete

  • Ejercicio 2: Resolver:

x^(x^(x^n ) )=n

Solución:

La única manera de resolver este ejercicio es buscando una simetría que tenga la forma como la propiedad 4, realizaremos la siguiente estrategia n=〖√(n&n)〗^n:

x^(x^(x^n ) )=〖√(n&n)〗^n

Igualmente n=〖√(n&n)〗^n, tenemos:

x^(x^(x^n ) )=〖√(n&n)〗^(〖√(n&n)〗^n )

De nuevo n=〖√(n&n)〗^n:

x^(x^(x^n ) )=〖√(n&n)〗^(〖√(n&n)〗^(〖√(n&n)〗^n ) )

Ahora podemos usar la propiedad 4 de la igualdad por la misma simetría que nos dice x^(x^(x^n ) ) = a^(a^(a^n ) ), entonces x = letra a, logramos:

x=√(n&n)

  • Ejercicio 3: Resolver:

x^(x^x )=16

Solución:

Este es un ejercicio sencillo y rápido, para resolverlo, hacemos 16=2^4=2^(2^2 ), tenemos:

x^(x^x )=2^(2^2 )

Por la propiedad de simetría x^(x^(x^n ) ) = a^(a^(a^n ) ) donde x = letra a, logramos:

x = número 2

  • Ejercicio 4: Resolver este clásico:

x^(x^3 )=3

Solución:

Podemos resolverlo de la misma manera como el ejercicio 2 pero usaremos otro método, elevando al cubo a los dos miembros de la igualdad:

(x^(x^3 ) )^3=3^3

Recordar que (a elevado a la n) elevado a la m = (a^m )^n, escribimos nuestra igualdad así:

(x^3 )^(x^3 )=3^3

Por la propiedad de la simetría  x^x = a^a, entonces x = letra a, obtenemos:

x^3=3

Finalmente:

x=∛3

  • Ejercicio 5: Cuál es el valor de x en la siguiente expresión:

x^(x^(1/4) )=1/2

Solución:

Elevaremos a la 1/4 a cada miembro de la igualdad:

(x^(x^(1/4) ) )^(1/4)=(1/2)^(1/4)

Recordando (a elevado a la n) elevado a la m = (a^m )^n, tenemos:

(x^(1/4) )^(1/4)=(1/2)^(1/4)

Realizaremos la siguiente estrategia para (1/2)^(1/4) de la siguiente manera:

(1/2)^(1/4)=(1/2)^(4/4 (1/4) )=(1/2)^(4 ∙ 1/4)(1/4) =(1/2)^(4(1/4  ∙ 1/4))=⏟([(1/2)^4 ] )┬(1/16)^((1/16))=(1/16)^(1/16)

Nuestra ecuacion quedaria:

(x^(1/4) )^(x^(1/4) )=(1/16)^(1/16)

Por la propiedad de la igualdad de la simetría, obtenemos:

x^(1/4)=1/16

Elevando a la cuarta:

(x^(1/4) )^4=(1/16)^4

Recordando potencia de potencia:

x^(4 ∙ 1/4)=(1/16)^4

Finalmente obtenemos: 

x=1/65536

  • Ejercicio 6: Hallar el valor de x en:

(x-3)^(x-3)=4

Solución:

Esta igualdad se puede escribir así:

(x-3)^((x-3))=2^2

Por simetría x^x = a^a, obtenemos:

x – número 3 = número 2

Por tanto:

x = número 5

  • Ejercicio 7: Calcular el valor de x en:

x^(x+1) = número 8

Solución:

Escribiendo número 8 = 2 elevado al cubo = 2^(2+1), tenemos:

x^(x+1) = 2^(2+1)

Esto también es simetría x^(x+1) = a^(a+1), por tanto:

x = número 2

  • Ejercicio 8: Averiguar el valor de x en:

x^x=√(9&1/3)

Solución:

Recordando la definición de radicación raíz n-sima de x elevado a la m = x elevado a la m/n:

x^x=(1/3)^(1/9)

Como en el caso del ejercicio 5, escribiremos el valor de (1/3)^(1/9) así:

(1/3)^(1/9)=(1/3)^(3/3 (1/9) )=[(1/3)^3 ]^(1/(3∙9))=(1/27)^(1/27)

Nuestra ecuacion quedaria de la siguiente manera:

x^x=(1/27)^(1/27)

Por simetría, finalmente obtenemos:

x=1/27

  • Ejercicio 9: Resolver la siguiente ecuación exponencial:

√(8&(2^17+2^n)/(2^n+2))=2

Solución:

Elevando a la número 8 a cada miembro de la igualdad, tenemos:

〖√(8&(2^17+2^n)/(2^n+2))〗^8=2^8 

Resultando:

(2^17+2^n)/(2^n+2)=2^8

Realizando algunos cálculos:

2^17 + 2^n = 2^8(2^n + número 2)
2^17 + 2^n = 2^8punto2^n + 2^8puntonúmero 2
2^17 + 2^n = 2^(8+n) + 2^9 2^8

Ahora juntaremos en un solo miembro aquellos términos que tengan la misma variable letra n en cursiva:

2^17 guión 2^9 = 2^(8+n) guión 2^n

Haciendo 2^17 = 2^(9+8) = 2^9punto2^8 y 2^(8+n) = 2^8punto2^n, quedando:

2^9punto2^8 guión 2^9 = 2^8punto2^n guión 2^n

Factorizando 2^9 en el miembro izquierdo y 2^n en el miembro derecho, resulta:

2^9(2^8 guión número 1) = 2^n(2^8 guión número 1)

Simplificando 2^8 guión número 1:

2^9 = 2^n

Finalmente hallamos letra n en cursiva:

letra n en cursiva = número 9

  • Ejercicio 10: Cuál es el valor de x en la siguiente ecuación exponencial:

2^(2x-1)número 3número 2

Solución:

Tener en cuenta que número 3número 2 = 2 elevado a la quinta potencia:

x^(2x+1) = 2 elevado a la quinta potencia

Haciendo número 5 = número 2(número 3) – número 1, en el exponente del lado derecho:

x^(2x+1) = 2^(2(3)-1)

Como son simétricamente iguales, finalmente deducimos que:

x = número 3

  • Ejercicio 11: Averiguar el valor de letra a minuscula cursiva en:

(2a)^((2a)^(8a^3 ) )=3

Solución:

Hacemos número 8a al cubo = 2 elevado al cuboa al cubo = (2a)^3, tenemos:

(2a)^((2a)^((2a)^3 ) )=3

Recordar del ejercicio 2 donde x^(x^(x^n ) )=n, entonces logramos hallar x=√(n&n), en este caso x = número 2letra a y exponente n = número 3, entonces:

número 2letra a = ∛3

Finalmente logramos obtener:

a=∛3/2

  • Ejercicio 12: Calcular la siguiente ecuación:

x^(x^49 )=7^(7^6 )

Solución:

Vamos a elevar a cada miembro de la igualdad por número 4número 9:

(x^(x^49 ) )^49=(7^(7^6 ) )^49

Por la ley de la multiplicación de exponentes, nuestra ecuación lo podemos escribir así:

(x^49 )^(x^49 )=(7^(7^6 ) )^49

Haciendo número 4número 9 = sietepuntosiete solo para el lado derecho de la igualdad, y realizando algunas operaciones:

(7^(7^6 ) )^49=(7^(7^6 ) )^(7∙7)=7^(7^6∙7∙7)=7^(7^7∙7)=(7^7 )^(7^7 )

Volviendo a nuestra ecuación:

(x^49 )^(x^49 )=(7^7 )^(7^7 )

Por la propiedad de igualdad de la simetría, obtenemos:

x^49=7^7

Elevando a 1/49 para despejar el valor de x, resulta:

(x^49 )^(1/49)=(7^7 )^(1/49)

Finalmente logramos:

x=(7^7 )^(1/49)=7^(7 ∙ 1/49)=7^(1/7)=√(7&7)

  • Ejercicio 13: Resolver el valor de x:

x^(x^(a^(a+1) ) )=√(a^a&a)

Solución:

Como siempre, para lograr la igualdad de simetría, vamos a elevar a cada miembro en a^(a+1):

(x^(x^(a^(a+1) ) ) )^(a^(a+1) )=〖√(a^a&a)〗^(a^(a+1) )

Por la propiedad de potencia de potencia en el miembro izquierdo y haciendo a^(a+1) = a^apuntoletra a para el miembro derecho con algunas operaciones, tenemos:

(x^(a^(a+1) ) )^(x^(a^(a+1) ) )=〖√(a^a&a)〗^(a^a∙a)=(〖√(a^a&a)〗^(a^a ) )^a=a^a

Resumiendo:

(x^(a^(a+1) ) )^(x^(a^(a+1) ) )=a^a

Extrayendo la raíz de a^(a+1) a cada miembro para eliminar el mismo en el miembro izquierdo:

√(a^(a+1)&x^(a^(a+1) ) )=√(a^(a+1)&a)

Finalmente obtenemos:

x=√(a^(a+1)&a)

  • Ejercicio 14: Si a^(a^a )=a^2, calcular el valor numérico de a^3a:

Solución:

Identificando bases iguales en la condición dada:

a^(a^a )=a^2

Por la propiedad de bases iguales, concluimos:

 a^a = número 2

Lo que nos piden, finalmente logramos:

a^3a=(a^a )^3=2^3=8

  • Ejercicio 15: Resolver:

√(x&x^2 )=∜4

Solución:

Recordando una propiedad de radicación  raíz n-sima de x elevado a la m = raíz de (n por k) de x elevado a la (n por k), en este caso letra k minúscula con cursiva = número 4 pero para el miembro derecho de la igualdad:

√(x&x^2 )=√(4∙4&4^4 )

Realizando algunas operaciones convenientes en el miembro derecho:

√(16&4^(2∙2) )=√(16&(4^2 )^2 )=√(16&〖16〗^2 )

Nuestra igualdad quedaría así:

√(x&x^2 )=√(16&〖16〗^2 )

Como son simétricamente iguales, el valor de x es

x = número 1número 6

  • Ejercicio 16: Resolver el valor de x:

x^(x^(x^n ) )=x^(x^n )

Solución:

Como tiene bases iguales, entonces los exponentes son iguales:

x^(x^(x^n ) )=x^(x^n )  ⟹ x^(x^n )=x^n

Como  x^(x^n )=x^n tiene la misma base, entonces los exponentes deben ser iguales, tenemos:

 x^n = exponente n

Por la definición de radicación x^(m/n) = raíz enésima de x^m, finalmente logramos:

x=√(n&n)

  • Ejercicio 17: Hallar el valor de x:

 x^(3x^(x^(x^(x^(⋰^(x^2 ) ) ) ) ) )=8

Solución:

Trabajaremos con el número número 8 del lado derecho de la igualdad, lo escribiremos así:

número 8 = 2 elevado al cubo

Como 2=〖√2〗^2, entonces: 

8=(〖√2〗^2 )^3

Realizando algunas operaciones convenientes:

8=(〖√2〗^2 )^3=〖√2〗^(2∙3)=〖√2〗^(3∙2)

Como 2=〖√2〗^2, entonces: 

8=〖√2〗^(3∙〖√2〗^2 )

De nuevo 2=〖√2〗^2

8=〖√2〗^(3∙〖√2〗^(〖√2〗^2 ) )

Por lo que lo podemos extender hasta el infinito:

8=〖√2〗^(3∙〖√2〗^(〖√2〗^(〖√2〗^(〖√2〗^( 〖⋰ 〗^(〖√2〗^2 ) ) ) ) ) )

Remplazando en nuestra ecuación original, resulta una nueva igualdad:

x^(3x^(x^(x^(x^(〖 ⋰ 〗^(x^2 ) ) ) ) ) )=〖√2〗^(3∙〖√2〗^(〖√2〗^(〖√2〗^(〖√2〗^( 〖⋰ 〗^(〖√2〗^2 ) ) ) ) ) )

Como son igualmente simétricos, finalmente obtenemos:

x = √2

  • Ejercicio 18: Resolver la siguiente ecuación exponencial:

2^(4x-12)=3^(x-3)

Solución:

Método 1

Pararemos a dividir el valor de 3^(x-3), en el otro miembro:

2^(4x-12)/3^(x-3) =1

El numerador lo podemos escribir así 2^(4x-12) = 2^(4(x-3)), tenemos:

2^(4(x-3))/3^(x-3) =1

Aplicando la propiedad (a elevado a la n) entre (b elevado a la n) = (a entre b) elevado a la n:

(2^4/3)^(x-3)=1

Esta ecuación solo es posible cuando a elevado a la 0 = número 1, entonces:

x guión número 3 = número cero

De esta manera, logramos obtener el valor de x:

x = número 3

Método 2

Este método solo sirve si consideramos trabajar solo en bases iguales por lo que la siguiente propiedad ya anteriormente anunciado al inicio de esta sección:

a elevado a la n = b^m

Solo es posible cuando letra n en cursiva = letra m en cursiva = número cero, este resultado es inevitable para que se cumpla esta relación:

a^0 =  = número 1

Para nuestra ecuación:

2^(4x-12)=3^(x-3)

Se cumple que:

número 4x guión número 1número 2 = número cero y x guión número 3 = número cero

Resolviendo cualquiera de estos resultados equivalentes, finalmente encontramos un único valor existente y es:

 x = número 3

  • Ejercicio 19: Este ejercicio viene con spoiler, así que resolveremos el siguiente ejercicio con ayuda de una propiedad que veremos en el siguiente capitulo llamado productos notables.

Sea 2^2x+2^2y=4 y 2^(x+y)=6, resolver el siguiente resultado:

E=2^x+2^y

Solución:

Las condiciones dadas lo escribiremos de la siguiente manera:

2^2x+2^2y = (2^x )^2+(2^y )^2 = 4 … (I)
2^(x+y) = 2^xpunto2^y = número 6 símbolo de la implicación lógica número 2 color verde(2^xpunto2^y) = número 2 color verdepuntonúmero 6 … (II)

Ahora sumando mutuamente las ecuaciones de color verde de (I) y (II), resulta:

⏟((2^x ) )┬a^2+2 ⏟((2^x ) )┬a  ⏟((2^y ) )┬b+⏟((2^y ) )┬b^2=4+2∙6=16

Usaremos una propiedad de productos notables que dice que a al cuadrado símbolo de suma número 2letra aletra b símbolo de suma b^2 = (a+b)^2, entonces:

(2^x+2^y )^2 = número 1número 6

Extrayendo la raíz cuadrada:

√((2^x+2^y )^2 )=√16

Finalmente logramos:

E=2^x+2^y = número 4

  • Ejercicio 20: Resolver el valor de x en:

√(64/√(64/√(64/⋮)))=x^(4-x)

Solución:

Vayamos en orden, comenzaremos por resolver el lado numérico, es decir, el miembro izquierdo de la igualdad llamándolo E:

E=√(64/⏟(√(64/√(64/⋮)) )┬E )

Como es una división, la expresión sombreado con rojo también es E, entonces:

E=√(64/E)

Elevando al cuadrado:

E^2=〖√(64/E)〗^2

Resulta:

E^2=64/E⇒E^3=64⇒E=4

Reemplazando este valor en nuestra ecuación original:

número 4 = x^(4-x)

Haciendo número 4 = 2 al cuadrado = 2^(4-2), tenemos:

2^(4-2) = x^(4-x)

Como son simétricamente iguales, finalmente obtenemos:

x = número 4

  • Ejercicio 21: Calcular la siguiente ecuación exponencial:

x^(x^√(n&n^(n+1) ) )=√(√(n&n)&n)

Solución:

Aplicando la propiedad a elevado n+m = a elevado a la n con exponente color rojo punto a elevado a la m con exponente color rojo, resulta:

x^(x^√(n&n^(n+1) ) )=x^(x^√(n&n^n∙n^1 ) )=√(√(n&n)&n)

Usando esta propiedad raíz enésima de (a por b) = raíz enésima a por raíz enésima b :

x^(x^√(n&n^n∙n^1 ) )=x^(x^(√(n&n^n )  ∙ √(n&n)) )=√(√(n&n)&n)

Donde √(n&n^n )=n:

x^(x^(n ∙ √(n&n)) )=√(√(n&n)&n)

Ordenando nuestros resultados con la propiedad de potencia de potencia y sabiendo que 〖√(√(n&n)&n)〗^√(n&n)=n, resulta:

(x^(n ∙ √(n&n)) )^(x^(n ∙ √(n&n)) )  =(〖√(√(n&n)&n)〗^√(n&n) )^(n )⟹(x^(n ∙ √(n&n)) )^(x^(n ∙ √(n&n)) )=n^n

Aplicando la propiedad de simetría que dice x^x = a^a donde x = letra a, resultando:

x^(n ∙ √(n&n))=n

Extrayendo la raíz n∙√(n&n), finalmente obtenemos:

√(n ∙ √(n&n)&x^(n ∙ √(n&n)) )=√(n ∙ √(n&n)&n)⟹x=√(n√(n&n)&n)

  • Ejercicio 22: Resolver el valor de letra n en cursiva en:

√(n&(x^n+5^n)/(〖80〗^n+x^n ))=1/4

Solución:

Elevando a la exponente n:

(√(n&(x^n+5^n)/(〖80〗^n+x^n )))^n=(1/4)^n

Resulta:

(x^n+5^n)/(〖80〗^n+x^n )=1/4^n

Pasando los denominadores multiplicando a los otros miembros respectivos:

4^n( x^n + 5^n) = número 1(〖80〗^n +  x^n)

Realizando algunas operaciones, finalmente logramos:

4^npunto x^n + 4^npunto5^n = 〖80〗^n +  x^n
4^npunto x^n guión  x^n = 〖80〗^n guión 4^npunto5^n
 x^n(4^n guión número 1) = 〖(20∙4)〗^n guión 4^npunto5^n
 x^n(4^n guión número 1) = 〖20〗^npunto4^n guión 〖(4∙5)〗^n
 x^n(4^n guión número 1) = 〖20〗^n punto 4^n guión 〖20〗^n
 x^n(4^n guión número 1) = 〖20〗^n(4^n guión número 1)
 x^n = 〖20〗^n
x = número 2número cero

  • Ejercicio 23: Resolver el valor de x en:

x^n=[x[x[x[x…∞]^(x^n ) ]^(x^n ) ]^(x^n ) ]^(x^n )

Solución:

Sombreando de color rojo un trozo del miembro derecho y notando que también resulta ser el valor de  x^n:

x^n=[x ⏟([x[x[x…∞]^(x^n ) ]^(x^n ) ]^(x^n ) )┬(x^n ) ]^(x^n )

Por lo que:

x^n=[x∙x^n ]^(x^n )

Resolviendo:

 x^n = [x^(n+1) ]^(x^n )
 x^n = x^((n+1) x^n )

Por tener la misma base, resulta que los exponentes son iguales:

exponente n = (n+1) x^n
ó
(n+1) x^n = exponente n

Despejando x, finalmente logramos:

x^n=n/(n+1)

x=√(n&n/(n+1))

  • Ejercicio 24: Hallar el valor de x bajo las siguientes condiciones:
  1. y=x^(x^n )
  2. y^(y^n )=x^(x^m )

En términos de letra n en cursiva y letra m en cursiva.

Solución:

Vamos a reemplazar el valor de y de la condición 1 a la condición 2, tenemos:

〖(x^(x^n ))〗^(〖(x^(x^n ))〗^n )=x^(x^m )

Realizando una operación conveniente en el lado izquierdo de la igualdad:

x^(x^n∙〖(x^(x^n ))〗^n )=x^(x^m )

Como tiene la bases iguales, los exponentes son también iguales:

x^n∙(x^(x^n ) )^n=x^m

Colocándolo en una sola base el miembro izquierdo:

x^n∙x^(x^n∙n)=x^m
x^(n+x^n∙n)=x^m

Por tener bases iguales, los exponentes también son iguales:

n+x^n∙n=m

Resolviendo para despejar x, finalmente obtenemos:

x^n∙n=m-n

x^n=(m-n)/n

x=√(n&(m-n)/n)

Con esta última sección finalizamos el capítulo de teoría de exponentes. Próximas secciones nos centraremos al capitulo de productos notables.

Es verdad que el curso de álgebra elemental comienza con el capítulo de polinomios, pero el capitulo de productos notables no requiere del capítulo de polinomios y además resulta ser una teoría corta por lo que pensamos desarrollarlo primero.

Y eso sería todo amigos, nos veremos en el siguiente capitulo, que tengan buen día, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Ecuaciones Exponenciales Con Ejercicios Resueltos
Clasificación
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2018-07-14T23:12:39+00:00