5. División Algebraica

Hola a todos, hoy les traigo la quinta sección de operaciones algebraicas, la división algebraica con algunos ejemplos explicativos. En este tipo de divisiones es necesario seguir un algoritmo y depende con que tipo de expresiones tratemos. Pero como siempre yo, dándote este curso completamente gratis, fácilmente puedes acceder online desde cualquier dispositivo, y podrás disfrutar de estos cursos completamente libres.

Pero bueno, esta sección esta únicamente centrado en la división de polinomios. Si bien es un poco mas pesado que una sencilla multiplicación entre polinomios, aquí te explicaré como, con que métodos y los pasos adecuados para realizar una división exitosa para estos casos, realmente es muy sencillo.

La división en el álgebra tiene una similitud con la división aritmética, esto se puede visualizar usando un método clásico de la división pero con algunas diferencias, en esta sección te explicaré esto y dos métodos mas.

Generalmente usaremos una sola variable para su fácil explicación aunque hemos agregado un ejemplo con dos variables mas abajo a modo de ejemplo. Sin mas que decir, comencemos.

La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.

Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el mayor exponente de algún termino del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún termino del divisor.

El esquema clásico (división larga de polinomios) contempla las siguiente partes:

esquema clasico de la division larga1

Esquema Clásico De La división.

Donde:

  • D: es el dividendo.
  • d: el divisor.
  • q: el cociente.
  • R: el residuo.

Tal que cumpla la siguiente relación:

𝐷=𝑑𝑞 + 𝑅Esta expresión se le conoce como identidad de la división y literalmente nos dice que:

El dividendo es igual al divisor por el cociente, mas el residuo. De aquí se puede extraer dos tipos de división.

Clases de división

  • División exacta.
    Esta división se define cuando el residuo R es cero:
    D=dq+0, resulta: 
    D/d=q
  • División inexacta.
    Esta división se define cuando el residuo R es diferente de cero. De la identidad, dividiendo entre el divisor d.
    D/d=(dq+R)/d , resulta: D/d=q+R/d

Significa que la división es inexacta ya que existe un termino demás R/d.

Ley de los signos para la división

Téngase en cuenta las siguientes leyes de los signos para la división entre expresiones algebraicas que son a menudo muy usados tanto en ejemplos como ejercicios. Sea la siguiente tabla:

Signos iguales nos da el signo mas (+)Signos diferentes nos da el signo menos (-)
((+))/((+) )=+((-))/((+) )=-
((-))/((-) )=+((+))/((-) )=-

Ejemplos de la ley de signos

Sugerimos aplicar antes de realizar cualquier división la ley de signos para la división:

■(@El signo mas (+) se sobreentiende→) (-20)/4=(-/+)(20/4)

  • (-18)/6=-3
  • (-15)/(-3)=5
  • 14/(-7)=-2

Ley de exponentes para la división

En esta sección usaremos una ley de la teoria de exponentes para la división, y es la ley la división de bases iguales. Aquí la propiedad:

a^m/a^n =a^(m-n)

Este capitulo exige que el exponente m del dividendo sea mayor e igual al exponente n del divisor. Aquí algunos ejemplos:

  • x^5/x^2 =x^(5-2)=x^3
  • y^18/y^12 =y^(18-12)=y^6
  • m^35/m^17 =m^(35-17)=m^18
  • a^3/a^3 =a^(3-3)=a^0=1

Se exige este punto ya que estamos trabajando con polinomios y un polinomio deben tener los exponentes deben ser números naturales.

División de Polinomios

Hay 3 método para dividir dos polinomios, una de ellas es la división clásica que es la forma generalizada de la división larga de la aritmética, luego el método de Horner y un caso particular llamada método de Ruffini. Antes de contemplar estos métodos, es necesario saber como se realiza una división entre dos monomios y es lo que explicaremos a continuación:

División entre monomios

Las reglas que debemos seguir para dividir dos monomios son las siguientes:

  • Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos.
  • Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios según la ley de de exponentes.

Una forma generalizada de la división de monomios de una sola variable es:

(ax^m)/(bx^n )=a/b x^(m-n)

tenga en cuenta que m - n es mayor e igual a cero ya que estamos considerando que la división entre dos monomios es otro monomio.

Ejemplos de la División entre monomios

  • (18x^4)/(6x^2 )=(18/6)(x^4/x^2 )=3x^(4-2)=3x^2
  • (25a^7)/(5a^5 )=(25/5)(a^7/a^5 )=5a^(7-5)=5a^2
  • (-28x^5 y^7)/(-7x^2 y^4 )=((-28)/(-7) )(x^5/x^2 )(y^7/y^4 )=+4x^(5-2) y^(7-4)=4x^3 y^3
  • (-36x^12)/(4x^8 )=((-36)/(+4))(x^12/x^8 )=-9x^(12-8)=-9x^4
  • (-30a^5 b^12)/(6a^2 b^8 ) =((-30)/(+6))(a^5/a^2 )(b^12/b^8 )=-5a^(5-2) b^(12-8)=-5a^3 b^4

División de un polinomio entre un monomio

Esta es una división muy sencilla, su residuo es siempre cero, simplemente tenemos que usar la propiedad distributiva para realizar esta división. Simplemente dividimos a cada termino del polinomio por el monomio. La propiedad distributiva prosigue de la siguiente manera:

Obteniendo el siguiente resultado:

(a+b+c)/m=a/m+b/m+c/m

Veamos algunos ejemplos:

  • (14x^20+21x^16+28x^10)/(7x^8 )=(14x^20)/(7x^8 )+(21x^16)/(7x^8 )+(28x^10)/(7x^8 )
    (14x^20+21x^16+28x^10)/(7x^8 )=14/7 x^(20-8)+21/7 x^(16-8)+28/7 x^(10-8)
    (14x^20+21x^16+28x^10)/(7x^8 )=14/7 x^12+21/7 x^8+28/7 x^2
  • (36x^8+24x^6-12x^4)/(6x^2 )=(36x^8)/(6x^2 )+(24x^6)/(6x^2 )-(12x^4)/(6x^2 )

                                               =6x^6+4x^4-2x^2

  • (-35x^5 y^10-56x^8 y^12)/(-7x2y4)=-(35x^5 y^10)/(-7x^2 y^4 )-(56x^8 y^12)/(-7x^2 y^4 )

                                                =5x^3 y^6+8x^6 y^8

División entre dos polinomios

Hay tres métodos, la primera es el método clásico de la división derivada de la división larga de la aritmética, la segunda es el método de Horner  y la tercera es el método de Ruffini, las dos primeras son generales, para cualquier polinomio, la segunda es un caso particular.

Por tanto, no existe una formula mágica para hallar rápidamente el cociente y el residuo en la división de polinomios, solo se pueden resolver por medio de algoritmos y es un proceso de pasos a seguir. Veamos cada una de ellas con sus respectivos ejemplos.

División por el método de la división larga

El método clásico o división larga se basa al esquema clásico de la división que ya mencionamos en el primer apartado, volvemos a repetir el esquema:

esquema clasico de la division larga1

Esquema Clasico De La división.

Donde:

  • D: es el dividendo.
  • d: el divisor.
  • q: el cociente.
  • R: el residuo.

Ten en cuenta las siguientes pautas:

  1. Los polinomios el dividendo y divisor deben estar ordenados en forma descendente.
  2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente.
  3. El primer término del cociente se multiplica por cada término del divisor y se les cambia de signo, lo colocamos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante.
  4. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.
  5. Se procede como el paso numero 1.
  6. Se procede la operación hasta llegar a la ultima columna del dividendo.

Aquí un ejemplo explicativo con cada uno de los pasos con el siguiente ejemplo, sea la siguiente división:

Paso 1: Ordenamos en forma descendente el dividendo y el divisor:

(⏞(3x^2 )┴(primer termino del dividendo)+2x+4)/(⏟x┬(primer termino del divisor)+2)

Paso 2: Dividimos el primero término del dividendo y el primer término del divisor y obtenemos el primer término del cociente 3x^2/x=3x:

dividimos el primer termino de ⏞(3x^2 )+2x+4 con el primer termino de ⏞x+2, resultando 3x

Paso 3: Multiplicamos 3x∙(x+2)=3x^2+6x, en seguida le cambiamos el signo -3x^2-6x, luego colocamos este resultado debajo del dividendo alineando los términos semejantes por columnas de la siguiente manera:

division polinomica

Paso 4: luego de restar resultando -4x, volvemos a dividir este resultado por el primer termino del divisor para obtener el segundo termino del cociente -4x/x=-4, resulta:

Paso 5 y 6: Repetimos el proceso realizando la siguiente multiplicación , le cambiamos el signo  y lo colocamos debajo del nuevo dividendo ordenado en columnas con sus respectivo termino semejante, mas o menos se vería así:

De esta manera hallamos el cociente  y el residuo , finalizando así la división:

Ejemplos de la división por el método de la división larga

Aquí algunos ejemplos de la división de polinomios, omitiremos los pasos para que usted mismo las inspeccione. Veamos:

  • Dividir  entre .
    Efectuando la división:

    El cociente y el residuo es q=x^2-2x+1 y R=5 respectivamente.
  • Dividir  entre .
    Efectuando la división:

    El cociente y el residuo es q=7x+6y y R=15y^2 respectivamente.
  • Dividir  entre .
    Efectuamos la división:

    El cociente y el residuo es q=x^2+x+3 y R=9 respectivamente.
  • Dividir los polinomios 3a^17-4a^12+9a^10-4a^7+3a^5+4  y  .
    Efectuamos la división:

    El cociente y el residuo es q=a^12-2a^7+3a^5-1 y R=6 respectivamente.

División por el MÉTODO de Horner

Este método sigue un algoritmo un poco distinto y su esquema también, pero el resultado es el mismo si usamos la división del método clásico. Los polinomios, esto es, el dividendo y el divisor deben estar ordenados de manera descendente, completar con ceros si falta algún termino.

Para explicarlo, usaremos un ejemplo de apoyo resaltando los pasos a seguir, sea la siguiente división:

Del dividendo: D y del divisor d (ordenado de manera decreciente) tomaremos los coeficientes y lo colocaremos en el siguiente esquema:

Paso 1: ordenando los coeficientes convenientemente tal como lo indica el esquema:

Siga los puntos del esquema explicativo, aquí el grado del divisor es el mayor exponente de uno de los términos del polinomio.

Paso 2: dividimos el primer término del dividendo con el primer término del divisor, esto es, , este resultado seria el primer coeficiente del cociente. Véase el siguiente esquema:

Paso 3: El primer coeficiente del cociente se multiplica con los coeficientes del divisor a partir del segundo término  y  colocando estos resultados debajo del dividendo del esquema corriendo un espacio a la derecha. El esquema toma la siguiente forma:

Paso 4: Luego, sumamos la segunda columna del dividendo , este resultado lo dividimos entre el primer termino del divisor  y este seria el segundo termino de nuestro cociente. Veamos el esquema:

Paso 5: El cociente obtenido se multiplica con los coeficientes del divisor a partir del segundo 1×(-1)=-1 y  y volvemos a colocar debajo de las columnas corriendo un espacio a la derecha:

Paso 6: por ultimo, después de llegar a la ultima columna del esquema, debemos buscar el valor del residuo, basta con sumar las columnas del bloque del esquema a la altura del residuo -3+6-1=2 y 1+3=4, indicamos esta suma en el siguiente esquema en forma de resumen de los pasos anteriores:

Finalmente hallamos el cociente  y el residuo R=2x+4. Veamos algunos ejemplos y puedas lograr mejor la retención del método.

Ejemplos del MÉTODO de Horner

En los siguientes ejemplos omitiremos los pasos a seguir para no cargar la sección, por lo que tu mi amigo tendrás que inspeccionar los pasos explicados anteriormente.

  • Dividir  entre .
    Para dividir, las expresiones deben ser ordenados y completos:


    Aplicando el metodo de Horner:

    Repito, ten en cuenta que el grado se refiere al máximo exponente de uno de los términos de un polinomio. Según este esquema, el cociente y el residuo son q=5x-1 y  respectivamente.
  • Dividir  entre .
    Ordenando de forma descendente:


    Efectuando el método de Horner:

    El cociente y el residuo son q=x^2+0x+1=x^2+1 y , esto significa que es una división exacta tal que:

División por el MÉTODO de Ruffini

También llamada división sintética de polinomios. Este método es un caso particular del método de Horner donde el dividendo es de primer grado, es decir, el mayor exponente del divisor de uno de los términos es igual a 1 y tiene la forma d=ax+b. Sea el siguiente ejemplo explicativo:

Dividir  entre 2x-3.

Antes de aplicar el método de Ruffini, de la misma manera como los casos anteriores, ordenamos el dividendo y divisor en orden descendente. Completar con ceros si los polinomios están incompletos si es necesario:


d=2x-3

Primero tomamos el divisor y lo igualamos a cero (0) y despejamos el valor de x:

2x-3=0→x=3/2

Paso 1: Este valor en color verde y los coeficientes del dividendo se distribuyen en el esquema de Ruffini de la siguiente manera:

esquema de rufini 1

Paso 2: Bajamos el primer coeficiente del dividendo, el quema quedaría así:

esquema de rufini 2

Paso 3: multiplicamos el primer coeficiente inicial 2 por  anteriormente hallado resultando 2x=3, luego, colocamos este resultado debajo del dividendo corriendo un espacio (segunda columna):

esquema de rufini 3

Parte 4: Sumando la segunda columna 5+3=8 y obtenemos el segundo coeficiente del cociente. Multiplicamos 8×(3/2)=12, este resultado lo colocamos debajo del dividendo corriendo un espacio (tercera columna). El esquema quedaría de la siguiente manera:

esquema de rufini 4Paso 5: al llegar a la ultima columna ya no hay nada mas que hacer en el esquema de Ruffini y solo nos quedaría dividir el cociente inicial entre el primer coeficiente del divisor para obtener el cociente final.

esquema de rufini 5

Finalmente, el coeficiente y el residuo serían q=x+4 y R=5 respectivamente.

Ejemplos del MÉTODO de Ruffini

  • Dividir 3x^4-7x^3+5x^2+4 entre x-2.
    Omitiremos la explicación para el método de Ruffini pero colocaremos los esquemas como en el caso del ejemplo explicativo anterior. Aplicando el método, obtenemos los siguientes esquemas:

    esquema de rufini 7
    esquema de rufini 8
    Por tanto, el cociente y el residuo son q=3x^3-x^2+3x+6 y R=16 respectivamente.
  • Dividir x^3-9x^2+25x-24 entre x-3.
    Aplicando inmediatamente el método de Ruffini con todo sus pasos en un mismo esquema, tenemos:
    Por tanto, el cociente y el residuo son q=x^2-6x+7 y R=-3 respectivamente.

De esta manera nos despedimos con esta larga sección de división algebraica, ha sido un poco laborioso explicar detalle por detalle cada método de esta sección.

La próxima sección esta destinada al tema del teorema del residuo, este método nos ayuda a calcular el residuo sin usar ningún método de división polinomio. El único limite de este teorema es que usa únicamente divisores de primer grado.

Otra cosa mas, independientemente si usamos las leyes de potenciación y radicación, es importante manejar las 4 operaciones aritméticas en el álgebra, esta son, la suma, resta, multiplicación y división ya que lo usaremos muy a menudo en ecuaciones algebraicas.

Bueno, esto seria todo queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
División Algebraica
Clasificación
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2018-07-14T23:33:04+00:00
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