polinomios y sus propiedades

2. Los polinomios y sus propiedades

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En esta ocasiones desarrollaremos todo sobre polinomios de una manera muy elemental posible. Los polinomios tiene varias aplicaciones en muchos campos avanzados como el análisis matemático y numérico, álgebra lineal, como también en la alineación de antenas electromagnéticas, población de cultivo de bacterias, física, astronomía, hasta genética, en fin, en una serie de aplicación importantes en muchas áreas de estudio.

Gracias a su importancia, veremos una serie conceptos básicos como su definición, tipos de polinomios, operaciones con polinomios, valor numérico, entre otros detalles mas. Sin mas que decir, comencemos.

¿Que es un polinomio?


Un polinomio es una expresión algebraica racional entera de dos o mas términos tal que cada uno de sus términos no se admitan las operaciones de suma y resta.

Me explico con el siguiente ejemplo:

  1. \( 3ab^{2} \)
  2. \( 3a(b+2)^{2} \)

La primera es un termino algebraico donde solo se ven las operaciones de multiplicación y potencia, pero en la segunda podemos ver un termino algebraico donde existe la operación de adición en su estructura. Las dos son dos expresiones algebraicas racionales enteras.

Si un polinomio tiene por lo menos un termino donde se admita una suma y/o resta, entonces no se puede decir que es un polinomio, pero puede transformarse en un polinomio, eso si es posible.

Por tanto, las únicas operaciones que podemos encontrar en un polinomio son la suma, resta, multiplicación y potenciación, siempre y cando cada termino solo se admitan las operaciones de multiplicación y potenciación entre sus variables.

Si en caso contrario encontramos por lo menos alguna fracción tal que en el denominador se admita variables, o términos con variables de exponentes negativos, fraccionarios o irracionales, entonces no esta categorizado como un polinomio ni tampoco puede transformarse en un polinomio finito (que tenga un número limitado de términos).

Ejemplo

Las siguientes expresiones algebraicas son polinomios.

  • \( \mathrm{P} (x,y) = 2x^{2}y + 5y^{2}x-xy \)
  • \( \mathrm{P} (x,y,z) = x^{4} + 3x^{3}y^{2}z + x^{2}y^{3}z^{4} + 7z^{6} \)
  • \( \mathrm{P} (x,y,z,w) = \sqrt{2} x^{3} + \sqrt{5} y^{3} + \sqrt{7} z^{3} + \sqrt{9} w^{3} – 4xyzw \)

Los polinomios puede tener mas de dos variables, pero comencemos con la primera definición para una sola variable.

Polinomio de una variable


Llamamos polinomio de una variable aquel polinomio que esta formada por una variable \( x \) y un conjunto de números reales \( c_{0}, c_{1}, c^{2}, \cdots c_{n} \) llamados coeficientes tal que:

\[ \mathrm{P} (x) = a_{n} x^{x} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} \]

Donde \( n \) es un número natural, \( a_{n} \) es el coeficiente principal y \( a_{0} \) es el termino independiente.

Tenga en cuenta que \( x \) es la variable independiente de \( \mathrm{P} (x) \).

Note que el polinomio \( \mathrm{P} (x) \) no es mas que una serie formada por términos potenciales descendentes \( a_{n} x^{n}, a_{n-1} x^{n-1}, \cdots, a_{2} x^{2}, a_{1}, a_{0} \).

Ejemplo

Los siguientes ejemplos son polinomios de una sola variable:

  • \( \mathrm{P} (x) = 3x^{4} + 2x^{2} – x – 1 \)
  • \( \mathrm{P} (x) = 6x^{4} – 2x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} – \sqrt{8} x + 3 \)
  • \( \mathrm{P} (x) = \sqrt{5} x^{2} – \frac{3}{2} x + 2 \)

Polinomio mónico


Decimos que un polinomio es mónico si su coeficiente principal es la unidad, esto es, debe ser de la siguiente forma:
\[ \mathrm{P} (x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} \]

Ejemplo

Los siguientes ejemplos son polinomios mónicos:

  • \( \mathrm{P} (x) = x^{3} – 3x^{2} + 1 \)
  • \( \mathrm{P} (x) = x^{4} – x^{2} + 4x + 1 \)
  • \( \mathrm{P} (x) = x^{5} + \frac{1}{2} x^{3} – \sqrt{2} x \)

Aplicaciones de los polinomios en distintos campos de estudio


La series polinomiales tiene multitud de aplicaciones en distintas áreas de la matemática, pero tambien lo podemos encontrar en otras campos de estudio, algunas de ellas son:

  • En calculo es muy frecuentemente aproximar funciones usando series de polinomios, siempre y cuando dicha función sea multiplemente derivable. La herramienta de aproximación para estos propósitos se llama serie de Taylor.
  • Otro uso de las series polinomiales es en el análisis numérico, por ejemplo una técnica de aproximación llama interpolación polinomica que sirve para aproximar una función a un valor determinado. Una forma básica de interpolación polinomica es la llamada interpolacion de Lagrange, particularmente este método sirve para aproximar como por ejemplo una función exponencial del tipo \( e^{ \frac{e}{2} } \) o una función trigonométrica \( g(x) = \sin x \) evaluado en un punto dado \( x = 0.034 \) con la ayuda de polinomios muy especiales para estos campos de estudios.
  • El estudio de los polinomios lo podemos encontrar en el campo de ;a economía donde buscan una función lineal entre la oferta y demanda.
  • Otros usos son los polinomios ortogonales que se pueden encontrar en los espacios de Hibert como por ejemplo, la mecanica cuántica, también sirve para aproximar funciones. Generalmente son muy usados en la física, ingeniería e informática.
  • También lo podemos encontrar en la biología, especialmente en la genética, donde se usan un tipo de polinomio llamado polinomio de Jones donde se estudia la teoría de nudos en el área de la topología matemática, este metodo nace en el estudio de la electricidad y la física del átomo, pero como se encontraron muchos nudos en el ADN, fue buena idea estudiar matemáticamente aplicando la teoría de nudos en el campo de la biología molecular.

Polinomios de varias variables


No existe un orden definido con respecto a un polinomio de variables variables, podemos colocar como ejemplos a los cocientes y productos notables:

  1. \( \mathrm{P} (x,y) = \frac{ x^{n} – y^{n} }{x-y} = x^{n-1} + x^{n-2} y + \cdots + x^{2} y^{n-3} + xy^{n-2} + y^{n-1} \)
  2. \( \mathrm{P} (x,y) = (x+y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \)
  3. \( \mathrm{P} (x,y,z) = (x+y+z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2xz \)

Un polinomio se expresa como \( \mathrm{P} (x,y) \), significa que es un polinomio de 2 variables, si se expresa como \( \mathrm{P} (x,y,z) \), entonces es de 3 variables.

Si un embargo, si encontramos un polinomio como en el siguiente ejemplo:

\[ \mathrm{P} (x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} \]

Si la variable \( w \) no esta representada simbólicamente en \( \mathrm{P} (x,y,z) \), entonces el polinomio sigue siendo de 3 variables y \( w \) se representaría como un termino independiente para \( \mathrm{P} \).

Clasificación por el número de términos


Es muy típico mencionar a los polinomios por el numero de términos, veamos como se clasifican algunas de ellas.

Monomio

Un monomio es un termino algebraico tal que solo se admitan las operaciones de multiplicación y potenciación entre sus variables.

Ejemplo

  • \( \mathrm{P} (x) = 2x^{3} \)
  • \( \mathrm{P} (x) = 3xy^{2} \)
  • \( \mathrm{P} (x) = 6x^{2}yz^{3} \)

Tengan en cuenta un punto importante, una expresión algebraica racional entera de un solo termino no siempre es un monomio, por ejemplo:

\[ 3x(x+y) \]

Es un termino, pero no un monomio, tal como se visualiza no es un polinomio, pero puede transformarse en un polinomio, para este ejemplo, al efectuar la operación distributiva, resulta ser así:

\[ 3x^{2} + 3xy \]

Es un polinomio y esta formado de dos monomios, tiene nombre, veamos como se llama.

Binomio

Es un polinomio compuesta únicamente de dos monomios.

Ejemplos

  • \( a^{3} + 2b^{3} \)
  • \( 5x+3y \)
  • 1+z^{2}
  • x^{2} + x^{3}

Tenga en cuenta que lo que llamamos binomio al cuadrado (por poner un ejemplo) \( (a+b)^{2} \) es un termino algebraico, tampoco es visualmente un polinomio, pero puede transformarse en un polinomio, este caso es un polinomio de 3 términos ya que:

\[ (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \]

Tiene nombre, veamos como se llaman este tipo de polinomios.

Trinomio

Es un polinomio compuesta de 3 monomios.

Ejemplo

  • \( a^{3} + a^{2} + a \)
  • \( xy^{2} + x^{2} y + xy \)
  • \( 3w^{3} + 3xyz + p^{4} \) 

Para aquellos que tiene mas de 3 términos, simplemente se dice “polinomio de 4 términos”, “polinomio de 5 términos”, etc.

Grado de un polinomio


Ya habíamos definido el grado de una expresión algebraica y aplica de la misma manera para los polinomios. Existen dos tipos, el grado relativo y el grado absoluto, veamos cada una de ellas con sus respectivos ejemplos.

Grado relativo

Es el máximo valor de un exponente de uno de los términos de un polinomio con respecto a una variable seleccionada. Para un polinomio \( \mathrm{P} (x,y,z) \), su grado relativo respecto a \( x \), \( y \) y \( z \) se representa como \( \mathrm{Gr}_{x} [ \mathrm{P} ] \), \( \mathrm{Gr}_{y} [ \mathrm{P} ] \), \( \mathrm{Gr}_{z} [ \mathrm{P} ] \) respectivamente.

Ejemplo:

  1. El grado relativo de cada variable del monomio \( \mathrm{P} (x,y,z) = x^{2}yz^{3} \) son:
    \( \checkmark  \mathrm{Gr}_{x} [ \mathrm{P} ] = 2 \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{y} [ \mathrm{P} ] = 1 \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{z} [ \mathrm{P} ] = 3 \)
  2. El grado relativo de cada variable del polinomio \( \mathrm{P} (x,y,z) = 3 \color{red}{ x^{5} } y^{2} z^{3} + 2xyz^{7} – \frac{2}{3} x^{3} \color{blue}{ y^{3} } \color{green}{ z^{8} } \) son:
    \( \checkmark \mathrm{Gr}_{ \color{red}{x} } [ \mathrm{P} ] = \color{red}{5} \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{ \color{blue}{y} } [ \mathrm{P} ] = \color{blue}{3} \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{ \color{green}{z} } [ \mathrm{P} ] = \color{green}{8} \)

Observe que para el segundo ejemplo se ha tomado el máximo exponente de una variable, se puede identificar fácilmente según el color de cada variable, su exponente de cada una de ellas es el mayor con respecto a la misma variable de otros términos.

Grado absoluto

El grado absoluto de un polinomio es la suma máxima de los exponentes de las variables de uno de los monomios que lo forman. Sea un polinomio \( \mathrm{P} (x,y,z) \), su grado absoluto simplemente se representa como \( \mathrm{Gr} [P] \).

Ejemplos:

  • El grado absoluto de \( \mathrm{P} (x,y,z) = \sqrt{3} x^{2} y^{3} z^{4} \) es:
    \[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] = 2+3+4 = 9 \]
  • El grado absoluto de \( \mathrm{P} (x,y) = 8x^{2} y^{3} + x^{3} y^{4} z^{3} \) es:
    \[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] = 3+4 = 7 \]
    Se omite el exponente de \( z \) ya que no esta considerado simbólicamente en \( \mathrm{P} (x,y) \) como variable independiente.
  • El grado absoluto de \( \mathrm{P} (x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} – \frac{ \sqrt{7} }{3} x y^{2} z^{3} \) es:
    \[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] = 1+2+3 \]

Note que en cada ejemplo se ha tomado la máxima suma de unos de los monomios de los ejemplos anteriores.

Calculo del grado absoluto con operaciones algebraicas entre polinomios

Sea dos polinomios \( \mathrm{P} (x,y,z) \) y \( \mathrm{Q} (x,y,z) \) tal que \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] > \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \), entonces se cumple las siguientes propiedades.

  • Adición: \( \mathrm{P} (x,y,z) + \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Sustracción: \( \mathrm{P} (x,y,z) – \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Producto: \( \mathrm{P} (x,y,z) \cdot \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{ Gr } [ \mathrm{P} ] + \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
  • Cociente: \( \mathrm{P} (x,y,z) / \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] – \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
  • Potenciación: \( [ \mathrm{P} ]^{n} \), tiene como grado absoluto a \( n \cdot \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Radicación: \( \sqrt[n]{ \mathrm{P} (x,y,z) } \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] / n \).

Valor numérico


El valor número de un polinomio depende de ciertos valores específicos que les asignemos a sus variables.

Remplazo directo

Este método es el mas simple, si se tiene los valores de ciertas variables, directamente remplazamos al polinomio dado.

Por ejemplo, cual sería el valor numérico de \( \mathrm{P} (x,y) = xy+x^{2} y^{2} \) si \( x = 1 \) y \( y=2 \), simplemente remplazamos estos valores asignados a las variables del polinomio y quedaría algo así:

\[ \mathrm{P} (1,2) = 1 \cdot 2 + 1^{2} \cdot 2^{2} = 10 \]

Resolución de variable

Este método solo es posible para aquellos casos donde primero debemos resolver el valor de la variable antes de realizar un remplazo directo a un polinomio dado.

Por ejemplo, queremos resolver el valor de \( \mathrm{P} (7) \) si se cumple \( \mathrm{P} (x^{3} – 1) = x^{2} + x -1 \).

Para resolverlo, devemos resolver el valor de \( x \), para ello, igualamos \( \mathrm{P} (7) = \mathrm{ x^{3} – 1 } \), como se trata del mismo polinomio, entonces \( 7 = x^{3} – 1 \), resolviendo, tenemos \( x = 2 \), entonces remplazando en \( \mathrm{P} ( x^{3} – 1 ) = x^{2} + x – 1 \), entonces \( \mathrm{P} (7) = 2^{2} + 2 – 1 = 5 \),

El ejercicio anterior es muy sencillo, pero subiendo un poco la dificultad, tambien podemos encontrar ejercicios de este tipo donde queremos hallar el valor de \( \mathrm{E} (x,y) = 2^{x} + 2^{y} \) si \( 2^{2x} + 2^{2y} = 4 \) y \( 2^{x+y} = 6 \). Este este es el ejercicio 19 de la sección de ecuaciones exponenciales, lo puedes encontrar resuelto allí.

Estas son dos formas de resolver el valor numérico de polinomios.

Cambio de variable


El cambio de variable es un método que consiste cambiar la variable independiente de un polinomio por una nueva variable cambiando la estructura del polinomio. Hay dos métodos, veamos.

Método 1

Por ejemplo, tenemos el polinomio \( \mathrm{P} (x) = 3x + 1 \) y queremos hallar \( \mathrm{P} (x+5) \), entonces remplazaremos \( x \) por \( x+5 \) a los dos miembros en \( \mathrm{P} (x) = 3x+1 \), entonces:

\[ \begin{align} \mathrm{P} (x+5) & = 3(x+5) + 1 \\ & = 3x + 15 + 1 \\ \mathrm{P}(x) & = 3x + 16 \end{align} \]

Método 2

Sea el polinomio \( \mathrm{P} (x+3) = 2x – 1 \), resolver \( \mathrm{P} (x) \), para ello, hacemos \( y=x+3 \), como \( x = y-3 \), remplazando, en \( \mathrm{P} (x+3) = 2x-1 \), entonces:

\[ \begin{align} \mathrm{P} (y) & = 2(y-3) – 1 \\ & = 2y – 6 – 1 \\ \mathrm{P} (y) & = 2y – 7 \end{align} \]

Ahora simplemente intercambiamos \( y \) por \( x \), finalmente obtenemos:

\[ \mathrm{P} (x) = 2x-7 \]

Polinomios especiales


Existe una clasificación sobre polinomios, veamos cada una de ellas.

Polinomio ordenado

Un polinomio ordenado respecto a una variable es ordenado si los exponentes de una variable de cada termino es de manera ascendente o descendente.

Ejemplos

  1. \( \mathrm{P} (x) = 3x^{3} + 2x^{2} + \frac{1}{2} x + 7 \)
  2. \( \mathrm{Q} (x,y) = 2x^{2} + 3xy + 5y^2 \)

El primer ejemplo el polinomio \( \mathrm{P} (x) \) vemos que los exponentes es de manera descendente respecto a \( x \), pero el segundo polinomio vemos dos variables, con respecto a \( x \) es descendente, pero con respecto a \( y \) los exponentes es de manera ascendente.

Polinomio completo

Se llama polinomio completo (generalmente de una variable) si tiene todos los exponentes desde el termino de mayor grado hasta el termino independiente tal que los exponentes sea consecutivos de 1 en 1.

Ejemplo

  • \( \mathrm{P} (x) = 3x^{4} – 2x^{3} +x^{2} + x – 9 \)
  • \( \mathrm{P} (y) = 5y^{5} + \sqrt[4]{3} y^{4} – \frac{1}{55} y^{3} – 3^{ \frac{2}{3} } y^{2} + y + 2 \)
  • \( \mathrm{P} (x,y) = 6x^{4} y + \frac{10}{3} x^{3} y^{5} + \frac{ \sqrt{3} }{4} x^{2} y^{2} – x + y^{10} \)
  • \( \mathrm{Q} (x) = 2x^{4} – x + 3x^{3} + 7x^{2} \), no es necesario que sea ordenado para que sea completo, si resulta ser ordenado, es decir, es ascendente o descendente, en ese caso diremos que el polinomio es ordenado y completo.

Polinomio homogéneo

Se llama polinomio homogéneo aquel polinomio de mas de una variable que tiene el mismo grado absoluto en cada monomio del polinomio.

Ejemplo

  • \( \mathrm{P} (x,y) = x^{2} y^{3} – xy^{4} \), si calculamos el grado absoluto de cada monomio, vemos que es de grado \( 5 \), es decir, cada monomio del polinomio \( \mathrm{P} \) comparten el mismo grado.
  • \( \mathrm{Q} (x,y,z) = x^{3} y^{4} z + 23 x^{2} y^{5} z + 2x^{4} y^{2} z^{2} \), el grado absoluto de cada monomio del polinomio son los mismos y es de grado \( 8 \).

Polinomios idénticos

Llamamos polinomios idénticos si los términos semejantes de los polinomios a comparar tiene los mismos coeficientes. Sea los polinomios:

  1. \( \mathrm{P} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \)
  2. \( \mathrm{Q} (x) = b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_{1} x + b_{0} \)

Serán idénticos si \( a_{n} = b_{n} \), \( a_{n-1} = b_{n-1} \), …, \( a_{1} = b_{1} \) y \( a_{0} = b_{0} \), entonces se simboliza así \( \mathrm{P} (x) \equiv \mathrm{Q} (x) \).

Ejemplo

Este tipo de definiciones sirven para plantear este tipo de ejercicios:

Si los polinomios \( \mathrm{P} (x) = 2x^{2} – 3x +2 \) y \( \mathrm{Q} (x) = (3m-2) x^{2} + (n+m)x + p \) son idénticos, cual el valor de \( mnp \).

Solución:

  1. Si \( \mathrm{P} (x) \equiv \mathrm{Q} (x) \), entonces debe cumplirse que:
    \[ \underbrace{2=3m-2}_{ \mathrm{I} }, \underbrace{-3=n+m}_{ \mathrm{II} } \wedge \underbrace{2=p}_{ \mathrm{III} } \]
  2. Resolviendo la ecuación \( \mathrm{I} \), resulta:
    \[ 2=3m-2 \\ 2+2=3m \\ \frac{4}{3} = m \]
  3. Con el valor de \( m \) en la ecuación \( \mathrm{II} \), resolvemos la ecuación \( -3 = n+m \), tenemos:
    \[ -3 = n + \frac{4}{3} \\ -3 – \frac{4}{3} = n \\ – \frac{13}{3} = n \]
  4. Y la ecuación \( \mathrm{III} \), no es necesario resolver por lo que tendríamos a \( m = \frac{4}{3} \), \( n = – \frac{13}{3} \) y \( p = 2 \), nos pide el producto de estos 3 valores, entonces:
    \[ mnp = ( \frac{4}{3} )( – \frac{13}{3} )(2) = – \frac{104}{9} \]

De esta manera queda solucionado el ejercicio.

Polinomio idénticamente nulo

Es aquel polinomio donde todos sus coeficientes son nulos y por ende, el polinomio también es nulo siempre y cuando la variable independiente sea diferente de cero.

Se tiene el polinomio \( \mathrm{P} (x) = a_{n} x^{n} + \cdots a_{1} x + a_{0} \), para que sea idénticamente nulo debe cumplirse que \( a_{n} = 0 \), …, \( a_{1} = 0\) y \( a_{0} = 0 \) y se simboliza con \( \mathrm{P} (x) \equiv 0 \).

Ojo: No confundir con \( \mathrm{P} (x) = 0 \), tenga en cuenta que el uso de los símbolos de comparación como \( \equiv \) para este caso sirve para definir un polinomio idénticamente nulo, pero si se hace uso del signo igual \( = \), aquí la cosa cambia, porque igual a cero a un polinomio no implica que los coeficientes se anulen, en este estaríamos ante una ecuación de grado \( n \) donde el objetivo aquí es hallar los valores o carices de la ecuación, es decir, todos los valores de \( x \) para que el polinomio \( \mathrm{P} \) se anule.

Operaciones con polinomios


Los polinomios también se pueden sumar, restar multiplicar y dividir también, veamos cada una de ellas de manera resumida, en cuanto a la división, solo veremos como se resuelve un polinomio entre un monomio. En las próximas secciones detallaremos cada una de estas operaciones.

Suma

Los polinomios se pueden sumar, por ejemplo, sean los polinomios \( \mathrm{P} (x) = x^{2} + 3x + 2 \) y \( \mathrm{Q} (x) = 5x^{3} + 7x^{2} + 2x + 5 \), queremos realizar la operación \( \mathrm{P} (x) + \mathrm{Q} (x) \), entonces:

\[ \color{red}{ \mathrm{P} (x) } + \color{blue}{ \mathrm{Q} (x) } = \color{red}{ x^{2} + 3x + 2 } + \color{blue}{ 5x^{3} + 7x^{2} + 2x + 5 } \]

Para lograr la suma de estos polinomios, se deben sumar aquellos términos semejantes entre estos polinomios, quedaría algo así:

\[ \color{red}{ \mathrm{P} (x) } + \color{blue}{ \mathrm{Q} (x) } = ( \color{blue}{ 5x^{3} } ) + ( \color{red}{ x^{2} } + \color{blue}{ 7x^{2} } ) + ( \color{red}{3x} + \color{blue}{2x} ) + ( \color{red}{2} + \color{blue}{5} ) \]

De aquí solo sumamos los coeficientes de cada termino semejante, la suma final sería así:

\[ \begin{align} \mathrm{P} (x) + \mathrm{Q} & = 5x^{3} + (1+7)x^{2} + (3+2)x + (2+5) \\ \mathrm{P} (x) + \mathrm{Q} (x) &= 5x^{3} + 8x^{2} + 5x + 7 \end{align} \]

Observe que como el monomio \( 5x^{3} \) no tenia un termino semejante, se deja tal cual está. Generalmente cuando se realizar operaciones con polinomios, es recomendable colocarlo de manera ordenada y descendente.

Resta

El método de esta operación es similar como la suma, solo que en lugar de adicionar, se debe de quitar. Por ejemplo, sean los polinomios \( \mathrm{P} (x,y) = 7x^{3}y – 2x^{2}y^{3} + 3xy \) y \( \mathrm{Q} (x,y) = 2xy – 3x^{3}y + 7x^{2}y^{3} \), queremos calcular la diferencia \( \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} (x,y) \), entonces:

\[ \color{red}{ \mathrm{P} (x,y) } – \color{blue}{ \mathrm{Q} (x,y) } = \color{red}{ 7x^{3}y – 2x^{2}y^{3} + 3xy } – ( \color{blue}{ 2xy – 3x^{3}y + 7x^{2}y^{3} } ) \]

Ante todo, cuando tenemos la siguiente operación de la forma \( -(a-b-c+d) \), para eliminar el signo, tan solo cambiamos el signo de cada uno de los términos dentro del paréntesis, tal que:

\[ -(a-b-c+d) = -a+b+c-d \]

entonces:

\[ \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} (x,y) = 7x^{3}y – 2x^{2}y^{3} + 3xy – 2xy + 3x^{3}y – 7x^{2}y^{3} \]

Como en el caso de la suma, ordenamos juntando todos con su termino semejante, resulta:

\[ \begin{align} \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} (x,y) & = ( 7x^{3}y + 3x^{3}y ) + ( -2x^{2}y^{3} – 7x^{2}y^{3} ) + ( 3xy – 2xy ) \\ & = (7+3)x^{3}y + (-2-7)x^{2}y^{3} + (3-2)xy \\ & = 10x^{3}y + (-9)x^{2}y^{3} + 1xy \end{align} \]

tenga en cuenta que \( +(-a) = -a \) y la número \( 1 \) se omite en \( 1xy \) escribiéndose así \( xy \), finalmente, resulta:

\[ \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} = 10x^{3}y – 9x^{2}y^{3} + xy \]

Multiplicación

Comenzaremos por partes, la primera será la multiplicación entre monomios, luego de un monomio con polinomio y luego con polinomios pera de manera muy resumida, veamos cada una de ellas

Multiplicación entre monomios

Por ejemplo, tenemos los siguientes monomios \( \mathrm{P} (x,y) = 2x^{2}y \) y \( \mathrm{Q} (x,y) = 3xy^{2} \), queremos calcular la multiplicación \( \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) \), veamos:

\[ \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) = ( 2x^{2}y )( 3xy^{2} ) \]

Aquí se involucra las propiedades de la potenciación, por ejemplo, aquí se cumple la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \), ante de todo, debemos ordenar los factores de \( \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) \) para aplicar la propiedad o regla de multiplicación de potencia de bases iguales, veamos:

\[ \begin{align} \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) & = ( 2 \cdot 3 )( x^{2} \cdot x )( y \cdot y^{2} ) \\ & = 6x^{2+1}y^{1+2} \\ & = 6x^{3}y^{3} \end{align} \]

Multiplicación de un monomio con un polinomio

Veamos un ejemplo mas sencillo con una sola variable para resumir esta sección que se esta haciendo mas largo de lo permitido. Sean los polinomios \( \mathrm{P} (x) = x^{2} – 3x +2 \) y \( \mathrm{Q} (x) = 7x^{3} \), calculemos \( \mathrm{P} (x) \cdot \mathrm{Q} (x) \), obtenemos:

\[ \mathrm{P} (x) \cdot \mathrm{Q} (x) = ( x^{2} – 3x +2 )( 7x^{3} ) \]

en este caso, debemos usar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma que nos dice que:

\[ (a+b)c = ac+bc \]

Usando las propiedades de exponentes y sumando los coeficientes de los términos semejantes, tenemos:

\[ \begin{align} \mathrm{P} (x) \cdot \mathrm{Q} (x) & = ( x^{2} )( 7x^{3} ) – (3x)( 7x^{3} ) + 2( 7x^{3} ) \\ & = 7x^{2+3} – 3 \cdot 7 x^{1+3} + 2 \cdot 7 x^{3} \\ & = 7x^{5} – 21x^{4} + 14x^{3} \end{align} \]

Multiplicación entre polinomios

Veamos el siguiente ejemplo de dos polinomios de dos términos como \( \mathrm{P} (x) = x^{2} + x \) y \( \mathrm{Q} (x) = 1 + 2x^{3} \), queremos resolver \( \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) \), resulta:

\[ \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) = ( \color{red}{ x^{2} + x } )( \color{blue}{ 1 + 2x^{3} } ) \]

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación, tenemos:

\[ \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) = ( \color{red}{ x^{2} + x } )( \color{blue}{1} ) + ( \color{red}{ x^{2} + x } ) ( \color{blue}{ 2x^{3} } ) \]

Volviendo aplicar la propiedad distributiva, obtenemos:

\[ \begin{align} \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) & = \color{red}{ x^{2} } \cdot \color{blue}{1} + \color{red}{ x } \cdot \color{blue}{1} + \color{red}{ x^{2} } \cdot \color{blue}{ 2x^{3} } + \color{red}{ x } \cdot \color{blue}{ 2x^{3} } \\ & = x^{2} + x + 2x^{2+3} + 2x^{1+3} \\ & = x^{2} + x + 2x^{5} + 2x^{4} \end{align} \]

División de polinomios

La división entre polinomios es una sección extensa, por lo que haremos un ejemplo sencillo para finalizar esta sección, dividiremos un polinomio entre un monomio como ejemplo \( \mathrm{P} (x,y) = x^{3}y + x^{2}y^{2} + xy^{3} \) y \( \mathrm{Q} (x,y) = 2xy \), queremos resolver \( \mathrm{P}(x,y) / \mathrm{Q} (x,y) \), tenemos:

\[ \frac{ \mathrm{P} (x,y) }{ \mathrm{Q} (x,y) } = \frac{ x^{3}y + x^{2}y^{2} + xy^{3} }{ 2xy } \]

Aquí se aplicará la propiedad distributiva de la división que nos dice:

\[ \frac{a+b+c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d} \]

Aplicando esta propiedad, tenemos:

\[ \frac{ \mathrm{P} (x,y) }{ \mathrm{Q} (x,y) } = \frac{ x^{3}y }{2xy} + \frac{ x^{2}y^{2} }{2xy} + \frac{ xy^{3} }{ 2xy } \]

Aplicando la propiedad de división de cociente de bases iguales \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), tenemos:

\[ \begin{align} \frac{ \mathrm{P} (x,y) }{ \mathrm{Q} (x,y) } & = \frac{1}{2} \cdot \frac{ x^{3} }{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{ x^{2} }{x} \cdot \frac{ y^{2} }{y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{ y^{3} }{y} \\ & = \frac{1}{2} x^{3-1}y^{1-1} + \frac{1}{2} x^{2-1}y^{2-1} + \frac{1}{2} x^{1-1}y^{3-1} \\ & = \frac{1}{2} x^{2}y^{0} + \frac{1}{2} x^{1-1}y^{1-1} + \frac{1}{2} x^{1-1}y^{3-1} \\ & = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} xy + \frac{1}{2} y^{2} \end{align} \]

De esta manera finalizamos el tema de polinomios, las próximas secciones esta dedicada con mas detalle las operaciones entre polinomios resaltando las propiedades importante cosa que no detalle en la secciones de suma, resta, multiplicación y división algebraica.

Gracias a todos, nos vemos en próximas secciones.

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Polinomios y sus propiedades
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Polinomios y sus propiedades
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Los Polinomios son expresiones algebraicas donde solo se admite la suma, resta, multiplicación y la potenciación de exponente positivo.
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Ciencias Básicas
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