驴Que son las expresiones algebraicas?

1. Expresiones Algebraicas


Este es una nueva y primera secci贸n de expresiones matem谩ticas, en esta ocasi贸n estudiaremos las expresiones algebraicas ya que nos servir谩 para describir de manera ordenada la teor铆a de polinomios en la pr贸xima secci贸n.

Detallaremos las diferentes expresiones como ning煤n otro tema 谩lgebra elemental donde existen algunos conceptos un poco confusos que no se han tomado en cuenta y que de alguna manera me he dedicado darle un poco de sentido. Sin mas que decir, comencemos.

驴Que son las expresiones algebraicas?


En 谩lgebra elemental, se llama expresi贸n algebraica a un conjunto de n煤meros y letras denominadas variables y asociadas de diversas maneras con las 6 operaciones algebraicas como son la suma, resta, multiplicaci贸n, divisi贸npotenciaci贸n y radicaci贸n, tal que  no se admita variables ni n煤meros irracionales en los exponentes ni en los indices de los radicales, y no formen series infinitas.

Propiedades que deben de cumplir dichas expresiones


Existen algunas propiedades algebraicas que resultan ser las mismas que las aritm茅ticas, es decir, cumple igualmente en el 谩lgebra elemental, me refiero a las propiedades de adici贸n y multiplicaci贸n que se las presento en estos momentos:

  • Propiedad conmutativa: \( a+b=b+c \), \( ab = ba \)
  • Propiedad asociativa: \( a+(b+c) = (a+b)+c \), \( a(bc) = (ab)c \)
  • Propiedad distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \)
  • Elemento neutro: \( a+0=a \), \( a\cdot 1 = a \)
  • Elemento opuesto: \( a + (-a) = 0 \), \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \)

Estas son solo algunas propiedades de los n煤meros reales, aunque hay mas propiedades, pero estas son las mas fundamentales. Estas propiedades aplica a la parte literal, esto es, las variables, en base a esto, te mostramos los siguientes ejemplos de una expresi贸n algebraica.

Ejemplos

Las siguientes expresiones son expresiones algebraicas y cumple las propiedades de los n煤meros reales.

  • \( 2x^{2} \cdot \sqrt[3]{ y^{7} } \)
  • \( 3x^{2} y^{3} z^{-5} \)
  • \( \frac{2}{3} \sqrt[5]{a} b^{2} c^{-3} \)
  • \( \frac{3x}{y} + \sqrt[4]{ c^{3} } 鈥 15 d^{3} \)

驴Que son las funciones trascendentales?


Tambi茅n se les denomina expresiones no algebraicas y no cumplen con la definici贸n de una expresi贸n algebraica, por esta raz贸n se les llama funciones trascendentales. Los siguientes operadores son funciones trascendentales:


  • Funciones trigonom茅tricas.
  • Funciones logar铆tmicas.
  • Funciones exponenciales.
  • Sucesiones infinitesimales
  • Que los exponentes sean irracionales
  • Entre otros.

Si en una f贸rmula algebraica existe uno de estos operadores, entonces no pueden ser expresiones algebraicas.

Ejemplos:

  • \( 3x^{x} y^{z} + 1 \)
  • \( \sqrt[ x^{2} ]{y} + x^{ 4abc } 鈥 x^{ \sqrt{m} } \)
  • \( \log { xy^{z} } + \ln { \sqrt{mnp} } 鈥 a^{2} \)
  • \( \sin x^{3} + \ln { x^{xy} } \cos x^{ \frac{1}{2} } \)
  • \( 1 鈥 \frac{ x^{2} }{ 2! } + \frac{ x^{4} }{ 4! } 鈥 \frac{ x^{6} }{ 6! } + \cdots \infty \)
  • \( 3x^{ \sqrt{3} } + y^{3} \)

驴Que es un termino algebraico?


Si bien es cierto que no existe un debate, tampoco hay un acuerdo con el concepto de termino algebraico, voy a mostrar una definici贸n fuera de lo com煤n para definir un termino algebraico.

Para definir un termino algebraico debemos tener en cuenta la jerarqu铆a de las operaciones matem谩tica teniendo en cuenta los par茅ntesis, veamos estos puntos en el siguiente apartado.

Jerarqu铆a de las operaciones matem谩ticas

En matem谩tica elemental, sabemos que primero se resuelven las operaciones de multiplicaci贸n y divisi贸n y luego las sumas y restas. Por ejemplo, tenemos la siguientes operaciones num茅ricas:

  1. \( \overbrace{ 3 \times 2 }^{ 6 } + 5 = 6 + 5 = 11  \)
    Para resolver esta sencilla operaci贸n, primero comenzamos por la multiplicaci贸n y finalizamos con la suma, de esta manera obtenemos el resultado deseado. Otra operaci贸n ser铆a la siguiente:
  2. \( (2+3) \times 5 = 5 \times 5 = 25 \)
    En este caso, primero es la suma antes de la multiplicaci贸n, eso debe a los par茅ntesis donde primero nos indica que debe resolverse primero la suma y luego la multiplicaci贸n. Veamos el siguiente ejemplo:
  3. \( \frac{6}{2} 鈥 6 = 3 鈥 6 = -3 \)
    En este caso, primero debemos de resolver la divisi贸n para luego sumar y obtener el resultado deseado.
  4. \( \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
    En este caso, primero debemos de sumar para luego dividir y obtener el resultado deseado.

Observe que los casos 1 y 3, los resultados finalizan con las operaciones de suma y resta, para el caso 2 y 4 finalizan con la multiplicaci贸n y divisi贸n.

Llamaremos operaciones de mayor jerarqu铆a si el resultado finaliza con alg煤n operador determinado, por ejemplo, los casos 1 y 3 finalizan con la suma o resta, entonces estos operadores son de mayor jerarqu铆a, pero si las operaciones finalizan con la divisi贸n, multiplicaci贸n, potenciaci贸n o radicaci贸n, entonces estas operaciones son de mayor jerarqu铆a.


Con este simple y sencillo concepto vamos a definir lo que es un termino algebraico.

Definici贸n de un termino algebraico

Un termino algebraico es una expresi贸n algebraica tal que su operador de mayor jerarqu铆a no es ni la suma ni resta en su estructura.

Ejemplos

  • \( \frac{1}{ x^{2} + x + 1 } \), jerarqu铆a: divisi贸n.
  • \( \frac{ xy }{ x^{2} + xy + y^{2} } \), jerarqu铆a: divisi贸n.
  • \( xy^{2} z^{3} w^{4} \), jerarqu铆a: multiplicaci贸n.
  • \( \frac{ \sqrt{ a^{3} } }{ a+1 } \), jerarqu铆a: divisi贸n.
  • \( \sqrt[7]{ a^{14} b^{-21} + c^{7} } \), jerarqu铆a: ra铆z.
  • \( \frac{ x+y }{ x-y } \), jerarqu铆a: divisi贸n.
  • \( x^{-3} y^{2} \), jerarqu铆a: multiplicaci贸n.
  • \( \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{3} } y^{ 鈥 \frac{3}{4} } z \), jerarqu铆a: multiplicaci贸n.
  • \( (a+b)^{3} \), jerarqu铆a: potenciaci贸n.

Como ninguna de estas expresiones tiene como jerarqu铆a ni la resta ni la suma, entonces son t茅rminos algebraicos.

Partes de un termino algebraico

Ahora veremos las partes o elementos que determinan a un termino algebraico, veamos un ejemplo visual para indicar cada una de sus partes en colores:

\[ \color{green}{-} \frac{ \color{purple}{ \sqrt[3]{7} } \color{red}{ abc }  }{ \ { \color{red}{a} }^{ \color{blue}{2} } \color{green}{+} 3 \color{red}{ a } \color{green}{-} \color{red}{b} } \]

  1. Los signos negativo y positivo \( \color{green}{-} \) y \( \color{green}{+} \).
  2. Las variables \( \color{red}{a} \), \( \color{red}{b} \) y \( \color{red}{c} \).
  3. Constante num茅rica \( 3 \)
  4. Coeficiente \( \color{purple}{ \sqrt[3]{7} } \).
  5. Los exponentes \( \color{blue}{2} \) y \( \color{blue}{1} \).

Se sobreentiende que el exponente \( \color{blue}{1} \) se encuentra en las variables \( \color{red}{a} \), \( \color{red}{b} \) y \( \color{red}{c} \). Por tanto, esta expresi贸n es un termino algebraico ya que el operador de mayor jerarqu铆a es la divisi贸n que separa las expresiones \( \sqrt[3]{7} abc \) y \( a^{2} + 3b  鈥 c \).

Tenga en cuenta la diferencia entre constante y coeficiente, este ultimo es un factor del termino algebraico, para este ejemplo ser铆a \( \sqrt[3]{7} \), pero el n煤mero \( 3 \) no es un factor, este termino no puede eliminarse dividi茅ndose entre \( 3 \) a dicha expresi贸n.


T茅rminos semejantes


Llamamos t茅rminos semejantes aquellos t茅rminos algebraicos que tiene un factor en com煤n formado 煤nicamente por variables, es decir, el 煤nico factor diferenciador ser铆a solo el coeficiente del termino algebraico.

Ejemplos

  • \( \frac{3}{4} x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ 鈥 3 \sqrt{7} } \), \( -3 x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ 鈥 3 \sqrt{7} } \), \( 鈥 \sqrt{3} x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ 鈥 3 \sqrt{7} } \)
  • \( 4 a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \), \( \frac{1}{2} a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \), \( 鈥 \sqrt{7} a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \)
  • \( 5amz \), \( 鈥 \frac{10}{3} amz \), \( 2amz \)
  • \( \frac{ 2 \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x 鈥 1 } \), \( \frac{ \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x 鈥 1 } \), \( \frac{ 4 \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x 鈥 1 } \)

Clasificaci贸n de las operaciones algebraicas


Existen varios tipos de expresiones algebraicas y se pueden clasificar en dos grupos, esto es, en racionales e irracionales.

Expresi贸n algebraica racional (EAR)

Llamamos expresi贸n algebraica racional cuando sus exponentes de las variables son n煤meros enteros, de estas se puede subdividir en expresi贸n algebraica racional entera y fraccionaria.

Racional entera (EARE)

Llamamos expresi贸n algebraica racional entera cuando sus exponentes de las variables son enteros positivos y no admite la operaciones de divisi贸n entre variables. Veamos algunos ejemplos.

  1. \( -4a^{2} b^{3} c^{4} + 2a 鈥 3bc^{3} 鈥 \sqrt{3} \)
  2. \( \sqrt{5} y w^{3} 鈥 3x^{2} w + 3 \)
  3. \( 3(a+b)^{2} + 5abc \)
  4. \( 13 x^{2} z + \frac{1}{3} abc \)

Aclaraci贸n: No toda EARE es un polinomio, pero todo polinomio si es una EARE, sin embargo, aquellas EARE que no lo son polinomios, puede transformarse en polinomios.

Me explico, los ejemplos 1, 2, 4 son polinomios, pero el ejemplo 3 no lo es, sin embargo, a pesar de ser una EARE, se puede transformar en un polinomio as铆:


\[ 3(a+b)^{2} + 5abc = 3a^{2} + 6ab + b^{2} + 5abc \]

Lo 煤nico que hicimos es usar la formula del binomio al cuadrado para expresarlo as铆, de esta manera dicha expresi贸n si resulta ser un polinomio y solos los polinomios tienen t茅rminos tal que su mayor jerarqu铆a sean solo la multiplicaci贸n donde las jerarqu铆as inferiores de cada termino no se admiten la suma, resta, ni la divisi贸n.

Nota: un numero real o constante num茅rica diferente de cero por si sola es una expresi贸n algebraica racional entera, es decir, es de exponente nulo de una variable cualquiera diferente de cero como \( 3 = 3x^{0} = 3a^{0}b^{0} \).

Este tipo de expresiones algebraicas se les puede clasificar seg煤n el numero de t茅rminos as铆:

  • Monomios: Un solo termino algebraico.
  • Binomios: Dos t茅rminos algebraicos.
  • Trinomios: tres t茅rminos t茅rminos algebraicos.
  • Polinomios: varios t茅rminos algebraicos.

Los polinomios ser谩n estudiados con mayor detalle en la siguiente secci贸n.

Racional fraccionaria

Llamamos expresi贸n algebraica racional fraccionaria cuando por lo menos existe una variable con exponente negativo o una fracci贸n donde se admita por lo menos una variable en el denominador. Veamos algunos ejemplos:


  • \( 4x^{-2} + 5x^{-1} + 3 \)
  • \( \frac{3}{5} abc^{-6} + \frac{b}{a+c} 鈥 \frac{1}{ c^{2} 鈥 1 } \)
  • \( \frac{ x^{2} }{ x+1 } 鈥 \frac{ x^{3} }{ x^{2} + 1 } + \frac{ x^{4} }{ x^{3} + 1 } \)

Expresi贸n algebraica irracional

Llamamos expresi贸n algebraica irracional si existe por lo menos una variable con exponente fraccionario o un radical. Veamos algunos ejemplos:

  • \( 3 \sqrt{x} yz 鈥 x^{2} + yz \)
  • \( -3 a^{ \frac{1}{2} } b^{3} + a \)
  • \( 2x + 3x^{2} + \frac{1}{2} x^{ \frac{2}{3} } \)
  • \( \sqrt[7]{ a^{14} b^{-21} + c^{7} } \)

Expresi贸n matem谩tica


Las expresiones matem谩ticas engloba tanto las expresiones algebraicas y no algebraicas o trascendentales. En el siguiente diagrama podemos clasificar por el diagrama del 谩rbol de la siguiente manera:

Diagrama del 谩rbol de las expresiones matem谩ticas

Como se puede ver en esta ilustraci贸n, una expresi贸n matem谩tica se puede clasificar en expresiones algebraicas y funciones trascendentales. En la primera se puede dividir en expresi贸n algebraica racional entera, fraccionaria e irracional y en la segunda podemos encontrar expresiones como funciones exponenciales, logar铆tmicas, trigonom茅tricas, series infinitas, hiperb贸licas, entre otros.

Representaci贸n simb贸lica de una expresi贸n algebraica seg煤n sus variables


Es importante representar las expresiones algebraicas por letras may煤sculas indicando que variables se est谩n usando para dichas expresiones, veamos algunos ejemplos:

  • \( \mathrm{F} (x,y,z) = x^{ \frac{1}{2} } + y^{ \frac{1}{3} } + z^{ \frac{1}{4} } \)
  • \( \mathrm{H} (a,b) = \frac{ ab }{ a+b } 鈥 \frac{ a+b }{ ab } \)
  • \( \mathrm{G} (m,n,p) = m^{2} n + mn + mn^{2} 鈥 mnp \)

Aunque esta representaci贸n no excluye a las funciones trascendentales.

Grado algebraico


El grado es una caracter铆stica de la potenciaci贸n de una expresi贸n algebraica y se mide desde sus exponentes de las variables, existen dos tipos, una es el grado relativo y el grado absoluto.


Si tenemos una expresi贸n algebraica \( \mathrm{F} (x,y,z) \), el grado se denota as铆 \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{F} (x,y,z) ] \), la medida del grado algebraico depende tambi茅n de las operaciones que se involucre en la expresi贸n algebraica, este ultimo lo veremos en un recuadro mas adelante.

Grado relativo


El grado relativo de una expresi贸n algebraica se mide desde una variable seleccionada. Si tenemos una expresi贸n algebraica \( \mathrm{F} (x,y,z) \), y queremos medir el grado de la variable \( y \), lo representamos as铆 \( \mathrm{Gr}_{y} [ \mathrm{F} (x,y,z) ] \) o simplemente \( \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] \). Ahora veamos el grado relativo de un termino algebraico y luego de una expresi贸n algebraica.

Grado relativo de un termino algebraico

El grado relativo de un termino algebraico se mide seg煤n el exponente respecto a la variable seleccionada del termino algebraico. A modo de ejemplo, sea el siguiente expresi贸n:

\[ \mathrm{F} (x,y,z) = x^{2} y^{ \frac{3}{2} } z^{-4} \]

El grado relativo con respecto a \( x \), \( y \) y \( z \) son:

  • \( \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = 2 \)
  • \( \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{3}{2} \)
  • \( \mathrm{Gr}_z [ \mathrm{F} ] = -4 \)

Sin embargo, el grado relativo depende si existen operadores implicadas en un termino algebraico, veamos los siguientes casos con sus respectivos ejemplos:


Termino algebraicoM茅todoResultado 
\[ \mathrm{F} (x,y) = x^{2} y^{ \frac{1}{2} } \]Exponente de la variable.\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{1}{2} \] \[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = 2 \]
\[ \mathrm{F} (x,y) = \frac{ \color{red}{ x^{5} } \color{green}{ y^{4} } }{ 2 \color{red}{ x^{3} } + \color{green}{ y^{2} } + 2 } \]Los exponentes se restas si existe divisi贸n entre variables.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ 5-3 = 2 } \] \[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \color{green}{ 4-2 = 2 } \]
\[ \mathrm{F} (x,y) = ( \color{red}{ x^{-3} } \color{purple}{ y^{ \frac{1}{3} } } )^{ \color{green}{ 2}  } \]Los exponentes se multiplican si un termino algebraico es elevado a una potencia dada.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = ( \color{red}{ -3 } ) \cdot \color{green}{ 2 } = -6 \] \[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = ( \color{purple}{ \frac{1}{3} } ) \cdot \color{green}{ 2 } = \frac{2}{3} \]
\[ \mathrm{F} (x,y,z) = \sqrt[ \color{maroon}{7} ]{ \color{red}{ x^{14} } \color{purple}{ y^{-21} } + \color{blue}{ x^{7} } } \]Los exponentes se dividen por la presencia de radicales.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{red}{ 14 } }{ \color{maroon}{7} } = 2 \]\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{purple}{ -21 } }{ \color{maroon}{ 7 } } = -3 \] \[ \mathrm{Gr}_z [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{blue}{7} }{ \color{maroon}{7} } = 1 \]

Grado relativo de una expresi贸n algebraica

Llamamos grado relativo de una expresi贸n algebraica al m谩ximo grado relativo de uno de los t茅rminos de dicha expresi贸n algebraica seg煤n la variable seleccionada. Veamos los siguientes casos:

Termino algebraicoM茅todoResultado
\[ \mathrm{F} = \color{purple}{ x^{2} } y + x \color{red}{ y^{ \frac{9}{2} } } 鈥 \sqrt[3]{ xyz+1 } \]El mayor exponente de uno de los t茅rminos de una variable.\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \color{purple}{ 2 } \]
\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ \frac{9}{2} } \]
\[ \mathrm{ F } (a,b) = 3a+2b+ \frac{ \color{red}{ 4a^{7} } b^{4} }{ \color{red}{ a^{2} } + 2ab^{3} } 鈥 \frac{ 5a^{4} \color{purple}{ b^{5} } }{ 1+a+3 \color{purple}{b} } \]La m谩xima diferencia entre exponente de una variable si existe una divisi贸n entre variables.\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ 7-2 } =5 \]
\[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = \color{purple}{ 5-1 } = 4 \]
\[ \mathrm{F} (a,b) = ( \color{red}{ a^{-4} } b^{2} )^{ \color{green}{5} } + ( a^{-7} \color{purple}{ b^{4} } )^{ \color{green}{3} } 鈥 4 \]Es el m谩ximo producto entre los exponentes de uno de los t茅rminos de una variable.\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = ( \color{red}{-4} ) \color{green}{5} = -20 \]
\[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = ( \color{purple}{4} ) \color{green}{3} = 12 \]
\[ \mathrm{F} = \sqrt[ \color{green}{4} ]{ \color{red}{ a^{16} } \color{purple}{ b^{12} } + 2 } 鈥 a^{3} b + \sqrt{ a^{4} + b^{2} + 4 } \]Es la m谩xima divisi贸n entre exponentes de uno de los t茅rminos de una variable.\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{red}{16} }{ \color{green}{4} } = 4 \]
\[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{green}{12} }{ \color{green}{4} } = 3 \]

Grado absoluto

El grado absoluto es la m谩xima suma de los exponentes de uno de los t茅rminos de una expresi贸n algebraica y no es especifico a una sola variable.

Sin embargo, solo es aplicable para t茅rminos algebraicos donde no se admiten en su estructura las operaciones de adici贸n y sustracci贸n como jerarqu铆a inferior.

Grado absoluto de un termino algebraico

El grado absoluto es la suma resultante de todas los exponentes de las variables del termino algebraico. Veamos algunos ejemplos:

  • \( \mathrm{F} (a,b,c) = x^{2} y^{3} z^{-4} \), su grado absoluto es \( \mathrm{Gr}( \mathrm{F} ) = 2+3-4 = 1 \)
  • \( \mathrm{F} (x,y,z) = (x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } )^{ 鈥 \frac{3}{2} } \), su grado absoluto es \( \mathrm{Gr} [F] = ( -3 + 5 + \frac{1}{3} )( 鈥 \frac{3}{2} ) = 鈥 \frac{7}{2} \)

Grado absoluto de una expresi贸n algebraica

Es el mayor grado absoluto de uno de los t茅rminos de una expresi贸n algebraica. Por ejemplo, si sumamos los t茅rminos anteriores del ejemplo anterior, resulta:

\[ \mathrm{F} (x,y,z) = ( x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } ) + x^{2} y^{3} z^{-4} \]


El grado absoluto ser铆a:

\[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{F} ] = 1 \]

Se elige el mayor grado absoluto de uno de los t茅rminos \( ( x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } )^{ 鈥 \frac{3}{2} } \) y \( x^{2} y^{3} z^{-4} \).

Grado absoluto con operaciones algebraicas

Para obtener el grado entre operaciones algebraicas, seguiremos una regla general cuando admitimos operaciones entre dos expresiones algebraicas.

Como estamos tratando solo con grados absolutos, debemos tener en cuenta que los t茅rminos de la expresi贸n algebraica no se admitan las operaciones de suma y resta.

Sean dos expresiones algebraicas \( \mathrm{P} (x,y,z) \) y \( \mathrm{Q} (x,y,z) \) y dos grados absolutos \( \mathrm{Gr} [P] \) y \( \mathrm{Gr} [Q] \) y tal que \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] > \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \), se cumple las siguientes propiedades:


  • Suma: \( \mathrm{P} (x,y,z) + \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Resta: \( \mathrm{P} (x,y,z) 鈥 \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Multiplicaci贸n: \( \mathrm{P} (x,y,z) \cdot \mathrm{Q} \), su grado es \( \mathrm{ Gr } [ \mathrm{P} ] + \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
  • Divisi贸n: \( \mathrm{P} (x,y,z) / \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] 鈥 \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
  • Potenciaci贸n: \( [ \mathrm{P} ]^{n} \), su grado es \( n \cdot \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
  • Radicaci贸n: \( \sqrt[n]{ \mathrm{P} (x,y,z) } \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] / n \).

Valor num茅rico de una expresi贸n algebraica


Es un valor que toma una expresi贸n algebraica cuando le asignamos valores espec铆ficos num茅ricos a sus variables.

Por ejemplo, sea la siguiente expresi贸n de una sola variable:

\[ \mathrm{P} (x) = 2x^{2} 鈥 3x + 4 \]

Si le asignamos valores num茅ricos a la variable \( x \) de los primeros 4 valores de los n煤meros naturales, obtenemos los siguientes resultados:

  • Para \( x=1 \), se obtiene \( \mathrm{P} (1) = 2(1)^{2} 鈥 3(1) + 4 =3 \).
  • Para \( x=2 \), se obtiene \( \mathrm{P} (2) = 2(2)^{2} 鈥 3(2) + 4 \).
  • Para \( x=3 \), se obtiene \( \mathrm{P} (3) = 2(3)^{2} 鈥 3(3) +4 \).
  • Para \( x=4 \), se obtiene \( \mathrm{P} (4) = 2(4)^{2} 鈥 3(4) + 4 \).

Operaciones con expresiones algebraicas


Solo trataremos un resumen b谩sico de las 4 operaciones aplicados a las expresiones algebraicas, veamos cada una de ellas.

Suma algebraica

Si la mayor jerarqu铆a de una expresi贸n algebraica es la adicci贸n, estamos tratando con la suma algebraica.


Ejemplos

Usando t茅rminos con la parte literal diferente

Cuando los t茅rminos no son semejantes, generalmente se deja denotado tal como esta.

  • \( a^{2} \color{red}{+} b^{2} \)
  • \( x \color{red}{+} y \color{red}{+} z \)
  • \( \sqrt[3]{ x^{3} \color{red}{+} y^{2} \color{red}{+} z \)
Con t茅rminos semejantes

Cuando los t茅rminos son semejantes, podemos efectuar la suma dependiendo del signo de los coeficientes, veamos:

  • \( 2a + 3a = (2+3)a = 5a \)
  • \( \frac{ -6x }{ab+c} + \frac{ 4x }{ab+c} = (-6+3) ( \frac{ x }{ ab+c } ) =\frac{ -3x }{ab+c} \)
  • \( 4\sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + x^{2} } 鈥 2 \sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + x^{2} } = (4-2) \sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + z^{2} } \)

Resta algebraica

La resta es una operaci贸n opuesta a la suma, su objetivo de este operador es quitar en lugar de a帽adir, sin embargo, desde el punto de vista de 谩lgebra elemental, hay situaciones donde sumar es quitar y restar es sumar y esto se debe al sino resultante de los t茅rminos semejantes, veamos su representaci贸n simb贸lica:

Ejemplos

Con t茅rminos con la parte literal diferente

Como en el caso anterior, el s铆mbolo de sustracci贸n se mantiene cuando no es posible realizar la resta entre t茅rminos no semejantes, se deja tal como est谩, veamos algunos ejemplos:

  • \( a \color{red}{-} b \)
  • \( \frac{ \sqrt{x} + \sqrt{y} }{ \sqrt{z} } \color{red}{-} \sqrt{abc} \)
  • \( \sqrt[4]{ x^{2} + y^{3} + z^{4} } \color{red}{-} \sqrt[3]{x+y+z} \)
Con t茅rminos semejantes

Cuando los t茅rminos son semejantes, es posible realizar las operaciones correspondientes, aplicar la operaci贸n de sustracci贸n es posible cuando los t茅rminos algebraicos tiene factores semejantes, veamos:

  • \( 14x 鈥 15x = (14-15)x = -x \)
  • \( 6a \sqrt{x+y} 鈥 3a \sqrt{x+y} = 3a \sqrt{x+y} \)
  • \( \frac{ 7x^{2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } 鈥 \frac{ 3x^{2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } \)

Multiplicaci贸n algebraica

Aqu铆 deben aplicarse las propiedades de teor铆a de exponentes junto con los axiomas asociativas y distributiva que indicamos al inicio de la secci贸n actual, tambi茅n deben respetarse la ley de los signos para la multiplicaci贸n.


Leyes de potenciaci贸n para la multiplicaci贸n

\[ a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \]

\[ ( ab )^{n} = a^{n} \cdot a^{m} \]

Ley de signos para la multiplicaci贸n

\[ (+)(+) = + \]

\[ (-)(-) = 鈥 \]

\[ (+)(-) = 鈥 \]

\[ (-)(+) = 鈥 \]


Ejemplos

  • \( 2x \cdot 3x^{2} = ( 2 \cdot 3 )( x \cdot x^{2} ) =6 x^{1+2} = 6x^{3} \)
  • \( 3x^{3} y^{2} \cdot \frac{ 4x^{2} y }{z} = \frac{ 3 x^{3} \cdot 4x^{2} }{z} = \frac{ ( 3 \cdot 4 ) ( x^{3} \cdot x^{2} ) }{z} = \frac{ 12 x^{3+2} }{z} = \frac{ 12x^{5} }{z} \)
  • \( \frac{ x^{2} }{ y^{3} } \cdot \frac{ y }{ x } = \frac{ x^{2} \cdot y }{ y^{3} \cdot x } = \frac{ x^{2} \cdot y }{ x \cdot y^{3} } = \frac{ x^{2} }{x} \cdot \frac{ y }{ y^{3} } = x^{2-1} \cdot \frac{1}{ y^{3-1} } = x \cdot \frac{1}{ y^{2} } = \frac{x}{ y^{2} } \)
  • \( ( x+y )z = x \cdot z + y \cdot z = xz+yz \)
  • \( (x^{2} +y)(z+x) = (x^{2} + y)z + (x^{2} + y)x = x^{2}z + yz + \overbrace{ x^{2} \cdot x }^{ x^{2+1} } + yx = x^{2} z + yz + x^{3} + yx \)
  • \( (-2y) (4y^{4}) = ( -2 \cdot 4 ) y^{ y \cdot y^{4} } = -8 \)

Divisi贸n algebraica

Existe cierto grado de dificultad al dividir expresiones algebraicas y es un tema que lo veremos en secciones posteriores, aqu铆 solo realizaremos divisiones sencillas.

Tener en cuenta las propiedades de las leyes de exponentes y la ley de signos para la divisi贸n. Solo mostraremos ejemplos sencillos:

Ejemplos

\( \require{cancel} \frac{m \cancel{n} }{ \cancel{n} } = m \)

\( \frac{ x^{2} + xy }{x} = \frac{ x^{2} }{x} + \frac{ \cancel{x} y }{ \cancel{x} } = x^{2-1} + y = x+y \)

\( \frac{ -a^{2} b + a^{3} }{ -a^{2} } = \frac{ -a^{2} b }{ -a^{2} } + \frac{ a^{3} }{ -a^{2} } = \underbrace{ \frac{-1}{-1} }_{ 1 } \cdot \frac{ \cancel{ a^{2} } b }{ \cancel{ a^{2} } } + \underbrace{ \frac{ 1 }{ -1 } }_{ -1 } \cdot \frac{ a^{3} }{ a^{2} } = (1)ab \underbrace{ + (-1) }_{ -1 } a^{3-2} = ab 鈥 a \)

Aqu铆 finaliza la secci贸n actual, la pr贸xima secci贸n esta dedicada los polinomios, gracias por todo, que tengan un buen d铆a.


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Que son las expresiones algebraicas
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Que son las expresiones algebraicas
Descripci贸n
Las expresiones algebraicas es un conjunto de n煤meros y letras bajo las las operaciones de suma, resta, multiplicaci贸n, divisi贸n, potenciaci贸n y radicaci贸n.
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