¿Que es la División Algebraica?

5. División Algebraica


Hola a todos, hoy les traigo la quinta sección de operaciones algebraicas, la división algebraica con algunos ejemplos explicativos. En este tipo de divisiones es necesario seguir un algoritmo y depende con que tipo de expresiones tratemos. Pero como siempre yo, dándote este curso completamente gratis, fácilmente puedes acceder online desde cualquier dispositivo, y podrás disfrutar de estos cursos completamente libres.

Pero bueno, esta sección esta únicamente centrado en la división de polinomios. Si bien es un poco mas pesado que una sencilla multiplicación entre polinomios, aquí te explicaré como, con que métodos y los pasos adecuados para realizar una división exitosa para estos casos, realmente es muy sencillo.

La división en el álgebra tiene una similitud con la división aritmética, esto se puede visualizar usando un método clásico de la división pero con algunas diferencias, en esta sección te explicaré esto y dos métodos mas.

Generalmente usaremos una sola variable para su fácil explicación aunque hemos agregado un ejemplo con dos variables mas abajo a modo de ejemplo. Sin mas que decir, comencemos.

¿Que es la división algebraica?


La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.


Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el mayor exponente de algún termino del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún termino del divisor.

El esquema clásico (división larga de polinomios) contempla las siguiente partes:

\[ \begin{array}{ c c } \mathrm{D} & \begin{array}{ | c } \mathrm{d} \\ \hline \end{array} \\ \mathrm{R} & \mathrm{q} \end{array} \]

Esquema de la división clásica.

Donde:


  • \( \mathrm{D} \) es el dividendo.
  • \( \mathrm{d} \) es el divisor.
  • \( \mathrm{q} \) es el cociente.
  • \( \mathrm{R} \) es el residuo.

Tal que cumpla la siguiente relación:

\[ \begin{array}{ | c | } \hline \mathrm{D} = \mathrm{dq + R} \\ \hline \end{array} \]

Esta expresión se le conoce como identidad de la división y literalmente nos dice que:

El dividendo es igual al divisor por el cociente, mas el residuo. De aquí se puede extraer dos tipos de división.

Clases de división

  • División exacta.
    Esta división se define cuando el residuo \( \mathrm{R} \) es cero, entonces:
    \[ \mathrm{ D = dq+0 } \rightarrow \mathrm{ \frac{D}{d} = q } \]
  • División inexacta.
    Esta división se define cuando el residuo \( \mathrm{R} \) es diferente de cero. De la identidad, dividiendo entre el divisor \( \mathrm{d} \), tenemos:
    \[ \mathrm{ \frac{D}{d} = \frac{dq+R}{d} \rightarrow \frac{D}{d} = q + \frac{R}{d} } \]

Significa que la división es inexacta ya que existe un termino adicional \( \mathrm{ \frac{R}{d} } \).


Ley de los signos para la división


Téngase en cuenta las siguientes leyes de los signos para la división entre expresiones algebraicas que son a menudo muy usados tanto en ejemplos como ejercicios. Sea la siguiente tabla:

División de signos iguales resulta ser positivoDivisión de signos diferentes resulta ser negativo
\[ \begin{align} \frac{(+)}{(+)} & = + \\ \frac{(-)}{(-)} & = + \end{align} \]\[ \begin{align} \frac{(-)}{(+)} & = – \\ \frac{(+)}{(-)} & = – \end{align} \]

Ejemplo

Sugerimos aplicar antes de realizar cualquier división la ley de signos para la división:

  • \( \frac{-20}{4} = \frac{-20}{+4} = ( \frac{(-)}{(+)} )( \frac{20}{4} ) \)
  • \( \frac{-15}{-3} = 5 \)
  • \( \frac{14}{-7} = 5 \)

Ley de exponentes para la división


En esta sección usaremos una ley de la teoria de exponentes para la división, y es la ley de división de bases iguales. Aquí la propiedad:

\[ \frac{ a^{m} }{ a^{n} } = a^{m-n} \]

Este capitulo exige que el exponente \( m \) del dividendo sea mayor e igual al exponente \( n \) del divisor.


Ejemplos

  • \( \frac{x^{5}}{x^{2}} = x^{5-2} = x^{3} \)
  • \( \frac{y^{18}}{y^{12}} = y^{18-12} = y^{6} \)
  • \( \frac{ m^{35} }{m^{17}} = m^{35-17} = m^{18} \)
  • \( \frac{a^{3}}{a^{3}} = a^{3-3} = a^{0} = 1 \)

Se exige este punto ya que estamos trabajando con polinomios y un polinomio deben tener los exponentes deben ser números naturales.

División de polinomios


Hay 3 método para dividir dos polinomios, una de ellas es la división clásica que es la forma generalizada de la división larga de la aritmética, luego el método de Horner y un caso particular llamada método de Ruffini. Antes de contemplar estos métodos, es necesario saber como se realiza una división entre dos monomios y es lo que explicaremos a continuación:

División entre monomios

Las reglas que debemos seguir para dividir dos monomios son las siguientes:

  • Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos.
  • Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios según la ley de de exponentes.

Una forma generalizada de la división de monomios de una sola variable es:

\[ \frac{ ax^{m} }{ bx^{n} } = \frac{a}{b} x^{m-n} \]


tenga en cuenta que \( m-n \) es mayor e igual a cero ya que estamos considerando que la división entre dos monomios es otro monomio.

Ejemplos

  • \( \frac{18x^{4}}{6x^{2}} = ( \frac{18}{6} ) ( \frac{x^{4}}{x^{2}} ) = 3x^{4-2} = 3x^{2} \)
  • \( \frac{25a^{7}}{5a^{5}} = ( \frac{25}{5} )( \frac{a^{7}}{a^{5}} ) = 5a^{7-5} = 5a^{2} \)
  • \( \frac{ -28x^{5}y^{7} }{ -7x^{2}y^{4} } = ( \frac{ -28 }{ -7 } )( \frac{x^{5}}{x^{2}} )( \frac{y^{7}}{y^{4}} ) = +4x^{5-2}y^{7-4} = 4x^{3}y^{3} \)
  • \( \frac{-36x^{12}}{4x^{8}} = ( \frac{-36}{+4} )( \frac{x^{12}}{x^{8}} ) = -9x^{12-8} = -9x^{4} \)
  • \( \frac{-30a^{5}b^{12}}{6a^{2}b^{8}} = ( \frac{-30}{+6} )( \frac{a^{5}}{a^{2}} )( \frac{b^{12}}{b^{8}} ) \)

División de un polinomio entre un monomio

Esta es una división muy sencilla, su residuo es siempre cero, simplemente tenemos que usar la propiedad distributiva para realizar esta división. Simplemente dividimos a cada termino del polinomio por el monomio. La propiedad distributiva prosigue de la siguiente manera:

\[ \frac{1}{m} (a+b+c) = \frac{1}{m} \cdot a + \frac{1}{m} \cdot b + \frac{1}{m} \cdot c \]

Obteniendo el siguiente resultado:

\[ \frac{a+b+c}{m} = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} + \frac{c}{m} \]


Ejemplos

  • Dividir \( 14x^{20} + 21x^{16} + 28x^{10} \) y \( 7x^{8} \).
    Solución:
    \[ \begin{align} \frac{ 14x^{20} + 21x^{16} + 28x^{10} }{ 7x^{8} } & = \frac{14x^{20}}{7x^{8}} + \frac{21x^{16}}{7x^{8}} + \frac{28x^{10}}{7x^{8}} \\ & = \frac{14}{7} x^{20-8} + \frac{21}{7} x^{16-8} + \frac{28}{7} x^{10-8} \\ & = 2x^{12} + 3x^{8} + 4x^{2} \end{align} \]
  • Dividir \( 36x^{8} + 24x^{6} -12x^{4} \) y \( 6x^{2} \).
    Solución:
    \[ \begin{align} \frac{36x^{8} + 24x^{6}-12x^{4}}{6x^{2}} & = \frac{36x^{8}}{6x^{2}} + \frac{24x^{6}}{6x^{2}} – \frac{12x^{4}}{6x^{2}} \\ & = 6x^{6} + 4x^{4} – 2x^{2} \end{align} \]
  • Dividir \( -35x^{5}y^{10} – 56x^{8}y^{12} \) y \( 7x^{2} y^{4} \).
    Solución:
    \[ \begin{align} \frac{-35x^{5}y^{10}-56x^{8}y^{12}}{-7x^{2}y^{4}} & = – \frac{35x^{5}y^{10}}{-7x^{2}y^{4}} – \frac{56x^{8}y^{12}}{-7x^{2}y^{4}} \\ & = 5x^{3}y^{6} + 8x^{6}y^{8} \end{align} \]

División entre dos polinomios

Hay tres métodos, la primera es el método clásico de la división derivada de la división larga de la aritmética, la segunda es el método de Horner  y la tercera es el método de Ruffini, las dos primeras son generales, para cualquier polinomio, la segunda es un caso particular.

Por tanto, no existe una formula mágica para hallar rápidamente el cociente y el residuo en la división de polinomios, solo se pueden resolver por medio de algoritmos y es un proceso de pasos a seguir. Veamos cada una de ellas con sus respectivos ejemplos.

División por el método de la división larga

El método clásico o división larga se basa al esquema clásico de la división que ya mencionamos en el primer apartado, volvemos a repetir el esquema:

\[ \begin{array}{ c c } \mathrm{D} & \begin{array}{ | c } \mathrm{d} \\ \hline \end{array} \\ \mathrm{R} & \mathrm{q} \end{array} \]

Esquema de la división clásica.


Donde:

  • \( \mathrm{D} \) es el dividendo.
  • \( \mathrm{d} \) es el divisor.
  • \( \mathrm{q} \) es el cociente.
  • \( \mathrm{R} \) es el residuo.

Ten en cuenta las siguientes pautas:

  1. Los polinomios el dividendo y divisor deben estar ordenados en forma descendente.
  2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente.
  3. El primer término del cociente se multiplica por cada término del divisor y se les cambia de signo, lo colocamos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante.
  4. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.
  5. Se procede como el paso numero 1.
  6. Se procede la operación hasta llegar a la ultima columna del dividendo.

Aquí un ejemplo explicativo con cada uno de los pasos para una mejor comprensión, sea la siguiente división:

\[ \frac{2x+4+3x^{2}}{2+x} \]

Paso 1: Ordenamos en forma descendente el dividendo y el divisor:


\[ \overset{ ^{ \boxed{ \text{Primer término del dividendo} } } \searrow \hspace{3.8cm} \swarrow^{ \boxed{ \text{Primer término del divisor} } \hspace{1.8cm} } }{ \begin{array}{ c c } 3x^{2} + 2x + 4 & \begin{array}{ | c } \color{green}{x+2} \\ \hline \end{array} \end{array} } \]

Paso 2: Dividimos el primero término del dividendo y el primer término del divisor y obtenemos el primer término del cociente \( 3x^{2}/x=3x \):

\[ \overset{ ^{ \boxed{ \text{Primer término del dividendo} } } \searrow \hspace{3.8cm} \swarrow^{ \boxed{ \text{Primer término del divisor} } \hspace{1.8cm} } }{ \begin{array}{ c c } 3x^{2} + 2x + 4 & \begin{array}{ | c } \color{green}{x+2} \\ \hline \end{array} \\ & \color{red}{3x} \end{array} } \]

Paso 3: Multiplicamos \( \color{blue}{3x} ( \color{green}{x+2} ) = 3x^{2} + 6x \), en seguida le cambiamos el signo \( -3x^{2} – 6x \), luego colocamos este resultado debajo del dividendo alineando los términos semejantes por columnas de la siguiente manera:

\[ \begin{array}{ l c c } +3x^{2} + 2x & + 4 & \begin{array}{ | c } \color{green}{x+2} \\ \hline \end{array} \\ \underline{ -3x^{2} \hspace{0.2cm} – \hspace{0.1cm} 6x } & & \color{blue}{3x} \\ \hspace{1.5cm} -4x & & \end{array} \]


Paso 4: luego de restar resultando \( -4x \), volvemos a dividir este resultado por el primer termino del divisor para obtener el segundo termino del cociente \( -4x/x = -4 \), resulta:

\[ \begin{array}{ l c c } +3x^{2} + 2x & + 4 & \begin{array}{ | c } \color{green}{x+2} \\ \hline \end{array} \\ \underline{ -3x^{2} \hspace{0.2cm} – \hspace{0.1cm} 6x } & \downarrow & \color{blue}{3x} \\ \hspace{1.5cm} -4x & +4 & \end{array} \]

Paso 5 y 6: Repetimos el proceso realizando la siguiente multiplicación \( \color{blue}{-4}( \color{green}{x+2} ) = -4x-8 \), le cambiamos el signo \( 4x+8 \) y lo colocamos debajo del nuevo dividendo ordenado en columnas con sus respectivo termino semejante, mas o menos se vería así:

\[ \underset{ \hspace{1.3cm} \underset{ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \text{ El resto es la } } \\ \Large{ \text{ ultima columna a calcular } } \\ \hline \end{array} }{ \uparrow } }{ \overset{ \overset{ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \text{Observe las columnas} } \\ \Large{ \text{tienen los mismos} } \\ \Large{ \text{términos semejantes} } \\ \hline \end{array} \hspace{1.5cm} }{ \downarrow \hspace{1.3cm} \downarrow \hspace{1.2cm} \downarrow \hspace{1.5cm} } }{ \begin{array}{ l c c } +3x^{2} + 2x & + 4 & \begin{array}{ | c } \color{green}{x+2} \\ \hline \end{array} \\ \underline{ -3x^{2} \hspace{0.2cm} – \hspace{0.1cm} 6x } & \downarrow & \color{blue}{3x} \\ \hspace{1.5cm} -4x & +4 & \end{array} } } \]

De esta manera hallamos el cociente \( \mathrm{q} = 3x – 4 \) y el residuo \( \mathrm{R} = 12 \), finalizando así la división:


Ejemplos

Aquí algunos ejemplos de la división de polinomios, omitiremos los pasos para que usted mismo las inspeccione. Veamos:

  • Dividir \( x^{3} – 5x^{2} + 7x + 2 \) entre \( x-3 \).
    Solución:
    \[ \begin{array}{ l l } + x^{3} -5x^{2} +7x + 2 & \begin{array}{| c} x-3 \\ \hline \end{array} \\ \underline{ -x^{3} + 3x^{2} } & x^{2} – 2x + 1 \\ \hspace{1.2cm} -2x^{2} + 7x & \\ \hspace{1.2cm} \underline{ + 2x^{2} -6x } & \\ \hspace{2.9cm} + x+2 & \\ \hspace{3cm} \underline{ – x+3 } & \\ \hspace{4.35cm} 5 & \end{array} \] El cociente y el residuo es \( \mathrm{q} = x^{2} – 2x + 1 \) y \( \mathrm{R} = 5 \) respectivamente.
  • Dividir \( 28x^{2} – 11xy – 15y^{2} \) entre \( 4x – 5y \).
    Solución:
    \[ \begin{array}{ l l } +28x^{2} \hspace{0.2cm} – \hspace{0.1cm} 11xy \hspace{0.3cm} – 15y^{2} & \begin{array}{ | c } 4x-5y \\ \hline \end{array} \\ \underline{ -28x^{2} + 35xy } & 7x+6y \\ \hspace{1.75cm} + 24xy \hspace{0.3cm} – 15y^{2} & \\ \hspace{1.75cm} \underline{ -24xy + 30y^{2} } & \\ \hspace{4cm} 15y^{2} \end{array} \] El cociente y el residuo es \( \mathrm{q} = 7x + 6y \) y \( \mathrm{R} = 15y^{2} \) respectivamente.
  • Dividir \( 2x^{3} + 3 + 4x \) entre \( 2x – 2 \).
    Solución:
    Antes de realizar la división, el dividendo debe ser un polinomio completo y ordenado de manera descendente es decir, debe escribirse así:
    \[ 2x^{3} + 3 + 4x = 2x^{3} + 0x^{2} + 4x + 3 \] En base esto, comencemos con la división entre \( 2x-2 \), veamos:
    \[ \begin{array}{ l l } +2x^{3} + 0x^{2} + 4x + 3 & \begin{array}{ | c } 2x-2 \\ \hline \end{array} \\ \underline{ -2x^{3} + 2x^{2} } & x^{2} + x + 3 \\ \hspace{1.5cm} +2x^{2} + 4x & \\ \hspace{1.5cm} \underline{ -2x^{2} + 2x } & \\ \hspace{3cm} + 6x+3 & \\ \hspace{3cm} \underline{ -6x+6 } & \\ \hspace{4.7cm} 9 \end{array} \] El cociente y el residuo es \( \mathrm{q} = x^{2} + x + 3 \) y \( \mathrm{R} = 9 \) respectivamente.
  • Dividir \( 3a^{17} – 4a^{12} + 9a^{10} – 4a^{7} + 3a^{5} + 4 \) entre \( 3a^{5} + 2 \).
    Solución:
    \[ \begin{array}{ l l } +3a^{17} – 4a^{12} + 9a^{10} – 4a^{7} + 3a^{5} + 4 & \begin{array}{ | c } 3a^{5} + 2 \\ \hline \end{array} \\ \underline{ -3a^{17} – 2a^{12} } & a^{12} – 2a^{7} + 3a^{5} – 1 \\ \hspace{1.37cm} -6a^{12} + 9 a^{10} – 4a^{7} & \\ \hspace{1.37cm} \underline{ + 6a^{12} + \hspace{0.95cm} + 4a^{7} } & \\ \hspace{3cm} +9a^{10} + 0 + 3a^{5} & \\ \hspace{3cm} \underline{ -9a^{10} \hspace{0.95cm} -6a^{5} } & \\ \hspace{5.6cm} -3a^{5} + 4 & \\ \hspace{5.6cm} \underline{ +3a^{5} + 2 } & \\ \hspace{7.5cm} 6 \end{array} \] El cociente y el residuo es \( \mathrm{q} = a^{12} – 2a^{7} + 3a^{5} – 1 \) y \( \mathrm{R} = 6 \) respectivamente.

División por el método de Horner

Este método sigue un algoritmo un poco distinto y su esquema también, pero el resultado es el mismo si usamos la división del método clásico. Los polinomios, esto es, el dividendo y el divisor deben estar ordenados de manera descendente, completar con ceros si falta algún termino.

Para explicarlo, usaremos un ejemplo de apoyo resaltando los pasos a seguir, sea la siguiente división:

\[ \frac{ 4x^{3} + 4x^{2} – 3x + 1 }{ x + 2x^{2} – 3 } \]

Del dividendo \( \mathrm{D} = 4x^{3} + 4x^{2} – 3x + 1 \) y del divisor \( \mathrm{d} = 2x^{2} + x – 3 \) (ordenado de manera decreciente) tomaremos los coeficientes y lo colocaremos en el siguiente esquema:


Paso 1: ordenando los coeficientes convenientemente tal como lo indica el esquema:

Primer esquema del método de Horner para la división

Siga los puntos del esquema explicativo, aquí el grado del divisor es el mayor exponente de uno de los términos del polinomio.

Paso 2: dividimos el primer término del dividendo con el primer término del divisor, esto es, \( 4 \div \color{green} 2 = 2 \), este resultado seria el primer coeficiente del cociente. Véase el siguiente esquema:

segundo esquema del método de Horner para la división

Paso 3: El primer coeficiente del cociente se multiplica con los coeficientes del divisor a partir del segundo término \( 2 \times (-1) = -2 \) y \( 2 \times 3 = 6 \) colocando estos resultados debajo del dividendo del esquema corriendo un espacio a la derecha. El esquema toma la siguiente forma:

Tercer esquema del método de Horner para la división

Paso 4: Luego, sumamos la segunda columna del dividendo \( 4-2=2 \), este resultado lo dividimos entre el primer termino del divisor \( 2 \div \color{green} 2 = 1 \) y este seria el segundo termino de nuestro cociente. Veamos el esquema:


tercer esquema del método de Horner para la división

Paso 5: El cociente obtenido se multiplica con los coeficientes del divisor a partir del segundo \( 1 \times (-1) = -1 \) y \( 1 \times 3 = 1 \) y volvemos a colocar debajo de las columnas corriendo un espacio a la derecha:

Cuarto esquema del método de horner para la división

Paso 6: por ultimo, después de llegar a la ultima columna del esquema, debemos buscar el valor del residuo, basta con sumar las columnas del bloque del esquema a la altura del residuo \( -3 + 6 – 1 = 2 \) y \( 1 + 3 = 4 \), indicamos esta suma en el siguiente esquema en forma de resumen de los pasos anteriores:

Quinto esquema del método de Horner para la división

Finalmente hallamos el cociente \( \mathrm{q} = 2x+1 \) y el residuo \( \mathrm{R} = 2x+4 \). Veamos algunos ejemplos y puedas lograr mejor la retención del método.

Ejemplos

En los siguientes ejemplos omitiremos los pasos a seguir para no cargar la sección, por lo que tu mi amigo tendrás que inspeccionar los pasos explicados anteriormente.

  • Dividir \( 15x^{3} + 5 – 3x^{2} \) entre \( 3x^{2} + 2 \).
    Solución:
    Para dividir, las expresiones deben ser ordenados y completos así:
    \[ \mathrm{D} = 15x^{3} – 3x^{2} + 0x + 5 \\ \mathrm{d} = 3x^{2} + 0x + 2 \] Aplicando el método de Horner, resulta:
Primer ejemplo del método de Horner

Repito, ten en cuenta que el grado se refiere al máximo exponente de uno de los términos de un polinomio. Según este esquema, el cociente y el residuo son \( \mathrm{q} = 5x – 1 \) y \( \mathrm{R} = -10x + 7 \) respectivamente.


  • Dividir \( x^{4} – 4x + 5x^{2} – 3x^{3} + 4 \) entre \( x^{2} – 3x + 4 \).
    Solución:
    Ordenando de forma descendente:
    \( \mathrm{D} = x^{4} – 4x^{3} + 5x^{2} – 3x + 4 \\ \mathrm{d} = x^{2} – 3x + 4 \)
    Efectuando el método de Horner:
Segundo ejemplo del método de Horner para la división

El cociente y el residuo son \( \mathrm{q} = x^{2} + 0x + 1 = x^{2} + 1 \) y \( \mathrm{R} = 0 \), esto significa que es una división exacta tal que:

\[ \frac{ x^{4} – 3x^{3} + 5x^{2} – 3x + 4 }{ x^{2} – 3x + 4 } = x^{2} + 1 \]

División por el método de Ruffini

El método de ruffini, también llamada división sintética de polinomios donde es un caso particular del método de Horner, en este caso el dividendo es de primer grado, es decir, el mayor exponente del divisor de uno de los términos es igual a 1 y es de la forma \( \mathrm{d} = ax + b \). Sea el siguiente ejemplo explicativo:

Dividir \( 2x^{2} – 5x – 7 \) entre \( 2x – 3 \).

Primero tomamos el divisor que sería \( \mathrm{q} = 2x – 3 \) y lo igualamos a cero (0) y despejamos el valor de \( x \) y obtenemos el siguiente valor:

\[ 2x – 3 = 0 \rightarrow x = \color{green}{ \frac{3}{2} } \]

Paso 1: Este valor en color verde y los coeficientes del dividendo se distribuyen en el esquema de Ruffini de la siguiente manera:

Esquema del metodo de ruffni al dividir los polinomios "2x^2 + 5x - 7" y "2x-3".

Paso 2: Bajamos el primer coeficiente del dividendo, el quema quedaría así:

Esquema del metodo de ruffni al dividir los polinomios "2x^2 + 5x - 7" y "2x-3", en este caso bajamos el primer coeficiente del cociente inicial

Paso 3: multiplicamos el primer coeficiente inicial \( 2 \) por \( x = \color{green}{ 3/2 } \) anteriormente hallado resultando \( 2x=3 \), luego, colocamos este resultado debajo del dividendo corriendo un espacio (segunda columna):

Esquema del metodo de ruffni al dividir los polinomios "2x^2 + 5x - 7" y "2x-3", en este caso bajamos el primer coeficiente del cociente inicial. Después multiplicamos el primer coeficiente por 3/2 y el resultado lo sumamos con el segundo coeficiente del dividendo que es 5, resultando 8 siendo el segundo coeficiente

Parte 4: Sumando la segunda columna \( 5+3=8 \) y obtenemos el segundo coeficiente del cociente. Multiplicamos \( 8 \times (3/2) = 12 \), este resultado lo colocamos debajo del dividendo corriendo un espacio (tercera columna). El esquema quedaría de la siguiente manera:

Esquema del metodo de ruffni al dividir los polinomios "2x^2 + 5x - 7" y "2x-3", en este caso bajamos el primer coeficiente del cociente inicial. Después multiplicamos el primer coeficiente por 3/2 y el resultado lo sumamos con el segundo coeficiente del dividendo que es 5, resultando 8 siendo el segundo coeficiente. Por ultimo, multiplicamos el segundo coeficiente con valor 8 con 3/2, obteniendose 12, sumando con -7 obtenemos el residuo 5.

Paso 5: al llegar a la ultima columna ya no hay nada mas que hacer y solo nos quedaría dividir el cociente inicial entre el primer coeficiente del divisor para obtener el cociente final.

Esquema del metodo de ruffni al dividir los polinomios "2x^2 + 5x - 7" y "2x-3", en este caso bajamos el primer coeficiente del cociente inicial. Después multiplicamos el primer coeficiente por 3/2 y el resultado lo sumamos con el segundo coeficiente del dividendo que es 5, resultando 8 siendo el segundo coeficiente. Por ultimo, multiplicamos el segundo coeficiente con valor 8 con 3/2, obteniendose 12, sumando con -7 obtenemos el residuo 5. De esta manera, al dividir los valores 2 y 8 por el coeficiente 8, obtenemos el cociente final y el resto que es 5.

Finalmente, el coeficiente y el residuo serían \( \mathrm{q} = x+4 \) y \( \mathrm{R} = 5 \) respectivamente.

La división entre \( \color{blue}{2} \) se debe al coeficiente del divisor \( \color{blue}{2} x-3 \)

Ejemplos
  • Dividir \( 3x^{4} – 7x^{3} + 5x^{2} + 4 \) entre \( x-2 \).
    Solución:
    Por el metodo de Ruffini, igualando el divisor a \( 0 \) y obtenemos el el valor de \( x=2 \). Luego multiplicamos \( 2 \) por el primer coeficiente \( 3 \), obtenemos 6, este valor se suma con \( -7 \) como se muestra en la imagen y obtenemos un valor igual a \( -1 \).
Ejemplo del esquema de Rufini

Luego, el valor \( -1 \) lo multiplicamos por \( 2 \) obteniendose \( -2 \) y sumamos con el \( 5 \) como se muestra en el esquema obteniéndose \( 3 \). Este proceso se repite multiplicando el valor \( 3 \) con \( 2 \), obtenemos \( 6 \) sumamos con \( 0 \) y obtenemos el ultimo coeficiente del cociente

Ejemplo del esquema de Rufini 2

Por ultimo, para obtener el residuo, repetimos el proceso como los casos anteriores, es decir, multiplicamos \( 6 \) con \( 2 \), obtenemos \( 12 \) y sumamos con \( 4 \) como se muestra en el esquema siguiente obteniéndose \( 16 \) siendo este valor el residuo.

Por tanto, el cociente y el residuo son \( \mathrm{q} = 3x^{3} – x^{2} + 3x + 6 \) y \( \mathrm{R} = 16 \) respectivamente.

  • Dividir \( x^{3} – 9x^{2} + 25x – 24 \) entre \( x-3 \).
    Solución:
    Aplicando inmediatamente el método de Ruffini con todo sus pasos en un mismo esquema, tenemos:
Ejemplo del esquema de Rufini 3

 Por tanto, el cociente y el residuo son \( \mathrm{q} = x^{2} – 6x + 7 \) y \( \mathrm{R} = -3 \) respectivamente.

Fin

De esta manera nos despedimos con esta larga sección de división algebraica, ha sido un poco laborioso explicar detalle por detalle cada método de esta sección.

La próxima sección esta destinada al tema del teorema del residuo, este método nos ayuda a calcular el residuo sin usar ningún método de división polinomio. El único limite de este teorema es que usa únicamente divisores de primer grado, aunque hay un método para extender su grado mayores e iguales a \( 2 \).

Otra cosa mas, independientemente si usamos las leyes de potenciación y radiación, es importante manejar las 4 operaciones aritméticas en el álgebra, esta son, la suma, resta, multiplicación y división ya que lo usaremos muy a menudo en ecuaciones algebraicas.

Bueno, esto seria todo queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, bye.

Detalles Del Capitulo
División algebraica
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División algebraica
Descripción
La división algebraica es un método algorítmico que resulta al dividir dos polinomios llamados dividendo y divisor con el fin de obtener otra expresión llamada cociente. La división de polinomios contempla 3 métodos, la división larga de polinomios, el método de Horner y el método de Ruffini (división sintética).
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Ciencias Básicas
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