En esta ocasiones desarrollaremos todo sobre polinomios de una manera muy elemental posible. Los polinomios tiene varias aplicaciones en muchos campos avanzados como el análisis matemático y numérico, álgebra lineal, como también en la alineación de antenas electromagnéticas, población de cultivo de bacterias, física, astronomía, hasta genética, en fin, en una serie de aplicación importantes en muchas áreas de estudio.
Gracias a su importancia, veremos una serie conceptos básicos como su definición, tipos de polinomios, operaciones con polinomios, valor numérico, entre otros detalles más. Sin mas que decir, comencemos.
¿Que es un polinomio?
Un polinomio es una expresión algebraica racional entera de dos o más términos tal que cada uno de sus términos no se admiten las operaciones de suma y resta.
Me explico con el siguiente ejemplo:
- \( 3ab^{2} \)
- \( 3a(b+2)^{2} \)
La primera es un término algebraico donde solo se ven las operaciones de multiplicación y potencia, pero en la segunda podemos ver un termino algebraico donde existe la operación de adición en su estructura. Las dos son dos expresiones algebraicas racionales enteras.
Si un polinomio tiene por lo menos un término donde se admita una suma y/o resta, entonces no se puede decir que es un polinomio, pero puede transformarse en un polinomio, eso si es posible.
Por tanto, las únicas operaciones que podemos encontrar en un polinomio son la suma, resta, multiplicación y potenciación, siempre y cuando cada término sólo se admitan las operaciones de multiplicación y potenciación entre sus variables.
Si en caso contrario encontramos por lo menos alguna fracción tal que en el denominador se admita variables, o términos con variables de exponentes negativos, fraccionarios o irracionales, entonces no está categorizado como un polinomio ni tampoco puede transformarse en un polinomio finito (que tenga un número limitado de términos).
Ejemplo
Las siguientes expresiones algebraicas son polinomios.
-
- \( \mathrm{P} (x,y) = 2x^{2}y + 5y^{2}x-xy \)
- \( \mathrm{P} (x,y,z) = x^{4} + 3x^{3}y^{2}z + x^{2}y^{3}z^{4} + 7z^{6} \)
- \( \mathrm{P} (x,y,z,w) = \sqrt{2} x^{3} + \sqrt{5} y^{3} + \sqrt{7} z^{3} + \sqrt{9} w^{3} – 4xyzw \)
Los polinomios puede tener más de dos variables, pero comencemos con la primera definición para una sola variable.
Polinomio de una variable
Llamamos polinomio de una variable aquel polinomio que está formada por una variable \( x \) y un conjunto de números reales \( c_{0}, c_{1}, c^{2}, \cdots c_{n} \) llamados coeficientes tal que:
\[ \mathrm{P} (x) = a_{n} x^{x} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} \]
Donde \( n \) es un número natural, \( a_{n} \) es el coeficiente principal y \( a_{0} \) es el termino independiente.
Tenga en cuenta que \( x \) es la variable independiente de \( \mathrm{P} (x) \). Vemos que el polinomio \( \mathrm{P} (x) \) no es más que una serie formada por términos potenciales descendentes \( a_{n} x^{n}, a_{n-1} x^{n-1}, \cdots, a_{2} x^{2}, a_{1}, a_{0} \).
Ejemplo
Los siguientes ejemplos son polinomios de una sola variable:
-
- \( \mathrm{P} (x) = 3x^{4} + 2x^{2} – x – 1 \)
- \( \mathrm{P} (x) = 6x^{4} – 2x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} – \sqrt{8} x + 3 \)
- \( \mathrm{P} (x) = \sqrt{5} x^{2} – \frac{3}{2} x + 2 \)
Polinomio mónico
Decimos que un polinomio es mónico si su coeficiente principal es la unidad, esto es, debe ser de la siguiente forma:
\[ \mathrm{P} (x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} \]
Ejemplo
Los siguientes ejemplos son polinomios mónicos:
-
- \( \mathrm{P} (x) = x^{3} – 3x^{2} + 1 \)
- \( \mathrm{P} (x) = x^{4} – x^{2} + 4x + 1 \)
- \( \mathrm{P} (x) = x^{5} + \frac{1}{2} x^{3} – \sqrt{2} x \)
Aplicaciones de los polinomios en distintos campos de estudio
Las series polinomiales tienen multitud de aplicaciones en distintas áreas de la matemática, pero también lo podemos encontrar en otras campos de estudio, algunas de ellas son:
- En cálculo es muy frecuentemente aproximar funciones usando series de polinomios, siempre y cuando dicha función sea múltiplemente derivable. La herramienta de aproximación para estos propósitos se llama serie de Taylor.
- Otro uso de las series polinomiales es en el análisis numérico, por ejemplo una técnica de aproximación llama interpolación polinómica que sirve para aproximar una función a un valor determinado. Una forma básica de interpolación polinómica es la llamada interpolación de Lagrange, particularmente este método sirve para aproximar como por ejemplo una función exponencial del tipo \( e^{ \frac{e}{2} } \) o una función trigonométrica \( g(x) = \sin x \) evaluado en un punto dado \( x = 0.034 \) con la ayuda de polinomios muy especiales para estos campos de estudios.
- El estudio de los polinomios lo podemos encontrar en el campo de la economía donde buscan una función lineal entre la oferta y demanda.
- Otros usos son los polinomios ortogonales que se pueden encontrar en los espacios de Hilbert como por ejemplo, la mecanica cuántica, también sirve para aproximar funciones. Generalmente son muy usados en la física, ingeniería e informática.
- También lo podemos encontrar en la biología, especialmente en la genética, donde se usan un tipo de polinomio llamado polinomio de Jones donde se estudia la teoría de nudos en el área de la topología matemática, este método nace en el estudio de la electricidad y la física del átomo, pero como se encontraron muchos nudos en el ADN, fue buena idea estudiar matemáticamente aplicando la teoría de nudos en el campo de la biología molecular.
Polinomios de varias variables
No existe un orden definido con respecto a un polinomio de variables variables, podemos colocar como ejemplos a los cocientes y productos notables:
- \( \mathrm{P} (x,y) = \frac{ x^{n} – y^{n} }{x-y} = x^{n-1} + x^{n-2} y + \cdots + x^{2} y^{n-3} + xy^{n-2} + y^{n-1} \)
- \( \mathrm{P} (x,y) = (x+y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \)
- \( \mathrm{P} (x,y,z) = (x+y+z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2xz \)
Un polinomio se expresa como \( \mathrm{P} (x,y) \), significa que es un polinomio de 2 variables, si se expresa como \( \mathrm{P} (x,y,z) \), entonces es de 3 variables.
Si un embargo, sí encontramos un polinomio como en el siguiente ejemplo:
\[ \mathrm{P} (x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} \]
Si la variable \( w \) no está representada simbólicamente en \( \mathrm{P} (x,y,z) \), entonces el polinomio sigue siendo de 3 variables y \( w \) se representaría como un término independiente para \( \mathrm{P} \).
Clasificación por el número de términos
Es muy típico mencionar a los polinomios por el número de términos, veamos cómo se clasifican algunas de ellas.
Monomio
Un monomio es un término algebraico tal que solo se admiten las operaciones de multiplicación y potenciación entre sus variables.
Ejemplo
-
- \( \mathrm{P} (x) = 2x^{3} \)
- \( \mathrm{P} (x) = 3xy^{2} \)
- \( \mathrm{P} (x) = 6x^{2}yz^{3} \)
Tengan en cuenta un punto importante, una expresión algebraica racional entera de un solo término no siempre es un monomio, por ejemplo:
\[ 3x(x+y) \]
Es un termino, pero no un monomio, tal como se visualiza no es un polinomio, pero puede transformarse en un polinomio, para este ejemplo, al efectuar la operación distributiva, resulta ser así:
\[ 3x^{2} + 3xy \]
Es un polinomio y esta formado de dos monomios, tiene nombre, veamos como se llama.
Binomio
Es un polinomio compuesto únicamente de dos monomios.
Ejemplos
-
- \( a^{3} + 2b^{3} \)
- \( 5x+3y \)
- \( 1+z^{2} \)
- \( x^{2} + x^{3} \)
Tenga en cuenta que lo que llamamos binomio al cuadrado (por poner un ejemplo) \( (a+b)^{2} \) es un término algebraico, tampoco es visualmente un polinomio, pero puede transformarse en un polinomio, este caso es un polinomio de 3 términos ya que:
\[ (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \]
Tiene nombre, veamos como se llaman este tipo de polinomios.
Trinomio
Es un polinomio compuesto de 3 monomios.
Ejemplo
-
- \( a^{3} + a^{2} + a \)
- \( xy^{2} + x^{2} y + xy \)
- \( 3w^{3} + 3xyz + p^{4} \)
Para aquellos que tiene más de 3 términos, simplemente se dice «polinomio de 4 términos», «polinomio de 5 términos», etc.
Grado de un polinomio
Ya habíamos definido el grado de una expresión algebraica y aplica de la misma manera para los polinomios. Existen dos tipos, el grado relativo y el grado absoluto, veamos cada una de ellas con sus respectivos ejemplos.
Grado relativo
Es el máximo valor de un exponente de uno de los términos de un polinomio con respecto a una variable seleccionada. Para un polinomio \( \mathrm{P} (x,y,z) \), su grado relativo respecto a \( x \), \( y \) y \( z \) se representa como \( \mathrm{Gr}_{x} [ \mathrm{P} ] \), \( \mathrm{Gr}_{y} [ \mathrm{P} ] \), \( \mathrm{Gr}_{z} [ \mathrm{P} ] \) respectivamente.
Ejemplo:
- El grado relativo de cada variable del monomio \( \mathrm{P} (x,y,z) = x^{2}yz^{3} \) son:
\( \checkmark \mathrm{Gr}_{x} [ \mathrm{P} ] = 2 \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{y} [ \mathrm{P} ] = 1 \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{z} [ \mathrm{P} ] = 3 \) - El grado relativo de cada variable del polinomio \( \mathrm{P} (x,y,z) = 3 \color{red}{ x^{5} } y^{2} z^{3} + 2xyz^{7} – \frac{2}{3} x^{3} \color{blue}{ y^{3} } \color{green}{ z^{8} } \) son:
\( \checkmark \mathrm{Gr}_{ \color{red}{x} } [ \mathrm{P} ] = \color{red}{5} \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{ \color{blue}{y} } [ \mathrm{P} ] = \color{blue}{3} \\ \checkmark \mathrm{Gr}_{ \color{green}{z} } [ \mathrm{P} ] = \color{green}{8} \)
Observe que para el segundo ejemplo se ha tomado el máximo exponente de una variable, se puede identificar fácilmente según el color de cada variable, su exponente de cada una de ellas es el mayor con respecto a la misma variable de otros términos.
Grado absoluto
El grado absoluto de un polinomio es la suma máxima de los exponentes de las variables de uno de los monomios que lo forman. Sea un polinomio \( \mathrm{P} (x,y,z) \), su grado absoluto simplemente se representa como \( \mathrm{Gr} [P] \).
Ejemplos:
- El grado absoluto de \( \mathrm{P} (x,y,z) = \sqrt{3} x^{2} y^{3} z^{4} \) es:
\[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] = 2+3+4 = 9 \] - El grado absoluto de \( \mathrm{P} (x,y) = 8x^{2} y^{3} + x^{3} y^{4} z^{3} \) es:
\[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] = 3+4 = 7 \]
Se omite el exponente de \( z \) ya que no está considerado simbólicamente en \( \mathrm{P} (x,y) \) como variable independiente. - El grado absoluto de \( \mathrm{P} (x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} – \frac{ \sqrt{7} }{3} x y^{2} z^{3} \) es:
\[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] = 1+2+3 \]
Note que en cada ejemplo se ha tomado la máxima suma de unos de los monomios de los ejemplos anteriores.
Calculo del grado absoluto con operaciones algebraicas entre polinomios
Sea dos polinomios \( \mathrm{P} (x,y,z) \) y \( \mathrm{Q} (x,y,z) \) tal que \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] > \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \), entonces se cumple las siguientes propiedades.
- Adición: \( \mathrm{P} (x,y,z) + \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
- Sustracción: \( \mathrm{P} (x,y,z) – \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
- Producto: \( \mathrm{P} (x,y,z) \cdot \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{ Gr } [ \mathrm{P} ] + \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
- Cociente: \( \mathrm{P} (x,y,z) / \mathrm{Q} (x,y,z) \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] – \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
- Potenciación: \( [ \mathrm{P} ]^{n} \), tiene como grado absoluto a \( n \cdot \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
- Radicación: \( \sqrt[n]{ \mathrm{P} (x,y,z) } \), tiene como grado absoluto a \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] / n \).
Valor numérico
El valor número de un polinomio depende de ciertos valores específicos que les asignemos a sus variables.
Remplazo directo
Este método es el más simple, si se tiene los valores de ciertas variables, directamente reemplazamos al polinomio dado.
Por ejemplo, ¿cuál sería el valor numérico de \( \mathrm{P} (x,y) = xy+x^{2} y^{2} \) si \( x = 1 \) y \( y=2 \)?, simplemente reemplazamos estos valores asignados a las variables del polinomio y quedaría algo así:
\[ \mathrm{P} (1,2) = 1 \cdot 2 + 1^{2} \cdot 2^{2} = 10 \]
Resolución de variable
Este método solo es posible para aquellos casos donde primero debemos resolver el valor de la variable antes de realizar un reemplazo directo a un polinomio dado.
Por ejemplo, queremos resolver el valor de \( \mathrm{P} (7) \) si se cumple \( \mathrm{P} (x^{3} – 1) = x^{2} + x -1 \).
Para resolverlo, debemos resolver el valor de \( x \), para ello, igualamos \( \mathrm{P} (7) = \mathrm{ x^{3} – 1 } \), como se trata del mismo polinomio, entonces \( 7 = x^{3} – 1 \), resolviendo, tenemos \( x = 2 \), entonces reemplazando en \( \mathrm{P} ( x^{3} – 1 ) = x^{2} + x – 1 \), entonces \( \mathrm{P} (7) = 2^{2} + 2 – 1 = 5 \),
El ejercicio anterior es muy sencillo, pero subiendo un poco la dificultad, también podemos encontrar ejercicios de este tipo donde queremos hallar el valor de \( \mathrm{E} (x,y) = 2^{x} + 2^{y} \) si \( 2^{2x} + 2^{2y} = 4 \) y \( 2^{x+y} = 6 \). Este este es el ejercicio 19 de la sección de ecuaciones exponenciales, lo puedes encontrar resuelto allí.
Estas son dos formas de resolver el valor numérico de polinomios.
Cambio de variable
El cambio de variable es un método que consiste cambiar la variable independiente de un polinomio por una nueva variable cambiando la estructura del polinomio. Hay dos métodos, veamos.
Método 1
Por ejemplo, tenemos el polinomio \( \mathrm{P} (x) = 3x + 1 \) y queremos hallar \( \mathrm{P} (x+5) \), entonces reemplazamos \( x \) por \( x+5 \) a los dos miembros en \( \mathrm{P} (x) = 3x+1 \), entonces:
\[ \begin{align} \mathrm{P} (x+5) & = 3(x+5) + 1 \\ & = 3x + 15 + 1 \\ \mathrm{P}(x) & = 3x + 16 \end{align} \]
Método 2
Sea el polinomio \( \mathrm{P} (x+3) = 2x – 1 \), resolver \( \mathrm{P} (x) \), para ello, hacemos \( y=x+3 \), como \( x = y-3 \), reemplazando, en \( \mathrm{P} (x+3) = 2x-1 \), entonces:
\[ \begin{align} \mathrm{P} (y) & = 2(y-3) – 1 \\ & = 2y – 6 – 1 \\ \mathrm{P} (y) & = 2y – 7 \end{align} \]
Ahora simplemente intercambiamos \( y \) por \( x \), finalmente obtenemos:
\[ \mathrm{P} (x) = 2x-7 \]
Polinomios especiales
Existe una clasificación sobre polinomios, veamos cada una de ellas.
Polinomio ordenado
Un polinomio ordenado respecto a una variable es ordenado si los exponentes de una variable de cada término es de manera ascendente o descendente.
Ejemplos
- \( \mathrm{P} (x) = 3x^{3} + 2x^{2} + \frac{1}{2} x + 7 \)
- \( \mathrm{Q} (x,y) = 2x^{2} + 3xy + 5y^2 \)
El primer ejemplo el polinomio \( \mathrm{P} (x) \) vemos que los exponentes es de manera descendente respecto a \( x \), pero el segundo polinomio vemos dos variables, con respecto a \( x \) es descendente, pero con respecto a \( y \) los exponentes es de manera ascendente.
Polinomio completo
Se llama polinomio completo (generalmente de una variable) si tiene todos los exponentes desde el término de mayor grado hasta el término independiente tal que los exponentes sea consecutivos de 1 en 1.
Ejemplo
- \( \mathrm{P} (x) = 3x^{4} – 2x^{3} +x^{2} + x – 9 \)
- \( \mathrm{P} (y) = 5y^{5} + \sqrt[4]{3} y^{4} – \frac{1}{55} y^{3} – 3^{ \frac{2}{3} } y^{2} + y + 2 \)
- \( \mathrm{P} (x,y) = 6x^{4} y + \frac{10}{3} x^{3} y^{5} + \frac{ \sqrt{3} }{4} x^{2} y^{2} – x + y^{10} \)
- \( \mathrm{Q} (x) = 2x^{4} – x + 3x^{3} + 7x^{2} \), no es necesario que sea ordenado para que sea completo, si resulta ser ordenado, es decir, es ascendente o descendente, en ese caso diremos que el polinomio es ordenado y completo.
Polinomio homogéneo
Se llama polinomio homogéneo aquel polinomio de más de una variable que tiene el mismo grado absoluto en cada monomio del polinomio.
Ejemplo
- \( \mathrm{P} (x,y) = x^{2} y^{3} – xy^{4} \), si calculamos el grado absoluto de cada monomio, vemos que es de grado \( 5 \), es decir, cada monomio del polinomio \( \mathrm{P} \) comparten el mismo grado.
- \( \mathrm{Q} (x,y,z) = x^{3} y^{4} z + 23 x^{2} y^{5} z + 2x^{4} y^{2} z^{2} \), el grado absoluto de cada monomio del polinomio son los mismos y es de grado \( 8 \).
Polinomios idénticos
Llamamos polinomios idénticos si los términos semejantes de los polinomios a comparar tiene los mismos coeficientes. Sea los polinomios:
- \( \mathrm{P} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \)
- \( \mathrm{Q} (x) = b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_{1} x + b_{0} \)
Serán idénticos si \( a_{n} = b_{n} \), \( a_{n-1} = b_{n-1} \), …, \( a_{1} = b_{1} \) y \( a_{0} = b_{0} \), entonces se simboliza así \( \mathrm{P} (x) \equiv \mathrm{Q} (x) \).
Ejemplo
Este tipo de definiciones sirven para plantear este tipo de ejercicios:
Si los polinomios \( \mathrm{P} (x) = 2x^{2} – 3x +2 \) y \( \mathrm{Q} (x) = (3m-2) x^{2} + (n+m)x + p \) son idénticos, cual el valor de \( mnp \).
Solución:
- Si \( \mathrm{P} (x) \equiv \mathrm{Q} (x) \), entonces debe cumplirse que:
\[ \underbrace{2=3m-2}_{ \mathrm{I} }, \underbrace{-3=n+m}_{ \mathrm{II} } \wedge \underbrace{2=p}_{ \mathrm{III} } \] - Resolviendo la ecuación \( \mathrm{I} \), resulta:
\[ 2=3m-2 \\ 2+2=3m \\ \frac{4}{3} = m \] - Con el valor de \( m \) en la ecuación \( \mathrm{II} \), resolvemos la ecuación \( -3 = n+m \), tenemos:
\[ -3 = n + \frac{4}{3} \\ -3 – \frac{4}{3} = n \\ – \frac{13}{3} = n \] - Y la ecuación \( \mathrm{III} \), no es necesario resolver por lo que tendríamos a \( m = \frac{4}{3} \), \( n = – \frac{13}{3} \) y \( p = 2 \), nos pide el producto de estos 3 valores, entonces:
\[ mnp = ( \frac{4}{3} )( – \frac{13}{3} )(2) = – \frac{104}{9} \]
De esta manera queda solucionado el ejercicio.
Polinomio idénticamente nulo
Es aquel polinomio donde todos sus coeficientes son nulos y por ende, el polinomio también es nulo siempre y cuando la variable independiente sea diferente de cero.
Se tiene el polinomio \( \mathrm{P} (x) = a_{n} x^{n} + \cdots a_{1} x + a_{0} \), para que sea idénticamente nulo debe cumplirse que \( a_{n} = 0 \), …, \( a_{1} = 0\) y \( a_{0} = 0 \) y se simboliza con \( \mathrm{P} (x) \equiv 0 \).
Ojo: No confundir con \( \mathrm{P} (x) = 0 \), tenga en cuenta que el uso de los símbolos de comparación como \( \equiv \) para este caso sirve para definir un polinomio idénticamente nulo, pero si se hace uso del signo igual \( = \), aquí la cosa cambia, porque igual a cero a un polinomio no implica que los coeficientes se anulen, estaríamos ante una ecuación de grado \( n \) donde el objetivo aquí es hallar los valores o raíces de la ecuación, es decir, todos los valores de \( x \) para que el polinomio \( \mathrm{P} \) se anule.
Operaciones con polinomios
Los polinomios también se pueden sumar, restar multiplicar y dividir también, veamos cada una de ellas de manera resumida, en cuanto a la división, solo veremos como se resuelve un polinomio entre un monomio. En las próximas secciones detallaremos cada una de estas operaciones.
Suma
Los polinomios se pueden sumar, por ejemplo, tenemos los polinomios \( \mathrm{P} (x) = x^{2} + 3x + 2 \) y \( \mathrm{Q} (x) = 5x^{3} + 7x^{2} + 2x + 5 \), queremos realizar la operación \( \mathrm{P} (x) + \mathrm{Q} (x) \), entonces:
\[ \color{red}{ \mathrm{P} (x) } + \color{blue}{ \mathrm{Q} (x) } = \color{red}{ x^{2} + 3x + 2 } + \color{blue}{ 5x^{3} + 7x^{2} + 2x + 5 } \]
Para lograr la suma de estos polinomios, se deben sumar aquellos términos semejantes entre estos polinomios, quedaría algo así:
\[ \color{red}{ \mathrm{P} (x) } + \color{blue}{ \mathrm{Q} (x) } = ( \color{blue}{ 5x^{3} } ) + ( \color{red}{ x^{2} } + \color{blue}{ 7x^{2} } ) + ( \color{red}{3x} + \color{blue}{2x} ) + ( \color{red}{2} + \color{blue}{5} ) \]
De aquí solo sumamos los coeficientes de cada término semejante, la suma final sería así:
\[ \begin{align} \mathrm{P} (x) + \mathrm{Q} & = 5x^{3} + (1+7)x^{2} + (3+2)x + (2+5) \\ \mathrm{P} (x) + \mathrm{Q} (x) &= 5x^{3} + 8x^{2} + 5x + 7 \end{align} \]
Observe que como el monomio \( 5x^{3} \) no tenia un término semejante, se deja tal cual está. Generalmente cuando se realizar operaciones con polinomios, es recomendable colocarlo de manera ordenada y descendente.
Resta
El método de esta operación es similar como la suma, solo que en lugar de adicionar, se debe de quitar. Por ejemplo, sean los polinomios \( \mathrm{P} (x,y) = 7x^{3}y – 2x^{2}y^{3} + 3xy \) y \( \mathrm{Q} (x,y) = 2xy – 3x^{3}y + 7x^{2}y^{3} \), queremos calcular la diferencia \( \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} (x,y) \), entonces:
\[ \color{red}{ \mathrm{P} (x,y) } – \color{blue}{ \mathrm{Q} (x,y) } = \color{red}{ 7x^{3}y – 2x^{2}y^{3} + 3xy } – ( \color{blue}{ 2xy – 3x^{3}y + 7x^{2}y^{3} } ) \]
Ante todo, cuando tenemos la siguiente operación de la forma \( -(a-b-c+d) \), para eliminar el signo, tan solo cambiamos el signo de cada uno de los términos dentro del paréntesis, tal que:
\[ -(a-b-c+d) = -a+b+c-d \]
entonces:
\[ \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} (x,y) = 7x^{3}y – 2x^{2}y^{3} + 3xy – 2xy + 3x^{3}y – 7x^{2}y^{3} \]
Como en el caso de la suma, ordenamos juntando todos con su término semejante, resulta:
\[ \begin{align} \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} (x,y) & = ( 7x^{3}y + 3x^{3}y ) + ( -2x^{2}y^{3} – 7x^{2}y^{3} ) + ( 3xy – 2xy ) \\ & = (7+3)x^{3}y + (-2-7)x^{2}y^{3} + (3-2)xy \\ & = 10x^{3}y + (-9)x^{2}y^{3} + 1xy \end{align} \]
tenga en cuenta que \( +(-a) = -a \) y la número \( 1 \) se omite en \( 1xy \) escribiéndose así \( xy \), finalmente, resulta:
\[ \mathrm{P} (x,y) – \mathrm{Q} = 10x^{3}y – 9x^{2}y^{3} + xy \]
En la sección de suma y resta de polinomios explico más detalles como la combinación de estas operaciones y algunas propiedades.
Multiplicación
Comenzaremos por partes, la primera será la multiplicación entre monomios, luego de un monomio con polinomio y luego con polinomios pera de manera muy resumida, veamos cada una de ellas
Multiplicación entre monomios
Por ejemplo, tenemos los siguientes monomios \( \mathrm{P} (x,y) = 2x^{2}y \) y \( \mathrm{Q} (x,y) = 3xy^{2} \), queremos calcular la multiplicación \( \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) \), veamos:
\[ \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) = ( 2x^{2}y )( 3xy^{2} ) \]
Aquí se involucra las propiedades de la potenciación, por ejemplo, aquí se cumple la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \), ante de todo, debemos ordenar los factores de \( \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) \) para aplicar la propiedad o regla de multiplicación de potencia de bases iguales, veamos:
\[ \begin{align} \mathrm{P} (x,y) \cdot \mathrm{Q} (x,y) & = ( 2 \cdot 3 )( x^{2} \cdot x )( y \cdot y^{2} ) \\ & = 6x^{2+1}y^{1+2} \\ & = 6x^{3}y^{3} \end{align} \]
Multiplicación de un monomio con un polinomio
Veamos un ejemplo más sencillo con una sola variable para resumir esta sección que se esta haciendo mas largo de lo permitido. Sean los polinomios \( \mathrm{P} (x) = x^{2} – 3x +2 \) y \( \mathrm{Q} (x) = 7x^{3} \), calculemos \( \mathrm{P} (x) \cdot \mathrm{Q} (x) \), obtenemos:
\[ \mathrm{P} (x) \cdot \mathrm{Q} (x) = ( x^{2} – 3x +2 )( 7x^{3} ) \]
en este caso, debemos usar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma que nos dice que:
\[ (a+b)c = ac+bc \]
Usando las propiedades de exponentes y sumando los coeficientes de los términos semejantes, tenemos:
\[ \begin{align} \mathrm{P} (x) \cdot \mathrm{Q} (x) & = ( x^{2} )( 7x^{3} ) – (3x)( 7x^{3} ) + 2( 7x^{3} ) \\ & = 7x^{2+3} – 3 \cdot 7 x^{1+3} + 2 \cdot 7 x^{3} \\ & = 7x^{5} – 21x^{4} + 14x^{3} \end{align} \]
Multiplicación entre polinomios
Veamos el siguiente ejemplo de dos polinomios de dos términos como \( \mathrm{P} (x) = x^{2} + x \) y \( \mathrm{Q} (x) = 1 + 2x^{3} \), queremos resolver \( \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) \), resulta:
\[ \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) = ( \color{red}{ x^{2} + x } )( \color{blue}{ 1 + 2x^{3} } ) \]
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación, tenemos:
\[ \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) = ( \color{red}{ x^{2} + x } )( \color{blue}{1} ) + ( \color{red}{ x^{2} + x } ) ( \color{blue}{ 2x^{3} } ) \]
Volviendo aplicar la propiedad distributiva, obtenemos:
\[ \begin{align} \mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q} (x) & = \color{red}{ x^{2} } \cdot \color{blue}{1} + \color{red}{ x } \cdot \color{blue}{1} + \color{red}{ x^{2} } \cdot \color{blue}{ 2x^{3} } + \color{red}{ x } \cdot \color{blue}{ 2x^{3} } \\ & = x^{2} + x + 2x^{2+3} + 2x^{1+3} \\ & = x^{2} + x + 2x^{5} + 2x^{4} \end{align} \]
División de polinomios
La división entre polinomios es una sección extensa, por lo que haremos un ejemplo sencillo para finalizar esta sección, dividiremos un polinomio entre un monomio como ejemplo \( \mathrm{P} (x,y) = x^{3}y + x^{2}y^{2} + xy^{3} \) y \( \mathrm{Q} (x,y) = 2xy \), queremos resolver \( \mathrm{P}(x,y) / \mathrm{Q} (x,y) \), tenemos:
\[ \frac{ \mathrm{P} (x,y) }{ \mathrm{Q} (x,y) } = \frac{ x^{3}y + x^{2}y^{2} + xy^{3} }{ 2xy } \]
Aquí se aplicará la propiedad distributiva de la división que nos dice:
\[ \frac{a+b+c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d} \]
Aplicando esta propiedad, tenemos:
\[ \frac{ \mathrm{P} (x,y) }{ \mathrm{Q} (x,y) } = \frac{ x^{3}y }{2xy} + \frac{ x^{2}y^{2} }{2xy} + \frac{ xy^{3} }{ 2xy } \]
Aplicando la propiedad de división de cociente de bases iguales \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), tenemos:
\[ \begin{align} \frac{ \mathrm{P} (x,y) }{ \mathrm{Q} (x,y) } & = \frac{1}{2} \cdot \frac{ x^{3} }{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{ x^{2} }{x} \cdot \frac{ y^{2} }{y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{ y^{3} }{y} \\ & = \frac{1}{2} x^{3-1}y^{1-1} + \frac{1}{2} x^{2-1}y^{2-1} + \frac{1}{2} x^{1-1}y^{3-1} \\ & = \frac{1}{2} x^{2}y^{0} + \frac{1}{2} x^{1-1}y^{1-1} + \frac{1}{2} x^{1-1}y^{3-1} \\ & = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} xy + \frac{1}{2} y^{2} \end{align} \]
De esta manera finalizamos el tema de polinomios, las próximas secciones está dedicada con más detalle las operaciones entre polinomios resaltando las propiedades importante cosa que no indiqué en la secciones de suma, resta, multiplicación y división algebraica.
Gracias a todos, nos vemos en próximas secciones.