3. Multiplicación Algebraica

Holas amigos, aquí estamos de nuevo con la tercera seccion de operaciones algebraicas, esta vez desarrollaremos la multiplicación algebraica.

La multiplicacion entre expresiones algebraicas es independiente de la existencia de terminos semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica.

Lo que tomaremos muy en cuenta en esta seccion son la ley de los signos y las leyes de la potenciacion de la teoria de exponentes y las leyes distributivas.

Esta seccion nos ayudará a desarrollar y demostrar las identidades de productos notables que veremos en la proxima seccion luego de finalizar la seccion actual. Sin mas, comencemos.

La multiplicacion de dos expresiones algebraicas es otra expresion algebraica, en otras palabras, es una operacion matematica que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador.

Leyes de exponentes para la multiplicacion

Por tratarse de un curso elemental de algebra, necesitaremos las propiedades de teoria de exponetes ya anteriormente estudiadas. Por tratarse de multiplicacion entre polinomios, usaremos las 3 principales leyes de la potenciacion para la multiplicacion y son:

Multiplicacion de potencias de bases iguales

\( a^n \cdot a^m = a^{n + m} \)

Potencia de un producto

\( (ab)^n = a^n \cdot b^n \)

Potencia de potencia

\( (a^n)^m = a^{nm} \)

Ley de signos

Otro punto a tener en cuenta es la ley de signos que usaremos usualmente en la multiplicacion algebraica, sobre todo en los ejercicios. La ley de signos nos dice que:

  • La multiplicacion de signos iguales es siempre positiva.
  • La multiplicacion de signos diferentes es siempre negativa.

Veamos esta nomeclatura en el siguiente recuadro:

 Para signos iguales es positiva Para signos diferentes es negativa

 \( (+)(+) = + \)

\( (-)(-) = + \)

 \( (+)(-) = – \)

\( (-)(+) = – \)

Por ejemplo, si queremos multiplicar los numeros \( 3 \) y \( -2 \), debe entenderse que el signo del numero \( 3 = +3 \) es positivo, es decir, se sobre entiende, realizando la multiplicacion:

\( \overbrace{ ( \ +2 \ ) }^{ \overset{ \mathrm{multiplicando} \hspace{1,5em} }{ {\color{red} \searrow \hspace{0,5em} }  } } \overbrace{ ( \ -3 \ ) }^{ \overset{ \hspace{1,5em} \mathrm{multiplicador} }{ \hspace{0,5em} {\color{red} \swarrow } } } = \underbrace{ \ -6 \ }_{ \underset{ \hspace{1,5em} \mathrm{producto} }{ \hspace{0,5em} {\color{red} \nwarrow } } } \)

Se multiplica los signos \( (+)(-) = – \) segun la tabla elaborada y luego los numeros \( 2 \times 3 = 6 \), tenemos como resultado el numero \( -6 \).

En general:

  • Si tenemos un numero par de factores a multiplicar de numeros con signos negativos, el producro será positivo:
    \( \underbrace{ (-)(-)(-)…(-) }_{ \mathrm{ Numero \ \color{red}{par} \ de} \\ \mathrm{factores \ negativos } } = {\color{red} + } \)
  • Pero si tenemos un numero impar de factores a multiplicar de numeros con signos negativos, el producto será negativo.
    \( \underbrace{ (-)(-)(-)…(-) }_{ \mathrm{ Numero \ \color{red}{ impar } \ de } \\ \mathrm{ factores \ negativos } } = {\color{red} – } \)

Ejemplos de la ley de signos

Los ejemplos que veremos en breve será una combinacion entre factores positivos y negativos, pero lo que se tomaran en cuenta son los factores negativos ya que los positivos no afectan el resultado sin importar el numero de factores, veamos:

  • \( \underbrace{ (-1)(2)(-3)(2)(-3)(-1) }_{ \mathrm{ hay \ \color{red}{4} \ factores \ negativos \ \color{red}{par} } } = \color{red}{ + } ( 1 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 1 ) = 36 \)
  • \( \underbrace{ (-2)(+1)(-1)(+1)(-2)(-1)(-2) }_{ \mathrm{ hay \ \color{red}{5} \ factores \ negativos \ \color{red}{ impar } } } = {\color{red} – } ( 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 ) = \color{red}{ – } 8 \)

Leyes de la multiplicacion

Otras leyes que usaremos comunmente son la ley comutativa, asociativa y distributiva, veamos cada una de ellas.

Ley comutativa

Esta ley nos dice que el orden de los factores no altera el producto, esto es, \( ab = ba \), veamos dos ejemplos:

  •  \( xy^2 = y^2x \)
  • \( xyz^2 = yxz^2 = xz^2y = yz^2x = z^2xy = z^2yx \)

Ley asociativa

La ley asociativa nos dice no importa de que manera se agrupen los factores, esta no altera el producto, esto es, \( a(bc) = (ab)c \), veamos:

  • \( xy^2z^3 = x(y^2z^3) = y^2(xz^3) = z^3(xy^2) \)

Ley distributiva

Como vamos a tratar con multiplicacion con polinomios, esta ley será muy importate para nuestras operaciones, y nos dice que la multiplicacion de un factor por una suma de dos o mas terminos es igual a la suma de cada termino multiplicado por el factor dado, esto es, \( a(b+c) = ab+ac \), veamos estos ejemplos:

  • \( 3(4+1) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 12+3 = 15 \)
  • \( 5(x+3) = 5 \cdot x + 5 \cdot 3 = 5x + 15 \)

Estos conceptos serán suficientes para comensar a desarrollar la seccion actual.

Multiplicación entre monomios

La multiplicacion entre monomios es muy sencilla:

  1. Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
  2. Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables segun las leyes de los exponentes que estudiamos anteriormente.
  3. Aplicamos las ley distributiva
  4. Por ultimo aplicamos finalmente la leyes de los ginos.

El siguiente diagrama para \( -5x^2y^3 \) indica las partes de un monomio.

\( \xymatrix{ & & \color{red} { \text{ Exponentes } } \ar@/_/[dl] \ar@/^/[dl] \\ \color{green} { \text{Coeficiente} } \ar[r] & \color{green} {-5} { \color{blue} {x} }^{ \color{red}{2} } { \color{blue} {y} }^{ \color{red}{3} } & \\ & \color{blue} { \text{Base} } \ar@/_/[u]+<7mm,-5mm> \ar@/^/[u]+<-1mm,-3mm> & } \)

Este diagrama nos ayudará visualmente que debemos multiplicar para los siguientes ejemplos.

Ejemplos de multiplicacion entre monomios

Tanto los signos de agrupacion como el punto, indican que los factores se estan multiplicando siempre y cuando no exista algun operador entre los factores:
  • \( \begin{align*} (3x^2)(4x^4) & = (3 \cdot 4 ) ( x^2 \cdot x^5 ) \\ & = (12) (x^{2+5}) \\ & = 12x^7 \end{align*} \\ \)
  • \( \begin{align*} (-2y^3)(3y^4) & = (-2 \cdot 3 ) ( y^3 \cdot y^4 ) \\ & = (-6) (y^{3+4}) \\ & = -6y^7 \end{align*} \\ \)
  • \( \begin{align*} (5xy^2)(3x^2y) & = ( 5 \cdot 3 ) ( xy^2 \cdot x^2y ) \\ & = (15) (x^{1+2}y^{2+1}) \\ & = 15x^3y^3 \end{align*} \\ \)
  • \( \begin{align*} (-3a^2)(a^2) & = (-3 \cdot 1 ) ( a^2 \cdot a^2 ) \\ & = (-3) (a^{2+2}) \\ & = -3a^4 \end{align*} \\ \)
  • \( \begin{align*} (a)(-3a^2b)(-ab^3) & = (1 \cdot -3 \cdot -1 ) ( a \cdot a^2b \cdot ab^3 ) \\ & = (3) (a^{1+2+1}b^{1+3}) \\ & = 3a^4b^4 \end{align*} \)

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Para realizar la multiplicacion de un monomio por un polinomio, aplicaremos la ley distributiva, esto es, se multiplica el monomio a cada termino del polinomio, luego, realizar el proceso de multiplicacion entre monomios que ya explicamos anteriormente.

Este tipo de multiplicacion tiene la siguiente forma \( a(b+c) = ab+ac \), donde \( a \), \( b \) y \( c \) son monomios., veamos algunos ejemplos aclaratorios.

Ejemplos de multiplicacion de un monomio por un polinomio

  • \( \xymatrix{ \ar@/^1.5pc/[r]+<4mm,0mm> \ar@/^1pc/[r]+<-7mm,0mm> & } \\ \begin{align*} \hspace{-0,5em} \overbrace{4x}(x+2) & = \underbrace{ 4x \cdot x}_{ \scriptsize{ \mathrm{Multiplicacion}} \\ \scriptsize{\mathrm{de \ monomios}} } + \underbrace{4x \cdot 2}_{ \scriptsize{ \mathrm{Multiplicacion}} \\ \scriptsize{\mathrm{de \ monomios}} } \\ & = 4x^2 + 8x \end{align*} \)
  • \( \xymatrix{ \ar@/^1.5pc/[r]+<4mm,0mm> \ar@/^1pc/[r]+<-7mm,0mm> & } \\ \begin{align*} \hspace{-0,5em} \overbrace{2x}(x+1) & =  2x \cdot x + 2x \cdot 1 \\ & = 4x^2 + 8x \end{align*} \)
  • \( \begin{align*} \overbrace{5xy}(x^2y+xy) & =  5xy \cdot x^2y + 5xy \cdot xy \\ & = 5x^3y^2 + 5x^2y^2 \end{align*} \)
  • \( \begin{align*} \overbrace{4x^2}(x^3-2) & =  4x^2 \cdot x^3 + 4x^2 \cdot (-2) \\ & = 4x^5 – 8x^2 \end{align*} \)
  • \( \begin{align*} \overbrace{-2x^2y^3}(x^3y^6+x^4y^3) & =  -2x^2y^3 \cdot x^3y^6 – 2x^2y^3 \cdot x^4y^3 \\ & = -2x^5y^9 – 2x^6y^6 \end{align*} \)

La ley distributiva tambien puede extenderse para multiplicacion entre polinomios y esto es lo que veremos en el siguiente apartado.

Multiplicación entre polinomios

Para saber como resolver la multiplicacion entre polinomios, tan solo debemos tener en cuneta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de la potenciación.

La forma mas basica o reducida de la multiplicacion entre dos polinomio es de la forma \( (a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd \), esto es, la multiplicacion entre dos binomios, su prueba es muy sencilla, es tan solo aplicando la propiedad distributiva. Veamos, la propiedad nos dice que \( x(y+z) = xy+xz \), si suponemos que \( x=a+b \), \( y=c \) y \( z=d \), remplazando en la propiedad, tenemos:

\( \underbrace{ (a+b) }_{x} ( \underbrace{c}_{y} + \underbrace{d}_{z} ) = \underbrace{ (a+b)c }_{ \text{ aplicando la } \\ \text{ ley distributiva } } + \underbrace{ (a+b)d }_{ \text{ aplicando la } \\ \text{ ley distributiva  } } = ac+bc+ad+bd \)

Por lo general, llamamos multiplicando al fator de la izquierda \( a+b \) y multiplicador al factor de la derecha \( c+d \), esto es:

\( \underbrace{ (a+b) }_{ \text{multiplicando} \ } \underbrace{ (c+d) }_{ \ \text{multiplicador} } \)

Aunque esto ya lo mencionamos en el apartado de la ley de signos. Ahora veamos un ejemplos con flechitas para que lo comprendas mucho mejor

\( \xymatrix{ \hspace{1em} \ar@/^1.5pc/[r]+<14mm,0mm> \ar@/^1pc/[r]+<2mm,0mm> &  } \\ \begin{align*}  \large{ ( \color{red}{x} + \color{blue}{2} )(x+3) } & =  \large{ \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 3 + \color{blue}{2} \cdot x + \color{blue}{2} \cdot 3 } \\ \xymatrix{ \ar@/_1pc/[r]+<5mm,0mm> \ar@/_0.5pc/[r]+<-8mm,0mm> &  } \hspace{0,7em} & = \large{ x^2 + 3x +2x +6 }  \\ &  = \large{ x^2 + 5x +6 } \end{align*} \)

Significa que la variable de color rojo \( \color{red}{x} \) multiplica a cada termino de la suma del factor \( x+3 \) y el numero de color azul \( \color{blue}{2} \) multiplica igualmente a los mismos terminos del factor \( x+3 \), el resultado final es \( x^2+5x+6 \).

Ejemplos de multiplicacion entre polinomios

Los siguientes ejemplos te ayudarán como resolver los productos entre polinomios y esto lo veremos tanto del metodo horizontal como el vertical, este ultimo es un metodo clasico y que seguro lo habras visto en el libro de algebra de Baldor. Veamos:

Metodo horizontal:

  1. Multiplicar: \( (𝑥 – 3)( 𝑥 + 4) \).
    Solución:
    \( \begin{align*} \ ( \color{red}{x} – \color{blue}{3} ) (x+4) & = \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 4 + \color{blue}{ (-3) } \cdot x + \color{blue}{ (-3) } \cdot 4 \\ & = x^2 +4x + ( -3x ) +(-12) \\ & = x^2 +4x -3x -12 \\ & = x^2 +x -12 \end{align*} \\ \)
  2. Multiplicar: \( (𝑥+3)(𝑥^2+2𝑥+1) \).
    Solución:
    \( \begin{align*} \ ( \color{red}{x} + \color{blue}{3} ) (x^2 +2x+1) & = \color{red}{x} \cdot x^2 + \color{red}{x} \cdot 2x + \color{red}{x} \cdot 1 + \color{blue}{ 3 } \cdot x^2 + \color{blue}{ 3 } \cdot 2x + \color{blue}{ 3 } \cdot 1 \\ & = x^3 +2x^2 + x + 3x^2 + 6x +3 \\ & = x^3 +5x^2 + 7x +3 \end{align*} \\ \)
  3. Multiplicar: \( (𝑥+1)( 𝑥+4) \).
    Solución:
    \( \begin{align*} \ ( \color{red}{x} + \color{blue}{1} ) (x + 4) & = \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 4 + \color{blue}{ 1 } \cdot x + \color{blue}{ 1 } \cdot 4 \\ & = x^2 +4x + x + 4 \\ & = x^2 +5x + 4 \end{align*} \\ \)
  4. Multiplicar \( (𝑥^2+5𝑥+7)(4𝑥^2+3𝑥+2) \)
    Solución:
    \( \begin{align*} \ ( \color{red}{𝑥^2} + \color{blue}{5𝑥} + \color{green}{7} )(4𝑥^2+3𝑥+2)   & = \color{red}{𝑥^2} \cdot 4x^2 + \color{red}{𝑥^2} \cdot 3x + \color{red}{𝑥^2} \cdot 2 + \color{blue}{5𝑥} \cdot 4x^2 + \color{blue}{5𝑥} \cdot 3x + \color{blue}{5𝑥} \cdot 2 + \color{green}{7} \cdot 4x^2 + \color{green}{7} \cdot 3x + \color{green}{7} \cdot 2 \\ & = 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 20x^3  + 15x^2 + 10x + 28x^2 + 21x + 14 \\ & = 4x^4 + 23x^3 + 45x^2 + 31x + 14 \end{align*} \\ \)

Metodo vectical:

Este es un metodo clasico donde los factores de multiplican colocando el desarrollo vecticalmente y no de manera horizontal o lineal para todo el desarrollo, veamos el siguiente ejercicio para la multiplicacion de los siguientes polinomios \( 𝑥^2 +5𝑥 +7 \), \( 4𝑥^2+3𝑥 +2 \), tenemos:

\( \hspace{13,7em} \underline{ \xymatrix{ \Large{x^2} & + & \hspace{0,5em} \Large{5x}  & \hspace{0,8em} + & \hspace{0,5em} \Large{7}  \\ \color{red}{ \Large{4x^2} } & + & \hspace{0,5em} \color{blue}{ \Large{3x} } & \hspace{0,8em} + & \hspace{0,5em} \color{green}{ \Large{2} } } } \\ \xymatrix{ \color{red}{ \Large{ 4x^2} }  ( \Large{𝑥^2} +\Large{5𝑥} +\Large{7} ) \color{red}{ \longrightarrow } \\ \color{blue}{ \Large{3x} } ( \Large{𝑥^2} + \Large{5𝑥} + \Large{7} ) \color{blue}{ \longrightarrow } \\  \color{green}{ \Large{2} } ( \Large{𝑥^2} + \Large{5𝑥} + \Large{7} ) \color{green}{ \longrightarrow } } \underline{ \xymatrix{  \Large{4x^4} & + & \Large{20x^3} & + & \Large{28x^2} & & & & \\  & + & \Large{3x^3} & + & \Large{15x^2} & + & \Large{21x} & & \\  & & & + & \Large{2x^2} & + & \Large{10x} & + & \Large{14} } } \\ \hspace{13,7em} \xymatrix{ \Large{4x^4} & + & \Large{23x^3} & + & \Large{45x^2} & + & \Large{31x} & + & \Large{14} } \)

Este metodo es una ayuda visual para multiplicar polinomios y reconocer facilmente los terminos semejantes luego de la multiplicacion.

Algunos Ejercicios de multiplicación algebraica de monomios y polinomios

Ejercicio 1: Multiplicar los monomios \( 3xyz \), \( – \frac{x^2y^3z^4}{5} \), \( -10xy^2z^3 \).

Solucion:
Primero multiplicamos los coeficientes:

\( 3 \cdot \frac{1}{5} \cdot 10 = 6 \)

Luego multiplicamos la parte literal:

\( ( x y z )( x^2 y^3 z^4 )( x y^2 z^3 ) = x \cdot x^2 \cdot x  y \cdot y^3 \cdot y^2  z \cdot z^4 \cdot z^3  = x^4y^6z^8 \)

Por ultimo, los signos de cada monomio:

\( (+)(-)(-) = + \)

Por tanto, el resultado sería \( +6x^4y^6z^8 \) o simplemente  \( 6x^4y^6z^8 \).

Ejercicio 2: Sean los polinomios \( \mathrm{ M }(x) = x+2 \) y \( \mathrm{ N }(x) = x+3 \) donde \( x^2 + 5x = -4 \). Resolver \( \mathrm{ M }(x) \cdot \mathrm{ N } (x) \).

Solución:
Realizando la multiplicación de \( \mathrm{ M }(x) \cdot \mathrm{ N } (x) \), tenemos:
\( \begin{align*} \mathrm{ M }(x) \cdot \mathrm{ N } (x) & = ( \color{red}{x} + \color{blue}{2} )(x+3) \\ & = \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 3 + \color{blue}{2} \cdot x + \color{blue}{2} \cdot 3 \\ & = x^2 + \underline{3x} + \underline{2x} + 6 \\ & = \underbrace{x^2 + 5x}_{ \small{ \text{dato}: \ x^2 + 5x = -4} } + 6 \\ & = -4+6 = 2 \end{align*}  \)

Ejercicio 3: Probar la siguiente propiedad \( (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \).

Solución:
Usando la propiedad anteriormente explicada y demostrada \( ( \color{red}{a} + \color{blue}{b} )(c+d) = \color{red}{a}c+\color{blue}{b}c+\color{red}{a}d+\color{blue}{b}d \), veamos:
\( \begin{align*} (a+b)^2 & = ( \color{red}{a} + \color{blue}{b} )(a+b) \\ & = \color{red}{a} \cdot a + \color{red}{a} \cdot b + \color{blue}{b} \cdot a + \color{blue}{b} \cdot b \\ & = a^2 + \underline{ab} + \underline{ab} + b^2  \end{align*} \)
De esta manera queda demstrada la propiedad.

Ejercicio 4: Resolver la expresión \( 5x^2( x^2+2 )( x^2 + 1 )( x^2 + 3 ) \).

Solución: Efectuaremos por partes coloreando los factores así \( \color{red}{ ( x^2+2 ) } \), \( \color{blue}{ ( x^2 + 1 ) } \) y \( \color{green}{ ( x^2 + 3 ) } \), el factor \( 5x^2 \) quedará con el mismo color negro, operando \( 5x^2 \) con \( \color{red}{ ( x^2+2 ) } \) y \( \color{blue}{ ( x^2 + 1 ) } \) con \( \color{green}{ ( x^2 + 3 ) } \), tenemos:

\( \begin{align*} \small{5x^2 \color{red}{ ( x^2+2 ) } } & \small{ = 5x^2 \cdot \color{red}{ x^2} + 5x^2 \cdot \color{red}{ 3 } } \\ & \small{ = 5x^4 +10x^2 } \end{align*}  \)

\( \begin{align*} \small{ \color{blue}{ ( x^2 + 1 ) } \color{green}{ ( x^2 + 3 ) } } & \small{ = \color{blue}{x^2} \cdot \color{green}{x^2} + \color{blue}{x^2} \cdot \color{green}{3} + \color{blue}{1} \cdot \color{green}{x^2} + \color{blue}{1} \cdot \color{green}{3} } \\ & \small{ = x^4 + 3x^2 + x^2 + 3 } \\ & \small{= x^4 +4x^2 +3 } \end{align*}  \)

Ahora multiplicamos estos dos ultimos resultados, tenemos:

\( \begin{align*} ( \underline{5x^4} + \underline{ \underline{10x^2} } )(x^4 +4x^2 +3) & = \underline{5x^4} \cdot x^4 + \underline{5x^4} \cdot 4x^2 + \underline{5x^4} \cdot 3 + \underline{ \underline{10x^2} } \cdot x^4 + \underline{ \underline{10x^2} } \cdot 4x^2 + \underline{ \underline{10x^2} } \cdot 3 \\ & = 5x^8 + \underline{20x^6} + \underline{ \underline{15x^4} } + \underline{10x^6} + \underline{ \underline{ 40x^4 } } + 30x^2 \\ & = 5x^8 + 30x^6 + 55x^4 + 30x^2 \end{align*} \)

Ejercicio 5: Multiplicar los polinomios \( x^2 + x + 1 \) y \( 2x^2 + 3x + 3 \)

Solución: Lo realizaremos con el metodo vertical, veamos:

\( \begin{array}{ r r r r r r r } x^2 & + & x & + & 1 & & & & \\ \color{red}{2x^2} & + & \color{blue}{3x} & + & \color{green}{3} & & & & \\ \hline \color{red}{2x^2} \cdot x^2 & + & \color{red}{2x^2} \cdot x & + & \color{red}{2x^2} \cdot 1 & & & & \\ & + & \color{blue}{3x} \cdot x^2 & + & \color{blue}{3x} \cdot x & + & \color{blue}{3x} \cdot 1 & & \\ & & & + & \color{green}{3} \cdot x^2 & + & \color{green}{3} \cdot x & + & \color{green}{3} \cdot 1 \\ \hline 2x^4 & + & 3x^3 & + & 8x^2 & + & 6x & + & 3   \end{array} \)

Con estos ejercicios serán suficientes para comenzar la siguiente sección.

Fin de la sección 3

Finalizando esta seccion, estamos preparados para dedicarnos a las propiedades de la multiplicacion algebraica, esto es, productos notables, pero esto lo veremos en la siguiente seccion. Espero que les sea muy util el contenido actual, los veremos para la siguiente sección, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Multiplicación Algebraica
Clasificación
51star1star1star1star1star
2018-04-08T18:18:55+00:00