En esta entrada enseñaremos como sumar fracciones adecuadamente. Realizar esta operación es una de las operaciones mas básicas y sencillas de realizar. Comenzaremos con la suma de fracciones homogéneas ya que son las mas sencillas y en el caso de las heterogéneas usaremos una herramienta matemática llamada mínimo común múltiplo. Comencemos.
¿Que son la fracciones homogéneas?
Llamamos fracciones homogéneas aquellas fracciones donde tiene el mismo denominador, por ejemplo:
\[ \frac{2}{5}, \frac{7}{5}, \frac{1}{5} \]
Los números \( 2 \), \( 7 \) y \( 1 \) son los numeradores y todos comparten un mismo numerador y es \( 5 \).
¿Como sumar fracciones homogéneas?
Por ejemplo, queremos sumar las fracciones del apartado anterior, para lograrlo, tan solo se suman los numeradores de dichas fracciones manteniendo el mismo denominador.
Queremos sumar \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{7}{5} \), sumamos \( 3 \) y \( 7 \) y luego lo dividimos entre \( 5 \) así:
\[ \frac{2}{5} + \frac{7}{5} = \frac{2+7}{5} = \frac{9}{5} \]
De manera generar, si tenemos dos fracciones \( \frac{a}{c} \) y \( \frac{b}{c} \), entonces la suma sería simplemente así:
\[ \boxed{ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} } \]
Si queremos sumar 3 fracciones como \( \frac{1}{6} \), \( \frac{5}{6} \) y \( \frac{11}{6} \), tenemos:
\[ \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{11}{6} = \frac{1+5+11}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]
Como pueden ver, se suman los números \( 1 \), \( 5 \) y \( 11 \) y luego se mantiene el mismo denominador, en este caso es \( 6 \).Ahora veamos al otro tipo de fracciones.
¿Que son las fracciones heterogéneas?
Son aquellas fracciones donde al ser comparadas, tiene diferente denominador. Veamos el siguiente ejemplo:
\[ \frac{5}{9}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5} \]
En otras palabras, como estos denominadores \( 9 \), \( 2 \) y \( 5 \) son distintos, dichas fracciones son heterogéneas.
¿Como sumar fracciones heterogéneas?
Existen algunos métodos sencillos para sumar fracciones heterogéneas, el punto es lograr que dichas fracciones se transformen a homogéneas, veamos el primer método.
Por el método de las fracciones equivalentes
Por ejemplo, tenemos estas dos fracciones \( \frac{3}{4} \) y \( \frac{5}{2} \), si queremos sumarlas, debemos lograr que tengan el mismo denominador, para ello, haremos algo sencillo, sea la suma:
\[ \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \]
Lo que haremos es \( \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{10}{4} \), esta operación no afecta la fracción ya que \( \frac{2}{2} = 1 \), es decir, todo numero multiplicado por la unidad sigue siendo el mismo número. Como pueden ver, las fracciones \( \frac{5}{2} \) y \( \frac{10}{4} \) son fracciones inteligente, entonces:
\[ \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{4} + \frac{10}{4} \]
Observe que ahora ya tenemos dos fracciones homogéneas, por tanto, logramos el siguiente resultado final:
\[ \frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{3+10}{4} = \frac{13}{4} \]
Ejemplo:
Sumar las fracciones \( \frac{4}{15} \) y \( \frac{8}{5} \), tenemos:
\[ \begin{align} \frac{4}{15} + \frac{8}{5} & = \frac{4}{15} + \frac{8 \cdot 3}{ 5 \cdot 3 } \\ & = \frac{4}{15} + \frac{24}{15} \\ & = \frac{4+24}{15} \\ & = \frac{28}{15} \end{align} \]
Ejemplo:
Sumar las fracciones \( \frac{1}{8} \), \( \frac{3}{4} \) y \( \frac{5}{2} \), tenemos:
\[ \begin{align} \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{5}{2} & = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 2 }{4 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 4} \\ & = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} + \frac{20}{8} \\ & = \frac{1+6+20}{8} \\ & = \frac{27}{8} \end{align} \]
Observe que todos estos casos son de tal manera que el denominador de la fracción esta contenido en otro denominador de otra fracción, es decir, un denominador es factor de otro denominador. Veamos otro método.
Por el método del mínimo común múltiplo
Método 1
Por ejemplo, queremos sumar las fracciones \( \frac{2}{15} \) y \( \frac{4}{21} \), como pueden ver, de los denominadores \( 15 \) y \( 21 \), un denominador no es factor del otro, para ello, debemos de descomponerlo en sus factores primos, así:
\[ 15 = 3 \cdot 5 \ \text{y} \ 21 = 3 \cdot 7 \]
El punto aquí es que estos denominadores sean iguales, si notan los productos anteriores, al \( 15 \) le falta el número \( 7 \) y el número \( 21 \) le falta el número \( 5 \), ya que debemos de lograr que \( 15 \cdot 7 = 21 \cdot 5 =105 \). Por tanto, al sumas las fracciones \( \frac{2}{15} \) y \( \frac{4}{21} \) se resuelve de la siguiente manera:
\[ \begin{align} \frac{2}{15} + \frac{4}{21} & = \frac{ 2 \cdot 7 }{ 15 \cdot 7 } + \frac{ 4 \cdot 5 }{ 21 \cdot 5 } \\ & = \frac{14}{105} + \frac{20}{105} \\ & = \frac{14 + 20}{105} \\ & = \frac{34}{105} \end{align} \]
Lo que hicimos para estos denominadores \( 15 \) y \( 21 \) es buscar un valor común y el mas pequeño entre los dos, por algo se le llama «mínimo común», y decimos «múltiplo», ya que porque \( 15 \) y \( 21 \) son múltiplos de \( 105 \), observe que \( 15 \cdot 21 \neq 105 \), pero los números \( 15 \) y \( 21 \) pueden dividir a \( 105 \), sin problemas, es decir, no es necesario que sean factores de \( 105 \), pero si múltiplos para \( 105 \).
Método 2
Otra forma de calcular el mínimo común múltiplo de \( 15 \) y \( 21 \) es en una tabla de la siguiente manera:
\[ \begin{array}{ c c c | c } & \color{green}{15} & \color{green}{21} & \color{green}{3} \leftarrow \text{dividimos} \\ \text{nos queda} \rightarrow & \color{red}{5} & 7 & \color{red}{5} \leftarrow \text{dividimos} \\ \text{nos queda} \rightarrow & 1 & \color{blue}{7} & \color{blue}{7} \leftarrow \text{dividimos} \\ & 1 & 1 & \end{array} \]
Esta es la explicación; El número \( 3 \) divide tanto a \( 15 \) y a \( 21 \) quedando \( 5 \) y \( 7 \) respectivamente, luego estos últimos números lo dividimos entre \( 5 \) dejando intacto al \( 7 \) ya que no es divisible por \( 5 \) y quedaría \( 1 \) y \( 7 \), finalmente para estos últimos números lo dividimos entre \( 7 \) sin tocar el \( 1 \) y nos queda \( 1 \) y \( 1 \). La estrategia en esa tabla es reducirlo todo a la unidad.
Lo que nos importa son los números de color \( 3 \), \( 5 \) y \( 7 \), en base a esto, la suma sería:
\[ \frac{2}{15} + \frac{4}{21} = \frac{x}{ 3 \cdot 5 \cdot 7 } + \frac{y}{ 3 \cdot 5 \cdot 7 } \]
- Para que \( \frac{2}{15} \) sea \( \frac{x}{ 3 \cdot 5 \cdot 7 } \), al denominador de \( \frac{2}{15} \) le faltaría un \( 7 \) para que sea \( 15 \cdot 7 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \), entonces la fracción equivalente sería:
\[ \frac{2}{15} = \frac{ 2 \cdot 7 }{ 15 \cdot 7 } = \frac{14}{105} \] - Para que la otra fracción \( \frac{4}{21} \) sea \( \frac{y}{ 3 \cdot 5 \cdot 7 } \), al denominador de \( \frac{4}{21} \) le faltaría \( 5 \) para que sea \( 21 * 5 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \), entonces la fracción equivalente sería:
\[ \frac{4}{21} = \frac{ 4 \cdot 5 }{ 21 \cdot 5 } = \frac{20}{105} \]
Finalmente la suma sería:
\[ \frac{2}{15} + \frac{4}{21} = \frac{14}{105} + \frac{20}{105} = \frac{34}{105} \]
Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Para sumar las fracciones \( \frac{6}{9} \), \( \frac{7}{6} \) y \( \frac{3}{14} \), debemos sacar el mínimo común múltiplo de los denominadores de estas fracciones, nos guiaremos de la siguiente tabla sin explicación previa:
\[ \begin{array}{ c c c | c } 9 & \color{red}{6} & \color{red}{14} & \color{red}{2} \\ \color{green}{9} & \color{green}{3} & 7 & \color{green}{3 } \\ \color{blue}{3} & 1 & 7 & \color{blue}{3} \\ 1 & 1 & \color{orange}{7} & \color{orange}{7} \\ 1 & 1 & 1 & \end{array} \]
Entonces el mínimo común múltiplo de \( 9 \), \( 6 \) y \( 14 \) es el producto de los números de colores de la columna del lado derecho de la tabla y es:
\[ \begin{align} \mathrm{m.c.m} [ 9, 6, 14 ] & = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \\ & = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \\ & = 126 \end{align} \]
Con estos resultados, la suma de fracciones sería algo así:
\[ \frac{6}{9} + \frac{7}{6} + \frac{3}{14} = \frac{x}{ 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 } + \frac{y}{ 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 } + \frac{z}{ 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 } \]
Para que el denominador \( \underbrace{9}_{ 3^{2} } \) sea \( 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \), faltaría multiplicarse por \( 2 \cdot 7 \), para el resto de los denominadores \( \underbrace{6}_{ 2 \cdot 3 } \) y \( \underbrace{14}_{ 2 \cdot 7 } \) les faltaría ser multiplicados por \( 3 \cdot 7 \) y \( 3^{2} \) respectivamente para que sea \( 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \) logrando las fracciones equivalentes respectivas de la siguiente manera:
- \( \frac{6}{9} = \frac{ 6 ( 2 \cdot 7 ) }{ 9 \cdot ( 2 \cdot 7 ) } = \frac{84}{126} \)
- \( \frac{7}{6} = \frac{ 7 ( 3 \cdot 7 ) }{ 2 \cdot 3 ( 3 \cdot 7 ) } = \frac{147}{126} \)
- \( \frac{3}{14} = \frac{ 3 ( 3^{2} ) }{ 2 \cdot 7 ( 3^{2} ) } = \frac{27}{126} \)
La suma resultante de estas fracciones finalmente es:
\[ \frac{6}{9} + \frac{7}{6} + \frac{3}{14} = \frac{84}{126} + \frac{147}{126} + \frac{27}{126} = \underbrace{ \frac{258}{126} }_{ \begin{array}{ c } \downarrow \\ \text{simplificando} \\ \downarrow \\ \frac{43}{21} \end{array} } \]
Método del aspa
Este método es mas sencillo, pero el inconveniente es que cuando se usa este método, tanto los numeradores y denominadores se hacen muy grandes y deben ser simplificados (si es que es posible) para reducir numéricamente tanto el numerador y denominador y obtener una fracción resultante mas sencilla.
Queremos sumar \( \color{red}{ \frac{2}{3} } \) y \( \color{green}{ \frac{4}{5} } \), lo que haremos es multiplicar el numerador de una fracción con el denominador de la otra fracción y sumarlos, es decir, haríamos algo así:
\[ \color{red}{2} \cdot \color{green}{5} + \color{red}{3} \cdot \color{green}{4} = 22 \]
Este sería el denominador resultante y el denominador final simplemente sería la multiplicación de los denominadores de las fracciones que se quiere sumar:
\[ \color{red}{3} \cdot \color{green}{5} = 15 \]
La fraccion que obtendraimos sería este:
\[ \frac{2}{3} + \frac{4}{5} = \frac{22}{15} \]
Lo que hicimos es una multiplicación por aspa, gráficamente se vería así:
Ejemplo:
Sumas las siguientes fracciones \( \frac{9}{13} \), \( \frac{7}{23} \) y \( \frac{1}{2} \). El metodo del aspa solo funciona con dos fracciones, por lo que lo haremos por pates, primero sumaremos \( \frac{9}{13} \) y \( \frac{7}{23} \), resulta:
\[ \frac{9}{13} + \frac{7}{23} = \frac{ 9 \cdot 23 + 7 \cdot 13 }{ 13 \cdot 23 } = \frac{298}{299} \]
Esta ultima fraccion la podemos sumar con la fraccion faltante que sería \( \frac{1}{2} \), tenemos:
\[ \frac{298}{299} + \frac{1}{2} = \frac{ 298 \cdot 2 + 1 \cdot 299 }{ 299 \cdot 2 } = \frac{895}{598} \]
Por tanto, la suma de dichas fracciones es:
\[ \frac{9}{13} + \frac{7}{23} + \frac{1}{2} = \frac{895}{598} \]
Con estos ejemplos sencillos finalizamos esta publicación sobre suma de fracciones, si les fue de mucha ayuda, seguiré publicando contenido practico ya que los cursos completos necesitan mas investigación y trabajo, hasta otra oportunidad.