¿Como despejar un exponente de una ecuación exponencial?

Introducción

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Aquí te explicaré como y con que métodos podemos despejar un exponente en una ecuación exponencial, se puede realizar tanto con o sin logaritmos. La primera es por comparación entre ecuaciones en su forma exponencial y el segundo usaremos algunas propiedades de logaritmos para resolver este tipo de ecuaciones.

Una cosa que hay que tener en cuenta que para resolver una ecuación potencial, es decir, una ecuación de este tipo \( x^{n} = a \), donde \( x \) es la incógnita, entonces la solución es \( x = \sqrt[n]{a} \), es decir, era necesario usar la inversa de la potenciación para resolver la ecuación \( x^{n} = a \), como muchos sabrán, dicha inversa se llama radicación.

De la misma manera, para resolver una ecuación exponencial del tipo \( a^{x} = b \), su inversa es el logaritmo y su solución se escribe como \( x = \log_{a}{b} \). Con estos puntos pienso explicar dos maneras de resolver una ecuación exponencial y eso haremos en el siguiente apartado.

Ecuaciones exponenciales con bases iguales.

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Para resolver este tipo de ecuaciones, es muy necesario tener en cuenta que cada lado de los miembros deben tener extrictamente hablando las bases iguales, ejercicios de este tipo son mas fáciles de resolver. la solución por comparación es la mas común, veamos.

Solución por comparación de bases iguales

Si tenemos dos potencias del tipo \( a^{x} \) y \( a^{y} \) donde \( a \), \( b \), \( x \) son 3 números reales, tal que \( a^{x} = a^{y} \), entonces se cumple que \( x=y \).

OJO: tenga en cuenta que a partir de ahora, los exponentes serán trabajados en toda la extensión de los números reales.

Prueba

1. Su prueba es muy sencilla, de la igualdad \( a^{x} = a^{y} \), se puede escribir así:
   \[ \frac{ a^{x} }{ a^{y} } = 1 \]
2. Por la propiedad del cociente de dos potencias resulta:
   \[ a^{x-y} = 1 \]
3. Por definición de exponente cero que nos dice que \( a^{0} = 1 \), entonces se cumple y demostramos que:
   \[ \begin{align} x-y & = 0 \\ \rightarrow x & = y \end{align} \]

Ejemplo:

Si queremos resolver \( 5^{x} = 125 \), el resultado es sencillo y esta ecuación se puede escribir así \( 5^{x} = 5^{3} \), por la propiedad de comparación de bases iguales, concluimos que \( x=3 \).

Solución por simetría

Sea la ecuación \( x^{x} = a^{a} \) y si \( 1 \leq a \), entonces \( x=a \).

Que pasa cuando \( 0<a<1 \), el valor de \( x \) admite dos valores distintos.

Si \( 0<a<1 \), existe dos valores para \( x \), una es cuando \( x=a \) y el otro valor se calcula con la función de Lambert y no es posible calcularlo por métodos algebraicos básicos cosa que este tema esta fuera del alcance de esta publicación. Un ejemplo practico es este \( ( \frac{1}{2} )^{ \frac{1}{2} } = ( \frac{1}{4} )^{ \frac{1}{4} } \).

Ejemplo:

Queremos resolver \( x^{x} = 27 \), este es un caso muy sencillo, pero sirve para ilustrar las propiedades enunciadas, en este caso, la ecuación se podría escribir así \( x^{x} = 3^{3} \), por tanto \( x=3 \).

Solución por comparación de bases diferentes

Sea \( a^{x} = b^{y} \), si \( a \neq b \) y la división algebraica de \( x \) e \( y \) es una división exacta, entonces \( x = y = 0 \).

Téngase en cuenta que si \( x \) e \( y \) no tiene un cociente en común, entonces dicha propiedad no se cumple.

Prueba

Tenemos \( a^{x} = b^{y} \), si \( a \neq b \) y \( x \neq y\), no se pueden aplicar las propiedades cotidianas de las leyes de potenciación, pero tenemos un dato, dice que existe una división algebraica entre \( x \) e \( y \), implica entonces que existe un cociente \( k \) tal que \( \frac{x}{y} = k \) ( o como también puede ser \( \frac{y}{x} = k \), cualquiera de las dos son validas ), por lo que \( x=ky \), la ecuación exponencial quedaría de la siguiente manera con las operaciones respectivas:

\[ a^{ky} = b^{y} \\ (a^{k})^{y} = a^{y} \\ \frac{ ( a^{k} )^{y} }{ a^{y} } = 1 \\ ( \frac{ a^{k} }{b} )^{y} = 1 \]

Sabemos que \( a^{0} = 1 \), entonces:

\[ y=0 \]

como \( x=yk \), por tanto demostramos que:

\[ x=0 \ \text{ó} \ y=0 \]

Ejemplo

Tenemos la ecuación \( 2^{x+3}=3^{x^{2}+3x} \). Para resolverlo, primero averigüemos si cumple la propiedad que enunciamos para este ejemplo.

Note que los exponentes \( x+3 \) y \( x^{2} + 3x \), si tiene un factor en comun, si dividimos estas dos expresiones, tenemos:

\[ \frac{ x^{2} + 3x }{x+3} = \frac{ x(x+3) }{x+3} = x \]

Segun el teorema, se cumple que:

\[ x+3=x^{2}+3x=0 \]

Resolviendo obtenemos que:

\[ x=-3 \]

Ecuaciones exponenciales con bases diferentes

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Para estos caso, haremos uso del concepto de logaritmo junto con sus propiedades que pensamos anunciar sin demostración ya que la teoría de logaritmos merece un sección especializada.

Concepto y propiedades de logaritmos

Usaremos de manera informal las propiedades de logaritmos para una mejor compresión super básica de este tema, solo será un resumen rápido.

¿Que se entiende por logaritmo?

Por ejemplo, tenemos \( 3^{4} = 81 \), como el logaritmo representa el exponente, se escribiría así:

\[ 4 = \log_{3} 81 \]

Si queremos resolver una ecuación de este tipo \( 3^{x} = 81 \), primero despejamos \( x \), como en el ejemplo anterior de logaritmo quedando:

\[ x = \log_{3} 81 \]

Pero como sabemos que \( \log_{3} 81 = 4 \), entonces se cumple que:

\[ x = 4 \]

Esto quiere decir que debemos tener una tabla de logaritmos para este tipo de ecuaciones, pero antes de resolver ecuaciones de esta indole, sigamos con los logaritmos. De manera general, un logaritmo se puede escribir de la siguiente manera:

\[ a^{n} = b \leftrightarrow n = \log_{a} b \]

Tanto en su forma exponencial como en su forma logarítmica, el número \( a \) también se le llama base. Mientras tanto no quiero especificar en que campo numérico (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales o complejos) se esta trabajando \( a \), \( b \) y \( n \). Lo hago para no entrar en confusiones, entonces, si queremos representar la solución de una ecuación exponencial, veamos un resumen de las propiedades de logaritmos.

Propiedades de logaritmos

Las siguientes propiedades son las mas conocidas y fundamentales de logaritmos:

1. El logaritmo de un producto \( xy \) es igual a la suma de los logaritmos de sus factores \( x \) e \( y \).
   \[ \log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y \]
2. El logaritmo de una potencia enésima \( x^{n} \) es igual a \( n \) veces el logaritmo de \( x \).
   \[ \log_{a} x^{n} = n \log_{a} x \]
3. El logaritmo de un cociente \( \frac{x}{y} \) es igual a la diferencia del dividendo \( x \) y divisor \( y \).
   \[ \log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x – \log_{a} y \]
4. El logaritmo de la raíz enésima \( \sqrt[n]{x} \) es igual al cociente del logaritmo de \( x \) y \( n \).
   \[ \log_{a} \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_{a} x \]
5. Las siguiesen propiedades serán literalmente anunciadas sin explicación:
   \[ \log_{b} a = \log_{ b^{n} } a^{n} = \log_{ \sqrt[n]{b} } \sqrt[n]{b} \]
6. \( \log_{ b^{n} } a^{m} = \frac{m}{n} \log_{b} a \)
7. \( \log_{a} b \cdot \log_{b} a = 1 \)
8. \( \log_{a} b = \frac{ \log_{c} b }{ \log_{c} a } \)

Existen otras propiedades mas que veremos en un curso especializado de logaritmos, sin embargo, usaremos algunas cuantas para unos ejemplos que nos ayudará resolver ecuaciones exponenciales. Pero antes haremos uso del logaritmo común o logaritmo decimal que es un logaritmo en base \( 10 \) y se simboliza sin base simplemente así \( \log \), por ejemplo \( \log_{10} 3 = \log 3 \). Con esto, desarrollamos 3 ejemplos sencillos.

3 ejemplos de solución de ecuaciones exponenciales con logaritmos

Ejemplo 1: Resolver el valor de \( x \) en \( 5^{3x+2} = 12 \).

Solución: aplicando logaritmo común a los dos miembros, tenemos:

\[ \log 5^{3x+2} = \log 12 \]

Por la propiedad \( \log x^{y} = y \log x \), entonces:

\[ \begin{align} (3x+2) \log 5 & = \log 12 \\ 3x+2 & = \frac{ \log 12 }{ \log 5 } \\ x & = \frac{1}{3} [ \frac{ \log 12 }{ \log 5 } – 2 ] \end{align} \]

Los valores aproximados de \( \log 12 \) y \( \log 5 \) es \( 2.48491… \) y \( 1.60944 \) respectivamente, entonces el valor de \( x \) es:

\[ x = \frac{1}{3} [ \frac{ 2.48491 }{ 1.60944 } – 2 ] = -0.22802 \]

Ejemplo 2: Cual es el valor de \( x \) en \( 3^{2x+1} = 6^{3x-7} \)

Solución: aplicando el logaritmo natural a los dos miembros, resulta:

\[ \log 3^{2x+1} = \log 6^{3x-7} \]

Por la regla \( \log x^{y} = y \log x \), resolviendo, obtenemos:

\[ \begin{align} (2x+1) \log 3 & = (3x-7) \log 6 \\ 2x \log 3 + \log 3 & = 3x \log 6 – 7 \log 6 \\ 2x \log 3 – 3x \log 6 & = – \log 3 – 7 \log 6 \\ x ( 2 \log 3 – 3 \log 6 ) & = – ( \log 3 + 7 \log 6 ) \\ x & = \frac{ \log 3 + 7 \log 6 }{ 3 \log 6 – 2 \log 3 } \end{align} \]

Sepan que los valores \( \log 3 \) y \( \log 6 \) son \( 1.09861… \) y \( 1.79176 \) respectivamente, finalmente obtenemos:

\[ \begin{align} x & = \frac{ 1.09861… + 7 ( 1.79176 ) }{ 3 ( 1.79176 ) – 2( 1.09861… ) } \\ x & = 4.29223… \end{align} \]

Si quieres saber como calculo los logaritmos, visiten la pagina de Wolfram Alpha, tiene la siguiente apariencia:

En aquel espacio en blanco escriban por ejemplo \( \log (7) \) para calcular su valor deseado, el resultado aparece en la siguiente imagen

Ejemplo 3: Averigüe el valor de la \( x \) de la siguiente ecuación exponencial:

\[ 6^{x} – 6^{-x} = 8 \]

Solución: Antes de todo, realizaremos algunas operaciones sin logaritmos, veamos:

\[ \begin{align} 6^{x} – \frac{1}{ 6^{x} } & = 8 \\ [6^{x}]^{2} – 1 & = 8 \cdot 6^{x} \\ [ 6^{x} ]^{2} – 8 \cdot 6^{x} – 1 & = 0 \end{align} \]

Usando la formula de la ecuación cuadrática, resulta:

\[ \begin{align} 6^{x} & = \frac{ 8 \pm \sqrt{ 64 + 4 } }{2} \\ & = \frac{ 8 \pm 2 \sqrt{17} }{2} \\ 6^{x} & = 4 \pm \sqrt{17} \end{align} \]

De aquí obtenemos dos soluciones \( 6^{x} = 4 + \sqrt{17} \) ó \( 6^{x} = 4 – \sqrt{17} \). Sin embargo, \( 6^{x} \) siempre es positivo para cualquier valor de \( x \) y \( 4 – \sqrt{17} < 0 \), es decir, es negativo, esto quiere decir que la segunda ecuación es un absurdo. De esta manera nos quedamos con la primera ecuación:

\[ 6^{x} = 4 + \sqrt{17} \]

Aplicando lógaritmos comunes o decimales, tenemos:

\[ \begin{align} \log 6^{x} & = \log \sqrt{17} \\ x \log 6 & = \log \sqrt{17} \\ & = \frac{ \log \sqrt{17} }{ \log 6 } \\ & = \frac{ \log{ 17^{1/2} } }{ \log 6 } \\ & = \frac{ (1/2) \log 17 }{ \log 6 } \\ x & = \frac{ \log{17} }{ 2 \log{6} } \end{align} \]

Usando la plataforma de Wolfram Alpha, el valor aproximado es:

\[ x = 0.790623… \]

Con esto finalizamos la sección actual y de esta manera ya sabes como despejar un exponente con estos métodos para resolver ecuaciones exponenciales.

Ecuaciones exponenciales

En esta sección desarrollamos una teoría mas ordenada sobre ecuaciones exponenciales, con sus propiedades demostradas y 24 ejercicios resueltos básicos para que te diviertas.

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