7. Cocientes Notables

Hola queridos amigos, hoy les traigo otra nueva sección de operaciones algebraicas del curso de álgebra elemental, es la continuación del teorema del resto, esto es, los cocientes notables.

Los cocientes notables son unas cuantas formulas no tan extensas como los productos notables, de hecho, los cocientes notables que estudiaremos derivan de una forma especifica de una división exacta donde solo cambiaremos los signos para tener diferentes cocientes notables que si bien son pocas pero importante en el desarrollo de las matemáticas para cursos posteriores. Sin mas que decir, comencemos:

Una división exacta es cuando su residuo es cero y tiene la forma general:

D(x)/d(x) =q(x)

Pero vamos a tomas ciertas divisiones mas notables que encontramos en muchas áreas de matemática como también de física.

De la sección de productos notables, tomaremos algunas formulas como la diferencia de cuadrados:

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Si despejamos (a + b), tenemos:

(a^2-b^2)/(a-b)=a+b

Este es un caso particular de un cociente notable. Otro caso particular lo encontramos en la suma y diferencia de cubos estudiados en la sección de productos notables, veamos el primero:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -  ab + b^2)

Si despejamos (a^2 -  ab + b^2) resulta:

(a^3+b^3)/(a+b)=a^2-ab+b^2

Tenemos otro nuevo caso particular de división exacta, un nuevo cociente notable; para la diferencia de cubos:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Al despejar (a^2 + ab + b^2) obtenemos:

(a^3-b^3)/(a-b)=a^2+ab+b^2

Aquí tenemos otro nuevo cociente notable. Si nos fijamos en estos 3 cocientes notables particulares:

  • (a^2-b^2)/(a-b)=a+b
  • (a^3+b^3)/(a+b)=a^2-ab+b^2
  • (a^3-b^3)/(a-b)=a^2+ab+b^2

Notamos que cada uno de estas divisiones exactas son casos particulares de cocientes notables que estudiaremos en breve. Estas relaciones pueden generalizarse en casos mas generales y es lo que veremos en los siguientes apartados.

Definición de un cociente notable

Llamamos cocientes notables aquellas divisiones exactas, es decir, de residuo cero que se puede obtener de forma directa sin resolver o realizar ningún tipo de división algebraica.

Otros Ejemplos particulares de cocientes notables

Los cocientes notables que trataremos son como los casos derivados de la diferencia de cuadrados y la suma y diferencia de cubos, otros casos generales son: 

  • (⏞(a^4-b^4 )┴Dividendo)/⏟(a-b)┬Divisor =⏟(a^3+a^2 b+ab^2+b^3 )┬Cociente
  • (⏞(x^5-1)┴Dividendo)/⏟(x-1)┬Divisor =⏟(x^4+x^3+x^2+x+1)┬Cociente

Los cocientes notables pueden tomar muchas formas, pero por ser mas notorios y suelen presentarse en muchas situaciones, la forma concreta general que estudiaremos se expone en el siguiente apartado:

Forma típica de un cociente notable

Generalmente toman la siguiente forma:

cociente notable de la forma (x^n 〖±a〗^n)/(x±a)

∀n є N; n≥2

Casos de los cocientes notables

Del diagrama anterior podemos encontrar 4 casos de las cuales algunas de ellas con ciertas restricciones  cumplen con la definición de cociente notable.

  • Caso 1: (x^n-a^n)/(x-a) es un cociente notable.
  • Caso 2: (x^n+a^n)/(x+a) es un cociente notable si y solo si n es impar.
  • Caso 3: (x^n-a^n)/(x+a) es un cociente notable si y solo si n es par.
  • Caso 4: (x^n+a^n)/(x-a) esta división no es cociente notable ∀n є N; n≥2.

Estudio de un cociente notable

Estudio del caso 1: Aquí no importa si el valor de n es par o impar, el cociente notable de la forma:

(x^n-a^n)/(x-a)

Siempre es un cociente notable y es fácil demostrarlo, tan solo basta aplicar el teorema del resto que estudiamos en la sección anterior donde x=a, remplazando en el dividendo D(x)=x^n-a^n, tenemos:

R=a^n-a^n=0

Esto indica que la división es exacta y por tanto, estamos tratando con un cociente notable. Veamos el resto de los casos.

Estudio del caso 2: estos casos solo son aplicables para valores donde n es impar, por tanto, la siguiente división es un cociente notable:

(x^n+a^n)/(x+a)

Igualando el divisor a cero, el valor de x seria x=-a, remplazando en el dividendo D(x)=x^n+a^n, el resto quedaría de la siguiente manera:

R=(-a)^n+a^n

Para n impar, se cumple (-a)^n=-a^n, por tanto, el residuo seria cero (0):

R=-a^n+a^n=0

Esto prueba que la división del caso 2 es un cociente notable.

Estudio del caso 3: La división de la forma:

(x^n-a^n)/(x+a)

Es cociente notable si n es par. En efecto, igualando a cero el divisor para obtener x, resulta x=-a, remplazando en el divisor D(x)=x^n-a^n, tenemos:

R=〖(-a)〗^n-a^n

Si n es par se cumple (-a)^n=a^n, el residuo quedaría así:

R=a^n-a^n=0

Esto demuestra que la división de este caso es un cociente notable.

Estudio del caso 4: La siguiente división no es un cociente notable:

(x^n+a^n)/(x-a)

No importa si n  es par o impar, simplemente no es una división exacta mires por donde lo mires, si aplicamos el teorema del resto, el valor de x sería x=a, remplazando en el dividendo D(x)=x^n+a^n, el resto es:

R=a^n+a^n=2a^n

El resto es diferente de cero para cualquier valor de n, por tanto la división del caso 4 no es un cociente notable.

Ojo:

Si por A o B motivos no sabes cuando es un cociente notable para cualquier división de la forma general:

(x^n±a^n)/(x±a)

Simplemente aplicamos el teorema del resto para identificar si la división es un cociente notable o no. Por ejemplo, queremos saber si las siguientes divisiones son cocientes notables:

  1. (x^8+a^8)/(x-a)
  2. (x^15+a^15)/(x+a)

Veamos el primer ejemplo, igualando el divisor a cero, obtenemos el valor de x:

x=a

remplazando en el dividendo D(x)=x^8+a^8, el resto es:

R=a^8+a^8=2a^8

diferente de cero, por tanto, la división del caso 1 no es un cociente notable.Veamos el segundo ejemplo, como en el caso anterior, igualamos a cero, el valor de x seria:

x=-aremplazando en el divisor D(x)=x^15+a^15 obtenemos el resto:

R=(-a)^15+a^15=-a^15+a^15=0

Significa que la división del segundo ejemplo es un cociente notable.

Desarrollo de un cociente notable

Ahora vamos a desarrollar el polinomio completo de un cociente notable, incluiremos el caso 4 en el desarrollo para que tengan una idea comparativa de como es con un resto diferente de cero de las divisiones de los casos anteriores. Generalmente un cociente notable toma la siguiente forma:

(x^n±a^n)/(x±a)=+x^(n-1)±x^(n-2) a^1+x^(n-3) a^2+x^(n-4) a^3+⋯±a^(n-1)

El numero de términos del cociente de la igualdad del polinomio es igual al exponente n. Observe las siguientes consideraciones cundo queremos desarrollar una división de este tipo y estar seguro de que el cociente contiene todos los términos completos:

  • El exponente de base “x” disminuye de 1 en 1.
  • El exponente de base “a” aumenta de 1 en 1 a partir del segundo término.
  • Si el Divisor es “ xa” todos los términos del cociente son positivos.
  • Si el Divisor es “ x+a” los signos del cociente son alternados +,,+,− 

Veamos el desarrollo de los 4 casos que acabamos de mencionar anteriormente.

Desarrollo del caso 1: Este caso siempre es un cociente notable y su desarrollo es:

(x^n-a^n)/(x-a)=x^(n-1)+x^(n-2) a^1+x^(n-3) a^2+x^(n-4) a^3+⋯+a^(n-1)

Cuando el signo de color naranja del divisor es negativo (sin importar el signo de color naranja del dividendo), el desarrollo del cociente siempre tiene términos con signo positivo. Veamos algunos ejemplos:

Desarrollo del caso 2: Este caso solo es aplicable para n impar y toma la siguiente forma:

(x^n+a^n)/(x+a)=x^(n-1)-x^(n-2) a+x^(n-3) a^2-x^(n-4) a^3+⋯+a^(n-1)

Cuando el signo de color naranja del divisor es positivo, los signos de los términos del cociente tiene un orden alterno +,,+,,+, …. Por ser n impar, el ultimo termino del cociente es positivo. Veamos algunos ejemplos de este caso:

Desarrollo del caso 3: Este caso solo es aplicable para cuando n es par y toma la siguiente forma:

(x^n-a^n)/(x+a)=x^(n-1)-x^(n-2) a+x^(n-3) a^2-x^(n-4) a^3+⋯-a^(n-1)

Note que el ultimo termino del cociente es con signo negativo. Como en el caso anterior, si el divisor tiene signo positivo indicado de color naranja, entonces los signos de los términos del cociente son alternos +,,+,,+, …. Veamos algunos ejemplos ilustrativos:

Desarrollo del caso 4: Si bien es cierto que no se trata de un cociente notable, de todas maneras aquí te muestro su desarrollo, la forma que toma esta división es de la siguiente forma:

(x^n+a^n)/(x-a)=x^(n-1)+x^(n-2) a+x^(n-3) a^2+⋯+a^(n-1)+(2a^n)/(x-a)

El cociente solo llega hasta el termino a^(n-1) y el termino 2a^n del ultimo termino de la serie 2a^n/(x-a) es el residuo de la división. Como en el primer caso, el signo de color naranja del divisor es negativo, significa que los términos del cociente mas el termino demás 2a^n/(x-a) son todos de signo positivo.

Prueba del desarrollo de un cociente notable

Solo probaremos el desarrollo del caso 1, tenga en cuenta que esta prueba no es una demostración adecuada, la manera correcta de demostrarlo es por inducción. Aplicaremos el método de Ruffini de la división explicado en la sección de división algebraica para el caso:

(x^n-a^n)/(x-a)

Igualando el divisor a cero x-a=0 donde x=a, aplicando el método de Ruffini al dividendo pero completando ceros tal como se muestre en el siguiente esquema:

método de ruffini aplicado a un cociente notable de la forma (x^n+a^n)/(x-a)

Como el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor, es decir:

[q]°=[D]°-[d]°=n-1

El cociente de la división es:

q(x)=x^(n-1)∙1+x^(n-2) a+x^(n-3) a^2+x^(n-4) a^3+⋯+a^(n-1)

Como pueden notar, es el mismo desarrollo del caso 1. 

Formula del termino general de un cociente notable

Sea el siguiente cociente notable de la forma:

(x^n±a^n)/(x±a)=⏟(x^(n-1) )┬(T_1 )±⏟(x^(n-2) a^1 )┬(T_2 )±⏟(x^(n-3) a^2 )┬(T_3 )±⏟(x^(n-4) a^3 )┬(T_4 )±⋯±⏟(a^(n-1) )┬(T_n )

Donde:

  • Primer termino: T_1=+x^(n-1)=x^(n-1) a^(1-1)
  • Segundo termino: T_2=±x^(n-2) a^1=±x^(n-2) a^(2-1)
  • Tercer termino: T_3=±x^(n-3) a^2=±x^(n-3) a^(3-1)
  • Cuarto termino: T_4=±x^(n-4) a^3=±x^(n-4) a^(4-1)

Podemos ver que los cuatro términos tiene un comportamiento periódico con los primeros, es decir, con 1, 2, 3, 4 y la serie continua, si remplazamos estos valores por una variable k, obtenemos la forma generalizada para una posición k del cociente notable:

T_k=±x^(n-k) a^(k-1)

Para aquellos casos donde el signo es negativo para el termino en la posición k del desarrollo del cociente, sucede únicamente cuando el divisor es de la forma x-a y k debe ser par, excepto para el primer termino K=1 que siempre es positivo.

Ejemplos:

  • Calcular el séptimo termino del cociente:
    (x^12-a^12)/(x-1)Solución:
    Se supone que este desarrollo tiene 12 términos para el cociente según el exponente indicado de cualquiera de los términos del dividendo, entonces n=12, queremos hallar el séptimo termino, es decir, k=7. Remplazando en la formula general T_k=±x^(n-k) a^(k-1), tenemos:
    T_7=±x^(12-7) a^(7-1)=±x^5 a^6
    Como el divisor x-1 es de la forma x-a, significa que el séptimo termino es de signo positivo, de hecho, es de signo positivo para cualquier termino del cociente. Finalmente el termino quedaría así:
    T_7=x^5 a^6
  • Calcular el termino 20 de la siguiente división:
    (x^30-y^30)/(x-y)
    Solución:
    Note los exponentes de los términos del dividendo, esto indica que el cociente es de 30 términos, entonces n=30, queremos buscar el termino 20, entonces k=20. Por la formula general T_k=±x^(n-k) a^(k-1), tenemos:
    T_20=±x^(30-20) a^(20-1)=±x^10 a^19
    Como divisor x-y es de la forma x-a, todos los términos del cociente son positivos, finalmente el termino 20 queda de la siguiente manera:
    T_20=x^10 a^19

Termino central de un cociente notable

Antes de calcular el termino central de un cociente notable, los únicos que tiene un único termino central son aquellos cocientes que tienen el numero de términos impar, la posición del termino central se escribe así K_c y se calcula así:

  • K_c=(n+1)/2

Pero si el numero de términos es un numero par, tendríamos dos términos centrales y la posicion de estas son:

  • K_c1=n/2
  • K_c2=n/2+1

EjemplosHallar el termino central de la siguiente división:(x^21-y^21)/(x-y)
Solución: Según los exponentes de los términos del dividendo, hay n=21 términos, por ser un numero impar, significa que existe un único termino central. Su posición es:
K_c=(n+1)/2=(21+1)/2=11Ahora calculemos el termino central donde n=21 y k=11, veamos:
T_11=±x^(21-11) a^(11-1)=±x^10 a^10Por la forma del divisor explicado en múltiples ejemplos anteriores, el termino central es positivo:
T_11=x^10 a^10

Condición necesaria para un cociente notable

Ahora vamos a indicar una propiedad interesante, solo funciona si una división es de la forma de los 3 primeros casos ya estudiados, entonces cumple una propiedad, pero no al revés. Veamos esta propiedad. Si la siguiente división:

(x^m±a^n)/(x^p±a^q )

es un cociente notable, se cumple la siguiente relación:

m/p=n/q

Sin embargo, esta relación no significa que la división dada sea siempre un cociente notable. ya que podemos encontrarlo también para el cuarto caso explicado anteriormente donde la división es inexacta.

Te explico de esta manera, si la división de la forma:

(x^m±a^n)/(x^p±a^q )

Es un cociente notable, cumple:

m/p=n/q

Pero no al revés, si en la división:

(x^m±a^n)/(x^p±a^q )

Encontramos  la relación:

m/p=n/q

No necesariamente es un cociente notable. Aclarado este punto, veamos la prueba de esta propiedad.

Prueba: Si la división:

(x^m±a^n)/(x^p±a^q )

es un cociente notable, realizaremos el siguiente arreglo exponencial para el dividendo:

  • m=p∙m/p
  • n=q∙n/q

Remplazando en el cociente notable, tenemos:

(x^m±a^n)/(x^p±a^q )=((x^p )^(m/p)±(a^q )^(n/q))/((x^p)±(a^q))Para que esta división sea un cociente notable, los exponentes de (x^p ) y (a^q ) que son m/p y n/q respectivamente tiene que ser iguales, esto es:

m/p=n/q

De esta manera queda demostrado la propiedad.

Ejercicios Resueltos de Cocientes Notables

1. Desarrollar el cociente notable de la siguiente división:
(x^7-128)/(x-2)Solución:
Observe que las bases de los términos del divisor son x y 2, entonces en el dividendo deben tener estas mismas bases en sus términos correspondientes quedando así la división:
(x^7-128)/(x-2)=(x^7-2^7)/(x-2)Vemos que coincide con el caso 1 donde el numero de términos del cociente es n = 7, por tanto, el cociente notable es:

q(x)=x^(7-1)+x^(7-2) (2)+x^(7-3) (2)^2+x^(7-4) (2)^3+x^(7-5) (2)^4+x^(7-6) (2)^5+(2)^6

q(x)=x^6+2x^5+4x^4+〖8x〗^3+16x^2+32x+64

2. Cual es el cociente notable de la siguiente división:
(x^15-y^20)/(x^3-y^4 )Solución:
Para desarrollar el cociente notable de esta división, debe tener la forma del caso 1 por su semejanza de los signos negativos del dividendo y divisor. En el divisor notamos que los temimos  x^3 y y^4 podrían ser las bases de los términos del dividendo, en base a este detalle, la división toma la siguiente forma:

(x^15-y^20)/(x^3-y^4 )=((x^3 )^5-(y^4 )^5)/(x^3-y^4 )Vemos que cumple con los requisitos del caso 1 donde el numero de términos del cociente es n = 5, entonces:

q(x,y)=(x^3 )^(5-1)+(x^3 )^(5-2) (y^4 )+(x^3 )^(5-3) (y^4 )^2+(x^3 )^(5-4) (y^4 )^3+(y^4 )^4

q(x,y)=x^12+x^9 y^4+x^6 y^8+x^3 y^12+y^16

3. Desarrollar el cociente notable de la siguiente división:
(m^20-n^25)/(m^4-n^5 )Solución:
Este ejercicio es muy similar al caso anterior y como vemos, los términos del dividendo se pueden escribir en función de los términos del divisor m^4 y n^5 quedando:
(m^20-n^25)/(m^4-n^5 )=((m^4 )^5-(n^5 )^5)/(m^4-n^5 )Vemos que cumple los requisitos del caso 1, el cociente es:

q(m,n)=(m^4 )^4+(m^4 )^3 (n^5 )^1+(m^4 )^2 (n^5 )^2+(m^4 )^1 (n^5 )^3+(n^5 )^4

q(m,n)=m^16+m^12 n^5+m^8 n^10+m^4 n^15+n^20

Con esto finalizamos la sección actual, de todas maneras actualizaremos esta sección para añadir algunos ejercicios resueltos, por lo pronto, mostramos la teoría para acelerar las publicaciones y seguir con nuevos capítulos.

La próxima y ultima sección del curso de operaciones algebraicas tratará con fracciones algebraicas. con esto finalizamos el capitulo actual y entraremos con la sección completa de  polinomios. Gracias por llegar hasta aquí, que tengan un buen día y hasta pronto.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Cocientes Notables
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2018-07-14T23:39:16+00:00