2. Resta Algebraica

Hola amigos, en esta segunda seccion del capitulo de operaciones algebraicas desarrollaremos la segunda operacion inversa a la suma algebraica, esta es, la resta algebraica.

Hay que tener en cuenta que cuando realizamos sustraciones de un termino con otro, pueda que el resultado incrementa de valor, esto es así desde que se definicion los numeros enteros, la extension de los numeros naturales.

Restar numeros naturales es facil, siempre y cuado el minuendo sea mayor que el sustraendo, el resultado disminuia, pero desde que se introdujo los numeros enteros, esto es, se añadió a la recta de los numeros naturales los numeros enteros, existian casos donde la diferencia de dos numeros enteros aumentaba, cosa contraria con la resta de numeros naturales.

Teniendo en cuenta este punto, la seccion actual trabajará con coeficientes de numeros enteros donde encontraremos este tipo de resultados, sin mas que decir, comencemos.

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De la misma manera con la suma algebraica, con la resta o diferencia algebraica, debemos tener en cuenta que restar dos terminos semejantes resulta un unico termino semejante, para dos terminos no semejantes, el resultado se deja tal cual es.

Si bien, la suma algebraica no afecta a los sinos operacionales de los terminos entre parentesis, la resta si afecta a cada termino, esto es, cambia los signos operacionales de cada termino luego de eliminar los parentesis, veamos un ejemplo generalizado.

Para la expresion \( a {\color{red} – } \underbrace{ ( b – c + d ) }_{ \mathrm{ Si \ eliminamos } \\ \mathrm{ los \ signos } \\ \mathrm{ de \ agrupacion } } = a \underbrace{ – b + c – d }_{ \mathrm{ Los \ signos \ de } \\ \mathrm{ cada \ termino } \\ \mathrm{ cambian } } \).

Este resultado es independiente de la variable \( a \), podriamos escribirlo de la misma manera y el resultado seria el mismo así: \( {color{red} – } ( b-c+d ) = -b + c -d \). Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de resta de monomios

  • Comencemos con la resta entre monomios:
    \( (4a) {\color{red} – } (-2a) {\color{red} – } (-3b) {\color{red} – } ( -5b ) {\color{red} – } (2c) {\color{red} – } (c) \).
    Eliminando los parentesis, resulta:
    \( 4a + 2a + 3b + 5b – 2c – c \)
    Reduciendo terminos semejantes:
    \( 6a + 8b – 3c \)

Ejemplos de resta de polinomios

  • Y ahora veamos la resta con polinomios:
    \( ( 8m + 6n ) {\color{red} – } ( 2m – 5n ) {\color{red} – } (-p) \).
    Eliminando parentesis se cambian los signos de \( 2m-5n \) a \( -2m+5n \) y \( -p \) a \( p \):
    \( 8m + 6n -2m + 5n + p \)
    Reduciendo terminos semejantes:
    \( 6m + 11n + p \)

Nota importante 1:

Tambien podemos agregar signos de agrupacion donde no los hay con los signos de suma y resta en las expresiones algebraicas. Veamos algunos ejemplos breves:

  • Para el caso de la suma algebraica \( {\color{red} + } \), tenemos:
    \( 2a + 3c = {\color{red}+} ( \underbrace{ 2a + 3c }_{ \mathrm{ Se \ mantiene } \\ \mathrm{ los \ signos } } ) \)
    \( 5x – 3y = {\color{red}+} ( \underbrace{ 5x – 3y }_{ \mathrm{ Se \ mantiene } \\ \mathrm{ los \ signos } } ) \)
    \( – a + 2b – 3c = {\color{red}+} ( \underbrace{ – a + 2b – 3c }_{ \mathrm{ Se \ mantiene } \\ \mathrm{ los \ signos } } ) \)
  • Para el caso de la resta algebraica \( {\color{red} – } \), tenemos:
    \( -a + 2b = {\color{red}-} ( \underbrace{ a+2b }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } ) \)
    \( – 2a – 3b = {\color{red}-} ( \underbrace{ 2a + 3b }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } )  \)
    \( 4x – y = {\color{red}-} ( \underbrace{ – 4x + y }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } ) \)
    \( m – n = {\color{red}-} ( \underbrace{ -m + n }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } ) \)

Nota importante 2:

La diferencia entre dos expresiones algebraicas como \( 2a^2b^2 \) y \( 3xy \) es:

\( 2a^2b^2 – 3xy \)

Y la diferencia de este otros dos \( 3x^3y \) y \( -4ab \) es:

\( 3x^3y – ( -4ab ) = 3x^3y+4ab \)

Podriamos decir que la resta es una forma de suma, ahora veamos mediante el metodo visual como podrian restarte polinomios como lo realizamos para el caso de la suma algebraica.

Metodo visual para restar polinomios

Este metodo consistes en colocar en un tablero visual en una sola columna a los polinomios tal que las columnas de los monomios de cada polinomios sean semejantes. Por ejemplo, queremos restarle el polinomio \( -8x^3y – 6x^2y^2 +20y^4 \) al polinomio \( x^4 +9xy^3 -11y^4 \), es decir, queremos realizar la siguiente diferencia \( x^4 +9xy^3 -11y^4 {\color{red} – } ( -8x^3y – 6x^2y^2 + 20y^4 ) \), el parentesis se elimina cambiando los signos de los termunos del polinomio que queremos restar así \( x^4 +9xy^3 -11y^4 {\color{red} + } 8x^3y + 6x^2y^2 – 20y^4 \), luego lo colocamos en la siguiente tabla de tal manera que cada columna tenga su respectivo monomio semejante:

\( \begin{array}{ r r r r r r r r } + & x^4 & & & + & 9xy^3 & – & 11y^4 \\ & & + & 8x^3y &  & & – & 20y^4 \\ \hline & x^4 & + & 8x^3y & + & 9xy^3 & – & 31y^4 \end{array} \)

El resultado de las diferencias de los polinomios dados serian \( x^4 + 8x^3y + 9xy^3 – 31y^4 \).

Como se habran dado cuenta, los unicos termino semejante entre estos polinomios fueron \( -11y^4 \) y \( -20y^4 \), el resto de los terminos no semejantes no dejan como estan. Veamos otro ejemplo, queremos restar el polinomio \( x^3 – x^2 + 6 \) al polinomio \( 5x^2 – 4x + 6 \), tenemos:

\( x^3 – x^2 + 6 {\color{red} – } ( 5x^2 – 4x + 6 ) = x^3 – x^2 + 6 {\color{red} + } ( -5x^2 + 4x – 6 )  \)

Por tabla, obtenemos:

\( \begin{array}{ r r r r r r r r } + & x^3 & – & x^2 &  &  & + & 6 \\ & & – & 5x^2 & + & 4x & – & 6 \\ \hline & x^3 & – & 6x^2 & + & 4x &  & \end{array} \)

De esta manera, el resultado de la diferencia de los polinomios es \( x^3 – 6x^2 + 4x \).

Una seccion muy corta y sencilla, la proxima seccion trataremos la multiplicacion algebraica, no incluira las propiedades de productos notables ya que esta preparada para una seccion aparte del capitulo actual.
Esto sería todo queridos amigos, nos vemos en la proxima seccion, que tengan buen día, gracias.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Resta Algebraica
Clasificación
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2018-06-21T00:17:41+00:00