Hola amigos, hoy les presento el nuevo capítulo de operaciones algebraicas, en esta ocasión trabajaremos con la suma algebraica y algunos ejercicios resueltos.

Es una sección muy corta y sirve como ayuda para aquellos que tiene  problemas en sumas expresiones algebraicas tanto de monomios como de polinomios. Pero comencemos con algunos conceptos básicos y luego aprenderemos a sumar expresiones algebraicas.

Tenga en cuenta que este la primera sección del segundo capitulo del álgebra elemental, el primer capitulo que ya hemos desarrollado se llama teoría de exponentes.

Llamamos expresiones algebraicas aquellas expresiones donde encontramos variables denotados generalmente por letras, esto es, la parte literal, como también coeficientes (números, aunque también pueden representarse por letras) y una serie de operaciones matemáticas combinadas como la suma, resta, multiplicación división, potenciación y radicación donde se incluyen también signos de agrupación.

Ejemplos de expresiones algebraicas

  • \( x^2 + 4^{y + \sqrt[x]{x^2+z^3} } + \frac{ x^4+ y^4 }{ \sqrt{x + y} } \)
  • \( x^2+y^2 +z^2 -2^x -2^y – 2^z \)
  • \( \sqrt[ x^2+y^2 ]{ xy + yz+ xz + \frac{ \sqrt[x+y+z]{x^3 + y^3 +y^3} }{x+y+z} } \)

Monomios

Son aquellas expresiones matemáticas donde solo existe como únicos operadores a la potenciación, multiplicación entre variables (parte literal) y coeficientes, tal que los exponentes de las variables sean números naturales, es decir, aquellos números que sirven para contar.

Ejemplos de monomios

  • \( 2xy \)
  • \( 3x^3 y \)
  • \( 6x^4 z \)
  • \( 23w^6 z^6 \)
  • \( \mathrm{k} x^4 y^5 z^6 \) donde \( \mathrm{k} \) es una constante (no varia).

Como podrán notar, solo existen coeficientes como variables bajo 2 únicas operaciones de multiplicación y potenciación. Sin embargo, hay que tener en cuenta lo siguiente:

  • \( \sqrt{5} x^2 y^3 \) este es un monomio.
  • \( 56 \sqrt[3]{x^4} y^2 \) esto no es un minomio.
  • \( 6 x y^{-3} \) esto no es un monomio.
  • \(  \frac{7y}{x} \) este tampoco es un monomio.
  • \( 34x^{ \frac{2}{3} } y^{ \frac{4}{5} } \) peor, ni mencionarlo.

Los exponentes de las variables de los monomios siempre son números naturales y no fraccionario.

Términos Semejantes

Llamamos términos semejantes aquellos expresiones algebraicas que tienen un factor de multiplicación en común tal que el factor no común es un coeficiente de tales términos.

Por lo general los términos semejantes que usaremos en esta y el resto de las secciones del capitulo actual serán únicamente monomios (con algunas excepciones). Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de términos semejantes (solo monomios)

  • \( 3xy \), \( 4xy \), \( \sqrt[4]{3^5} xy \), \( xy \), en este caso, el termino comun es \( xy \).
  • \( 4x^4 z^6 \), \( 7^4 x^4 z^6 \), \( \sqrt{5} x^4 z^6 \), el termino comun es \( x^4 z^6 \).
  • \( 23xy^2 z^3 w^4 \), \( 4xy^2 z^3 w^4 \), \( \mathrm{K} xy^2 z^3 w^4 \), si \( \mathrm{K} \) es una constante, entonces, el termino comun es \( xy^2 z^3 w^4 \).

Estos 3 ejemplos muestran términos semejantes con factores en común que representan la parte literal de los términos aunque lo hemos restringido únicamente para monomios.

Reducción de términos semejantes

La reducción de termino semejantes no es mas que realizar sumas y restas de aquellos términos semejantes que posee la parte literal en común. Para el caso de los monomios, lo únicos afectados son los coeficientes y los factores en común, la parte literal, se mantiene intacta.

Antes de ejemplificar este punto, recordemos que cuando realizamos operaciones de sumas y restas de cantidades definidas debemos tener en cuenta lo siguiente:

  • Para cantidades de un mismo signo se suman y colocamos el mismo signo al resultado.
  • Para cantidades de signos diferentes se restan y se coloca el signo de la cantidad mayor al resultado.

Ejemplos de reducción de términos semejantes

  • \( -2m -4m = (-2-4)m = -6m \)
  • \( -8a+2a = (-8+2)a = -6a \)
  • \( y^2 + 2y^2 + 4y^2 – 5^5y^2 = (1+2+4-5)y^2 = 2y^2 \)
  • \( 2m + 5m + m + 10m – 3m = ( 2 + 5 +1 +10 -3 )m = 15m \)
  • \(  4a^2 + 2a^2 + 3b^3 + b^3 + 7c^5 – 5c^5 = \underline{4a^2} + \underline{2a^2}+\underline{ \underline{3b^3} } + \underline{ \underline{b^3} } + \underline{ \underline{ \underline{7c^5} } } – \underline{ \underline{ \underline{5c^5} } } \\ \hspace{13,4em} = \underline{6a^2} + \underline{  \underline{4b^3} } + \underline{ \underline{ \underline{2c^5} } }  \)
  • \( x+3y+z+2x-y+2z = \underline{x} + \underline{ \underline{3y} } + \underline{ \underline{ \underline{z} } } + \underline{2x} – \underline{ \underline{y} } + \underline{ \underline{ \underline{2z} } } \\ \hspace{10,7em} = \underline{3x} + \underline{ \underline{ 2y } } + \underline{ \underline{ \underline{3z} } } \)

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Suma de expresiones algebraicas

Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo termino, si tales términos son diferentes ante una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos de los términos.

Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se suele usar signos agrupación y es cierto que el operador suma \( + \) acompañada de los signos de agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará que es una perdida de tiempo mencionar este tipo de obviedades, pero la cosa cambia cuando tratemos con el operador diferencia \( – \), pero esto lo veremos en la siguiente sección, lo anteriormente explicado solo sirve para aclarar esta diferencia.

Decíamos, cuando realizamos sumas entre polinomios, donde encontramos signos de agrupación y el operador suma \( + \), los signos de agrupación se pueden ignorar sin afectar los signos operacionales de cada termino del polinomio encerrado entre los signos de agrupación, veamos el siguiente apartado un ejemplo generalizado:

¿Como sumar expresiones algebraicas?

Sea la expresión: \( a {\color{red} + } \underbrace{ ( b-c+d ) }_{ \mathrm{ Si \ eliminamos } \\ \mathrm{ los \ signos } \\ \mathrm{ de \ agrupacion }  } = a + \underbrace{ b-c+d }_{ \mathrm{ Los \ signos \ de } \\ \mathrm{ cada \ termino } \\ \mathrm{ se \ mantiene } } \).

Incluso, si eliminamos el valor de \( a \), los signos de cada términos quedan inalterables al retirar los paréntesis, esto es: \( {\color{red} + } ( b-c+d )  = +b-c+d \).

Realicemos esta operación para un caso mas particular, si queremos sumar los términos \( 2a \) y \( -5b \), se expresaría así:

\( (2a) {\color{red} + } (-5b) = 2a-5b \)

Esto es, la suma de \( 2a \) y \( -5b \) es \( 2a-5b \), significa que el signo suma \( {\color{red} + } \) no afecta el signo menos de \( -5b \), naturalmente la suma entre \( 2a \) y \( 5b \) es \( 2a+ 5b \).

Si en una suma algebraica encontramos términos semejantes, lo único que se suma son los coeficientes, dando como resultado una expresión algebraica con el mismo termino semejante y el nuevo coeficiente que resulta de la suma de los términos semejantes iniciales. Esto es, si sumamos \( 2xy^2 \) y \( 5xy^2 \), resulta:

\( 2xy^2 {\color{red} + } 5xy^2 = \underbrace{ (2+5) }_{ \mathrm{ suma \ de } \\ \mathrm{ coeficientes } } xy^2 = 7xy^2 \)

Si sumamos \( 4a^2b^4 \) y \( -6a^2b^4 \), resulta:

\( ( 4a^2b^4 ) {\color{red} + } (-6a^2b^4) = \underbrace{ (4-6) }_{ \mathrm{ Se \ suman } \\ \mathrm{ el \ 4 \ y \ el \ -6 } } a^2b^4 \)

No siempre se pueden sumar dos términos no semejantes, por lo general, se deja la explicita la expresión, por ejemplo, si queremos sumar los términos \( 4x^5y^2 \), \( 7yx^2z^3 \) y \( -3abc \), simplemente se expresa así:

 \( (4x^5y^2) + (7yx^2z^3) + (-3abc) = 4x^5y^2 + 7yx^2z^3 – 3abc \)

Con estos sencillos pasos. Los siguientes ejemplos explica como sumar monomios.

Ejemplos de suma entre monomios

  1. Sumar el siguiente conjunto de monomios:
    • \( (2a) {\color{red} + } (4a) {\color{red} + } (-3a) = (2+4-3)a  = 3a \)
    • \( ( 10x^3y^2  )  {\color{red} + } (-4x^3y^2) {\color{red} + } (-2x^3y^2) = (10-4-2)x^3y^2 = 4x^3y^2 \)
  2. Si sumamos los siguientes monomios:
    • \( (8x) {\color{red} + } (4x) {\color{red} + } (-3y) {\color{red} + } (-5y) {\color{red} + } (2z) {\color{red} + } (z) \)
      Eliminamos los paréntesis, el signo operacional suma \( {\color{red} + } \) no afecta a los signos de los monomios encerrados, la expresión quedaría simplemente así:
      \( 8x + 4x – 3y – 5y + 2z + z = (8+4)x + (-3-5)y + (2+1)z \\ = 12x-8y+3z \)
    • \( ( \frac{2}{3} a^4x^6 ) {\color{red} + } ( 3b^2z^3 ) {\color{red} + } ( – \frac{1}{3} a^4x^6 ) {\color{red} + } ( – \frac{1}{2} b^2z^3 ) \)
      Eliminando paréntesis, tenemos:
      \( \frac{2}{3} a^4x^6 + 3b^2z^3 – \frac{1}{3} a^4x^6 – \frac{1}{2} b^2z^3 \)
      Reuniendo términos semejantes:
      \( \frac{2}{3} a^4x^6 – \frac{1}{3} a^4x^6 + 3b^2z^3 – \frac{1}{2} b^2z^3 \)
      Reduciendo términos semejantes:
      \( ( \frac{2}{3} – \frac{1}{3} ) a^4x^6 + ( 3+ \frac{1}{2} ) b^2z^3 = a^4x^6 + \frac{7}{2} b^2z^3 \)

    Por tanto, de estos cálculos, podemos decir que la suma de múltiples monomios nos da como resultad tanto monomios como también polinomios.

Ejemplos de suma entre polinomios

  1. Para saber como sumar polinomios, veamos los siguientes ejemplos:
    • \( (6x+z) {\color{red} + } (2x+3y) {\color{red} + } (-y-5z) \)
      Al retirar los paréntesis, el signo \( {\color{red} + } \) no afecta a los signos operacionales de los términos de los polinomios encerrados quedando:
      \( 6x+z+2x+3y-y-5z \)
      Reuniendo y reduciendo términos semejantes, tenemos:
      \( 6x+2x +3y-y +z-5z = (6+2)x + (3-1)y +(z-5z) = 8x+2y-4z \)
    • \( ( \frac{3}{4} z^6 + 3x^3 – 4y^2 ) {\color{red} + } ( \frac{1}{5} x^3 – 2z^6 ) {\color{red} + } ( -3y^2 + x^3 – 3z^6 ) \)
      Retirando paréntesis, tenemos:
      \(  \frac{3}{4} z^6 + 3x^3 – 4y^2 + \frac{1}{5} x^3 – 2z^6 – 3y^2 + x^3 – 3z^6 ) \)
      Reuniendo términos semejantes:
      \( ( 3 + \frac{1}{5} 1 )x^3 + ( -4 – 3 )y^2 + ( \frac{3}{4} – 2 – 3 )z^6 \)
      Reduciendo y eliminando paréntesis:
      \( \frac{16}{5} x^3 – 7y^2 -\frac{17}{4}z^6 \)
  2. Y aquí otras operaciones con polinomios respecto a la suma:

    • \( ( 3xy^2 – 4x^2z^3 ) {\color{red} + } ( 3yz^7 + 3x^2z^3 -xy^2 ) {\color{red} + } ( -2xy^2 + x^2z^3 – 2yz^7 ) \)
      Eliminando paréntesis:
      \( 3xy^2 – 4x^2z^3 + 3yz^7 + 3x^2z^3 -xy^2 – 2xy^2 + x^2z^3 – 2yz^7 \)
      Reuniendo términos semejantes:
      \( (3xy^2 – xy^2 -2xy^2 – 4x^2z^3 + 3x^2z^3 + x^2z^3 + 3yz^7 – 2yz^7 \)
      Reduciendo términos:
      \( ( 3 – 1 -2 )xy^2 + ( -4 + 3 + 1)x^2z^3 + ( 3 -2 )yz^7 = yz^7 \)
    • \( ( 4ab^3 – 5a^2c – b^4c^3 ) {\color{red} + } ( -4a^2c + 2b^4c^3 ) {\color{red} + } ( 9a^2c -b^4c^3 -ab^3 ) \)
      Eliminado paréntesis:
      \( 4ab^3 – 5a^2c – b^4c^3 – 4a^2c + 2b^4c^3 + 9a^2c -b^4c^3 -ab^3 \)
      Reuniendo términos semejantes:
      \( 4ab^3 – ab^3 – 5a^2c – 4a^2c + 9a^2c – b^4c^3 +2b^4c^3 – b^4c^3 \)
      reduciendo términos:
      \( (4-1)ab^3 + ( -5 – 4 + 9 )a^2c + ( -1 +2 -1 )b^4c^3 = 3ab^3 \)

    Por lo visto, la suma de polinomios nos da como resultado un polinomio como también monomios.

Método visual para sumar expresiones algebraica

Este método sirve para resaltar los términos semejantes de un polinomio para lograr una mejor visualización de cada una de ellas, esto es, para identificar rápidamente los términos semejantes, por ejemplo, queremos sumar los siguientes polinomios \( 2xy^2 + 4y^2w + 5xyz \), \( 3xyz – 4xy^2 \) y \( y^2w -xyz +7xy^2 \). Para ello, tendremos que colocar en un tablero los 3 polinomios en una sola columna tal que las columnas de cada monomio tengan su propio termino semejante, así:

\( \begin{array}{c r c r c r} + & 2xy^2 & + & 4y^2w & + & 5xyz \\ – & 4xy^2 &  &  & + & 3xyz \\ + & 7xy^2 & + & y^2w & – & xyz \\ \hline + & 5xy^2 & + & 5y^2w & + & 7xyz \end{array} \)

También se pueden omitir los términos semejantes para reducir el tiempo de las operaciones de la siguiente manera:

\( \begin{array}{c c c c c c} & \underline{xy^2} & & \underline{y^2w} & & \underline{xyz} \\ + & 2 & + & 4 & + & 5 \\ – & 4 &  &  & + & 3 \\ + & 7 & + & 1 & – & 1 \\ \hline + & 5 & + & 5 & + & 7 \end{array} \)

Por tanto, la suma de los polinomios dados es \( +  5xy^2 + 5y^2w + 7xyz \).

Ejercicios resueltos de suma algebraica

Por la sencillez de la sección actual, presentaremos tan solo algunos cuantos ejercicios resueltos, a estas alturas, ya debería de entenderse el concepto de suma entre términos semejantes, no semejantes, monomios y polinomios. Comencemos con algunos ejercicios de suma entre polinomios:

Ejercicios resueltos de suma entre monomios

  1. Efectuar la suma de las siguientes expresiones:
    \( \text{a.} \ x+2x+3x+4x+5x \)
    \( \text{b.} \ -2x^2y + 3x^2y + (-x^2y) \)
    \( \text{c.} \ \frac{3}{4}xy^2z^3 +( – \frac{1}{4} xy^2z^3 ) +( – \frac{5}{4} xy^2z^3 ) \)
  2. Sumar los siguientes monomios:

    \( \text{a.} \ 4x^5y^2 \), \( 3x^3y \), \( -2y^2x^5 \), \( -x^3y \)
    \( \text{b.} \ 3a^2 \), \( a^3 \), \( -2a \), \( 5a^4 \)
    \( \text{c.} \ 5bc \), \( 3abc \), \( -4abc \), \( 3a \), \( 4b \), \( bc \)

Resolución: Los resultados son:

  1. Realizando las siguientes sumas propuestas.
    \( \begin{align*} \text{a.} \ x+2x+3x+4x+5x & = (1+2+3+4+5)x \\ & = 15x \end{align*} \\ \)

    \( \begin{align*} \text{b.} \ -2x^2y + 3x^2y + (-x^2y) & = -2x^2y + 3x^2y – x^2y \\ & = (-2 + 3 – 1)x^2y \\ & = 0x^2y \\ & = 0   \end{align*} ª\\ \)

    \( \begin{align*} \text{c.} \ \frac{3}{4}xy^2z^3 +( – \frac{1}{4} xy^2z^3 ) +( – \frac{5}{4} xy^2z^3 ) & = \frac{3}{4}xy^2z^3 – \frac{1}{4} xy^2z^3  – \frac{5}{4} xy^2z^3 \\ & = ( \frac{3}{4} – \frac{1}{4} – \frac{5}{4} ) xy^2z^3 \\ & = ( \frac{3-1-5}{4} xy^2z^3 ) \\ & = – \frac{3}{4} xy^2z^3  \end{align*} \\ \)

  2. Efectuando la suma de los siguientes monomios:

    Para este ejercicio, tener en cuenta que \( \underline{x^5y^2} = \underline{y^2x^5} \), veamos:
    \( \begin{align*} \text{a.} \ ( \underline{4x^5y^2} ) + (3x^3y) + ( \underline{-2y^2x^5} ) + (-x^3y) = & 4x^5y^2 + 3x^3y – 2y^2x^5 – x^3y \\ & = \underline{4x^5y^2} – \underline{2x^5y^2} + 3x^3y – x^3y \\ & = (4-2)x^5y^2 + (3-1)x^3y \\ & = \underline{2x^5y^2}+2x^3y  \end{align*} \\  \)
    \( \begin{align*} \text{b.} \ (3a^2) + (a^3) + (-2a) + (5a^4) & = 3a^2+a^3-2a+5a^4 \\ & = 5a^4 +  a^3 + 3a^2 – 2a \end{align*} \\ \)
    Por lo visto, no hay términos semejantes, en este caso, por lo general se deja el polinomio en un orden descendente con respecto a los exponentes de cada termino.

    \( \begin{align*} \text{c.} \ (5bc) + ( 3abc ) + ( -4abc ) + (3a) + (4b) + (bc) & = \underline{5bc} + \underline{ \underline{3abc} } – \underline{ \underline{4abc} } + 3a + 4b + \underline{bc} \\ & = (3-4)abc + (5+1)bc + 3a +4b \\ & = 3a+b +6bc – abc \end{align*} \\ \)

Ejercicios resueltos de suma de polinomios

Las siguientes ejercicios se realizará mediante un tablero para identificar mejor los términos semejantes, también encontraremos algunos algunas fracciones en los coeficientes en los polinomios. Realizar la suma de los siguientes polinomios:

\( \text{1.} \ 5x^3 – 3x^2 – 6x – 4 \), \( -8x^3 + 2x^2 – 3 \) y \( 7x^2 – 9x + 1 \)
\( \text{2.} \ 2x – 7y – 3z + 6 \), \( -9x + 4z \) y \( -x + 4y + z – 8 \)
\( \text{3.} \ \frac{1}{2}x^{a+2} – \frac{3}{4}y^{b-1} – \frac{1}{6} \) y \( \frac{3}{2}x^{a+1} + \frac{1}{3}y^{b-1} + \frac{1}{4} \)
\( \text{4.} \ \frac{1}{2}x^4 – \frac{3}{4}x^3 + 2 \), \( \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2} x – \frac{3}{4} \), \( \frac{1}{3}x^4 + x^3 – x^2 – \frac{3}{4} x -1 \) y \( – \frac{2}{3} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \)

Resolución: Agruparemos en cada columna los términos semejantes de los polinomios a sumar para cada ejercicio, omitiremos los factores semejantes colocando en una fila superior como indicador a los coeficientes que se sumaran verticalmente con su respectivo monomio semejante, veamos:

  • Ejercicio 1:

\( \begin{array}{ r c r c r c r r } & \color{red}{x^3} & & \color{red}{x^2} & & \color{red}{x} &  & \\ + & 5 & – & 3 & – & 6 & – & 4 \\ – & 8 & + & 2 & & & – & 3 \\ & & + & 7 & – & 9  & + & 1 \\ \hline – & 3 & + & 6 & – & 15 & – & 6 \end{array} \)

Por tanto, el polinomio resultare es: \( -3x^3 + 6x^2 – 15x – 6 \)

  • Ejercicio 2:

\( \begin{array}{ r c r c r c r r } & \color{red}{x} & & \color{red}{y} & & \color{red}{z} & & \\ + & 2 & – & 7 & – & 3 & + & 6 \\ – & 9 & & & + & 4 & & \\ – & 1 & + & 4 & + & 1 & – & 8 \\ \hline – & 8 & – & 4 & + & 2 & – & 2  \end{array} \)

El polinomio es: \( – 8x – 4y + 2z – 2 \)

  • Ejercicio 3:

\( \begin{array}{ r c r c r r } & \color{red}{x^{a+2}} & & \color{red}{ y^{b-1} } & &  \\ + & \frac{1}{2} & – & \frac{3}{4} & – & \frac{1}{6} \\ + & \frac{3}{2} & + & \frac{1}{3} & + & \frac{1}{4} \\ \hline + & 4 & – & \frac{5}{12} & + & \frac{1}{2} \end{array} \)

El polinomio es: \( 4x^{a+2} – \frac{5}{12} y^{b-1} + \frac{1}{2} \)

  • Ejercicio 4:

\( \begin{array}{ r c r c r c r c r r } & \color{red}{x^4} & & \color{red}{x^3} & & \color{red}{x^2} & & \color{red}{x} & & \\ + & \frac{1}{2} & – & \frac{3}{4} & & & & & + & 2 \\ & & & & + & \frac{1}{6} & + & \frac{1}{2} & – & \frac{3}{4}  \\ + & \frac{1}{3} & + & 1 & – & 1 & – & \frac{3}{4} & – & 1 \\ – & \frac{2}{3} & & & + & \frac{1}{2} & & & & \\ \hline + & \frac{1}{6} & + & \frac{1}{4} & – & \frac{1}{3} & – & \frac{1}{4} & + & \frac{1}{4}  \end{array}  \)

El polinomio es: \( \frac{1}{6} x^4 + \frac{1}{4} x^3 – \frac{1}{3} x^2 – \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \)

Ojo: esta forma de sumar expresiones algebraicas colocando los términos semejantes en columnas es a modo de guía, no es una obligación ni tampoco una forma habitual de sumar expresiones algebraicas, te alentamos a sumar de manera lineal identificando los términos semejantes y sumar mentalmente para luego colocar los resultados obtenidos.

Fin de la sección 1

Hoy terminamos con la primera sección de operaciones algebraicas, los ejercicios resueltos se realizarán luego de las secciones de resta algebraicamultiplicación algebraicadivisión algebraica.
Luego de la sección de ejercicios resueltos, desarrollaremos en secciones separadas los temas de productos notables y cocientes notables con sus respectivos ejercicios.

De esta manera finalizo la primera sección del capitulo actual, nos vemos amigos, gracias por llegar hasta aquí, espero verlos en la sección de la resta algebraica, bye.

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Metodos para sumar expresiones algebraicas
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2018-12-07T03:44:03+00:00