6. Teorema Del Resto

Hola amigos, continuamos con el titulo de división algebraica. Esta vez le toca el turno al teorema del resto. La utilidad de este teorema resulta de la increíble efectividad de calcular el resto de una división sin seguir ningún procedimiento algorítmico para dividir, procedimientos que presentamos en la sección anterior.

Aunque tiene algunos limites, puede salvarnos el pellejo en casos oportunos. También se puede extender el teorema para casos particulares. Comencemos:

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El teorema del resto (o teorema del residuo) afirma que si dividimos un polinomio P(x) por otro polinomio de primer grado de la forma x-a, el resto resulta ser R=P(a).

Si queremos resolver la siguiente división:

P(x)/(x-a) ■(←&Dividendo@←&Divisor)

Justamente el divisor donde x-a≠0 para que la división exista es donde tomamos el valor de x para calcular el residuo sin necesidad de dividir, es decir, es admitir x-a=0 donde x=a, este valor remplazamos en el dividendo P(x) y obtenemos el residuo R=P(a).

Demostración

  • De la identidad de la división:
    D(x)=d(x)q(x)+R(x)
  • Donde d(x)=x-a, resulta:
    D(x)=(x-a)q(x)+R(x)
  • Si remplazamos x-a=0, obtenemos:
    D(a)=⏞((x-a)q(a) )┴0+R(a)
    D(a)=R(a) 

De esta manera queda demostrado el teorema.

Ejemplos del teorema del resto:

  1. Hallar el resto de la siguiente división:
    (x^2+x+2)/(x-1)
    Solución:
    El dividendo y divisor son D(x)=x^2+x+2 y d(x)=x-1, igualando a cero (0) el divisor, tenemos:
    x-1=0
    x=1
    Remplazando en el dividendo, obtenemos el resto:
    R=D(1)=1^2+1+2=4
  2. Calcular el resto de la siguiente división:
    (x^3+3x^2+x+1)/(x+2)
    Solución:
    El dividendo y divisor son D(x)=x^3+3x^2+x+1 y d(x)=x+2 respectivamente. Igualando el dividendo a cero (0), se obtiene:
    x=-2
    Con este valor hallamos el residuo remplazando en el dividendo R=D(1)=〖(-2)〗^3+3(-2)^2+(-2)+1=3
  3. De la siguiente división:
    (3x^2+x+5)/(3x-2)
    Calcular su resto.
    Solución:
    Igualando el divisor a cero (0), tenemos:
    3x-2=0
    x=2/3
    Remplazando en el denominador, obtenemos el resto:
    R=D(2/3)=3(2/3)^2+(2/3)+5=7
  4. Cual es el resto de la siguiente división:
    (5x^3-4x^2+2x+1)/(x-1)
    Solución:
    Igualando a cero el dividendo (0), obtenemos el siguiente valor:
    x=1
    Remplazando en el dividendo para obtener el resto:
    R=D(1)=5(1)^3-4(1)^2+2(1)+1=4
  5. Calcular el resto de la siguiente división:
    (x^6+x^3)/(x^3-1)
    Solución:
    Igualando a cero (0) el divisor, tenemos:
    x^3-1=0
    x^3=1
    Escribiendo el dividendo en términos de x^3, resulta:
    D(x)=x^6+x^3=(x^3 )^2+x^3
    Remplazando el valor de x^3=1, resulta:
    R=(x^3 )^2+x^3=(1)^2+1=2
  6. Hallar el resto de la siguiente división:
    (x^5+x^3+x^2+x+1)/(x^2-1)
    Solución:
    Igualamos a cero el divisor:
    x^2-1=0
    x^2=1
    Descomponiendo los términos del dividendo en x^2, tenemos:
    D(x)=(x^2 )^2 x+(x^2 )x+x^2+x+1
    Como x^2=1, obtenemos el residuo:
    R=(1)^2 x+(1)x+1+x+1
    R=x+x+1+x+1
    R=3x+2

Método del factor

El método del factor aplicado al teorema del resto nos ayuda a resolver el resto donde no se puede aplicar directamente el teorema del resto en si, en otras palabras, sirve para moldear la división tal que cumpla el teorema del resto.

¿Que es lo que hacemos en este método? lo siguiente:

  1. Si multiplicamos o dividimos por un factor al dividendo y al divisor, también queda multiplicado o dividido por dicho factor al resto de la división original.
  2. Se realiza este método para lograr que  dicha división cumpla los requisitos suficientes para aplicar el teorema del resto.
  3. Luego, como el resto es alterado después de multiplicar o dividir al dividendo y divisor, obtenemos el nuevo resto luego de aplicar dicho teorema.
  4. El nuevo resto que acabamos de calcular es igual a la multiplicación o división por el resto original que queremos hallar. Pues, despejamos y hallamos el resto original.

Sea un factor m ≠ 0 que multiplica al dividendo o al divisor, tal que:

  • D/d=(D∙m)/(d∙m)

El resto también queda multiplicado por el factor m, tal que el nuevo resto R^' y el resto R, se relacionan con la siguiente ecuación:

  • R=R^'/m

Demostración: para el caso de la multiplicación

  • De la identidad de la división:
    D(x)=d(x)q(x)+R(x)
  • Multiplicando por m ≠ 0, resulta:
    D∙m=d∙q∙m+R⋅m
    (Dm)=(dm)q+⏟Rm┬(R^' )
    Donde R^'=Rm, demostrándose:
    R=R^'/m

Para el caso de un factor que divide al dividendo y divisor, el residuo original es igual al nuevo residuo multiplicado por ese factor. Su demostración te lo dejamos como ejercicio.

Ejemplos por el método del factor

  1. Calcular el residuo de la siguiente división:
    (x^100+4)/(x^2+x+1)
    Solución:
    Multiplicando al dividendo y divisor por (x-1), resulta:
    ((x^100+4)(x-1))/((x^2+x+1)(x-1))
    Recordar que x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), realizando las operaciones en la división, tenemos:
    (x^101-x^100+4x-4)/(x^3-1)
    Aplicando el teorema del resto, igualamos el divisor a cero (0):
    x^3-1=0
    x^3=1
    Luego descompondremos el dividendo en x^3 como sigue:
    D=x^101-x^100+4x-4=(x^3 )^33∙x^2-(x^3 )^33∙x+4x-4
    Luego remplazamos el valor de x^3=1 para obtener el nuevo residuo:
    R^'=(1)^33∙x^2-(1)^33∙x+4x-4
    R^'=x^2-x+4x-4
    R^'=x^2+3x-4
    El nuevo residuo es la multiplicación del factor (x-1) por el original que queremos hallar, entonces:
    R=R^'/(x-1)=(x^2+3x-4)/(x-1)=((x-1)(x+4))/(x-1)=x+4
  2. Hallar el resto de la siguiente división:
    (x^3+1)/(x^2+3x+2)
    Solución:
    Tanto en el dividendo como en el divisor encontramos un factor común y podemos escribirlo así
    ((x+1)(x^2-x+1))/((x+1)(x+2))
    Si dividimos por el factor x+1, también el residuo es dividido, la división quedaría:
    ((x+1)(x^2-x+1)/(x+1))/((x+1)(x+2)/(x+1))=(x^2-x+1)/(x+2)
    Con esta nueva división, igualando a cero el divisor, tenemos:
    x+2=0
    x=-2
    Del nuevo dividendo D^' (x)=x^2-x+1, remplazando el valor x=-2 para obtener el nuevo resto:
    R^'=(-2)^2-(-2)+1=7
    El nuevo residuo dividido entre el factor x+1 resulta el residuo original, por tanto:
    R=R^' (x+1)
    R=7(x+1)
    R=7x+7

Ejercicios resueltos del teorema del resto

  1. Calcular el resto de la siguiente división:
    ((x-1)^100+(2x-1)^103+x-1)/(x-1)
    Solución:
    Igualamos el divisor a cero, obtenemos el valor de x:
    x=1
    Remplazando en el dividendo para obtener el residuo:
    R=(1-1)^100+(2(1)-1)^103+1-1=1
  2. Hallar el resto de la división:
    (2x^5-4x^4+3x+1)/(x-2)
    Solución:
    Igualamos a cero el divisor:
    x-2=0
    x=2
    Remplazando en el dividendo para obtener el resto:
    R=2(2)^5-4(2)^4+3(2)+1=7
  3. De la siguiente división:
    (x^2-x+b)/(x-1)
    Calcular el valor de b si tiene como residuo 4.
    Solución:
    Igualamos el divisor a cero, obtenemos:
    x=1
    Remplazando en el dividendo para obtener el resto:
    〖(1)〗^2-(1)+b=4
    Despejando b, logramos calcular su valor:
    b=4
  4. Hallar el residuo de la división:
    ((abc)^3+(abc)+12)/(abc-2)
    Solución:
    Igualando a cero el divisor:
    abc-2=0
    abc=2
    Identificando el dividendo:
    D=(abc)^3+(abc)+12
    Remplazando abc=2, obtenemos el residuo:
    R=(2)^3+(2)+12=22
  5. Cual es el resto de la división:
    (2x^2n-2x^3+4)/(x^2-1)
    Solución:
    Igualando a cero el divisor:
    x^2-1=0
    x^2=1
    Luego, descomponemos el dividendo en términos de x^2:
    D=2(x^2 )^n-2(x^2 )∙x+4
    Remplazando el valor x^2=1, obtenemos el resto:
    R=2(1)^n-2(1)∙x+4
    R=-2x+6
  6. Hallar el resto de la siguiente división:
    (x^n-y^n)/(x-y)
    Solución:
    Igualando a cero el divisor:
    x-y=0
    x=y
    Remplazando en el dividendo, obtenemos el resto:
    R=y^n-y^n=0.

Con esto termino el tema de la división algebraica, la próxima sección esta dedicada a los cocientes notables, unas formulas que veremos seguido en muchas áreas de las matemáticas.

Esto seria todos queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, que tengan un buen día, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Teorema del Resto
Clasificación
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2018-06-21T00:49:13+00:00