Como aprender a derivar una función

Aprender a derivar personalmente es lo mas fácil del mundo, tan solo necesitamos los teoremas generales y algunas derivadas notables de ciertas funciones conocidas, de esta manera podemos derivar cualquier función que no pueda resistirse a ser derivado.

Tenga en cuenta que no nos vamos a centrar a su definición principal ni su representación gráfica y entre otros detalles mas ya que es un tema extenso y merece una sección o secciones especiales para un curso de calculo elemental.

Definición de derivada

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Sea \( f(x) \) una función cualquiera y \( \frac{d}{dx} f(x) \) representa la derivada de una función tal que:

\[ \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{ \Delta \to 0 } \frac{ f( x+\Delta x ) – f(x) }{ \Delta x } \]

Donde \( \lim_{ \Delta \to 0 } \) representa el limite de una función.

El tema de limites no lo vamos a explicar en esta entrada ya que solo nos centraremos como calcular la derivada de muchas funciones, eso si, enfatizaremos alguna propiedad de limites en plenos ejercicios cuando sea necesario al hacer uso solo de la definición de derivada para ciertas funciones que veremos luego.

Representación simbólica de las derivadas

Antes de pasar a los ejercicios, omitiremos el símbolo \( \frac{d}{dx} \) ya que resulta una representación simbólica que puede abarcar imnecesariamente mucho espacio en los cálculos, otras maneras para representar la derivada es:

\[ \frac{d}{dx} f(x) = D_{x} f(x) = f'(x) \]

De entre estas 3 formas, usaremos la forma \( f'(x) \) ya que es mucho mas resumida e indica la derivada de la función \( f(x) \) respecto a \( x \).

Teoremas para derivar una función

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Si vamos a derivar funciones de cualquier tipo, debemos de saber los teoremas principales sobre derivadas, generalmente se les conoce como álgebra de derivadas y son las siguientes.

Derivada de una constante

Sea una función constante \( f(x) = \mathrm{k} \), entonces su derivada de \( f(x) \) es cero, simbólicamente:

\[ f(x) = \mathrm{k} \rightarrow f'(x) = 0 \]

Derivada de una potencia

Sea la función potencial \( f(x) = x^{n} \) tal que \( n \) es un entero positivo, como \( f(x) \) es derivable para cualquier valor de \( x \) y se cumple:

\[ f'(x) = nx^{n-1} \]

Importante: Tenga en cuenta que una función derivable y diferenciable son dos cosas distintas. La primera indica que si la función existe en un punto, entonces se puede derivar en ese punto, la segunda nos dice que si es diferenciable, entonces dicha derivada existe en ese punto, en caso contrario, que dicha función exista en un punto, no implica que su derivada exista en ese punto y por tanto, no es diferenciable pero si derivable. Estos puntos lo veremos en un curso elemental de calculo.

Derivada de una constante por una función

Sea \( k \) una constante numérica y una función \( f(x) \) derivable, entonces \( k \cdot f(x) \) es derivable y se cumple:

\[ ( \mathrm{k} \cdot f(x) )’ = \mathrm{k} f'(x) \]

Derivada de una suma

Sea dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) tal que sean derivables en un punto, entonces la suma \( f(x)+g(x) \) también es derivable en dicho punto, se cumple que:

\[ [f(x)+g(x)]’ = f'(x) + g'(x) \]

Derivada de una resta

Si \( f(x) \) y \( g(x) \) son derivables en un punto, entonces su diferencia \( f(x)-g(x) \) también es derivable y se cumple:

\[ [f(x)-g(x)]’ = f'(x) – g'(x) \]

Derivada de un producto

El producto \( f(x) \cdot g(x) \) es derivable si las funciones también \( f(x) \) y \( g(x) \) son derivables, se demuestra que:

\[ ( f(x) \cdot g(x) )’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

Derivada de un cociente

El cociente \( \frac{f(x)}{g(x)} \) tiene derivada si las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) son derivables y se prueba que:

\[ [ \frac{ f(x) }{ g(x) } ]’ = \frac{ f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x) }{ ( g(x) )^{2} } \]

Si \( g(x) \neq 0 \).

Derivada de una potencia con exponente negativo

Sea la función derivable \( f(x) = x^{-n} \) donde \( n \) es un número negativo, se cumple:

\[ f'(x) = -nx^{-n-1} \]

La razón de ponerlo al final de la propiedad de la derivada de un cociente es porque para demostrarlo, es necesario la propiedad de derivada de una potencia con exponente positivo y la de cociente.

OJO: Esta propiedad cumple también para derivadas de exponente fraccionario y real, la demostración del primero solo es posible usando el binomio de Newton para exponente fraccionario y el segundo es usando un método con la función exponencial. Lo que quiero decir con estos puntos importantes es que sus demostraciones no son tan fáciles como cuando el exponente es entero positivo o negativo, razón por el cual los pongo o los menciono por separado.

Derivada de la función compuesta

También se le conoce como la regla de la cadena y nos dice que si tenemos la función \( f( g(x) ) \) derivable en \( g(x) \) y \( g(x) \) es derivable en \( x \), entonces se cumple lo siguiente:

\[ [ f( g(x) ) ]’ = f'( g(x) ) g'(x) \]

Para que se entienda mejor, se puede representar así:

\[ \frac{ d }{ d x } f( g(x) ) = \frac{ d }{ d [g(x)] } f( g(x) ) \cdot \frac{ d }{ d x } g(x) \]

Derivadas notables

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Presentaremos una serie de derivadas mas importantes muy usadas en el calculo, veamos cada una de ellas.

Derivada de funciones trigonométricas

Aquí presentamos un resumen de las derivadas de las siguientes razones trigonométricas.

Derivadas de la función exponencial y logarítmica

Las siguientes derivadas se realizan sobre la funciones exponenciales del tipo \( e^{x} \) y \( a^{x} \), donde \( e \) es la constante de Euler y \( a \) es un número real cualquiera, tener en cuenta que el logaritmo natural \( \ln x \) es el logaritmo en base de la constante de Euler, veamos:

Ejercicios resueltos de derivadas

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Los ejercicios serán divido en dos partes, una es usando la definición de limite y otras usando las propiedades de derivadas, uno de los puntos que debes tener en cuenta es que resolver una derivada en base a su definición es mas laborioso que usar sus teoremas o propiedades que acabamos de anunciar, así que comencemos los ejercicios usando la definición.

Usando la definición de derivada

Importante: No podemos remplazar la aproximación del incremento \( \Delta x \) por \( 0 \) directamente en la definición de derivada que proporcionamos inicialmente porque sucede lo siguiente:

\[ f'(x) = \frac{ f(x+0) – f(0) }{ 0 } = \frac{0}{0} \]

Como pueden ver, encontramos una indeterminada y es lo que queremos evitar en los siguientes ejercicios, aquí vas a aprender a derivar solo con su definición antes de usar las propiedades, comenzaremos con algunas expresiones algebraicas sencillas.

Ejercicio 1

Derivar la función \( f(x) = x^{3} \) con la definición de derivación.

Solución:

1. Por la definición de derivada:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta \to 0 } \frac{ ( x – \Delta x )^{3} – x^{3} }{ \Delta x } \]
2. Por la propiedad del binomio al cubo:
   \[ \begin{align} \require{cancel} f'(x) & = \lim_{ \Delta \to 0 } \frac{ \cancel{ x^{3} } + 3x^{2} \Delta x + 3x ( \Delta x )^{2} + ( \Delta x )^{3} – \cancel{ x^{3} } }{ \Delta x } \\ & = \lim_{ \Delta \to 0 } \frac{ 3x^{2} \Delta x + 3x ( \Delta x )^{2} + ( \Delta x )^{3} }{ \Delta x } \\ & = \lim_{ \Delta \to 0 } [ 3x^{2} + 3x \Delta x + ( \Delta x )^{2} ] \end{align} \]
3. Remplazando la aproximación de \( \Delta x \) por \( 0 \), tenemos:
   \[ \begin{align} f'(x) & = ( 3x^{2} ) + ( 3x \cdot 0 ) + ( 0 )^{2} \\ & = \boxed{ 3x^{2} } \end{align} \]

Observe que esto es compatible con el teorema de la derivada de una potencia \( f(x) = x^{n} \rightarrow f'(x) = nx^{n-1} \), como \( n=3 \), entonce se cumple que \( f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^{2} \), de esta manera, este ejercicio queda resuelto.

Ejercicio 2

Derivar con la definición la función \( f(x) = \frac{2}{x+1} \).

Solución:

1. Por definición:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \frac{ 2 }{ x + \Delta x + 1 } – \frac{2}{x+1} }{ \Delta x } \]
2. Multiplicando al numerador y denominador por \( (x+1)( x + \Delta x + 1 ) \), resulta:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 2(x+1) – 2( x + \Delta x + 1 ) }{ \Delta x ( x + 1 )( x +\Delta x + 1 ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 2 \Delta x }{ \Delta x (x+1) ( x + \Delta x + 1 ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 2 }{ (x+1) ( x + \Delta x + 1 ) } \end{align} \]
3. Remplazando el limite de \( \Delta x \) que resulta ser \( 0 \), entonces:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \frac{2}{ (x+1)( x+1 ) } \\ & = \boxed{ \frac{2}{ (x+1)^{2} } } \end{align} \]

Ejercicio 3

Derivar la función \( f(x) = \sqrt{x+3} \) sin usar los teoremas de derivadas.

Solución:

1. Tenemos:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \sqrt{ x + \Delta x + 3 } – \sqrt{ x+3 } }{ \Delta x } \]
2. Podemos usar la propiedad de la multiplicación de una suma por su conjugada \( (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} \), este caso, tanto numerador como denominador multiplicaremos por la cojunjugada de \( \sqrt{ x + \Delta x + 3 } – \sqrt{x+3} \) que seria \( \sqrt{ x + \Delta x + 3 } + \sqrt{x+3} \), en otras palabras, estaríamos racionalizando el numerador:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( \sqrt{ x + \Delta x + 3 } – \sqrt{ x+3 } ) ( \sqrt{ x + \Delta x + 3 } + \sqrt{ x+3 } ) }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + 3 } + \sqrt{ x+3 } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x + 3 ) – ( x+3 ) }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + 3 } + \sqrt{ x+3 } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \Delta x }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + 3 } + \sqrt{ x+3 } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 1 }{ \sqrt{ x + \Delta x + 3 } + \sqrt{ x+3 } } \end{align} \]
3. Remplazando \( \Delta x \) por \( 0 \), finalmente logramos obtener el resultado deseado:
   \[ \begin{align} f'(x) &= \frac{1}{ \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} } \\ & = \boxed{ \frac{1}{ 2 \sqrt{x+3} } } \end{align} \]

Ejercicio 4

Averigüe la derivada de \( f(x) = \sqrt{ x + \sqrt{x} } \) sin los propiedades de derivadas.

Solución:

1. Por definición de derivada:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta \to 0 } \frac{ \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } – \sqrt{ x + \sqrt{x} } }{ \Delta x } \]
2. Racionalizando el numerador y realizando una serie de operaciones hasta eliminar la indeterminación \( \frac{0}{0} \), tenemos:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \lim_{ \Delta \to 0 } \frac{ ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } – \sqrt{ x + \sqrt{x} } )( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x + \sqrt{ x +\Delta x } ) – ( x + \sqrt{x} ) }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \Delta x – \sqrt{x} + \sqrt{ x + \Delta x } }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) } \end{align} \]
3. Volviendo a racionalizar el numerador:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( \Delta x – \sqrt{x} + \sqrt{ x + \Delta x } )( \Delta x – \sqrt{x} – \sqrt{ x + \Delta x } ) }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) ( \Delta x – \sqrt{x} – \sqrt{ x + \Delta x } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( \Delta x – \sqrt{x} )^{2} – ( x + \Delta x ) }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) ( \Delta x – \sqrt{x} – \sqrt{ x + \Delta x } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( \Delta x )^{2} – 2 \sqrt{x} \Delta x + \require{x} – \require{x} – \Delta x }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) ( \Delta x – \sqrt{x} – \sqrt{ x + \Delta x } ) } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( \Delta x )^{2} – 2 \sqrt{x} \Delta x – \Delta x }{ \Delta x ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) ( \Delta x – \sqrt{x} – \sqrt{ x + \Delta x } ) } \end{align} \]
4. Observe que ahora se puede simplificar \( \Delta x \), en nuestra expresión quedando:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \Delta x – 2 \sqrt{x} – 1 }{ ( \sqrt{ x + \Delta x + \sqrt{ x + \Delta } } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } ) ( \Delta x – \sqrt{x} – \sqrt{ x + \Delta x } ) } \]
5. De esta manera remplazamos su valor aproximado del incremento \( \Delta x \) que resulta ser \( 0 \), resultando finalmente:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \frac{ -2 \sqrt{x} – 1 }{ ( \sqrt{ x + \sqrt{x} } + \sqrt{ x + \sqrt{x} } )( – \sqrt{x} – \sqrt{x} ) } \\ & = \frac{ -2 \sqrt{x} – 1 }{ ( 2 \sqrt{ x + \sqrt{x} } )( -2 \sqrt{x} ) } \\ & = \boxed{ \frac{ \sqrt{x} + 1 }{ 2 \sqrt{ x^{2} + x \sqrt{x} } } } \end{align} \]

Ejercicio 5

Averigüe la derivada de la función \( f(x) = \frac{ x }{ \sqrt{x} + \sqrt{x+1} } \) con la definición.

Solución:

1. Primero daremos forma a la función \( f(x) \), comencemos por racionalizarlo:
   \[ \begin{align} f(x) & = \frac{ x( \sqrt{x} – \sqrt{x+1} ) }{ ( \sqrt{x} + \sqrt{x+1} )( \sqrt{x} – \sqrt{x+1} ) } \\ & = \frac{ x( \sqrt{x} – \sqrt{x+1} ) }{ x – (x+1) } \\ & = – x( \sqrt{x} – \sqrt{x+1} ) \\ & = x \sqrt{x+1} – x \sqrt{x} \end{align} \]
2. En otras palabras, vamos a derivar \( x \sqrt{x+1} – x \sqrt{x} \) en lugar de \( f(x) = \frac{ x }{ \sqrt{x} + \sqrt{x+1} } \) , ya que resulta ser lo mismo, ahora aplicando la definición de derivada:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ (x + \Delta x) \sqrt{ x + \Delta x +1 } – ( x + \Delta x ) \sqrt{ x + \Delta x } ) – ( x \sqrt{x+1} – x \sqrt{x} ) }{ \Delta x } \]
3. Si intentan racionalizar el numerador de ese limite tal como esta, créanme, se desanimaran porque aparecen cálculos excesivamente tediosos y desalentadores para simplificarlo, una manera inteligente es ordenaremos de manera estratégica este limite de esta manera:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } [ \overbrace{ \frac{ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } – x \sqrt{ x + 1 } }{ \Delta x } }^{ f_{1} (x) } – \overbrace{ \frac{ ( x + \Delta x ) \sqrt{ x + \Delta x } – x \sqrt{x} }{ \Delta x } }^{ f_{2} (x) } ] \]
4. La razón de separarlo así es porque las funciones \( f_{1} (x) \) y \( f_{2} (x) \) al ser remplazadas el incremento \( \Delta x \) por \( 0 \), resulta ser indeterminadas de la forma \( \frac{0}{0} \), entonces, podemos escribirlo por separado así:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{1} (x) – \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{2} (x) \]
   tal que \( f_{1} (x) = \frac{ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } – x \sqrt{ x + 1 } }{ \Delta x } \) y \( f_{2} (x) = \frac{ ( x + \Delta x ) \sqrt{ x + \Delta x } – x \sqrt{x} }{ \Delta x } \). Hemos usado la propiedad de limites que nos dice que \( \lim (a+b) = \lim a + \lim b \). cosa que veremos en un curso completo de calculo.
5. Ahora calculemos el limite de \( f_{1} (x) \) y luego \( f_{2} (x) \), tenemos:
   \[ \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{1} (x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } – x \sqrt{ x + 1 } }{ \Delta x } \]
6. Racionalizando el numerador:
   \[ \begin{align} \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{1} (x) & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ [ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } – x \sqrt{ x + 1 } ][ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } + x \sqrt{ x + 1 } ] }{ \Delta x [ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } + x \sqrt{ x + 1 } ] } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x )^{2} ( x + \Delta x + 1 ) – x^{2} (x+1) }{ \Delta x [ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } + x \sqrt{ x + 1 } ] } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x )^{3} + ( x + \Delta x )^{2} – x^{3} – x^{2} }{ \Delta x [ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } + x \sqrt{ x + 1 } ] } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x )^{3} – x^{3} + ( x + \Delta x )^{2} – x^{2} }{ \Delta x [ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } + x \sqrt{ x + 1 } ] } \end{align} \]
7. Usando las propiedades de productos notables \( a^{3} – b^{3} = (a-b)( a^{2} + ab + b^{2} ) \) y \( a^{2} – b^{2} = (a+b)(a-b) \) es posible simplificar \( \Delta x \) obteniéndose:
   \[ \begin{align} \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{1} (x) & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \Delta x [ ( x + \Delta x )^{2} + ( x +\Delta x ) x + x^{2} ] + \Delta x ( x + \Delta x + x ) }{ \Delta x [ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } + x \sqrt{ x + 1 } ] } \\ & = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x )^{2} + ( x +\Delta x ) x + x^{2} + x + \Delta x + x }{ ( x + \Delta x )\sqrt{ x + \Delta x + 1 } + x \sqrt{ x + 1 } } \end{align} \]
8. Remplazando el el incremento \( \Delta x \) por \( 0 \), simplificando:
   \[ \begin{align} \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{1} (x) & = \frac{ 3x^{2} + 2x }{ 2x \sqrt{ x+1 } } \\ & = \frac{ 3x + 2 }{ 2 \sqrt{x+1} } \end{align} \]
9. Ya tenemos una parte de \( f'(x) \), falta la otra parte y es \( \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{2} (x) \), sin embargo, no lo volveremos hacer aquí, el procedimiento es lo mismo que \( f_{1} (x) \) quedando de la siguiente forma:
   \[ \begin{align} \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{2} (x) & = \frac{ 3x^{2} }{ 2 x \sqrt{x} } \\ &= \frac{ 3x }{ 2 \sqrt{x} } \end{align} \]
10. Como \( f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{1} – \lim_{ \Delta x \to 0 } f_{2} \), finalmente resulta que:
    \[ f'(x) = \boxed{ \frac{ 3x+2 }{ 2 \sqrt{x+1} } – \frac{3x}{ 2 \sqrt{x} } } \]

Ejercicio 6

Derivar con la definición la función \( f(x) = \sqrt{ \sin x } \).

Solución:

1. Por definición de derivada y racionalizando el numerador, quedaria de la siguiente forma:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \sqrt{ \sin ( x – \Delta x ) } – \sqrt{ \sin x } }{ \Delta x } \\ = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \sin( x + \Delta x ) – \sin x }{ \Delta x ( \sqrt{ \sin ( x + \Delta x ) } + \sqrt{ \sin x ) } } \]
2. Por la propiedad del seno de una suma \( \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \), tenemos:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x – \sin x }{ \Delta x [ \sqrt{ \sin ( x + \Delta x ) } + \sqrt{ \sin x } ] } \\ = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos \Delta x – 1 ) + \cos x \sin \Delta x }{ \Delta x [ \sqrt{ \sin ( x + \Delta x ) } + \sqrt{ \sin x } ] } \]
3. En teoría de limites, existe dos teoremas que dice que \( \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x } = 1 \) y \( \lim_{ x \to 0 } \frac{ \cos x – 1 }{x} = 0 \), para ello daremos forma al \( f'(x) \) de la siguiente manera:
   \[ f'(x) = \lim_{ \Delta x \to 0 } [ \sin x ( \frac{ \cos \Delta x – 1 }{ \Delta x } ) + \cos x ( \frac{ \sin \Delta x }{ \Delta x } ) ] \cdot \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{ \sqrt{ \sin ( x + \Delta x ) } + \sqrt{ \sin x } } \]
4. Hemos usado la propiedad de limites \( \lim (ab) = \lim a \cdot \lim b \), y lo volveremos a usar de nuevo de la siguiente manera:
   \[ f'(x) = [ \lim_{ \Delta x \to 0 } \sin x ( \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \cos \Delta x -1 }{ \Delta x } ) + \lim_{ \Delta x \to 0 } \cos x ( \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \sin \Delta x }{ \Delta x } ) ] \cdot \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{ \sqrt{ \sin ( x + \Delta x ) } + \sqrt{ \sin x } } \]
5. Como \( \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \cos \Delta x – 1 }{ \Delta x } = 0 \) y \( \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \sin \Delta x }{ \Delta x } = 1 \), entonces:
   \[ f'(x) = [ \lim _{ \Delta x \to 0 } \sin x \cdot 0 + \lim_{ \Delta x \to 0 } \cos x \cdot 1 ] \cdot \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{ \sqrt{ \sin ( x + \Delta x ) } + \sqrt{ \sin x } } \]
6. Tenga en cuenta que \( \lim_{ \Delta x \to \ 0 } \sin x = \sin x \) y \( \lim_{ \Delta x \to 0 } \cos x = \cos x \) ya que el \( \sin x \) y \( \cos x \) no depende del incremento \( \Delta x \), por ultimo, remplazando \( \Delta x \) por \( 0 \), finalmente obtenemos:
   \[ \begin{align} f'(x) & = [ \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 ] \cdot \frac{1}{ \sqrt{ \sin x } + \sqrt{ \sin x } } \\ & = \boxed{ \frac{ \cos x }{ 2 \sqrt{ \sin x } } } \end{align} \]

Usando las propiedades de derivadas

Ahora usaremos los teoremas o derivadas para los siguientes ejercicios, tenga en cuenta que este tipo de ejercicios son mas fáciles de resolver y no requiere mucho esfuerzo.

Ejercicio 7

Cual es la derivada de \( f'(x) = 3x^3 + 4x^{2} + 2 \).

Solución:

1. Derivando:
   \[ f'(x) = ( 3x^{3} + 4x^{2} + 2 )’ \]
2. Por la propiedad de la derivada de una suma \( ( f + g )’ = f’ + g’ \), tenemos:
   \[ f'(x) = ( 3x^{3} )’ + ( 4x^{2} )’ + (2)’ \]
3. Por la propiedad de la derivada de una constante por una función \( ( \mathrm{k} f )’ = \mathrm{k} f’ \) y sabiendo que la derivada de una constante es cero \( ( \mathrm{k} )’ = 0 \), tenemos:
   \[ f'(x) = 3( x^{3} )’ + 4 ( x^{2} )’ + 0 \]
4. Por la propiedad de la derivada de una potencia \( ( x^{n} )’ = nx^{n-1} \), finalmente obtenemos:
   \[ \begin{align} f'(x) & = 3 ( 3x^{3-1} ) + 4 ( 2x^{2-1} ) \\ f'(x) & = \boxed{ 9x^{2} + 8x } \end{align} \]

Ejercicio 8

Cual es la derivada de la siguiente función \( f(x) = \frac{ \sqrt{x} }{ x^{2} + 1 } \).

Solución:

1. Por la propiedad de derivada de un cociente:
   \[ f'(x) = \frac{ ( \sqrt{x} )’ ( x^{2} + 1 ) – \sqrt{x} ( x^{2} + 1 )’ }{ ( x^{2} + 1 )^{2} } \]
2. Escribiendo la raíz como \( \sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2} } \). Tenga en cuenta que la derivada de una potencia de exponente fraccionario se calcula igualmente para derivada de potencia de exponente natural o negativo, la derivada de \( f'(x) \) lo escribiremos así:
   \[ f'(x) = \frac{ ( x^{ \frac{1}{2} } )’ ( x^{2} + 1 ) – x^{ \frac{1}{2} } ( x^{2} + 1 )’ }{ ( x^{2} + 1 )^{2} } \]
3. Por las propiedades de la derivada de una potencia, suma y una constante, resulta:
   \[ f'(x) = \frac{ \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{2} – 1 } ( x^{2} + 1 ) – x^{ \frac{1}{2} } [ ( x^{2} )’ + (1)’ ] }{ ( x^{2} + 1 )^{2} } \\ = \frac{ \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } ( x^{2} + 1 ) – x^{ \frac{1}{2} } ( 2x ) }{ ( x^{2} + 1 )^{2} } \]
4. Multiplicando por \( 2x^{ \frac{1}{2} } \) al numerador y denominador, finalmente resulta:
   \[ f'(x) = \frac{ x^{2} + 1 – 2x(2x) }{ 2 x^{ \frac{1}{2} } ( x^{2} + 1 )^{2} } \\ = \boxed{ \frac{ 1 – 3x^{2} }{ 2 \sqrt{x} ( x^{2} + 1 )^{2} } } \]

Ejercicio 9

Averigüe la derivada de la función \( f(x) = \sqrt{ x^{2} + 3 } \).

Solución:

1. Para este ejercicio, debemos hacer uso de la regla de la cadena de la siguiente manera:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \frac{ d }{ d ( x^{2} + 3 ) } \sqrt{ x^{2} + 3 } \cdot \frac{ d }{ dx } ( x^{2} + 3 ) \\ & = \frac{ d }{ d( x^{2} + 3 ) } ( x^{3} + 3 )^{ \frac{1}{2} } \cdot \frac{ d }{ dx } ( x^{2} + 3 ) \end{align} \]
2. Si no logras entenderlo, estudia los siguientes ejercicios, te darás cuenta la similitud y la manera correcta de usar la regla de la cadena para este tipo de funciones, finalmente logramos:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \frac{1}{2} ( x^{2} + 3 )^{ \frac{1}{2} – 1 } \cdot ( 2x ) \\ & = \boxed{ \frac{x}{ \sqrt{ x^{2} + 3 } } } \end{align} \]

Si no han entendido el primero paso, lo escribiremos así \( f(x) = y^{ \frac{1}{2} } \) donde \( y = x^{2} + 3 \), primero derivamos \( y^{ \frac{1}{2} } \) con respecto a \( y \), luego derivamos \( y \) con respecto a \( x \), es decir, derivamos \( x^{2} + 3 \) con respecto a \( x \), quedando tal como vemos en el primer paso.

Ejercicio 10

Derivar la función \( f(x) = x \ln x \).

Solución:

1. Al derivar esta función, usaremos la propiedad de la derivada de un producto \( ( f \cdot g )’ = f’ \cdot g + g \cdot g’ \):
   \[ \begin{align} f'(x) & = ( x \ln x )’ \\ & = (x)’ \ln x + x ( \ln x )’ \end{align} \]
2. Ver en el apartado de derivadas notables donde \( ( \ln x )’= \frac{1}{x} \) y sabiendo que \( (x)’ = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \), finalmente logramos obtener:
   \[ \begin{align} f'(x) & = 1 \cdot \ln x + x ( \frac{1}{x} ) \\ & = \boxed{ \ln x + 1 } \end{align} \]

Ejercicio 11

Cual es la derivada de \( f(x) = \log_{3} ( \sin x ) \).

Solución:

1. Aquí también usaremos la regla de la cadena, tenga en cuenta la propiedad de la derivada de logaritmos de una base \( ( \log_{a} x )’ = \frac{1}{x} \log_{a} e \) y teniendo en cuenta que \( ( \sin x )’ = \cos x \), tenemos:
   \[ f'(x) = \frac{ d }{ d ( \sin x ) } [ \log_{3} ( \sin x ) ] \cdot \frac{d}{ dx } ( \sin x ) \\ = \frac{1}{ \sin x } \log_{3} e \cdot \cos x \]
2. Como se han dado cuenta este ejercicio es muy simple quedando finalmente así:
   \[ f'(x) = \frac{ \cos x }{ \sin x } \log_{3} e \\ = \boxed{ \cot x \cdot \log_{3} e } \]

Ejemplo 12

Calcule la derivada de \( f(x) = \ln ( e^{ \sin x } + 1 ) \), donde \( e \) es la constante de Euler.

Solución:

1. Como verán, esta es una composición de 3 funciones, una es el logaritmo natural de mayor jerarquía \( \ln \), la siguiente es la exponencial de base \( e \) y la última es la función seno \( \sin \) siendo esta de menor jerarquía. Haremos una regla de la cadena de 3 derivadas consecutivas de la siguiente manera:
   \[ f'(x) = \frac{ d }{ d ( e^{ \sin x } + 1 ) } \ln ( e^{ \sin x } + 1 ) \cdot \frac{ d }{ d( \sin x ) } ( e^{ \sin x } + 1 ) \cdot \frac{ d }{ dx } \sin x \]
2. Como \( (1)’ = 0 \), \( ( \ln y )’ = \frac{1}{y} \), \( ( e^{x} )’ = e^{x} \) y \( ( \sin y )’ = \cos y \), finalmente queda:
   \[ \begin{align} f'(x) & = \frac{1}{ e^{ \sin x } + 1 } \cdot e^{ \sin x } \cdot \cos x \\ & = \boxed{ \frac{ e^{ \sin x } \cos x }{ e^{ \sin x } + 1 } } \end{align} \]

De esta manera finalizamos esta publicación, como las derivadas son sencillas de resolver, esta entrada será actualizada, aprovechen la resolución de estos ejercicios. Esto sería todo, amigos, nos vemos en la próxima publicación.