Hola amigos, en esta segunda sección del capitulo de operaciones algebraicas desarrollaremos la segunda operación inversa a la suma algebraica, esta es, la resta algebraica.

Hay que tener en cuenta que cuando realizamos sustracciones de un termino con otro, pueda que el resultado incrementa de valor, esto es así desde que se definición los números enteros, la extensión de los números naturales.

Restar números naturales es fácil, siempre y cuando el minuendo sea mayor que el sustraendo, el resultado disminuía, pero desde que se introdujo los números enteros, esto es, se añadió a la recta de los números naturales los números enteros, existían casos donde la diferencia de dos números enteros aumentaba, cosa contraria con la resta de números naturales.

Teniendo en cuenta este punto, la sección actual trabajará con coeficientes de números enteros donde encontraremos este tipo de resultados, sin mas que decir, comencemos.

De la misma manera con la suma algebraica, con la resta o diferencia algebraica, debemos tener en cuenta que restar dos términos semejantes resulta un único termino semejante, para dos términos no semejantes, el resultado se deja tal cual es.

Si bien, la suma algebraica no afecta a los sinos operacionales de los términos entre paréntesis, la resta si afecta a cada termino, esto es, cambia los signos operacionales de cada termino luego de eliminar los paréntesis, veamos un ejemplo generalizado.

Para la expresion \( a {\color{red} – } \underbrace{ ( b – c + d ) }_{ \mathrm{ Si \ eliminamos } \\ \mathrm{ los \ signos } \\ \mathrm{ de \ agrupacion } } = a \underbrace{ – b + c – d }_{ \mathrm{ Los \ signos \ de } \\ \mathrm{ cada \ termino } \\ \mathrm{ cambian } } \).

Este resultado es independiente de la variable \( a \), podríamos escribirlo de la misma manera y el resultado seria el mismo así: \( {color{red} – } ( b-c+d ) = -b + c -d \). Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de resta de monomios

  • Comencemos con la resta entre monomios:
    \( (4a) {\color{red} – } (-2a) {\color{red} – } (-3b) {\color{red} – } ( -5b ) {\color{red} – } (2c) {\color{red} – } (c) \).
    Eliminando los paréntesis, resulta:
    \( 4a + 2a + 3b + 5b – 2c – c \)
    Reduciendo términos semejantes:
    \( 6a + 8b – 3c \)

Ejemplos de resta de polinomios

  • Y ahora veamos la resta con polinomios:
    \( ( 8m + 6n ) {\color{red} – } ( 2m – 5n ) {\color{red} – } (-p) \).
    Eliminando paréntesis se cambian los signos de \( 2m-5n \) a \( -2m+5n \) y \( -p \) a \( p \):
    \( 8m + 6n -2m + 5n + p \)
    Reduciendo términos semejantes:
    \( 6m + 11n + p \)

Nota importante 1:

También podemos agregar signos de agrupación donde no los hay con los signos de suma y resta en las expresiones algebraicas. Veamos algunos ejemplos breves:

  • Para el caso de la suma algebraica \( {\color{red} + } \), tenemos:
    \( 2a + 3c = {\color{red}+} ( \underbrace{ 2a + 3c }_{ \mathrm{ Se \ mantiene } \\ \mathrm{ los \ signos } } ) \)
    \( 5x – 3y = {\color{red}+} ( \underbrace{ 5x – 3y }_{ \mathrm{ Se \ mantiene } \\ \mathrm{ los \ signos } } ) \)
    \( – a + 2b – 3c = {\color{red}+} ( \underbrace{ – a + 2b – 3c }_{ \mathrm{ Se \ mantiene } \\ \mathrm{ los \ signos } } ) \)
  • Para el caso de la resta algebraica \( {\color{red} – } \), tenemos:
    \( -a + 2b = {\color{red}-} ( \underbrace{ a+2b }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } ) \)
    \( – 2a – 3b = {\color{red}-} ( \underbrace{ 2a + 3b }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } )  \)
    \( 4x – y = {\color{red}-} ( \underbrace{ – 4x + y }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } ) \)
    \( m – n = {\color{red}-} ( \underbrace{ -m + n }_{ \mathrm{ Los \ signos } \\ \mathrm{ cambian } } ) \)

Nota importante 2:

La diferencia entre dos expresiones algebraicas como \( 2a^2b^2 \) y \( 3xy \) es:

\( 2a^2b^2 – 3xy \)

Y la diferencia de este otros dos \( 3x^3y \) y \( -4ab \) es:

\( 3x^3y – ( -4ab ) = 3x^3y+4ab \)

Podríamos decir que la resta es una forma de suma, ahora veamos mediante el método visual como podrían restarte polinomios como lo realizamos para el caso de la suma algebraica.

Metodo visual para restar polinomios

Este método consistes en colocar en un tablero visual en una sola columna a los polinomios tal que las columnas de los monomios de cada polinomios sean semejantes. Por ejemplo, queremos restarle el polinomio \( -8x^3y – 6x^2y^2 +20y^4 \) al polinomio \( x^4 +9xy^3 -11y^4 \), es decir, queremos realizar la siguiente diferencia \( x^4 +9xy^3 -11y^4 {\color{red} – } ( -8x^3y – 6x^2y^2 + 20y^4 ) \), el paréntesis se elimina cambiando los signos de los términos del polinomio que queremos restar así \( x^4 +9xy^3 -11y^4 {\color{red} + } 8x^3y + 6x^2y^2 – 20y^4 \), luego lo colocamos en la siguiente tabla de tal manera que cada columna tenga su respectivo monomio semejante:

\( \begin{array}{ r r r r r r r r } + & x^4 & & & + & 9xy^3 & – & 11y^4 \\ & & + & 8x^3y &  & & – & 20y^4 \\ \hline & x^4 & + & 8x^3y & + & 9xy^3 & – & 31y^4 \end{array} \)

El resultado de las diferencias de los polinomios dados serian \( x^4 + 8x^3y + 9xy^3 – 31y^4 \).

Como se habrán dado cuenta, los únicos termino semejante entre estos polinomios fueron \( -11y^4 \) y \( -20y^4 \), el resto de los términos no semejantes no dejan como están. Veamos otro ejemplo, queremos restar el polinomio \( x^3 – x^2 + 6 \) al polinomio \( 5x^2 – 4x + 6 \), tenemos:

\( x^3 – x^2 + 6 {\color{red} – } ( 5x^2 – 4x + 6 ) = x^3 – x^2 + 6 {\color{red} + } ( -5x^2 + 4x – 6 )  \)

Por tabla, obtenemos:

\( \begin{array}{ r r r r r r r r } + & x^3 & – & x^2 &  &  & + & 6 \\ & & – & 5x^2 & + & 4x & – & 6 \\ \hline & x^3 & – & 6x^2 & + & 4x &  & \end{array} \)

De esta manera, el resultado de la diferencia de los polinomios es \( x^3 – 6x^2 + 4x \). No hay mucha diferencia entre la suma y resta algebraica como se ven en estos ejemplos. La resta en álgebra es una forma de suma ya que el signo menos es parte de los números junto con las variables que las acompañan como un único termino, lo que hacemos es sumar términos donde se incluyen tanto el signo positivo como el signo negativo.

Ojo: los métodos visuales solo sirven como guía para ordenar y sumar (restar) términos semejantes, no debe usarse como método obligatorio ni como forma habitual de resolución.

Fin de la sección 2

Una sección muy corta y sencilla, la próxima sección trataremos la multiplicación algebraica, no incluirá las propiedades de productos notables ya que esta preparada para una sección aparte del capitulo actual. Esta sección se actualizará para agregar algunos ejercicios resueltos del tema actual.

Esto sería todo queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, que tengan buen día, gracias.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Resta Algebraica
Clasificación
51star1star1star1star1star
2018-07-14T23:18:13+00:00
This website uses cookies and third party services. Ok