3. Multiplicación Algebraica

En esta nuevo sección de operaciones algebraicas, desarrollaremos la multiplicación algebraica donde multiplicaremos factores algebraicos obteniéndose como resultado otra expresión llamado producto.

La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia de términos semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica.

Aquellas proposiciones que ya hemos demostrado previamente serán usadas en esta sección. Estas leyes son la ley de los signos, las leyes de la potenciación de la teoría de exponentes como las leyes distributivas de multiplicación con respecto a la suma y resta.

Esta sección nos ayudará a desarrollar y demostrar las identidades de productos notables que veremos en la próxima. Sin mas, comencemos.

¿Que es la multiplicación en álgebra?

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La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador.

Leyes de exponentes para la multiplicación

Por tratarse de un curso elemental de álgebra, necesitaremos las propiedades de teoría de exponentes ya anteriormente estudiadas. Por tratarse de multiplicación entre polinomios, usaremos las 3 principales leyes de la potenciacion para la multiplicación y son:

Multiplicación de potencias de bases iguales

\[ a^n \cdot a^m = a^{n + m} \]

Potencia de un producto

\[ (ab)^n = a^n \cdot b^n \]

Potencia de potencia

\[ (a^n)^m = a^{nm} \]

Ley de signos

Otro punto a tener en cuenta es la ley de signos que usaremos usualmente en la multiplicación algebraica, sobre todo en los ejercicios. La ley de signos nos dice que:

• La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
• La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa.

Veamos esta nomenclatura en el siguiente recuadro:

Multiplicación de signos iguales	Multiplicación de signos diferentes
\[ (+)(+) = + \]	\[ (+)(-) = – \]
\[ (-)(-) = + \]	\[ (-)(+) = – \]

Por ejemplo, si queremos multiplicar los números \( 3 \) y \( -2 \), debe entenderse que el signo del numero \( 3 = +3 \) es positivo, es decir, se sobre entiende, realizando la multiplicación:

\[ \overbrace{ ( \ +2 \ ) }^{ \overset{ \mathrm{multiplicando} \hspace{1,5em} }{ {\color{red} \searrow \hspace{0,5em} }  } } \overbrace{ ( \ -3 \ ) }^{ \overset{ \hspace{1,5em} \mathrm{multiplicador} }{ \hspace{0,5em} {\color{red} \swarrow } } } = \underbrace{ \ -6 \ }_{ \underset{ \hspace{1,5em} \mathrm{producto} }{ \hspace{0,5em} {\color{red} \nwarrow } } } \]

Se multiplica los signos \( (+)(-) = – \) según la tabla elaborada y luego los números \( 2 \times 3 = 6 \), tenemos como resultado el numero \( -6 \).

En general:

• Si tenemos un numero par de factores a multiplicar de números con signos negativos, el producto será positivo:
  \[ \underbrace{ (-)(-)(-)…(-) }_{ \mathrm{ Numero \ \color{red}{par} \ de} \\ \mathrm{factores \ negativos } } = {\color{red} + } \]
• Pero si tenemos un numero impar de factores a multiplicar de números con signos negativos, el producto será negativo.
  \[ \underbrace{ (-)(-)(-)…(-) }_{ \mathrm{ Numero \ \color{red}{ impar } \ de } \\ \mathrm{ factores \ negativos } } = {\color{red} – } \]

Ejemplos

Los ejemplos que veremos en breve será una combinación entre factores positivos y negativos, pero lo que se tomaran en cuenta son los factores negativos ya que los positivos no afectan el resultado sin importar el numero de factores, veamos dos ejemplos:

• \( \underbrace{ (-1)(2)(-3)(2)(-3)(-1) }_{ \mathrm{ hay \ \color{red}{4} \ factores \ negativos \ \color{red}{par} } } = \color{red}{ + } ( 1 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 1 ) = 36 \)
• \( \underbrace{ (-2)(+1)(-1)(+1)(-2)(-1)(-2) }_{ \mathrm{ hay \ \color{red}{5} \ factores \ negativos \ \color{red}{ impar } } } = {\color{red} – } ( 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 ) = \color{red}{ – } 8 \)

Leyes de la multiplicación

Otras leyes que usaremos comúnmente son la ley conmutativa, asociativa y distributiva, veamos cada una de ellas.

Ley conmutativa

Esta ley nos dice que el orden de los factores no altera el producto, esto es, \( ab = ba \), veamos dos ejemplos:

• \( xy^2 = y^2x \)
• \( xyz^2 = yxz^2 = xz^2y = yz^2x = z^2xy = z^2yx \)

Ley asociativa

La ley asociativa nos dice no importa de que manera se agrupen los factores, esta no altera el producto, esto es, \( a(bc) = (ab)c \), aclarando con un ejemplo:

• \( xy^2z^3 = x(y^2z^3) = y^2(xz^3) = z^3(xy^2) \)

Ley distributiva

Como vamos a tratar con multiplicación con polinomios, esta ley será muy importante para nuestras operaciones, y nos dice que la multiplicación de un factor por una suma de dos o mas términos es igual a la suma de cada termino multiplicado por el factor dado, esto es, \( a(b+c) = ab+ac \), veamos estos ejemplos:

• \( 3(4+1) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 12+3 = 15 \)
• \( 5(x+3) = 5 \cdot x + 5 \cdot 3 = 5x + 15 \)

Estos conceptos serán suficientes para comenzar a desarrollar la sección actual.

Multiplicación entre monomios

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La multiplicación entre monomios es muy sencilla:

1. Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
2. Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los exponentes que estudiamos anteriormente.
3. Aplicamos las ley distributiva
4. Por ultimo aplicamos finalmente la leyes de los signos.

El siguiente diagrama para \( -5x^2z^3 \) indica las partes de un monomio.

\[ \underset{ \hspace{3.8cm} \color{purple}{ \text{Bases} } }{ \overset{ \hspace{3.1cm} \color{red}{ \text{Coeficiente} } \hspace{0.5cm} \color{green}{ \text{Exponentes} } }{ \color{blue}{ \text{Signo} \rightarrow – } { \overset{ \color{red}{ \downarrow } }{ \color{red}{5} } }{ \underset{ \color{purple}{ \uparrow } }{ \color{purple}{x} } }^{ \overset{ \color{green}{ \downarrow } }{ \color{green}{2} } } { \underset{ \color{purple}{ \uparrow } }{ \color{purple}{z} } }^{ \overset{ \color{green}{ \downarrow } }{ \color{green}{3} } } } } \]

Este diagrama nos ayudará visualmente que debemos multiplicar para los siguientes ejemplos.

Ejemplo

Tanto los signos de agrupación como el punto, indican que los factores se están multiplicando siempre y cuando no exista algún operador entre los factores:

• Multiplicar \( 3x^{2} \) y \( 4x^{4} \).
  Solución:
  \( \begin{align*} (3x^2)(4x^4) & = (3 \cdot 4 ) ( x^2 \cdot x^4 ) \\ & = (12) (x^{2+5}) \\ & = 12x^7 \end{align*} \\ \)
• Multiplicar \( -2y^{3} \) y \( 3y^{4} \).
  Solución:
  \( \begin{align*} (-2y^3)(3y^4) & = (-2 \cdot 3 ) ( y^3 \cdot y^4 ) \\ & = (-6) (y^{3+4}) \\ & = -6y^7 \end{align*} \\ \)
• Multiplicar \( 5xy^{2} \) y \( 3x^{2} y \).
  Solución:
  \( \begin{align*} (5xy^2)(3x^2y) & = ( 5 \cdot 3 ) ( xy^2 \cdot x^2y ) \\ & = (15) (x^{1+2}y^{2+1}) \\ & = 15x^3y^3 \end{align*} \\ \)
• Multiplicar \( -3a^{2} \) y \( a^{2} \).
  Solución:
  \( \begin{align*} (-3a^2)(a^2) & = (-3 \cdot 1 ) ( a^2 \cdot a^2 ) \\ & = (-3) (a^{2+2}) \\ & = -3a^4 \end{align*} \\ \)
• Multiplicar \( a \), \( -3a^{2} b \) y \( -ab^{3} \).
  Solución:
  \( \begin{align*} (a)(-3a^2b)(-ab^3) & = (1 \cdot -3 \cdot -1 ) ( a \cdot a^2b \cdot ab^3 ) \\ & = (3) (a^{1+2+1}b^{1+3}) \\ & = 3a^4b^4 \end{align*} \)

Multiplicación de monomio por un polinomio

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Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio, aplicaremos la ley distributiva, esto es, se multiplica el monomio a cada termino del polinomio, luego, realizar el proceso de multiplicación entre monomios que ya explicamos anteriormente.

Este tipo de multiplicación tiene la siguiente forma \( a(b+c) = ab+ac \), donde \( a \), \( b \) y \( c \) son monomios., veamos algunos ejemplos aclaratorios.

Ejemplos

• Multiplicar \( 4x \) y \( x+2 \).
  Solución:
  \( \begin{align} \color{red}{4x} (x+2) & = \underbrace{ \color{red}{4x} \cdot x }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } + \underbrace{ \color{red}{4x} \cdot 2 }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } \\ & = 4x^{2} + 2x \end{align} \)
• Multiplicar \( 2x \) y \( x+1 \).
  Solución:
  \( \begin{align} \color{red}{2x} (x+1) &= \underbrace{ \color{red}{2x} \cdot x }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } + \underbrace{ \color{red}{2x} \cdot 1 }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } \\ & = 2x^2 + 2x \end{align} \)
• Multiplicar \( 5xy \) y \( x^{2} y + xy \).
  Solución:
  \( \begin{align} \color{red}{5xy} ( x^{2} y + xy ) & = \underbrace{ \color{red}{5xy} \cdot x^{2} }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } + \underbrace{ \color{red}{ 5xy } \cdot xy }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } \\ & = 5x^3y^2 + 5x^2y^2 \end{align} \)
• Multiplicar \( 4x^{2} \) y \( x^{3} – 2 \).
  Solución:
  \( \begin{align} \color{red}{ 4x^{2} } ( x^{3} – 2 ) & = \underbrace{ \color{red}{ 4x^{2} } \cdot x^{3} }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } + \underbrace{ \color{red}{ 4x^{2} } \cdot (-2) }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } \\ & = 4x^{5} – 8x^{2} \end{align} \)
• Multiplicar \( -2x^{2} y^{3} \) y \( x^{3} y^{6} + x^{4} y^{3} \).
  Solución:
  \( \begin{align} \color{red}{ -2x^{2} y^{3} } ( x^{3} y^{6} + x^{4} y^{3} ) & = \underbrace{ \color{red}{ -2x^{2} y^{3} } \cdot x^{3} y^{6} }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } + \underbrace{ \color{red}{ -2x^{2} y^{3} } \cdot x^{4} y^{3} }_{ \text{Multiplicación} \\ \text{de monomios} } \\ & = -2x^{5} y^{9} – 2x^6y^6 \end{align} \)

La ley distributiva también puede extenderse para multiplicación entre polinomios y esto es lo que veremos en el siguiente apartado.

Multiplicación entre polinomios

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Para saber como resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo debemos tener en cuneta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de la potenciación.

La forma mas básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomio es de la forma \( (a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd \), esto es, la multiplicación entre dos binomios, su prueba es muy sencilla, es tan solo aplicando la propiedad distributiva. Veamos, la propiedad nos dice que \( x(y+z) = xy+xz \), si suponemos que \( x=a+b \), \( y=c \) y \( z=d \), remplazando en la propiedad, tenemos:

\[ \underbrace{ (a+b) }_{x} ( \underbrace{c}_{y} + \underbrace{d}_{z} ) = \underbrace{ (a+b)c }_{ \text{ aplicando la } \\ \text{ ley distributiva } } + \underbrace{ (a+b)d }_{ \text{ aplicando la } \\ \text{ ley distributiva  } } = ac+bc+ad+bd \]

Por lo general, llamamos multiplicando al factor de la izquierda \( a+b \) y multiplicador al factor de la derecha \( c+d \), esto es:

\[ \underbrace{ (a+b) }_{ \text{multiplicando} \ } \underbrace{ (c+d) }_{ \ \text{multiplicador} } \]

Aunque esto ya lo mencionamos en el apartado de la ley de signos. Ahora veamos un ejemplos con flechitas para que lo comprendas mucho mejor

\[ \begin{align} ( \color{red}{x} + \color{blue}{2} )(x+3) & =  \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 3 + \color{blue}{2} \cdot x + \color{blue}{2} \cdot 3 \\ & = \large{ x^2 + 3x +2x +6 }  \\ &  = x^2 + 5x +6 \end{align} \]

Significa que la variable de color rojo \( \color{red}{x} \) multiplica a cada termino de la suma del factor \( x+3 \) y el numero de color azul \( \color{blue}{2} \) multiplica igualmente a los mismos términos del factor \( x+3 \), el resultado final es \( x^2+5x+6 \).

Ejemplos

Los siguientes ejemplos te ayudarán como resolver los productos entre polinomios y esto lo veremos tanto del método horizontal como el vertical, este ultimo es un método clásico y que seguro lo habrás visto en el libro de álgebra de Baldor. Veamos:

Método horizontal:

1. Multiplicar: \( (? – 3)( ? + 4) \).
   Solución:
   \( \begin{align} ( \color{red}{x} – \color{blue}{3} ) (x+4) & = \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 4 + \color{blue}{ (-3) } \cdot x + \color{blue}{ (-3) } \cdot 4 \\ & = x^2 +4x + ( -3x ) +(-12) \\ & = x^2 +4x -3x -12 \\ & = x^2 +x -12 \end{align} \\ \)
2. Multiplicar: \( (?+3)(?^2+2?+1) \).
   Solución:
   \( \begin{align} ( \color{red}{x} + \color{blue}{3} ) (x^2 +2x+1) & = \color{red}{x} \cdot x^2 + \color{red}{x} \cdot 2x + \color{red}{x} \cdot 1 + \color{blue}{ 3 } \cdot x^2 + \color{blue}{ 3 } \cdot 2x + \color{blue}{ 3 } \cdot 1 \\ & = x^3 +2x^2 + x + 3x^2 + 6x +3 \\ & = x^3 +5x^2 + 7x +3 \end{align} \)
3. Multiplicar: \( (?+1)( ?+4) \).
   Solución:
   \( \begin{align} ( \color{red}{x} + \color{blue}{1} ) (x + 4) & = \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 4 + \color{blue}{ 1 } \cdot x + \color{blue}{ 1 } \cdot 4 \\ & = x^2 +4x + x + 4 \\ & = x^2 +5x + 4 \end{align} \)
4. Multiplicar \( (?^2+5?+7)(4?^2+3?+2) \)
   Solución:
   \( \begin{align} \scriptsize{ ( \color{red}{?^2} + \color{blue}{5?} + \color{green}{7} )(4?^2+3?+2) } & = \scriptsize{ \color{red}{?^2} \cdot 4x^2 + \color{red}{?^2} \cdot 3x + \color{red}{?^2} \cdot 2 + \color{blue}{5?} \cdot 4x^2 + \color{blue}{5?} \cdot 3x + \color{blue}{5?} \cdot 2 + \color{green}{7} \cdot 4x^2 + \color{green}{7} \cdot 3x + \color{green}{7} \cdot 2 } \\ & = \scriptsize{ 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 20x^3  + 15x^2 + 10x + 28x^2 + 21x + 14 } \\ & = \scriptsize{ 4x^4 + 23x^3 + 45x^2 + 31x + 14 } \end{align} \)

Método vertical:

Este es un método clásico donde los factores de multiplican colocando el desarrollo verticalmente y no de manera horizontal o lineal para todo el desarrollo, veamos el siguiente ejercicio para la multiplicación de los siguientes polinomios \( ?^2 +5? +7 \), \( 4?^2+3? +2 \), tenemos:

\[ \begin{array}{ l l } & \begin{array}{ c c c c c } x^{2} & + & \hspace{0.5cm} 5x & + & 7 \\ \color{red}{ 4x^{2} } & + & \hspace{0.5cm} \color{blue}{ 3x } & + & \color{green}{2} \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{ r } \color{red}{ 4x^{2} } ( x^{2} + 5x + 7 ) \color{red}{ \rightarrow } \\ \color{blue}{3x} ( x^{2} + 5x + 7 ) \color{blue}{ \rightarrow } \\ \color{green}{2} ( x^{2} + 5x + 7 ) \color{green}{ \rightarrow } \end{array} & \begin{array}{ c c c c c c c c c } 4x^{2} & + & 20x^{3} & + & 28x^{2} & & & & \\ & + & 3x^{3} & + & 15x^{2} & + & 21x & & \\ & & & + & 2x^{2} & + & 10x & + & 14 \\ \hline \end{array} \\ & \begin{array}{ c c c c c c c c c } 4x^{4} & \hspace{0.1cm} + & 23x^{3} & + & 45x^{2} & + & 31x & + & 14 \end{array} \end{array} \]

Este método es una ayuda visual para multiplicar polinomios y reconocer fácilmente los términos semejantes luego de la multiplicación.

Ejercicios resueltos

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Ejercicios 1

Multiplicar los monomios \( 3xyz \), \( – \frac{x^2y^3z^4}{5} \), \( -10xy^2z^3 \).

Solución:

1. Primero multiplicamos los coeficientes:
   \[ 3 \cdot \frac{1}{5} \cdot 10 = 6 \]
2. Luego multiplicamos la parte literal:
   \[ ( x y z )( x^2 y^3 z^4 )( x y^2 z^3 ) = x \cdot x^2 \cdot x  y \cdot y^3 \cdot y^2  z \cdot z^4 \cdot z^3  = x^4y^6z^8 \]
3. Por ultimo, multiplicamos los signos de cada monomio:
   \[ (+) \underbrace{ (-)(-) }_{ + } = (+)(+) = + \]
4. Por tanto, el resultado sería:
   \[ +6x^4y^6z^8 \]
5. O simplemente:
   \[ 6x^4y^6z^8 \]

Ejercicio 2

Sean los polinomios \( \mathrm{ M }(x) = x+2 \) y \( \mathrm{ N }(x) = x+3 \) donde \( x^2 + 5x = -4 \). Resolver \( \mathrm{ M }(x) \cdot \mathrm{ N } (x) \).

Solución:

Realizando la multiplicación de \( \mathrm{ M }(x) \cdot \mathrm{ N } (x) \), tenemos:
\[ \begin{align} \mathrm{ M }(x) \cdot \mathrm{ N } (x) & = ( \color{red}{x} + \color{blue}{2} )(x+3) \\ & = \color{red}{x} \cdot x + \color{red}{x} \cdot 3 + \color{blue}{2} \cdot x + \color{blue}{2} \cdot 3 \\ & = x^2 + \underline{3x} + \underline{2x} + 6 \\ & = \underbrace{x^2 + 5x}_{ \small{ \text{dato}: \ x^2 + 5x = -4} } + 6 \\ & = -4+6 = 2 \end{align} \]

Ejercicio 3

Probar la siguiente propiedad \( (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \).

Solución:

Usando la propiedad anteriormente explicada y demostrada \( ( \color{red}{a} + \color{blue}{b} )(c+d) = \color{red}{a}c+\color{blue}{b}c+\color{red}{a}d+\color{blue}{b}d \), resulta:
\[ \begin{align*} (a+b)^2 & = ( \color{red}{a} + \color{blue}{b} )(a+b) \\ & = \color{red}{a} \cdot a + \color{red}{a} \cdot b + \color{blue}{b} \cdot a + \color{blue}{b} \cdot b \\ & = a^2 + \underline{ab} + \underline{ab} + b^2  \end{align*} \]

De esta manera queda demostrada la propiedad.

Ejercicio 4

Resolver la expresión \( 5x^2( x^2+2 )( x^2 + 1 )( x^2 + 3 ) \).

Solución:

Efectuaremos por partes coloreando los factores así \( \color{red}{ ( x^2+2 ) } \), \( \color{blue}{ ( x^2 + 1 ) } \) y \( \color{green}{ ( x^2 + 3 ) } \), el factor \( 5x^2 \) quedará con el mismo color negro, operando \( 5x^2 \) con \( \color{red}{ ( x^2+2 ) } \) y \( \color{blue}{ ( x^2 + 1 ) } \) con \( \color{green}{ ( x^2 + 3 ) } \), tenemos:

\[ \begin{align} \small{5x^2 \color{red}{ ( x^2+2 ) } } & \small{ = 5x^2 \cdot \color{red}{ x^2} + 5x^2 \cdot \color{red}{ 3 } } \\ & \small{ = 5x^4 +10x^2 } \end{align}  \]

\[ \begin{align} \small{ \color{blue}{ ( x^2 + 1 ) } \color{green}{ ( x^2 + 3 ) } } & \small{ = \color{blue}{x^2} \cdot \color{green}{x^2} + \color{blue}{x^2} \cdot \color{green}{3} + \color{blue}{1} \cdot \color{green}{x^2} + \color{blue}{1} \cdot \color{green}{3} } \\ & \small{ = x^4 + 3x^2 + x^2 + 3 } \\ & \small{= x^4 +4x^2 +3 } \end{align}  \]

Ahora multiplicamos estos dos últimos resultados, tenemos:

\[ \begin{align} \small{ ( \underline{5x^4} + \underline{ \underline{10x^2} } )(x^4 +4x^2 +3) } & = \small{ \underline{5x^4} \cdot x^4 + \underline{5x^4} \cdot 4x^2 + \underline{5x^4} \cdot 3 + \underline{ \underline{10x^2} } \cdot x^4 + \underline{ \underline{10x^2} } \cdot 4x^2 + \underline{ \underline{10x^2} } \cdot 3 } \\ \text{Suma de terminos semejantes} & = \small{ 5x^8 + \boxed{20x^6} + \boxed{ \boxed{15x^4} } + \boxed{10x^6} + \boxed{ \boxed{ 40x^4 } } + 30x^2 } \\ & = \small{ 5x^8 + 30x^6 + 55x^4 + 30x^2 } \end{align} \]

Ejercicio 5

Multiplicar los polinomios \( x^2 + x + 1 \) y \( 2x^2 + 3x + 3 \)

Solución:

Lo realizaremos con el método vertical, tenemos:

\[ \begin{array}{ r r r r r r r } x^2 & + & x & + & 1 & & & & \\ \color{red}{2x^2} & + & \color{blue}{3x} & + & \color{green}{3} & & & & \\ \hline \color{red}{2x^2} \cdot x^2 & + & \color{red}{2x^2} \cdot x & + & \color{red}{2x^2} \cdot 1 & & & & \\ & + & \color{blue}{3x} \cdot x^2 & + & \color{blue}{3x} \cdot x & + & \color{blue}{3x} \cdot 1 & & \\ & & & + & \color{green}{3} \cdot x^2 & + & \color{green}{3} \cdot x & + & \color{green}{3} \cdot 1 \\ \hline 2x^4 & + & 3x^3 & + & 8x^2 & + & 6x & + & 3   \end{array} \]

Con estos ejercicios serán suficientes para comenzar la siguiente sección.

Fin de la sección

Finalizando esta sección, estamos preparados para dedicarnos a las propiedades de la multiplicación algebraica, esto es, productos notables, pero esto lo veremos en la siguiente sección. Espero que les sea muy útil el contenido actual, los veremos para la siguiente sección, bye.