1. Expresiones Algebraicas

Hoy comenzamos con una nueva sección faltante que debimos añadir antes del curso de operaciones algebraicas y después del curso de teoría de exponentes. En esta ocasión trataremos con una sección en particular de expresiones matemáticas, esto es, las expresiones algebraicas.

Pero hay que aclarar un punto, he notado que en otras sitios web, videos de YouTube u otros medios e incluso algunos libros (pero en menor medida) confunden una expresión algebraica con un polinomio y un termino algebraico con un monomio cuando realmente tiene distinciones significativas, incluso hay 2 conceptos distintivos a lo que se entiende un termino algebraico, pero tampoco puedo generalizar cual de ellas me parece la mas correcta, te mostraré estas diferencias conceptuales que aun muchos autores no se ponen de acuerdo. Pues, comencemos.

¿Que son las funciones trascendentales?

También se les denomina expresiones no algebraicas, estas expresiones no cumplen con la definición de una expresión algebraica, por esta razón se les llama funciones trascendentales.

Ejemplos:

  • 3x^x y^z+1 
  • √(x^2&y)+z^4abc-x^√m 
  • log⁡〖xy^z 〗+ln⁡√mnp-a^2 
  • sin⁡〖x^3 〗+ln⁡〖x^xy cos⁡〖z^(1/2) 〗 〗 
  • 1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+⋯∞ 
  • 3x^√3+y^e  

Los siguientes operadores no cumplen con el concepto de expresión algebraica.

  • Funciones trigonométricas.
  • Funciones logarítmicas.
  • Funciones exponenciales.
  • Sucesiones infinitesimales
  • Que los exponentes sean irracionales
  • Entre otros.

Entonces no son expresiones algebraicas.

Termino algebraico

Si bien es cierto que no existe un debate, tampoco hay un acuerdo con el concepto de termino algebraico, he encontrado dos definiciones alternativas, veamos cada una de ellas.

Primera definición

Llamamos termino algebraico a la mínima unidad de una expresión algebraica tal que no se puede separar en otros términos algebraicos diferentes del mismo por medio de la adición o sustracción.

Ejemplos:

  • 1/(x^2+x+1)  
  • xy/(x^2+xy+y^2 )  
  • xy^2 z^3 w^4  
  • √(a^3 )/(a+1)  
  • √(7&a^14 b^(-21)+c^7 )

Las expresiones anteriores no se puede separar en otros sumando a pesar de que existen operaciones de suma y resta en su estructura, por ejemplo, la siguiente expresión no es un termino algebraico:

(x+y)/(x-y)

Ya que se puede separar en dos sumados distintos:x/(x-y)+y/(x-y)

Por tanto, esta es una expresión algebraica de dos términos diferentes.

Segunda definición

Llamamos termino algebraico aquella expresión algebraica donde no se admite las operaciones de adición y sustracción entre sus variables.

Ejemplos:

  • x^(-3) y^2
  • 1/2 x^(1/3) y^(-3/4) z
  • xy^2 z^3 w^4  
  • (√5 a^2 b^3 c^4)/d^5

Observe que en los ejemplos de las definiciones anteriores encontramos un mismo ejemplo xy^2 z^3 w^4 , esto se debe a que este termino cumple con los requisitos de los 2 conceptos referente al termino algebraico.

Partes de un termino algebraico

Generalmente el estudio de las partes de un termino algebraico se determina bajo la segunda definición que indicamos previamente, pero no afecta las partes de la primera definición, veamos dos ejemplos distintos:

Segunda DefiniciónPrimera Definición
-4x^3 y^(-5)-(∛7 abc)/(a^2+a+b)
  • El signo negativo -.
  • Las variables x e y.
  • El coeficiente numérico 4.
  • Los exponentes 3 y 5.
  • Los signos negativo y positivo - y +.
  • Las variables a, b y  c.
  • El coeficiente ∛7.
  • Los exponentes 2 y 1.

El exponente 1 se debe de aquellas variables de la forma b=b^1.

Términos semejantes

Llamamos términos semejantes aquellos términos algebraicos que tiene un factor en común formado únicamente por variables, es decir, el único factor diferenciador sería solo el coeficiente del termino algebraico.

Ejemplos

  • 3/4 x^3 y^(1/7) z^(-3√7), -3x^3 y^(1/7) z^(-3√7), -√3 x^3 y^(1/7) z^(-3√7).
  • 4a^2 b^3 c^(4/3), 1/2 a^2 b^3 c^(4/3), -√7 a^2 b^3 c^(4/3).
  • 5amz, -10/3 amz, 2amz.
  • (2√3 x^2)/(∛(x^5 )+2x-1) , x^2/(∛(x^5 )+2x-1) , (4x^2)/(∛(x^5 )+2x-1) .

Clasificación de las expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar en dos grupos, en racionales e irracionales

Expresión algebraica racional (EAR)

Llamamos expresión algebraica racionales cuando sus exponentes de las variables son números enteros, de estas se puede subdividir en expresión algebraica racional entera y fraccionaria.

Racional entera

Llamamos expresión algebraica racional entera cuando sus exponentes de las variables son enteros positivos y no admite la operaciones de división entre variables.

Este tipo de expresiones algebraicas se les llama polinomios, lo veremos en la siguiente sección. Veamos algunos ejemplos:

  • -4a^2 b^3 c^4+2a-3bc^3-√3
  • √5 yw^3-3x^2 w+3
  • 13x^2 z+1/3 abc

Nota: un numero real o constante numérica diferente de cero por si sola es una expresión algebraica racional entera, esto es, es de exponente nulo de una variable cualquiera diferente de cero.

Este tipo de expresiones algebraicas se les puede clasificar según el numero de términos así:

  • Monomios: Un solo termino algebraico.
  • Binomios: Dos términos algebraicos.
  • Trinomios: tres términos términos algebraicos.
  • Polinomios: varios términos algebraicos.
Los polinomios serán estudiados con mayor detalle en una próxima sección.

Racional fraccionaria

Llamamos expresión algebraica racional fraccionaria cuando por lo menos existe una variable con exponente negativo o una fracción donde se admita por lo menos una variable en el denominador. Veamos algunos ejemplos:

  • 4x^(-2)+5x^(-1)+3
  • 3/5 abc^(-6)+b/(a+c)-1/(c^2-1)
  • x^2/(x+1)-x^3/(x^2+1)+x^4/(x^3+1)

Expresión algebraica irracional

Llamamos expresión algebraica irracional si existe por lo menos una variable con exponente fraccionario o un radical. Veamos algunos ejemplos:

  • 3√x yz-x^2+yz
  • -3a^(1/2) b^3+a
  • 2x+3x^2+1/2 x^(2/3)
  • √(7&a^14 b^(-21)+c^7 )

Expresión matemática

Las expresiones matemáticas engloba tanto las expresiones algebraicas y no algebraicas o trascendentales. En el siguiente diagrama podemos clasificar por el diagrama del árbol de la siguiente manera:

Diagrama de las expresiones matemáticas

Representación simbólica de una expresión matemática según sus variables

Es importante representar las expresiones algebraicas por letras mayúsculas indicando que variables se están usando, veamos algunos ejemplos:

  • F(x,y,z)=x^(1/2)+y^(1/3)+z^(1/4)
  • H(a,b)=ab/(a+b)-(a+b)/ab

Aunque esta representación no excluye a las funciones trascendentales.

Grado algebraico

El grado es una caracteristica de la potenciación de una expresión algebraica y se mide desde sus exponentes de las variables, existen dos tipos, una es el grado relativo y el grado absoluto.

Si tenemos una expresión algebraica F(x,y,z), el grado se denota así Gr[F(x,y,z)], la medida del grado algebraico depende también de las operaciones que se involucre en la expresión algebraica, este ultimo lo veremos en un recuadro mas adelante.

Grado relativo

EL grado relativo de una expresión algebraica se mide desde una variable seleccionada. Si tenemos una expresión algebraica F(x,y,z), y queremos medir el grado de la variable y, lo representamos así Gr_y [F(x,y,z)] o simplemente Gr_y [F]. Ahora veamos el grado relativo de un termino algebraico y luego de una expresión algebraica.

Grado relativo de un termino algebraico

El grado relativo de un termino algebraico se mide según el exponente respecto a la variable seleccionada del termino algebraico. A modo de ejemplo, sea el siguiente termino algebraico:

F(x,y,z)=x^2 y^(3/2) z^(-4)

El grado relativo con respecto a xy y z son:

  • Gr_x [F]=2
  • Gr_y [F]=3/2
  • Gr_z [F]=-4

Sin embargo, el grado relativo depende si existen operadores implicadas en un termino algebraico, veamos los siguientes casos con sus respectivos ejemplos:

Termino algebraicoMétodoResultado
F(x,y)=x^2 y^(1/2)Exponente de la variable.

Gr_y [F]=1/2
Gr_x [F]=2

F(x,y)=(x^5 y^4)/(2x^3+y^2+2)Los exponentes se restas si existe división entre variables.

Gr_x [F]=5-3=2Gr_y [F]=4-2=2

F(x,y)=(x^(-3) y^(1/3) )^2Los exponentes se multiplican si un termino algebraico e elevado a una potencia dada.Gr_x [F]=(-3)⋅2=-6
Gr_y [F]=(1/3)⋅2=2/3
F(x,y,z)=√(7&x^14 y^(-21)+z^7 )Los exponentes se dividen por la presencia de radicales.Gr_x [F]=14/7=2Gr_y [F]=(-21)/7=-3Gr_z [F]=7/7=1

Grado relativo de una expresión algebraica

Llamamos grado relativo de una expresión algebraica al máximo grado relativo de uno de los términos de dicha expresión algebraica según la variable seleccionada. Veamos los siguientes casos:

Termino algebraicoMétodoResultado
F(x,y)=x^2 y+xy^(9/2)-∛(xyz+1) El mayor exponente de uno de los términos de una variable.
  • Gr_x [F]=2
  • Gr_y [F]=9/2
F(a,b)=3a+2b+(4a^7 b^4)/(a^2+2b^3 )-(5a^4 b^5)/(1+a+3b) La máxima diferencia entre exponente de una variable si existe una división entre variables.
  • Gr_a [F]=7-2=5
  • Gr_b [F]=5-1=4
F(a,b)=(a^(-4) b^2 )^5+(a^(-7) b^4 )^3-4 Es el máximo producto entre los exponentes de uno de los términos de una variable.
  • Gr_a [F]=(-4)5=-20
  • Gr_a [F]=(-4)5=-20
F(a,b)=∜(a^16 b^12+2)-a^3 b+√(a^4+b^2+4) Es la máxima división entre exponentes de uno de los términos de una variable.
  • Gr_a [F]=16/4=4
  • Gr_b [F]=12/4=3

Grado absoluto

El grado absoluto es la máxima suma de los exponentes de uno de los términos de una expresión algebraica y no es especifico a una sola variable.

Sin embargo, el grado absoluto solo es aplicable para términos algebraico que cumple la segunda definición, esto es, no se admiten las operaciones adición y sustracción entre variables. Veremos primero el grado absoluto de un termino algebraico.

Grado absoluto de un termino algebraico

El grado absoluto es la suma resultante de todas los exponentes de las variables del termino algebraico. Veamos algunos ejemplos:

  • F(x,y,z)=x^2 y^3 z^(-4), su grado absoluto es Gr(F)=2+3-4=1 .
  • F(x,y,z)=(x^(-3) y^5 z^(1/3) )^(-3/2) , su grado absoluto es Gr[F]=(-3+5+1/3)(-3/2)=-7/2 .

Grado absoluto de una expresión algebraica

Es el mayor grado absoluto de uno de los términos de una expresión algebraica. Por ejemplo, si sumamos las expresiones anteriores del apartado de grado absoluto para un termino algebraico, tenemos:

F(x,y,z)=(x^(-3) y^5 z^(1/3) )^(-3/2)+x^2 y^3 z^(-4)

El grado absoluto sería:

Gr[F]=1

Se elige el mayor grado absoluto de los términos de (x^(-3) y^5 z^(1/3) )^(-3/2)  y x^2 y^3 z^(-4) .

Grado absoluto con operaciones algebraicas

Para obtener el grado entre operaciones algebraicas, seguiremos una regla general cuando admitimos operaciones entre dos expresiones algebraicas.

Como estamos tratando solo con grados absolutos, debe tener en cuenta que los términos algebraicos de las dos expresiones algebraicas cumplen solo con la segunda definición de termino algebraico.

Sean dos expresiones algebraicas P(x,y,z) y Q(x,y,z) y dos grados absolutos Gr[P] y Gr[Q] tal que Gr[P]>Gr[Q], se cumple las siguientes propiedades:

  • Suma: P(x,y,z)+Q(x,y,z), su grado es Gr[P].
  • Resta: P(x,y,z)-Q(x,y,z), su grado es Gr[P].
  • Multiplicación: P(x,y,z)⋅Q(x,y,z), su grado es Gr[P]+Gr[Q].
  • División: P(x,y,z)/Q(x,y,z), su grado es Gr[P]-Gr[Q].
  • Potenciación: [P(x,y,z)]^n, su grado es n⋅Gr[P].
  • Radicación: √(n&P(x,y,z) ), su grado es Gr[P]/n.

Esta sección no debe confundirse con la próxima sección de polinomios; queremos dejar en claro que una expresión algebraica no es lo mismo que una expresión matemática y tampoco con un polinomio.

De hecho, un polinomio es una expresión algebraica y a su vez una expresión matemática.

Valor numérico de una expresión algebraica

Es un valor que toma una expresión algebraica cuando le asignamos valores específicos numéricos a sus variables.

Por ejemplo, sea la siguiente expresión algebraica, digamos, una racional entera pero de una variable para simplificar los cálculos:

P(x)=2x^2-3x+4

Si le asignamos valores numéricos a la variable x de los primeros 4 valores de los números naturales, obtenemos los siguientes resultados:

  • Para x=1, se obtiene P(1)=2(1)^2-3(1)+4=3.
  • Para x=2, se obtiene P(2)=2(2)^2-3(2)+4=6.
  • Para x=3, se obtiene P(3)=2(3)^2-3(3)+4=13.
  • Para x=4, se obtiene P(4)=2(4)^2-3(4)+4=24.
Si quieres ejemplos y ejercicios de este tema, dirígete a la sección de valor numérico.

Espero lograr despejar muchas dudas con esta sección, la próxima sección nos dedicaremos a desarrollar todo lo relacionado con los polinomios, los polinomios especiales, y operaciones entre polinomios.

Gracias por llegar hasta aquí, que tengas un buen día, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Expresiones Algebraicas
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2018-10-15T01:56:20+00:00